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波动率预测:GARCH模型与隐含波动率①郑振龙1 黄薏舟2(11厦门大学金融系;21新疆财经大学)【摘要】在预测未来波动率时,究竟是基于历史数据的时间序列模型还是基于期权价格的隐含波动率模型效率更高?本文对香港恒生指数期权市场所含信息的研究发现,在预测期限较短(一周)时,GA RCH(1,1)模型所含信息较多,预测能力最强,但在预测较长期限(一个月)时,隐含波动率所含信息较多,预测能力较强。
同时,期权市场交易越活跃,所反映的信息就越全面,隐含波动率的预测能力也就越强。
关键词 隐含波动率 GARCH模型 信息含量中图分类号 F830 文献标识码 AV olatility Forecast:G ARCH Model vsImplied V olatility Abstract:It is an interesting questio n t hat which is more efficient in forecas2 ting t he f ut ure volatilities,t he time series models based on historical data or implied volatilities obtained directly f rom t he option prices1The st udy based on Hang Seng Index(HSI)optio ns suggest s t hat when t he forecast horizon is one week,t he GARC H(1,1)volatilities contains all information in implied volatilities,whilet he result is t he opposite and implied volatilities are more efficient in t he predictionof f ut ure volatilities when t he horizon is one mont h1The larger t he option t rading volume,t he more t he information contained in implied volatilities1K ey w ords:Implied Volatility;GARC H Model;Information Content引 言波动率在金融经济研究中是非常重要的变量,投资组合、资产定价、风险管理以及制定货币政策,都离不开波动率这一关键的变量。
组合预测模型包括估计的ARCH-type模型以及估计隐含波动率。
考虑到时间变量的期权价格公式来衡量，估计的隐含波动率的计算按年率计算。
为了使用连续的每日回报，其隐含波动率估计在组合预测模型转化为日常交易日估计和扩展到了理想的预测范围。
以下曼弗雷德等人公式变换上述年率估计为日常交易日的隐含波动率，它可以扩展到一个理想的预测范围（hr），在以下方程：（11）等式11，代表在时间t内交易速率在时期内的波动性预测。
符号代表在时间t内隐含波动率估计（年率）。
hr代表所需的预测范围。
考虑到每天的隐含波动率估计是按年率与每日数据计算，在等式中分子代表one-trading-day（换句话说，预测是为了下一个可用交易日），分母近似表示一年里的多个交易日数量。
为创造综合预测模型，有必要使用简单平均组合预测技术仅仅是在时间t内个人预测的平均值。
因此，每个波动预测的权重产生通过最小二乘法（最小二乘）回归过去已实现波动在各自的波动性的预测。
这个过程创建了权重为上述复合波动预测解释更加的详细。
这是可以观察以下方程：（12）代表在时间t内以实现的波动。
代表在一个周期t内个人的波动预测（k）相对应的已实现波动率。
因为它可以被观察到在这个方程，组合预测模型包括个人的平均波动性的预测时间t。
以下布莱尔，潘和泰勒（2001），已实现波动可以计算如下：（13）是已实现（事后）波动在时间t超过预测范围hr。
代表在时间周期T内平方日志返回。
重要的是指出，波动不是明显的。
已实现波动率是一个对真实波动率的“代理”。
然而，这种方法是最常用的波动性预测的研究。
因此，由此可以看出方程14产生的复合性预测变量与前边是相同的。
这个方程的组合预测模型是一个为期一天的波动性估计。
为创建一个以一个贸易日以上复合波动预测；即hr> 1，估计一天的复合波动预测（从方程14）乘以。
上述方法获得一天以上（h>1）的复合波动性预测是一种常见的做法在学术研究；然而，重要的是强调，另一个是获得预测波动的各个时期的预测区间（如从ARCH模型）。
ARCH模型和GARCH模型Robert F. Engle Clive W. J. Granger本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。
引子---问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。
但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。
例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，y t=y t-1+εt其中εt为白噪声过程，1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。
图1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)图3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图4 D(JPY)的平方 (1995-2000)这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。
（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。
（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
图5给出高峰厚尾分布示意图。
高峰厚尾分正态分布图5 高峰厚尾分布特征示意图显然现期方差与前期的“波动”有关系。
描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。
使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测y t或u t的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测y t的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。
§1、ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：条件方差或者波动率（Condition variance ，volatility ）定义为其中1t ψ-是信息集。
基于HMM-GARCH 模型的VaR 方法1.波动率模型及其估计方法1.1 GARCH 模型GARCH 模型是由Bollerslev 提出的，GARCH 模型是由ARCH 模型推广而来，是ARCH 模型一种更普遍的形式。
GARCH 模型是波动率研究中一个标准的方法，对金融时间序列中存在的一些重要的特征比较敏感，如波动的集聚性、时变性和波动的结构性转变等特点。
一般的GARCH 模型：212121102211jt q j j it p i i ttt t q j jt j t p i i t i t a a a a r r -=-==-=-∑∑∑∑++==-++=σβαωσεσϕφφ其中t r 表示金融时间序列，{}t ε是均值为0、方差为1的独立同分布随机变量序列，2tσ是条件方差，即条件波动率。
0,0,0≥≥>j i βαω，()()1,max 1<+∑=q p i i iβα（这里对0,=>i p i α，对0,=>j q j β）。
对i i βα+的限制条件是保证t a 的无条件方差是有限的，同时条件方差2t σ是随时间变化的。
通常假定t ε服从标准正态分布或标准化的学生-t 分布或广义误差分布。
密度函数如下：标准正态分布：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2222exp 21t t t t f σεπσε 学生ｔ分布：()()()21222212221+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=v t tt t v v v v f σεπσεＧＥＤ分布：()()[]()t v v v t tt v v f σλλσεε1221exp 1Γ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+，且()()()12312⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΓΓ=-v v v λ其中v 表示自由度。
1.2 MRS-GARCH 模型及其估计方法由于GARCH 模型在对波动率进行预测时，假设条件波动率在整个时期只有一个机制，没有考虑到突发事件和预期的改变等冲击可能会使影响金融资产价格的结构发生显著变化，前后往往表现出不同的特征，为了反映这种结构性变化，Hamilton 将马尔科夫状态转换方法引入波动率模型中，刻画了金融资产在不同状态下的特征及其转换行为。
