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(word完整版)2初一数学寒假专题2(分类讨论)

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初中数学思想和解题方法专题 一、学习指引 1．知识要点： 数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程思想 2．方法指引： （2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况 予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分 类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类 的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分 重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分 讨论应逐级进行． 二、分类讨论

教学设计： 一、情境引入 1、一张桌子有四只角，砍掉一只角后，还剩几只角？ 实际上，砍去一只角后可能出现多种情况，我们需分类讨论，列出种种情况，再决定取舍. 2、人们清点钞票时通常先将钞票分类，把相同面值的钞票放在一起；商场里的商品也总是分类摆放；同学们交作业时也是分学科上交…… 教师介绍分类讨论思想：当我们所要研究问题的结果有多种情形，而不能归结到同一种模式下的时候，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出问题在各种情况下相应的结论，最后将各种结论进行汇总，这种处理问题的方法就是分类讨论思想.分类是研究问题的常用方法，通过分类，可以使复杂的问题变得简单明了，易于解决. 二、典例讲解 1 、与有理数集相关的分类讨论

例1将下列各数填入相应的集合内：－3，7．2，－65，0，0．02，－1，10，－0．5 分数集合： ｛ …｝， 非负的整数集合：｛ …｝． 点拨：分数集合应注意包括正分数和负分数，部分学生易只填正分数而忽略了负分数。非负的整数集合体现了两种分类标准的重叠，既要满足符号的非负性，又要满足整数的要求。因此应填0，10 例2计算)16()18()14()26( 解：原式=)16()14()18()26( =14)30(44 点拨：此题是根据各个加数的特点，分成正数和负数，把正数和正数相加，把负数和负数相加，使计算更简便. 例3 一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？ 分析：我们知道，对于范围在0到1之间的小数而言，这些数的平方是小于、等于数字本身的；而对于大于1的数，它们的平方是大于这些数本身的．由于题目中所给数的范围没有明确出来，因而我们无法确定这个数的平方与它的绝对值（我们可以看做是这个数的正值）的大小，所以需要分情况进行讨论．亦可辅助数轴进行讨论. 解：分类的思想是先讨论特殊点，再讨论其他的范围． 不妨设这个数为a. （1）当a=±1或a=0时，此时│a│＝1或0时，有 a2=│a│； （2）当a＞1或a＜－1时，此时│a│＞1，有 a2＞│a│； （3）当－1＜a＜0或0＜a＜1时，此时0＜│a│＜1，有a2＜│a│. 点评：利用分类讨论思想，再借助于数轴，就可以是取值范围不重不漏． 2、与数轴相关的分类讨论.

数轴上的点到原点的距离是非负的，但位置可能在原点的左侧或右侧，因此涉及到与距离有关的题目

时应注意分类讨论。 例1 点A在数轴上距原点2个单位，将A点向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A点表示的数是 . 点拨：点A可能在原点的右侧，也有可能在原点的左侧，因此有两种情况，应填0，4两个数.部分学生往往只考虑点A在原点右侧的一种情况，忽略另一种情况，原因是没有分类讨论的思想，或不习惯分类讨论. 例2.A为数轴上表示 –1的点,将点A沿数轴平移3个单位到点B,则点B所 表示的数为( )

A.3 B.2 C.-4 D.2或-4

3、与绝对值相关的分类讨论. 应用绝对值的代数意义去掉绝对值符号时，如果不知道绝对值内的式子（或数）的符号，一定要进行分类讨论。 例1 绝对值不大于10的整数有 个. 点拨：整数包括正整数、零、负整数，不大于10是指小于等于10，除了从0到10共11个整数的绝对值不大于10外，从10到1共10个整数的绝对值也不大于10，因而从10到10的所有整数都符合要求，正确答案应是21. 部分学生只考虑正整数、零，而忘记负整数，因而答案错误，究其原因仍是不具备分类讨论的思想，考虑问题不全面.

例2 如果a、b、c是非零有理数，求ccbbaa的值 点拨：要去掉绝对值符号，需要对a,b,c的符号分别进行讨论：当a,b,c全为正数时等于3；当a,b,c两正一负时（包括三种情况）等于1；当a,b,c两负一正时（包括三种情况）等于﹣1；当a,b,c全为负数时等于﹣3，所以正确答案是﹣1，1，﹣3，3.一些学生容易忽略对a,b,c进行讨论或讨论部全面. 例3 |a|＝5，|b|=3,求a+b的值 分析：由绝对值的意义得知，a=5或-5，b=3或-3，因此a+b的值对应由四种情况. （1）当a=5，b=3时，a+b=8； （2）当a=-5，b=3时，a+b=-2； （3）当a=5，b=-3时，a+b=2； （4）当a=-5，b=-3时，a+b=-8； 所以a+b的值为8，-8，2或-2. 点拨：当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，就要按可能出现的所有情况分别进行讨论，得出相应的结论，特别注意讨论所分的各种情况要不重不漏，不互相矛盾. 例 4 解方程：|x-1|=2

分析：(注意：绝对值为2 的数有2个)

练习 1、解绝对值方程 |x+5|+2=5

2、已知4,xy14，且0xy，则xy的值等于_____. 3、 已知||3,||2,0,xyxyxy且则_______. 4、已知的值，求的绝对值为互为倒数，互为相反数，且、smnbasnmabba3,,0

5、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的平方是4，求200920082)()()(cdbaxcdbax 6、 已知：7,3yx，求yx的值=___________。

7、已知a为有理数且a0，则+aa2=________ 变式1、、已知a、b均为不等于0的有理数，则代数式ababbbaa的值为 ；

变式2、求代数式aabbabab2的值为___________ 变式3、若ccbbaaabc32,0的所有可能值是__________ 点拨：合理分类是解决这类题的关键 例5 计算：xx31。 思维指导 因无法知道x的大小而不能去掉绝对值的符号，因此，在这里借助各绝对值为零的“零值点”来进行分段讨论，以达到去掉绝对值符号的目的。 解：当01x，03x时，1x，3x。 在数轴上表示-1和3的点把数轴分为了三段二点，因此， ⑴ 当x＜-1时，原式=-(x+1)+(3-x)=-x-1+3-x=-2x+2； ⑵ 当-1≤x＜3时，原式=x+1+3-x=4； ⑶ 当x≥3时，原式=x+1-（3-x）=x+1-3+x=2x-2。 注 对于含有绝对值的算式的计算、化简等，都必须取各个绝对值为零时的“零值点”，把数轴分成几个部分，对每一部分的取值进行分类计算、化简，求得在各部分的值或算式。

4、与乘方相关的分类讨论.

在研究有理数的乘方时，引导学生按照正数，零和负数的分类进行讨论。负有理数乘方的符号则需从偶次方和奇次方来考虑. 例7 如果22)3(a，则a . 分析：由于正、负数的偶次幂都是正数，且互为相反数的两数的相同偶次幂相等，所以遇到幂的指数是偶数，要考虑到底数可能是两种情况. 由于等式左边等于9，右边也应是9，而932，9)3(2，所以应填3，3.若两种情况只考虑到一种，缺乏的仍是分类讨论思想. 5、与几何相关的分类讨论 几何是一门以图形为其探究对象的学科，它主要研究图形的形状、大小及位置关系，分类讨论思想在几何中的应用非常广泛。在几何计数问题中,如数线段或角,也常用分类讨论的方法。按照各部分是否在同一平面内将几何图形分为立体图形和平面图形，使学生接触了几何图形的分类，拓展了学生对几何图形的认识。 直线的位置不确定引发的分类讨论 例1平面内有三条直线,它们可能有几个交点? 分析:此题是一道分类讨论题,在解答中应先确定位置关系,再找交点个数①当a∥b∥c时没有交点;②当a、b、c交于同一点时,有一个交点;③当其中的两条直线平行时,有两个交点;⑧当三条直线两两相交时,有三个交点.故交点个数可能为:零个,一个,两个,三个. 线段及端点位置的不确定性引发分类讨论。

例2已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。

练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长. 解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上

A B C1 C2 NMABC NMABC

例3下列说法正确的是（ ） A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。 B、 两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

角的一边不确定性引发讨论。 例4在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）

CNM

AO

B

CNMAOB [练习] 已知oAOB60,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC，射线OD平分BOC，求DOE

的大小。 （1）射线OC在AOB内 （2）射线OC在AOB外

BA

OCE

D B

AED

O

C

这两种情况下，都有ooAOB60DOE=3022 小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然AOC的大小不确定，但是所求的DOE与AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。

练习： 1、如果A、B、C在同一条直线上，线段AB=6 cm，BC=2 cm，则A、C两点间的距离是（ ） A、8 cm B、4 cm C、8cm或4cm D、无法确定 变式1：如果在同一条直线上顺次截取A、B、C，线段AB=6 cm，BC=2 cm，则A、C两点间的距离是（ ） 变式2、线段AB=6 cm，BC=2 cm，则A、C两点间的距离是（ ） A、8 cm B、4 cm C、8cm或4cm D、无法确定 2、已知A、B、C三点共线，线段AB=60，M为其中点，线段BC=28，N为其中点，求MN的长。(2)如果设AB=a，BC=b，表示出MN的长

3、已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，求AM

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七年级数学寒假作业2

七年级数学寒假作业2

故答案为：9或-3．
【点睛】本题考查了绝对值方程，解题的关键是掌握相关计算方法．
8．甲经A到乙，两点之间，线段最短
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【详解】由图可得：最短的路线为甲经A到乙，因为两点之间，线段最短．
故答案为甲经A到乙；两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
寒假作业2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．右图是某个几何体的展开图，该几何体是（）
A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥
2．如图，已知 ， ，则 的度数为()
A． B． C． D．
3．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c．已知AB＝8，a＋c＝0，且c是关于x的方程（m－4）x＋16＝0的一个解，则m的值为（ ）
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
2．B
【分析】根据∠AOC和∠BOC的度数得出∠AOB的度数，从而得出答案．
【详解】∵∠AOC=70°，∠BOC=30°，
∴∠AO=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°．
故选：B．
4．B
【分析】根据题意作出图形，即可进行判断．
【详解】将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，可得到圆锥，
故选：B．
【点睛】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
5．B
【分析】先进行度、分、秒的乘法除法计算，再算减法．
【详解】
．
故选：B．
寒假作业2

寒假作业2

实验中学初一寒假作业2——实数班级 姓名概念梳理：知识点一：实数及其分类1．实数： 和 统称为实数.2．有理数：能精确地表示为两个 之比的数叫做有理数. 有理数包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数. 如2、-3、31等都为有理数.3．无理数： 叫做无理数. 4．有理数的分类①按有理数的“定义”分类 ②按数的“正负性”分类从实数－2，－31，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ） A.－31，0 B. л，4 C.－2，4 D.－2，л 1．在实数0，1，2，0.1235中，无理数的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 2．把下列各数填入相应的大括号里. 1，51-，π，3-，3.6，9，38-，50%，2010. 整数集：{ …} 有理数集：{ …} 无理数集：{ …}.知识点二：实数的有关概念及性质 1．数轴（1）数轴的三要素： 、 和 . （2）实数与数轴上的点建立了 的关系.（3）数轴上点的大小比较：数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数. 2．相反数（1）求法：a 的相反数是 .如：5的相反数是-5. （2）性质：若a 与b 互为相反数，则=+b a ，=ba)0(≠b . 3．倒数（1）求法：a 的倒数是 .如：6的倒数是61. （2）性质：若ab 互为倒数，则=ab . 4．绝对值 求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的 ，0的绝对值是0.即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,,0,0,0,a a a a a a .如：22=-.-3的相反数是（ ）A.3B.-3C.31D.31-1．2的相反数是（ ） A.2B.2-C.21D.21-2．2的倒数是（ ） A.21 B.21- C.21± D.2 3．-2010的绝对值是（ ） A.-2010 B.2010 C.20101- D.20101习题操练： 选择题：1． 在实数中Л,－25,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有（ ）（A）1 个（B）2个（C）3个（D）4个2．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数3．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（）（A）x＋3 （B）－x－3 （C）－x＋3 （D）x－34．下列说法正确是（）A.有理数都是实数B.实数都是有理数C.带根号的数都是无理数D.无理数都是开方开不尽的数判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）（3）两个无理数之和一定是无理数；（）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是－1；（）（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－227,0，º,－9 ,－3－18, －Л2,8 , ( 2 － 3 )0，3－2，,1.2121121112．．．．．．中无理数｛｝负分数｛｝整数｛｝非负数｛｝3．已知1<x<2，则|x －3|+(1-x)2等于（ ）（A ）－2x （B ）2 （C ）2x （D ）－2选择题： 1．下列语句正确的是（ ）（A ）无尽小数都是无理数（B ）无理数都是无尽小数 （C ）带拫号的数都是无理数 （D ）不带拫号的数一定不是无理数。

初一数学寒假作业(2)

初一数学寒假作业(2)

初一数学寒假作业（2）一、选择题（本大题共有8小题．共24分）1．下列各组代数式中，是同类项的是( )aA ．5x 2y 与15xy B ．－5x 2y 与15yx 2 C ．5ax 2与15yx 2 D ．83与x 3Y 2．右图中表示阴影部分面积的代数式是( )aA ．ab ＋bc hB ．c(b －d)＋d(a －c)PC ．ad ＋c(b －d)6D ．ab －cd y3．下列运算正确的是( )aA ．－2(3x －1)=－6x －1B ．－2(3x －1)=－6x ＋1C ．－2(3x －1)=－6x －2D ．－2(3x －1)= －6x ＋24．当x 分别等于2或－2时，代数式x 4－7x 2＋1的两个值( )aA ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．不同于以上答案5．随着计算机技术的迅速发展，电脑价格不断降低．某品牌电脑按原价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原价为( )aA ．（45n ＋m ）元B ．（54n ＋m ）元 C ．（5m ＋n ）元 D ．（5n ＋m ）元 6．已知整式x 2－52x ＝6，则2x 2－5x ＋6的值为( )a A ．9 B ．12 C ．18 D ．247．张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足( )a A ． a=2b B ．a=3b C ．a=b D ．a=4b A8．某商店在甲批发市场以每包m 元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n 元(m>n)的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包2m n 元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店( )aA ．盈利了B ．亏损了C ．不赢不亏D ．盈亏不能确定 二、填空题（本大题共有6小题．共18分）9．若－5ab n －1与13a m －1b 3是同类项，则m ＋2n ＝ ． 10．已知船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为3 km/h(x>3)，A 、B 两地相距s km ，则在A 、B 两地间往返一次共需 h ．11．代数式x 2－x 与代数式A 的和为－x 2－x ＋1，则代数式A ＝ ．12．已知m 2－mn ＝2，mn －2n 2＝5，则3m 2＋2mn －10n 2－4＝ ．13．a 、b 互为倒数，x 、y 互为相反数，且y≠0，则（a ＋b ）(x ＋y)－ab －x y的值是 ． 14．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b ﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（﹣1，3）放入其中，得到实数m ，再将实数对（m ，1）放入其中后，得到实数是 ．三、 解答题（本大题共有5题．共58分）15．（每题5分，共15分）合并同类项．（1） (5a －3b)－3(a 2－2b)； （2） 2x －[2(x ＋3y)－3(x －2y)] （3）3(3a 2－2ab)－2(4a 2－ab)16．（每题6分，共12分）化简并求值．（1）4（x －1）－2(x 2＋1)－12(4x 2－2x)，其中x ＝－3．（2）3x 2+2xy －4y 2－2(3xy －y 2－2x 2)，其中x=1，y=－2；17．（本题10分）已知有理数a 、b 、c 满足①()253220a b ++-=；②212a b c x y -++是一个7次单项式；求多项式a 2b －[a 2b －(2abc －a 2c －3a 2b)－4a 2c]－abc 的值．18．（本题10分）已知代数式2x 2＋ax －y ＋6－2bx 2＋3x －5y －1的值与字母x 的取值无关， 求13a 3－2b 2－14a 3＋3b 2的值．19．（本题11分）定义一种对于三位数abc （a 、b 、c 不完全相同）的“F 运算”：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数宁为零）．例如abc ＝213时，则（1）求579经过三次“F运算”的结果（要求写出三次“F运算”的过程）；（2）假设abc中a>b>c，则abc经过一次“F运算”得（用代数式表示）；（3）若任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值，那么任意一个四位数也经过若干次这样的“F运算”是否会得到一个定值，若存在，请直接写出这个定值，若不存在，请说明理由。

1初一数学寒假专题1(分类讨论)学生用

1初一数学寒假专题1(分类讨论)学生用

初一数学寒假专题1——分类讨论【典型例题】例1：在直线AB上取点C，已知AB＝8㎝，BC＝2㎝，求AC。

分析：作图是其中的关键。

C点在直线AB上，但是C点是否取在A、B之间没有确定，要分情况讨论。

情况1：C点在AB之间，可知，AC＝AB－BC＝8－2＝6（㎝）。

情况2：C点在AB之外，可知AC＝AB＋BC＝8＋2＝10（㎝）。

例2：已知互为相反数，互为倒数，，求的值。

分析：，则，分两种情况：解：（1）当时，原式＝0－1＋2＝1（2）当时，原式＝0－1－2＝－－3例3：表示有理数，那么一定小于吗？分析：是有理数，有三种可能：正数、0、负数。

对三种情况分别讨论。

解：①时，②时，③时，。

例4：比较与的大小。

分析：与都为正数，由加法法则，可知比和都大。

化简，要判断符号。

由加法法则可知，有5种情况：①同号；②异号且负数绝对值较大；③异号且正数绝对值较大；④互为相反数；⑤中一数为0。

分别讨论，情况①＝情况②<情况③<情况④<情况⑤＝综合以上情况，则练习1、将下列各数填入相应的括号内。

正数集合｛｝负整数集合｛｝整数集合｛｝有理数集合｛｝2、已知，，则的最大值为。

3、若，则（填>、<或＝）4、，则0（填<、>或＝）。

5、若，且，那么0（填<、>或＝）。

6、若，则（填<、>或＝）8、，则0。

9、三条直线两两相交有个交点。

10、的倒数是，相反数是绝对值是。

11、两个数的积是负数，则（）A. 两个数都是负数B. 一个数是负数，一个数是正数C. 至少有一个数是负数D. A或B12、如果有理数的倒数的绝对值分别是3和2，那么的值是（）A. 是B.C. 是D. 或13、两个数的积是零，下列判断中正确的是（）A. 两个数都是零B. 其中只有一个数是零C. 至少有一个数是零D. 一个数不小于零，另一个数不大于零14、若为正整数，那么的结果是（）A. 0B.C.D. 或15、16、化简 17、。