第三章基础知识测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛掷一只骰子，落地时向上的点数是5的概率是( ) A.13 B ．14C.15 D ．16[答案] D[解析] 掷一次骰子相当于做一次试验，因为骰子是均匀的，它有6个面，每个面朝上的机会是均等的，故出现5点的可能性是16.2．下列结论正确的是( )A ．事件A 的概率P (A )必有0<P (A )<1B ．事件A 的概率P (A )＝0.999，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其明显疗效的可能性为76%D ．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 [答案] C[解析] A ，B 明显不对，C 中，380÷500＝76%，正确．D 中，购买此券10张，可能一张也不中奖．3．两根电线杆相距100 m ，若电线遭受雷击，且雷击点距电线标10 m 之内时，电线杆上的输电设备将受损，则电线遭受雷击时设备受损的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.05D ．0.5 [答案] B[解析] 概率P ＝10×2100＝0.2.4．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A.13 B ．17C.310 D ．710[答案] C[解析] 这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P ＝(10，13)的区间长度(10，20]的区间长度＝310.5．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到卡片是7的倍数的概率是( ) A.750 B ．7100C.748 D ．15100[答案] A[解析] 令1≤7k ≤100(k ∈Z )，则17≤k ≤1427，所以k ＝1,2，…，14.即在1～100中共有14个7的倍数，故所求概率P ＝750.6．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.5 cm 为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：A.580 B ．780C.1720 D ．320[答案] D[解析] P ＝5＋75＋68＋7＝320.7．(2014·辽宁文，6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2 B ．π4C.π6 D ．π8[答案] B[解析] 总面积2×1＝2. 半圆面积12×π×12＝π2.∴p ＝π22＝π4.8．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( ) A.12 B ．14C.34 D ．1[答案] C[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为34.9．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15 [答案] B[解析] 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25.10．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )A.16 B ．13C.23 D ．45[答案] C[解析] 本题考查几何概型问题． 由题意如图知点C 在C 1C 2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm 2, ∴P ＝812＝23.注意几何概型用长度刻画．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.4和0.35，那么黑球共有________个．[答案] 25[解析] 可求得摸出黑球的概率为1－0.4－0.35＝0.25，袋中共有100个球，所以黑球有25个． 12.如图所示，在一个边长为a 、b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b .向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．[答案]512[解析] S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )·b ＝512ab ，故所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512.13．(2014·广东文，12)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． [答案] 25[解析] 本题考查古典概型．基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )(c ，e )，(d ，e )共10个，含a 的有4个，故概率为410＝25.写全基本事件个数是解决问题的关键．14．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________． [答案]925[解析] 以(x ，y )为基本事件，用列表法或坐标法可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.15．有5根木棍，它们的长度分别是3,4,6,7,9，从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是________．[答案]710[解析]从长度为3,4,6,7,9的5根木棍中任取3根，基本事件总数为10，其中事件“不能构成三角形”用A表示，有长度为3,4,7；3,4,9；3,6,9的三种情况，所以P(A)＝310，故P(A)＝1－P(A)＝710.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：(1)(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？[解析](1)填表如下：(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.17．(本小题满分12分)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)所得点数之和是3的概率是多少？(3)所得点数之和是3的倍数的概率是多少？[解析](1)先后抛掷两枚骰子，第一枚骰子出现6种结果，对其每一种结果，第二枚又有6种可能结果，于是一共有6×6＝36(种)不同的结果．(2)所得点数之和为3记为事件A，共有两种结果：“第一枚点数为1，第二枚点数为2”和“第一枚点数为2，第二枚点数为1”，故所求概率为P(A)＝236＝118.(3)第一次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第二次抛掷时都可以有两种结果，使两次向上的点数和为3的倍数(例如第一次向上的点数为4，则当第二次向上的点数为2或5时，两次的点数之和都为3的倍数)，于是共有6×2＝12(种)不同的结果．因为抛掷两枚骰子得到的36种结果是等可能出现的，记“向上的点数之和是3的倍数”为事件概率为P (B )＝1236＝13.B ，则事件B 的结果有12种，故所求的18．(本小题满分12分)某城市为了发展地铁，事先对地铁现状做一份问卷调查，为此，成立了地铁运营发展指挥部，下设A ，B ，C 三个工作组，其分别有组员24人、24人、12人．为搜集意见，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个工作组抽取5名工作人员来完成．(1)求从三个工作组分别抽取的人数；(2)问卷调查搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这2名工作人员没有A 组工作人员的概率.[解析] (1)三个工作组的总人数为24＋24＋12＝60， 样本容量与总体中个体数的比为560＝112，所以从三个工作组分别抽取的人数为2,2,1.(2)设A 1，A 2为从A 组抽得的2名工作人员，B 1，B 2为从B 组抽得的工作人员，C 1为从C 组抽得的工作人员．若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所有可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有10种，其中没有A 组工作人员的结果有(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有3种，所以所求的概率P ＝310. 19．(本小题满分12分)设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，试求方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率．[解析] 基本事件总数的区域A 的测度为正方形的面积，即A 的测度＝62＝36. 由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0， ∴p 2＋q 2≥1.∴当点(p ，q )落在如右图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，区域B 的测度＝S 正方形－S ⊙O ＝36－π，∴原方程两根都是实数的概率是P ＝36－π36.20．(本小题满分13分)设x ∈(0,4)，y ∈(0,4)．(1)若x ∈N *，y ∈N *，以x ，y 作为矩形的边长，记矩形的面积为S ，求S <4的概率； (2)若x ∈R ，y ∈R ，求这两数之差不大于2的概率．[解析] (1)若x ∈N *，y ∈N *，则(x ，y )所有的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9个，满足S <4的(x ，y )所有的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)共5个，故S <4的概率为59.(2)所有结果的区域为Ω＝{(x ，y )|0<x <4,0<y <4}，两数之差不大于2的所有的结果的区域为A ＝{(x ，y )|0<x <4,0<y <4，|x －y |≤2}，则P (A )＝42－2242＝34.21．(本小题满分14分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排1人，每人最多排一天)．(1)一共有多少种安排方法？(2)其中甲、乙2人都被安排的概率是多少？ (3)甲、乙两人中至少有1人被安排的概率是多少？[解析] (1)用“甲乙”表示安排甲担任周六值班任务，安排乙担任周日值班任务，则所有的安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，共有12种安排方法．(2)由(1)知在甲、乙、丙、丁4人中安排2人的结果是有限个，属于古典概型．甲、乙2人都被安排的情况包括：甲乙，乙甲，共2种，所以甲、乙2人都被安排(记为事件A )的概率P (A )＝212＝16.(3)方法一：“甲、乙2人中至少有1人被安排”与“甲、乙2人都不被安排”这两个事件是对立事件，因为甲、乙2人都不被安排的情况包括：丙丁，丁丙，共2种，则甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16，所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B )的概率P (B )＝1－16＝56.方法二：甲、乙2人中至少有1人被安排的情况包括：甲乙，甲丙、甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10种，所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B )的概率P (B )＝1012＝56.。
