数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

习题 11-1判别下列级数的敛散性：1. +++++n 2141211；2. ∑∞=-+1)1(n n n ；3. ++++⨯+++n n 10121102121101212 ；4. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-121cos 1n n n ；5. ()() ++-++⋅+⋅13231741411n n ； 6. ∑∞=++143ln n n n ；7. +-++-+61514131211； 8.∑∞=12sin n nnx . 解：1.()⎪⎭⎫⎝⎛-++++=-+++=11211211121211n n S n ， 而调和级数是发散的，故级数发散； 2. ()()()()∞→∞→-+=-+++-+-=n n n n S n 1112312 ，故级数发散； 3．因为级数+++n 2121212收敛， 而级数⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=++⨯+ n n 12111011011021101发散， 故原级数发散； 4．因为211cos1lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n n ，所以原级数发散； 5.因为()()()∞→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+++=n n n n S n 31131131132317.414.11 故原级数收敛； 6.()()()()()ln 4ln5ln5ln6ln 3ln 4n S n n =-+-+++-+()()ln 4ln 4n n =-+→-∞→∞故级数发散。

7. 因为11111121171123456339n n n+-++-+=-⨯==∞∑∑∑，故原级数发散；8. 对于任意的自然数,p.2121121121212121112121np n pn n n p n n n u u u <--⨯=+++≤+++++++++++所以对于任意给定的正数ε，取自然数)1(log 2ε≥N ，则当N n >时，对于任意的自然数,p 都有 ε<++++++p n n n u u u 21 成立。

七章 实数的完备性判断题：1. 1. 设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬⎪+⎝⎭⎩⎭ 为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖. 2. 2. 有限点集没有聚点.3. 3. 设S 为 闭区间 [],a b , 若,x S ∈则x 必为S 的聚点.4. 4. 若lim nn a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.5. 5. 非空有界点集必有聚点.6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃= , 则闭区间套定理成立. 8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值.答案: √√√√×××√√√ 证明题1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ∀∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤.2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ∀∈, 有()f x M ≤(其中M 是常数), 则 ,c M ∃≤ 使 lim ()x b f x c-→=.3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ∉, 则 存在数列1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: 函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔函数()f x 在开区间(,)a b 连续, 且(0)f a +与(0)f b -都存在.5.设{}n x 为单调数列,证明: 若{}n x 存在聚点,则必是唯一的, 且为{}n x 的确界.6. 证明:sin ()xf x x =在()0,+∞上一致连续.7. 证明: {}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.8. 设()f x 在[],a b 上连续, 又有{}[],n x a b ⊂, 使 lim ()n n f x A →∞=. 证明: 存在[]0,x a b ∈, 使得 0()f x A =.答案1.证明: 设sup ,inf .A a B b == 用反证法. 假设 s u pi n f A B > 即 ,b a <有2a b b a +<<, 一方面, sup ,2a b a A +<= 则存在 00,;2a b x A x +∈<另一方面,inf ,2a b b B +=< 则00,2a by B y +∃∈<. 于是, 00,x A y B ∃∈∈有002a b y x +<<, 与已知条件矛盾, 即 sup inf A B ≤.2. 证明: 已知数集{}()(,)f x x a b ∈有上界, 则其存在上确界, 设{}sup ()(,)f x x a b c M ∈=≤由上确界的定义, 00,(,)x a b ε∀>∃∈, 使得 0(),c f x c ε-<≤00,:b xx b x b δδ∃=->∀-<<; 或 0:,x x x b ∀<<有 0()()c f x f x c ε-<≤≤ 或 ()f x c ε-<. 即 l i m ()x b f x c -→=.3. 证明: 已知 sup E a =, 由确界定义, 111,x E ε=∃∈, 有 11a x a ε-<<2121min ,0,2a x x E ε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 12x x < , 并且22a x a ε-<<3231min ,0,3a x x Eε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 23x x <, 并且33a x a ε-<<于是, 得到数列{}1,,,n n n n x x E x x n N +∈<∀∈. 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: ⇒ 已知 ()f x 在(,)a b 一致连续,即12120,0,,(,):x x a b x x εδδ∀>∃>∀∈-<, 有 12()()f x f x ε-< 显然 ()f x 在(,)a b 连续, 且 120,0,,(,)x x a b εδ∀>∃>∀∈1122()a x a x x a x a δδδ<<+⎧-<⎨<<+⎩, 有 12()()f x f x ε-<.根据柯西收敛准则,函数()f x 在a 存在右极限(0).f a +同理可证函数()f x 在b 存在左极限(0)f b -.⇐已知(0)f a +与(0)f b -存在, 将函数()f x 在a 作右连续开拓, 在b 作左连续开拓, 于是函数()f x 在闭区间[],a b 连续, 从而一致连续, 当然在(,)a b 也一致连续. 5. 证明: 不妨设{}n x 递增.(1) 先证若{}n x 存在聚点必唯一. 假定,ξη都是{}n x 的聚点, 且ξη<. 取02ηξε-=, 由η是{}n x 聚点, 必存在0(,).n x U ηε∈又因{}n x 递增, 故n N ≥时恒有002n N x x ξηηεξε+≥>-==+于是, 在0(,)U ξε中至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ是{}n x 的聚点相矛盾. 因此{}n x 的聚点存在时必唯一.(2) 再证{}n x 上确界存在且等于聚点ξ. ()a ξ为{}n x 上界. 如果某个N x ξ>, 则 n N ≥时恒有n x ξ>, 取00,N x εξ=-> 则在0(,)U x ξ内至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.()b 对0,ε∀>由聚点定义, 必存在N x 使N x ξεξε-<<+. 由定义{}sup n x ξ=.6. 6. 证明: 令10,()sin (0,)x F x xx x =⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩由于 00sin lim ()lim 1(0)x x x F x F x ++→→===, 而 (0,)x ∈+∞时sin ()xF x x =, 所以 ()F x 在[)0,+∞上连续, 又因lim ()0x F x →+∞=存在, 所以 ()F x 在[)0,+∞上一致连续,从而在(0,)+∞上也一致连续, 即 ()f x 在(0,)+∞上一致连续. 7. 7. 证明: ⇒ 设{}n x 为有界数列, 则{}n x 的任一子列{}kn x 也有界, 由致密性定理知{}kn x 必存在其收敛子列{}k jn x .⇐ 设 {}n x 的任一子列都存在其收敛子列. 若{}n x 无界, 则对1M =, 必存在正整数1n 使得11n x >; 对2,M =存在正整数21,n n >使得22;;n x > 一般地,对M k =, 存在正整数1,k k n n ->使得k n x k >. 于是得到{}n x 的子列{}k n x , 它满足lim k n k x →∞=∞, 从而{}kn x 的任一子列{}k jn x 必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.8. 8. 证: 因{}[],n x a b ⊂为有界数列, 故{}n x 必有收敛子列{}kn x ,设lim k n k x x →∞=,由于{}[],kn x a b ⊂,故 []0,x a b ∈. 一方面, 由于()f x 在0x 连续有0l i m ()(),x x f x f x →=再由归结原则有0lim ()lim ()()k n k x x f x f x f x →∞→==; 另一方面, 由lim ()n n f x A→∞= 及{}()kn f x 是{}()nf x 的子列有lim ()lim ()k n n k n f x f x A→∞→∞==因此 0().f x A =第八章 不定积分填空题1. ()()_________x ex dx ϕϕ'=⎰.2. 若函数()F x 与()G x 是同一个连续函数的原函数, 则()F x 与()G x 之间有关系式_______________.3. 若()f x '=且3(1)2f π= , 则 ()__________.f x = 4. 若()cos f x dx x C =-+⎰, 则()()___________.n f x =5.(ln )________.f x dx x '=⎰6. 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--， 则作变换___________计算(sin ,cos )R x x dx ⎰.7.[1()]()__________n x x dx ϕϕ'+=⎰.()n N +∈8.3415(1)_________x x dx -=⎰9.若()(0)f x x x =>, 则 2()___________f x dx '=⎰.10. 过点(1,)4π斜率为211x +的曲线方程为___________.答案:1. ()x eC ϕ+. 2. ()()F x G x C =+ (C 为任意常数). 3. arcsin x π+. 4. sin()2n x π+. 5.(ln )f x C +. 6. tan t x =.7. 11[1()]1n x C n ϕ++++. 8. 4161(1)64x C --+. 9. 1ln 2x x C++10. arctan y x =判断题:1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.2. 2. ()()df x dx f x dx =⎰3. 3. 若函数()f x 存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.4. 4. 设()F x 是()f x 在区间I 上的原函数,则()F x 在区间I 上一定连续.5. 5. 函数()f x 的不定积分是它的一个原函数.6. 6. 21(1)x x x +-的有理函数分解式为: 22221(1)1(1)x A Bx C Dx Ex x xx x +++=++--- 7. 7.()()d d f x d f x =⎰8. 8. 若函数()f x 在区间I 上连续, 则它在区间I 上必存在原函数.9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若()f x dx x C =+⎰, 则(1)f x dx x C -=+⎰答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：1．下列等式中（ ）是正确的.()().()()xx A f x dx f x Bf edx f e C ''==+⎰⎰221..(1)(1)2C f dx f C D xf x dx f x C ''=+-=--+⎰⎰2．若()f x 满足()sin 2,f x dx x C =+⎰则()(f x '= ） .4s i n 2.2c o s 2.4s i n 2.2A x B x C x Dx-- 3．若21()(0),f x x x '=>则()f x =（ ）.2.l n A x CB x CxCC ++++4．设函数()f x 在[,]a b 上的某个原函数为零，则在[,]a b 上 （ ） A ．()f x 的原函数恒等于零. B. ()f x 的不定积分等于零.C. ()f x 不恒等于零但其导数恒等于零.D. ()f x 恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )221.2.(ln 1)1x x A xe dx de B dx d x x ==++21.a r c t a n .c o s 2s i n 21C x d x d D x d xd x x ==+6. 22()()xf x f x dx '=⎰( )2222221111.().().().()2244A f x CB f x CC f x CD f x C++++.7. 若()f x dx x C =+⎰, 则 (1)f x dx -=⎰ ( )21.1......(1)2A x C B x C C x C D x C -+-++-+ 8. 函数cos (0)ax a ≠的一个原函数是 ( )111.s i n .s i n .s i n .s i n A x B a xC a xD a xa a a-9. 若()21xf x dx x C =+++⎰, 则()f x =( )2111.2..2ln 2 1..21.21ln 22x x x x A x x B C D ++++++10. 下列分部积分中对u 和v '选择正确的有 ( )22.cos ,cos ,.(1)ln ,1,ln A x xdx u x v x B x xdx u x v x''==+=+=⎰⎰.,,.a r c s i n ,1,a r cx xC xe dx u x v eD xdx u v x --''====⎰⎰答案：1—10 DCCDADCBBC计算题:1.ln(x dx+⎰2. x ⎰3. dx4.44cos 2sin cos xdx x x +⎰5.ln tan cos sin x dxx x ⎰6. 7.221(1)(1)x dxx x ++-⎰. 8. 11sin cos dxx x ++⎰9. 2(1)xx xe dx e +⎰.10.2答案:1. 1. 原式=ln(x x dx+-⎰21ln(2x x =-ln(x x C =+.2. 2.原式21122x =221124x =21arctan 2x C=3. =(sin cos )2cos 2sin 2222x x x xdx C=+=-++⎰4. 4422222cos 2cos 2sin cos (sin cos )2sin cos x xdx dx x xx x x x =++-⎰⎰ 22cos 2sin 2(2)2sin 22sin 2x d xd x x x ==--⎰⎰C=+5. ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan xxdx d x xd x x xx ==⎰⎰⎰2(ln tan )2x C =+.6. 2sin 2(2cos 1)cos 21cos 2cos 2x t tt dt dtt t =-=+=⎰⎰tan 2t t C =-+arcsin x C=+7. 2221111[]2(1)2(1)(1)(1)(1)x dx dx x x x x x +=+--++-+⎰⎰111ln 1ln 1221x x Cx =-+++++211ln 121x Cx =-+++.8.tan222121sin cos 211111x u dxdu x xu u uu u =⋅++-+++++=⎰⎰ln 1ln 1tan 12du xu C C u =++=+++⎰.9.21(1)111x x x x x xe x dx dx xd e e e e ⎛⎫=-=-+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1)111x x x x xx e dx x e C e e e ---=-+=--+++++⎰.10.sin 22221cos 2sin 2x a uua udu a du =-==⎰⎰⎰22sin 2()arcsin 222a u a x u C C a =-+=+.第九章 定积分一、 一、 选择题（每题2分） 1、若()⎰=+122dx k x ，则=k （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）212、若()x f 是奇函数，且在[]a a ,-上可积，则下列等式成立的有（ ）（A ）()()⎰⎰-=aa adxx f dx x f 02 （B ）()()⎰⎰--=aaadxx f dx x f 02（C ）()⎰-=a adx x f 0（D ）()()⎰-=a aa f dx x f 23、设()x f 在[]b a ,上连续，则下面式子中成立的有（ ）（A ）()()x f dt t f dx d x a =⎰ （B ）()()x f dx x f dx d ba=⎰（C ）()()⎰+=C x f dx x f dx d（D ）()()x f dx x f ='⎰4、设()x f 为连续函数，()()⎰-=104dxx f x x f ，则()⎰10dx x f =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）25、函数()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的（ ）（A ） （A ） 必要条件 （B ）充要条件 （C ）充分条件 （D ）无关条件 6、()x f 在[]b a ,上连续，()()⎰=xa dt t f x F ，则正确的是（ ）（A ）()x F 是()x f 在[]b a ,上的一个原函数； （B ）()x f 是()x F 在[]b a ,上的一个原函数； （C ）()x F 是()x f 在[]b a ,上唯一的原函数； （D ）()x f 是()x F 在[]b a ,上唯一的原函数 7、⎰e edxx 1ln =（ ）（A ）0 （B ）2e-2 （C ）e 22-（D ）e e 222-+8、已知()()21210-=⎰x f dt t f x，且()10=f ，则()=x f （ ） （A ）2xe （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 2219、下列关系中正确的有（ ）（A ）dxe dx e x x ⎰⎰≤1102（B ）dxe dx e x x ⎰⎰≥112（C ）dxe dx e x x⎰⎰=112（D ）以上都不正确10、⎰=ba xdx dx d arcsin （ ）（A ）a b arcsin arcsin -（B ）211x -（C ）x arcsin （D ）011、设410I xdxπ=⎰，4230,sin I I xdxπ==⎰，则（ ）；（A ）123I I I >> （B ）213I I I >> （C ）312I I I >>（D ）132I I I >>12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（ ）；（A ）1201x dx x +⎰ （B）10⎰ （C）e （D ）210x e dx ⎰13、设()f x 为连续函数，则积分()ba I f x t dx=+⎰（ ）（A ）与,,t a b 有关 （B ）与,t x 有关 （C ）与,,x b t 有关 （D ）仅与x 有关 14、()2x af t dt '=⎰（ ）（A ）()()1222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （C ）()()22f x f a -⎡⎤⎣⎦ （D ）()()12f x f a -⎡⎤⎣⎦15、下列积分中，使用换元积分正确的是（ ）（A ）1arcsin 1sin dt t x t π=+⎰令 （B）10sin x t =⎰令 （C）10tan x t=⎰令 （D ）12111dx x xt -=+⎰令 答案：ACACC ACCBD BAAAC 二、 二、 填空题（每题2分）1、已知⎰=Φxdtt x 02)sin()(，则=Φ')(x .；2、比较大小：⎰20πxdx⎰2s i n πx d x.3、⎰-++1142251sin dx x x xx = ；4、函数()x f 在区间[]1,2-上连续且平均值为4，则()⎰-12dxx f = ； 5、设()x f 为连续函数，则()()[]=⋅+-+⎰-dx x x x f x f 322 ；6、522cos xdx ππ-=⎰；7、()12ln 1xd t dt dx +=⎰ ；8、(211x dx -+=⎰；9、设()f x 为连续函数，且()()12,f x x f t dt =+⎰则()f x = ；10、设0a ≠，若()0120ax x dx -=⎰，则a = ；11、已知()2302xf t dt x =⎰，则()1f x dx =⎰ ；12、=⎰ ；答案：1、()2sin x 2、≥>or 3、0 4、12 5、564 6、1615 7、()2ln 1x -+ 8、2 9、1x - 10、34 11、3 12、4π三、计算题 （每题5分）1、dx x x ⎰-22101解：令t x sin =，则tdt dx cos =，tx 2010π→→ dx x x ⎰-22101=⎰2022cos sin πtdt t=()⎰⎰-=202024cos 1812sin 41ππdt t tdt=16024sin 4181ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t2、⎰2sin πxdxx 20cos xd xπ=-⎰=⎰+-20cos 02cos ππxdxx x=102sin =πx 3、dxx x x ⎰+-20232=()()⎰⎰⎰-+-=-2121111dxx x dx x x dx x x=12325201523223252523⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x =()22154+4、⎰-2121dx x x解：令tdt t dx t x tan sec ,sec ==，3021π→→t x⎰-2121dx x x =⎰302tan πtdt =()d t t ⎰-3021sec π=()3303tan ππ-=-t t5、()dx xx 21124⎰--+=()⎰--+-+11222442dxx x x x=()d xx x ⎰-+-112442=⎰-=1184dx6、⎰⋅202cos πxdx e x=⎰202sin πx d e x=⎰⋅-⋅20222sin 02sin ππdx e x x e x x=⎰⎰-+=+2022022cos 402cos 2cos 2πππππxdxe x e e x d e e x x x=2-πe则 ⎰⋅202c o s πx d x e x =()251-πe7、⎰-⋅ππxdxx sin 4解： x x sin 4⋅为奇函数，且积分区间[]ππ,-关于原点对称sin 4=⋅∴⎰-ππxdx x8、⎰+402cos 1πdx x x=⎰⎰=4402tan 21cos 2ππx xd dx x x=⎰-40tan 2104tan 21ππxdx x x =04cos ln 218ππx + =2ln 41822ln 218-=+ππ9、()⎰-+11221x dx = ()⎰+102212x dx解：令tdt dx t x 2sec ,tan ==，4010π→→t x ()⎰-+11221x dx =⎰402cos 2πtdt=()⎰+402cos 1πdt t =042sin 21π⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t =214+π10、⎰+301arcsindx x x解：令x x t +=1arcsin，t x 2tan =，则tdt t dx 2sec tan 2=，3030π→→t x ⎰+301arcsin dx x x =⎰302tan πt td =⎰-3022tan 03tan ππtdt t t=()d t t ⎰--3021sec ππ=()03tan ππt t -- 334)33(-=--=πππ11、⎰+133221x x dx解：令t x 1=,则dt t dx 21-=,13133→→tx⎰+133221x x dx =⎰+⋅-132221111t t dt t=⎰+3121t tdt=221312-=+t12、dxx ee⎰1ln =dxx e⎰-11)ln (+dxx e ⎰1ln=()()1ln 11ln e x x x e x x x -+-- … =e 22-13、⎰--1145x xdx解：令x t 45-=，则()2541t x -=，tdtdx 21-=，1311→→-t x ⎰--1145x x d x =()dt t ⎰-312581 =13315813⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =61 14、0xdx=20arctan 1xdx x x +=1ln 1ln 2323x -+=- 15、20π⎰20cos 2x dx π20c o s c o s 22x x dx dx πππ⎫=-⎪⎭⎰⎰ =2sin sin 022x x πππ⎫-=⎪⎭五、证明题（每题5分）1、 1、 证明：若f 在[],a b 上可积，F 在[],a b 上连续，且除有限个点外有()()F x f x '=，则有()()()baf x dx F b F a =-⎰证：设除[]()()12,,,n x x x a b F x f x '∈= 外，即()()[]{}12,,\,,n F x f x x a b x x x '=∀∈ 可设 0121n n x a x x x b x +=≤<<<≤= 在[]1,i i x x +上应用N-L 公式知:()()()()()()()110i innbx i i ax i i f x dx f x dx F x F x F b F a ++====-=-∑∑⎰⎰2、 2、 证明：若T T '是增加若干个分点后所得到的分割，则iiiiT Tx xωω'''∆≤∆∑∑证：由性质2知 ()()()(),S T S T s T s T ''≤≥。

第十一章 反常积分总练习题1、证明下列等式： (1)⎰+11-p 1x x dx=⎰∞++1-p 1x x dx ，p>0；(2)⎰∞++01-p 1x x dx=⎰∞++0-p1x x dx ，0<p<1. 证：(1)∵p>0，∴两个积分都收敛，令x=t1，则⎰+11-p 1x x dx=⎰++→1u 1-p 0u 1x x lim =⎰++∞→1u1p -1u11t1t lim d ⎪⎭⎫⎝⎛t 1=⎰++∞→u 11-p u 11t t lim dt=⎰∞++1-p 1x x dx.(2)∵0<p<1，∴两个积分都收敛， 又⎰∞++01-p 1x x dx=⎰+101-p 1x x dx+⎰∞++11-p 1x x dx. 由(1)得⎰+11-p 1x x dx=⎰∞++1-p1x x dx ，又令x=t1，则 ⎰∞++11-p 1x x dx=⎰++∞→u 11-p u 1x x lim =⎰++→u 11p -10u11t1t lim d ⎪⎭⎫ ⎝⎛t 1=⎰++→1u 1-p 0u 11t t lim dt=⎰+10-p 1x x dx. ∴⎰∞++01-p 1x x dx=⎰∞++1-p 1x x dx+⎰+10-p 1x x dx=⎰∞++0-p1x x dx.2、证明下列不等式： (1)22π<⎰14x -1dx<2π；(2)⎪⎭⎫⎝⎛-e 1121<⎰+∞0x -2e dx<1+2e 1. 证：(1)∵)x 1(212-<4x-11<2x-11, x ∈(1,0].∴⎰12x-1dx 21<⎰14x-1dx<⎰12x-1dx .又⎰102x-1dx 21=22π；⎰12x -1dx=2π. ∴22π<⎰104x-1dx <2π. (2)⎰+∞0x -2e dx=⎰10x -2e dx+⎰+∞1x -2e dx<⎰10dx +⎰+∞1x -2x e dx=1+2e1. 又⎰+∞0x -2edx=⎰10x -2edx+⎰+∞1x -2edx>⎰10x -2edx>⎰10x -2x edx=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121<⎰+∞0n -2e dx<1+2e1.3、计算下列反常积分的值：(1)bx cos e 0ax -⎰+∞dx (a>0)；(2)bx sin e 0ax -⎰+∞dx (a>0)；(3)⎰+∞+02x1lnxdx ；(4)⎰2π0)θln(tan d θ. 解：(1)bx cos e 0ax -⎰+∞dx=⎰+∞→u 0ax -u e b 1limdsinbx=b 1lim u +∞→sinbxe -ax |u 0-⎰+∞→u 0u sinbx lim b 1de -ax=⎰+∞→u 0ax-u sinbx e lim b a dx=-⎰+∞→u 0ax -u 2e lim b a dcosbx =-2u b a lim+∞→cosbxe -ax |u 0+⎰+∞→u 0u 2cosbx lim b a de -ax=2b a -bx cos e ba 0ax -22⎰∞+dx.∴bx cos eb b a 0ax-222⎰∞++dx=2b a ，即bx cos e 0ax -⎰+∞dx=22ba a+. (2)bx sin e 0ax -⎰+∞dx=-⎰+∞→u0u sinbx lim a1de -ax=-a 1lim u +∞→sinbxe -ax |u 0+⎰+∞→u 0ax-u e lim a 1dsinbx=⎰+∞0ax -cosbx e a b dx=22b a a a b +⋅=22ba b+. (3)⎰+∞+02x 1lnx dx=⎰+102x 1lnx dx+⎰+∞+12x 1lnx dx=⎰+102x 1lnx dx+⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛12x 11x 1ln d ⎪⎭⎫⎝⎛x 1 =⎰+12x 1lnxdx+⎰+012u 1lnu du=⎰+102x 1lnx dx+⎰+012x1lnx dx=0. (4)令tan θ=t ，则⎰2π)θln(tan d θ=⎰+102t1lntdt=0.4、讨论反常积⎰+∞λxsinbxdx (b ≠0)，λ取何值时绝对收敛或条件收敛. 解：不妨设b>0，记I=⎰+∞0λx sinbx dx ，I 1=⎰b10λx sinbx dx ，I 2=⎰+∞b1λx sinbx dx. 对I 1，当λ≤1时，λ0x x sinbx lim+→=bx sinbx bx lim λ-10x +→=⎩⎨⎧=<1λb 1λ0，∴I 1是正常积分. 当λ>1时，x=0是瑕点，λ1-λ0x x sinbxx lim +→=b ∈(0,+∞). ∴当1<λ<2时，I 1绝对收敛；当λ≥2时，I 1发散. 对I 2，当λ≤0时，∵令A n =(2n π+4π)b 1，B n =(2n π+2π)b1， 则A n →+∞，B n →+∞(n →+∞)且 |⎰nn B Aλx sinbx dx|=b λ⎰++2πn π24πn π2λu sinu du ≥b λ⎰+++2πn π24πn π2λu )4πn π2sin(du =22b λλ1)4πn π2()2πn π2(λ-1λ-1-+-+>0. ∴当λ≤0时，I 2发散. 当0<λ≤1时，由狄利克雷判别法知I 2收敛.又|λx sinbx |≥λ2x bx sin =λ2x1+λ2x bx 2sin ， 其中⎰+∞b1λ2x bx2sin dx 收敛，但⎰+∞b1λ2x dx 发散，∴当0<λ≤1时，I 2条件收敛. 当λ>1时，∵|λx sinbx|≤λx 1，∴I 2绝对收敛.综上，原积分的收敛性如下表：5、证明：设f 在[0,+∞)上连续，0<a<b. (1)若+∞→x lim f(x)=k, 则⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx =[f(0)-k]ln ab； (2)若⎰+∞x f(x)dx 收敛，则⎰+∞0x f(bx)-f(ax)dx =f(0)ln ab. 证：(1)令ax=t ，则⎰Aεx f(ax)dx=⎰aA a εt f(t)dt ，同理，⎰A εx f(bx)dx=⎰bA b εtf(t)dt. ∴⎰Aεx f(bx)-f(ax)dx=⎰aA a εt f(t)dt-⎰bA b εt f(t)dt=⎰b εa εt f(t)dt-⎰bA aA tf(t)dt =⎰b aεu u)f(εdu-⎰b a u f(Au)du=⎰b a u u) f(εdu-⎰b a u f(Au)du=[f(εξ)-f(A η)]⎰b a udu , 其中ξ,η∈(a,b)，令ε→0+, A →+∞, 得⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx =[f(0)-k]⎰b a u du =[f(0)-k]ln ab.(2)∵⎰+∞0x f(x)dx 收敛，∴对任何ε>0, 有⎰+∞εx f(ax)dx=⎰+∞a εxf(x)dx ， ∴⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx=⎰+∞a εx f(x)dx-⎰+∞b εx f(x)dx=⎰b εa εx f(x)dx=⎰b εa εx x)f(εdx=f(εξ)⎰b a xdx . 令ε→0+, 则⎰+∞0x f(bx)-f(ax)dx =f(0)⎰b a x dx =f(0)ln ab.6、证明下述命题：(1)设f 为[a,+∞)上的非负连续函数. 若⎰+∞a x f(x )dx 收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛；(2)设f 为[a,+∞)上的连续可微函数，且当x →+∞时，f(x)递减地趋于0，则⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件为⎰+∞'a (x )f x dx 收敛.证：(1)取M=max{|a|,1}，则⎰+∞M x f(x )dx 与⎰+∞a x f(x )dx 同收敛. ∵f 为[M,+∞)上的非负连续，∴0≤f(x)≤xf(x)，x ∈[M,+∞)， ∴⎰+∞M f(x )dx 收敛，同时有⎰+∞a f(x )dx 也收敛. (2)∵f,f ’为[a,+∞)上都连续，∴⎰'Aa(x )f x dx=xf(x)|Aa -⎰Aaf(x )dx.设⎰+∞a f(x )dx 收敛，又当x →+∞时，f(x)递减地趋于0，∴+∞→A lim xf(x)|A a =-af(a). ∴⎰'+∞→AaA (x )f x limdx 存在，即⎰+∞'a (x )f x dx 收敛. 设⎰+∞'a (x )f x dx 收敛，则任给ε>0, 有M>|a|，当A>x>M 时，就有 |⎰'Ax (t)f t dt|<ε，∵f ’≤0, 由积分中值定理知，存在ξ∈[x,A]，使得⎰'Ax(t)f t dt=ξ⎰'Ax(t)f dt=ξ[f(A)-f(x)]，∴0≤x|f(A)-f(x)|≤ξ|f(A)-f(x)|<ε，令A →+∞，则f(A)→0，∴ |xf(x)|= x|f(x)|≤ε (x>M)， ∴+∞→x lim xf(x)=0，∴+∞→A lim xf(x)|A a =-af(a)存在，又⎰'+∞→AaA (x )f x limdx=+∞→A lim xf(x)|Aa -⎰+∞→AaA f(x )limdx 存在，∴⎰+∞→A a A f(x )lim dx 存在，即⎰+∞a f(x )dx 收敛. 得证.。

第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解 利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。

由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解 原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。

第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的 图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条 件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。

第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．2．叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()ba f x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰b buau a f x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰b buaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→x x ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞adx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dxx x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足 于是有()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是 而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(l i m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞ x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由 便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞⎰收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx n ε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则3322sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为2133330010sin 1cos 21cos 21cos 2222x x x x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰， 311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x ++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx -在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x-⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点．1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则s i n xx在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x ⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰badxx F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba b adx x F dx x f dx x f εεεε00lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]a b -,0上连续，有()()()⎰==+→ba dx x F G G 0limεε，即()().⎰⎰=b a b a dx x F dx x f 故()⎰ba dx x f 可看成正常积分。

§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。

第十一章 反常积分一、填空题 1．⎰+∞-++131xx ee dx= 2．⎰-+-31)3()1(x x dx =3．⎰+∞2)(ln kx x dx其中k 为常数，当1≤k 时，这积分 ，当1<k 时，这积分当这积分收敛时，其值为4．=++⎰+∞284x x dx5．=-+⎰∞+22)7(x x dx___________6．=+⎰∞---02)1(dx e xe x x____________二、选择填空 1． ⎰--=1121xxdx I 则（ ）A 可以令t x sin =求得⎰-=22sin ππtdt I 之值B 可从凑微分求得⎰----=11221)1(21xx d I 之值C 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，不能直接换元D 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，I 之值不存在 2．)(x f 在] ,[∞+a 连续c a <，则（ ） A)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞也必收敛，但 )(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞不一定发散。

B)(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞也必发散，但 )(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞不一定收敛。

C )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散。

D)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞必发散。

3．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 4．=+⎰-222)1(x dx( )A.34-B.34C.32- D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( )A.⎰-11sin x dx B.⎰--1121x dxC.⎰+∞-02dx e xD.⎰∞+22ln x x dx 三．计算题1．计算下列无究限积分：（1）⎰∞+12x dx ； （2）()⎰∞++12x 1x dx； （3）⎰∞+∞-++1x 2x 2dx2； （4）⎰∞+0x e dx ； （5）⎰+∞-0x dx xe 22．讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）⎰∞++0341x dx ；（2）⎰∞+-axdx e 1x； （3）⎰∞++0x1dx ；（4）⎰∞++13dx x 1xarctgx；（5）()⎰∞+->+01a 1a dx x1x ；（6）()⎰∞+≥+0nm0n ,m dx x 1x ； （7）()⎰∞++1ndx xx 1ln ； （8）()⎰∞+3x ln ln x dx3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：（1）⎰+∞02dx x sin ；（2）()dx x 1x sin sgn 02⎰∞++； （3）⎰∞++0dx x 100xcos x ；（4）()⎰∞+3xdx sin xln x ln ln 4．计算下列瑕积分的值：（1）⎰1xdx ln ； （2）⎰-1dx x1x； （3）()()()⎰≠--bab a x b a x dx5．判别下列非正常积分的敛散性：（1）()⎰-221x dx；（2）⎰123dx xx sin ；（3）⎰-104dx x1x ；（4）⎰-10dx x 1xln ； （5）⎰-103dx x 1arctgx； （6）⎰∞-0x dx x ln e ；（7）⎰1xln x dx ；（8）⎰π-20mdx xxcos 1 6．仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛：（1）⎰10dx xx 1cos ；（2）dx x x2sin e 02x sin ⎰∞+；7．计算下列瑕积分的值（其中n 为自然数）： （1）()⎰10ndx x ln ； （2）dx x1x 1n ⎰-8．求()⎰-2211dx x9．求dx ex x x-+∞∞-+⎰)(10．求⎰+∞-11x x dx11．求dx xx ⎰-2322cos 1sin ππ12．求⎰+∞∞--++dx e x x x 2)1(213．求dx x⎰-312lnπ14．判断下列广义积分的敛散性（1）dx x⎰20sin 1π（2）⎰-+-1122)1)(1(1dx x x15．判别广义积分dx x x xx ⎰∞+-03421ln 的敛散性16．计算积分⎰--23212xx dx四、证明题 1．假定⎰∞)(dx xx f 对a 取任何正值时收敛，且)(x f 为连续函数，L f =)0(，证明αββαln )()(⋅=-⎰∞L dx x x f x f a2．证明无穷限积分的性质3：若f 在任何有限区间[a ，A]上可积，且⎰+∞af 收敛，则⎰+∞af 也收敛，且⎰⎰+∞+∞≤aaf f3．证明定理10.22：设定义在[]+∞,a 上的非负函数f 与g 在任何有限区间[a ，A]上都可积。

高数下册第11章复习题与答案第十一章-无穷级数练习题（一）. 基本概念1.设∑∞=1n n U 为正项级数，下列四个命题（1）若,0lim =∞→n n U 则∑∞=1n n U 收敛；（2）若∑∞=1n n U 收敛，则∑∞=+1100n n U 收敛；（3）若,1lim 1>+∞→nn n U U 则∑∞=1n n U 发散；（4）若∑∞=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→nn n U U ．中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);C ．(3)与(4);D ．(4)与(1)．2.下列级数中，收敛的是（）． A ．∑∞=11n n ； B ．∑∞=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． + +??? ??+??? ??+43243434343． 3.在下列级数中，发散的是（）． A ．∑∞=-11)1(n n n ；B ．∑∞=+11n n n； C ．∑∞=131n nn;D ． +-+-44332243434343．4.条件（）满足时，任意项级数1nn u∞=∑一定收敛.A. 级数1||n n u ∞=∑收敛；B. 极限lim 0n n u →∞=；C ．极限1lim1n n nu r u +→∞=<；D. 部分和数列1n n k k S u ==∑有界.5.下列级数中条件收敛的是（）．A . ∑∞=11cos n n ; B. ∑∞=11n n ;C. ∑∞=-11)1(n n n ; D. ∑∞=-11)1(n n n n ．6.下列级数中绝对收敛的是（）．A . ∑∞=-11)1(n n n ; B. ∑∞=-121)1(n n n ; C. ∑∞=+-11)1(n n n n ; D. ∑∞=11sin n n ．（二）. 求等比级数的和或和函数。

提示：注意首项 7.幂级数 1021+∞=∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数∑∞=-04)1(n n nnx 在)4,4(-上的和函数=)(x s ．9.无穷级数1n n ∞=∑的和S = .（三）. 判定正项级数的敛散性。

反常积分例题这里的题目来自裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》。

广义积分就是我刚才讲的知识内容，华东师范大学第四版数学分析第十一章。

本文主要考虑广义积分的计算问题。

粗略而言，反常积分是正常积分和极限工具的结合，所以定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式，换元积分，分部积分这些方法都是适用的。

4.5.1 反常积分的计算1. 计算反常积分 I=\int_{-\infty}^{+\infty}|t-x|^{1/2}\frac{y}{(t-x)^2+y^2}dt.解本题中 t-x 的形式有堆砌之嫌，个人以为不妨直接命题I=2\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt uy}{u^2+y^2}dt.关键的步骤，令 \sqrt{u/y}=v ，则 I=4\sqrt y\int_0^{+\infty}\frac{v^2}{1+v^4}dv=4\sqrt y J ，下面计算 J=\int_0^1\frac{1}{1+v^4}dv +\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+v^4}dv=J_1+J_2 .令 w=1/v ，得J_1=\int_1^{+\infty}\frac{w^2}{1+w^4}dw ，从而J=\int_1^{+\infty}\frac{1+w^2}{1+w^4}dw=\int_1^{+\inft y}\frac{1}{(v-1/v)^2+2}d(v-1/v)=\frac{\pi}{2\sqrt2} ，代入得到 I=\sqrt{2y}\pi .2. 证明I=\int_0^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})dx=\frac{1}{a}\int_ 0^{+\infty}f(\sqrt{t^2+4ab})dt, a, b>0 .证明由 ax+b/x=\sqrt{t^2+4ab} ，我们令 t=ax-b/x ，则x=\frac{1}{2a}(t+\sqrt{t^2+4ab}),dx=\frac{1}{2a}(1+\frac{t}{\sqrt{t^2+4ab}})dt, 代入可得结论。

第十一章反常积分一、教学内容1.反常积分的概念2.无穷积分的性质与收敛判别3.瑕积分的性质与收敛判别二、教学目的1.使学生掌握反常积分收敛和发散的概念，2.能判别反常积分的敛散性，3.能计算收敛的反常积分。

三、教学建议1.重点：无穷积分和瑕积分收敛的判别法2.难点：无穷积分和瑕积分收敛的判别法四、教学课时教学要点反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。

教学时数8学时教学内容§1反常积分的概念（4学时）反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。

§2无穷积分的性质与收敛判别（4学时）无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。

§3瑕积分的性质与收敛判别瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。

考核要求掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。

1、反常积分概念一、问题的提出例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？解设地球半径为，火箭质量为地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为于是火箭上升到距地心处需要做到功为当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使例2从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系：由此得所以流完一桶水所需的时间应为但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。

第十一章反常积分复习自测题、体会各类反常积分(无穷积分、瑕积分和混合反常积分)的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义, 面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下1 , c(1) 下dx (a 0)； (2)a x2、正确地判断下列反常积分的敛散性：4 dxx (a 0);⑶-1dx0 p0 x(a 0)。

1(1) —「dx (aa x(ln x) 1)；⑵1x(lnx)ydx (ap1)；(3)U dx。

3、探索下列反常积分的敛散性, 若收敛，并求其值:/、 1 /、(1) ——^dx; (2)01 x21 ,、---- 2 dx ;(3)1 x20 彳 2..1 xdx ;(4)1 x24、用定义据理说明下面的关系: 函数的积分特征)(反常积分的牛顿―莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶(1)若函数 f (x)在［a,)上连续, F(x)为f(x)在［a, )上的原函数，记则无穷积分 f (x)dx收敛(2)若函数f(x)在(F( 则无穷积分 f (x)dx收敛(3)若函数F(F())x im f (x),lim f (x)存在，且xf (x)dx F(x) a)上连续，5J)为£仁)在( )上的原函数，记)limxF()f (x)和g(x)都在［a,f (x)g (x)dx 收敛其中f( )g( ) Jimf(x), F( ) limxlim f (x)和F( xf(x)dx F(x))上连续可微，且f (x)g(x)dx 收敛，且f (x)g (x)dx f(x)g(x)f(x)g(x)。

f(x),lim f(x)都存在,且xlim f (x) g(x)存在，则无穷积分x f (x)g(x)dx,(4)若函数f(x)在［a,)上连续，x (t)在［,)(其中为有限数或(5)设函数f (x)在(，)上连续,且严格单调递增, 敛，且 (［,))［a,)，则无穷积分 f(x)dx 收敛a积分f( (t)) (t)dt收f(x)dx f( (t)) (t)dt 。

117第十一章 反常积分第一部分一．填空题1．=+⎰+∞-12xx e e dxe 4π。

2．=--⎰101)2(xx dx2π. 3.当=m 21- 时，广义积分⎰+∞2dx xe mx 收敛于1. 三．选择题1.下列广义积分收敛的是（C ）A. dx xx e ⎰+∞ln B. dx x x ⎰+∞0ln 1C. dx x x ⎰+∞02)(ln 1D. dx x x e ⎰+∞21)(ln 12.已知广义积分dx xxx k ⎰∞+-+12ln 1收敛，则（A ） A. 1<k B. 1=k C. 21<<k D. 2≥k3.设广义积分dx x x A ⎰-=101ln ，dx xxB ⎰+=101ln ，则B A ,满足（B ）A. B A =B. B A 2=C. B A =D. 2BA =4.下列广义积分发散的是（B ）A. dx x ⎰10lnB. dx x x ⎰+∞∞-+21C. )0(0>⎰+∞-ααdx xe xD. dx x ⎰+∞∞-+23)1(15.广义积分)0,0(11>>+=⎰∞+n m dx x xA nm,当1>-m n 时（A ） A. 收敛 B. 发散 C. 条件收敛 D.不确定 四．解答题1.判别下列广义积分收敛性:（1）)0(d ln 1>⎰∞+p x x x p ，； （2）)0(d ln 0>⎰∞+p x xx p；（3）)0(d )1ln(0>+⎰∞+p x x x p ； （4）)0(d )11ln(1p >+-⎰∞+p x x x ；（5）⎰+20)d sin ln 1sin (ln πx xx ； （6）⎰∞++1d 1)cos(ln x x x ； （7）⎰∞+--1d )21sin 1cos 1(x x x. 解：（1）1>p 收敛；（2）发散；（3）21<<p 收敛．（4）⎰∞++-1p d )11ln(x x x ⎰∞++-=1p d )121ln(x x，由比阶判别法推出1>p 收敛，1≤p 发散． （5）⎰20d sin ln πx x ．瑕点0=x ．0sin ln lim 21=+→x x x 收敛．118⎰20d sin ln 1πx x ．瑕点2π=x ．因为-∞=--→x x x sin ln lim 202ππ，所以发散． 2.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）⎰∞+1d sin x x x； （2）⎰+∞+02d 1)sgn(sin x x x .解：取1,21==λp ，则1|sin |lim 21=+∞→x x x x ，从而⎰∞+1d |sin |x x x 发散， ),1[,4|)(|,cos 21cos 2d sin )(1+∞∈≤-==⎰u u F u x xxu F u ，故)(u F 在),1[+∞上有界.xx g 1)(=在),1[+∞上当+∞→x 时单调趋于0，由狄利克雷判别法知⎰∞+1d sin x x x 收敛.故⎰∞+1d sin x x x条件收敛.（2）,111lim ,11|1)sgn(sin |2222=++≤++∞→xx x x x x 取1,2==λp ，⎰⎰+∞+∞+=+020211d |11|dx x x x 收敛. 故⎰+∞+02d 1)sgn(sin x xx 绝对收敛. 3.讨论下列瑕积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）⎰π023d sin x xx； （2）xdx e x ln 0⎰+∞-. 解：（1）此瑕积分的瑕点为,0=x 取21=p 时，由 1sin lim 2321==+→x x x x λ，由比较判别法知⎰π023d sin x x x 收敛. （2）此瑕积分的瑕点为,0=x 该反常积分可改写为=⎰+∞-xdx e x ln 0+⎰-xdx e x ln 10xdx e x ln 1⎰+∞-其中xdx e xln 10⎰-为瑕积分，xdx e x ln 1⎰+∞-为无穷积分.①对于0|ln |lim ,ln 21010=-→-+⎰x e x xdx e xx x，由比较判别法知dx x e x |ln |10⎰-绝对收敛；②对于xdx e xln 1⎰+∞-，0|ln |lim 20=-→+x ex xx ，由比较判别法知dx x e x |ln |1⎰-绝对收敛.综上得xdx e x ln 0⎰+∞-绝对收敛.4.计算⎰1n d (lnx )x .解：记⎰⎰⎰--→→-=-===++111111n0])(ln |)(ln [lim )(ln lim d (lnx)αααααn n n nnI dx x n x x dx x x I ，因为110==⎰dx I ，故!)1()1(21n nI nI I n n n n -==-=-=-- .第二部分1191.求证⎰∞+1d sin x xx收敛，但是⎰∞+12d sin x x x发散. 证明：⎰⎰--=A A A x x x x x x x x 1211d cos cos d sin ．由于⎰∞+12d cos x xx收敛，所以 ⎰+∞→A A x xx 1d sin lim 存在，因此⎰∞+1d sin x x x收敛． 另一方面，⎰∞+12d sin x x x ⎰∞+=1d 21x x ⎰∞+-1d 22cos x xx ．其中前一个积分发散，后一个积分收敛，所以⎰∞+12d sin x xx发散．2.已知2d sin 0π=⎰+∞x x x ，求⎰∞+022d sin x x x . 解：)1(sin lim )1(sin d sin 2002022⎰⎰⎰-=-=+→+∞→∞+∞+a a x xd x xd x xx δδ xdx x x x x a a aa cos sin 21lim |]sin [lim 020⎰++→+∞→→+∞→+-=δδδδ 2)2(sin 21lim 00πδδ=+=⎰+→+∞→x xd x aa . 3.若dx x f a⎰+∞)(收敛且存在极限A x f x =+∞→)(lim ，则0=A .证明：由不妨设)0()(lim >=+∞→A A x f x ，取2A=ε，则存在0>M ，当M x >时有 2)(Ax f >.故dx A dx x f u a u a ⎰⎰>2)(，dx Adx x f u a u u a u ⎰⎰+∞→+∞→>2lim )(lim ，即+∞=>⎰⎰+∞+∞dx Adx x f a a 2)(，与dx x f a ⎰+∞)(收敛矛盾，因此0=A . 4.证明：若dx x f a⎰+∞)(绝对收敛，且0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f a⎰+∞)(2必定收敛.证明：由已知0)(lim =+∞→x f x ，即当+∞→x 时， 0>'∃x ，当x x '≥时，相应的)(x f 总在0～1之间，此时必有|)(|)(2x f x f ≤. 由比较判别法知dx x f a ⎰+∞|)(|收敛，则dx x f a⎰+∞)(2收敛.5.（复旦大学）讨论反常积分⎰∞+-+011dx xx p 的敛散性. 解：当1≥p 时，对任意),1[+∞∈x ，有x x x p +≥+-1111，而⎰+∞+111dx x发散，故⎰∞+-+111dx x x p 也发散，从而⎰∞+-+011dx xxp 发散. 当1<p 时，对任意),1[+∞∈x ，有221110---<+=+<p p p x xx x x x ，而⎰+∞-12dx x p 收敛，故⎰∞+-+111dx x x p 收敛，又⎰+-1011dx x xp 存在，故⎰∞+-+011dx xx p 收敛. 6.（北京大学1992）讨论瑕积分⎰-101ln dx xx的敛散性.120解：因为01ln lim 210=-+→x x xx ，其中21=p ，由柯西判别法的极限形式⎰-101ln dx x x 收敛.7．（北京航天航空大学）判断积分⎰+∞++1)]d x11-)11[ln(x x 的敛散性.解：对),1[+∞∈∀x ，有21)1(111111)11ln(0x x x x x x x ≤+=+-≤+-+≤再由⎰+∞12d 1x x收敛知⎰+∞++1)]d x 11-)11[ln(x x 收敛. 8.（北京大学）证明反常积分)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x xp是收敛的. 证明：因为dx x xdx x x dx x x pp p ⎰⎰⎰∞+∞++++=+12102021sin 1sin 1sin ，故只需证明 dx x xp ⎰∞++121sin 收敛即可.记)1(1)(,sin )(2p x x x g x x x f +==，则对任意1>u1|1cos cos |21|sin ||)(|2121≤-==⎰⎰u dx x x dx x f u u ，)(x g 在),1[+∞上单调递减且 0)1(1lim )(lim =+=+∞→+∞→p x x x x x g ，故由狄利克雷判别法知dx x x p ⎰∞++121sin 收敛，从而)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x x p 是收敛的.9.设)(),(),(x h x g x f 是定义在),[+∞a 上的连续函数，且成立不等式)()()(x h x f x h ≤≤.证明：（1）若dx x h a⎰+∞)(与dx x g a⎰+∞)(都收敛，则dx x f a⎰+∞)(也收敛.（2）又若=⎰+∞dx x h a)(A dx x g a=⎰+∞)(，则A dx x f a=⎰+∞)(.证明：由已知)()()(x h x f x h ≤≤，a u >∀有≤⎰dx x h u a)(dx x f ua⎰)(dx x g ua⎰≤)(（1）若dx x h a⎰+∞)(与dx x g a⎰+∞)(都收敛，即dx x h uau ⎰+∞→)(lim及dx x g uau ⎰+∞→)(lim存在，由夹逼定理有dx x f uau ⎰+∞→)(lim也存在，即dx x f a⎰+∞)(也收敛.（2）又若=⎰+∞dx x h a)(A dx x g a=⎰+∞)(，则=⎰+∞→dx x h uau )(lim A dx x g uau =⎰+∞→)(lim，夹逼定理有=⎰+∞dx x f a)(A dx x f uau =⎰+∞→)(lim.。

第十一章 反常积分课后习题全解§1 反常积分概念1.讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值： （1）2.x xe dx +∞-⎰； （2）2x xe dx +∞--∞⎰;(3)0+∞⎰dx; (4) 20(1)dx x x +∞+⎰; (5)2445dxx x +∞-∞++⎰; (6) sin ;0x e xdx -+∞⎰(7)sin ;xe xdx +∞-∞⎰ (8)0+∞⎰解：（1）由于22211(1),lim 0022x u x u u u xe dx e xe dx ---→+∞=-=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为12（2）由于222001(1),lim 02x u x u xe dx e xe dx u u ---→-∞=--=⎰⎰则222000x x x xe dx xe dx xe dx ---+∞+∞=+=-∞-∞⎰⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为0（3）由于2(1lim 2u u u →+∞==⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为2（4）由于221(ln ||),lim 1ln 211(1)1(1)u u u dx xdx x x x x x x →+∞=-+=-+++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为1-ln2（5）22lim 004454454u u dx dx x x x x π→+∞+∞==++++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为4π（6）由于11sin [1(sin cos )],lim sin 0022x ux u u u e xdx u u e e xdx ---→+∞=-+=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且积分为12（7）1sin lim sin lim [1(sin cos )]02x x u u u e xdx e adx u u e →+∞→+∞+∞===-=∞⎰则0sin sin sin 0x x xe xdx e adx e xdx +∞+∞=+=∞-∞-∞⎰⎰⎰所以该无穷不收敛（8）由于ln |limu uuu →+∞=+=+∞⎰⎰所以该无穷积分分散2．讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值 （1）()p b dx a x a -⎰； （2）2101dxx -⎰；（3）2⎰； （4）1⎰；（5）1ln ;0xdx ⎰ （6）;⎰（7）1⎰ （8）10(ln )p dxx x ⎰解：（1） 被积函数f(x)=1()px a -在（a,b ）上连续，从而在任何[u,b]⊂(a,b)上可积，x=a 为其瑕点，依定义2求得lim ()()p pu a b b dx dxa u x a x a →+=--⎰⎰而1()111lim{()Pb a p p p pu a bdxu x a --<-∞≥→+=-⎰ 当P<1时，该遐积分收敛至1()1pb a p---；当P ≥1时，该瑕积分发散（2） 该积分函数f(x)=211x-在[0，1]上连续，从而在任何[0,u]⊂[0,1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2求得221111lim lim [ln(1)ln(1)]00112u u u dx dx u u x x --→→==+--=+∞--⎰⎰因此该瑕积分发散（3） 被积函数[0，1]∪（1，2）上连续,x=1为其瑕点，依定义2得1111lim lim lim(22u u u u u ---→→→===-=⎰⎰⎰111222lim lim lim(221u u u +++→→→===-=⎰⎰⎰则21241=+=⎰⎰⎰，瑕积分收敛（4） 被积函数[0，1]上连续，从而在任何[0，u]⊂[0，1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2得111lim lim(11u u u--→→===⎰⎰（5） 被积函数f(x)=lnx 在（0，1）上连续，从而在任何[u ，1]⊂（0，1）上可积，x=0为其瑕点，依定义2得0011ln lim ln lim[1(ln 1)]10u u xdx xdx u u u ++→→==---=-⎰⎰ 因此该瑕积分收敛至-1（6） 令2sin ,[0,],2x t t π=∈则22sin(1cos2)2t t dtππ==-=⎰⎰（7）令2sin,[0,],2x t tπ=∈则21220002dtπππ===⎰⎰⎰（8）被积分函数f(x)=1(ln)px x在（0，1）连续,x=0，1为其瑕点，因1111220001lim lim[(ln2)(ln)](ln)(ln)1p pp puu udx dxux x x x p+--→+→==--=∞-⎰⎰因此该瑕积分分散§2 无穷积分的性质与收敛判别（教材上册P275）1．证明定理11.2及其推论1解：（1）定理11.2的证明;由()g x dxa+∞⎰收敛，根据柯西准则，任给ε>0,存在G≥a,当21u u>>G时，总有21|()|uug x dxε<⎰2211|()|()||()|||()|u uu uf xg x f x dx g x dxε≤⇒≤<⎰⎰在由柯西准则，证得|()|f x dxa+∞⎰收敛（2）推论1的证明：（ī）|()|lim,()0()xf xC g xg x→+∞=>⇒取2cε=，存在M>0,当x>M时，有30()|()|()22c Cg x f x g x<<<<+∞3|()|(),2f x Cg x<由定理11。