波动率的估计(ARCH模型)

在2002年12月27日之前，天然橡胶涨跌停板的规 定与铜、铝涨跌停板的规定一致，从2002年12月 27日开始，上海期货交易所对天然橡胶的涨跌停 板制度进行了调整，规定一般交易日天然橡胶涨 跌停板的幅度为上一交易日结算价的上下3%，但 如果第一个交易日的期货价格以涨（跌）停板价 收盘，则第二个交易日的涨（跌）停板幅度扩大 为上一交易日结算价的上下6%，如果前二个交易 日均以同向涨（跌）停板价收盘，则第三个交易 日的涨（跌）停板的幅度为上一交易日结算价的 上下6%，如果前三个交易日均以涨（跌）停板价 收盘，则第四个交易日的涨（跌）停板的幅度最 高可放大至20%。
波动率聚集（volatility clustering）
波动性不仅随t时间变化，而且总是在某一时间段 中连续出现偏高或偏低的现象； 在一般情况下，如果当期市场的波动率较高，则 在下一个时间段内的波动率将会变大或者维持原 有的较高的波动率，而且它会随当期收益率偏离 均值的不同程度，加强或减弱； 与之相反，如果当期波动率较小，则下一时间段 内的波动率也将减小。
另外，为比较需要，规定当第t个交易日的 收盘价与上一个交易日的结算价格之差达 到第t个交易日涨（跌）停板的幅度的75%， 但没有达到涨（跌）停板时，称该交易日 的收盘价格接近（但没有达到）涨（跌） 停板。
铜、铝的时间跨度从1997年1月2日至 2004年7月30日， 橡胶的时间跨度从1999年5月4日至2004 年7月30日。
2、涨跌停板制度
期货市场涨跌停板制度是由期货交易所设定 的，通常规定为上一交易日结算价上下一定 的幅度。 SHFE的风险控制管理办法规定：
铜、铝涨跌停板的幅度一般为上一交易日结算价 的上下3%， 如果第一个交易日的期货价格以涨（跌）停板价 收盘，则第二个交易日的涨（跌）停板幅度扩大 为上一交易日结算价的上下4%， 如果前二个交易日均以同向涨（跌）停板价收盘， 则第三个交易日的涨（跌）停板的幅度扩大为上 一交易日结算价的上下5%。 如果前三个交易日均以同向涨（跌）停板价收盘， 则第四个交易日的涨（跌）停板的幅度最高可放

波动率预测:GARCH模型与隐含波动率①郑振龙1　黄薏舟2(11厦门大学金融系;21新疆财经大学)【摘要】在预测未来波动率时,究竟是基于历史数据的时间序列模型还是基于期权价格的隐含波动率模型效率更高?本文对香港恒生指数期权市场所含信息的研究发现,在预测期限较短(一周)时,GA RCH(1,1)模型所含信息较多,预测能力最强,但在预测较长期限(一个月)时,隐含波动率所含信息较多,预测能力较强。

同时,期权市场交易越活跃,所反映的信息就越全面,隐含波动率的预测能力也就越强。

关键词　隐含波动率　GARCH模型　信息含量中图分类号　F830 文献标识码　AV olatility Forecast:G ARCH Model vsImplied V olatility Abstract:It is an interesting questio n t hat which is more efficient in forecas2 ting t he f ut ure volatilities,t he time series models based on historical data or implied volatilities obtained directly f rom t he option prices1The st udy based on Hang Seng Index(HSI)optio ns suggest s t hat when t he forecast horizon is one week,t he GARC H(1,1)volatilities contains all information in implied volatilities,whilet he result is t he opposite and implied volatilities are more efficient in t he predictionof f ut ure volatilities when t he horizon is one mont h1The larger t he option t rading volume,t he more t he information contained in implied volatilities1K ey w ords:Implied Volatility;GARC H Model;Information Content引 言波动率在金融经济研究中是非常重要的变量,投资组合、资产定价、风险管理以及制定货币政策,都离不开波动率这一关键的变量。

从深证综指收益率的自相关图可知:深证综指收益率与 滞后1 阶、4 阶相关性相对较强，因此，应建立深证综指 日收益率的自回归模型对深证综指收益率进行修正。 Quick-series statistics-correlogram
平稳性检验结果
单位根检验
均值方程估计
由上述自相关（偏自相关）检验可知， 应建立一个AR（4）模型。 即：Rt =a1Rt-1 +a2Rt-4 +ut 命令： LS R R(-1) R(-4)
（1）ARCH 模型 均值方程 xt = 0 + 1 xt -1 + 2 xt -2 + … + p xt - p + ut t2 = E(ut2) = 0 + 1 ut -1 2 + 2 ut -22 + … + q ut - q2 （2）GARCH 模型 方差方程 xt = 0 + 1 xt -1 + 2 xt -2 + … + p xt - p + ut t2 = 0 + 1 ut –1 2 + 1 t -12 （3）TGARCH 模型 t2 = 0 + 1 ut –1 2 + ut –1 2 dt –1 + 1 t -12
方差方程估计——GARCH模型
GARCH（1，1）模型是指含有一个ARCH项，一个GARCH项。 即： 2 2 2 σ t =α0+αu t-1 +βσ t-1
σ t =0.0001+0.0846u
（1.9870）（2.3376）
2
2 t-1
+0.7788σ
2 t-1
（8.6083）

returet 1 2 t t2 ut
t2 1ut21 put2 p 1 t21 q t2q
13 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为ARCH-M模型。
§18.2 在EViews中估计ARCH模型
1
自 回 归 条 件 异 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。 因变量的方差被作为因变量的滞后值和自变量或外生变量的函数来建立 模型。 ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R .)提出，并由博勒斯莱文 (Bollerslev T., (Bollerslev, T 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)—— ARCH) 广义自回 归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金 融时间序列分析中。 融时间序列分析中 按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差 性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？ 会是怎样出现的？
二、方差方程
在Variance Regressors栏中，可以选择列出所要包含在指定方差中的变量。 注意到EViews EVi 在进行方差回归时总会包含 个常数项作为回归量 所以不必 在进行方差回归时总会包含一个常数项作为回归量，所以不必 在变量表中列出c。
15
三、ARCH说明
在 ARCH Specification 标 题 栏 下 ， 选 择 ARCH 项 和 GARCH 项 的 阶 数 。 EViews 默认为选择 1 阶 ARCH 和 1 阶 GARCH 进行估计，这是目前最普遍的形式。 要估计如上所述的标准GARCH模型，需点击GARCH按钮。其余的按钮将 进入更复杂的GARCH模型的变形形式。我们将在本章的后一部分进行讨论。

预测波动率
又称为预期波动率，一般指运用统计推断方法对实 际波动率进行预测得到的结果，并可将其用于资产定 价模型(例如期权定价模型)，确定出资产的理论价值。 因此，预测波动率是人们对权证进行理论定价时实际 使用的波动率。目前，常用的计算预测波动率的方法 基本上是一些统计方法，包括建立各类模型进行预测 与推断，除此之外，人们对实际波动率的预测还可能 来自经验判断等其他方面。
VL
2 由于权重之和为1，因此
n VL u
2 n1

2 n1
1
GARCH (1,1)
令 ， GARCH (1,1) 模型可以表示成 L
V
和
u
2.指数平滑法： 2 2 2 估计公式： t t 1 (1 )rt 1
t (1 ) r
2 i 1

i 1 2 t i
说明： 为衰退因子， ,J.P.Morgan riskmetrics 系统建议 随资料周期改变，并给出一个规范值，日数 据为0.94，月数据为0.97.
其他高频波动率
很大意义上是对已实现波动率的优化。高频数据包 含了关于市场微观结构的信息，且频率越高，包含信 息越多，而低频数据中，几乎不包含市场微观结构的 信息。传统的经济理论通常认为市场是有效的：没有 交易成本，没有摩擦，当前价格反映了所有信息、是 资产的有效价格，已实现波动率即是基于资产的真实 价格来估计的。
简单： 加权：
t [1/ (M 1)] (rt i
2 i 1
2 M
M
rt j
j 1
M
M
)2
rt j
j 1 M
t [1/ (M 1)] t i (rt i

本文 以我 国上海证券交 易所 的上证综合指数为研究对 象 ， 选取 １９ ９ ６年 １ ２月 ２ ６日至 ２ １ 年 ３月 ２ ０１ １日上 证 综合指数 的收盘价。主要 由于我 国涨跌停板制度在 １９ ９６年 １ ２月 １ ３日发布 ，９ ６年 １ １９ ２月 ２ ６日开始实施 ， 了避 为
Ａｂ ｔ ａ ｔＴ ｉ ａ ｅ ｓ ｓ ＡＲＣ ｍｏ ｅ ｏ ｍａ ｅ ａ ｍｐ ｒ ａ ｎ ｌｓｓ ｏ ａｌ ｔｃ ｒ ｅ ａ ｎ ｎ ｓ ｒｔ ｎ ｔ ｏａ ｉ ｔ ｎ ｓ ｒ ｃ ｈ ｓｐ ｐ ｒｕ ｅ Ｈ ｄ ｌｔ ｋ ｎ ｅ ｉｉ ｌ ａ ａｙ ｉ ｆ ｄ ｉ ｓｏ ｋ ｍａ ｋ ｔ ｅ ｒ ｉｇ ａｉ ａ ｄ ｉ ｖ ｌｔ ｉ ｉ ｃ ｙ ｏ ｓ ｌｙ Ｃｈｎ ．Ｔ ｅ ａ ａｙ ｉ ｐ ｉ ｔ ｔ ｖ ｄ ｎ ｏａ ｉ ｔ ｎ ｄ ｉ ａ ｉｇ ａ ｉ ｆ Ｓ Ｅ Ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ｅ ｉ ａ ｈ ｎ ｌ ｓ ｏ ｎｓ ｏ ｅ ｉ ｅ ｔ ｖ ｌｔ ｉ ｉ ａｌ ｅ ｒ ｎ ｓ ｒ ｔ ｏ Ｓ ｏ ｏ ｉｅ Ｉ ｄ ｘ，ａ ｄ ｔ ｕ ｈ ｎ ｓ ｓ ｌｙ ｙ ｎ ｏ ｎ ｈ ｓ Ｃ ｉ ｅ ｅ Ｊ
二 、 析 模 型 、 据 和 研 究 方 法 分 数
现有 的理论研究 表明 ， 国际股票市场 日收益率 的波动 性具有 波动聚类性 、 收益与风 险同方 向变动 以及非对称 性等特点 ， 本文采用 Ａ Ｃ Ｒ Ｈ模 型与 Ｇ Ｒ Ｈ模型 的分析方法 ， 察 中国股 票市场 收益率波动 的特点及动 因。本文 Ａ Ｃ 考 设定基本模型为 ：
《 贵州财经学院学报） ０ ２年第 ４期 ２１
总第 １９期 ５
文章编号 ： ０ ６ ３ （ ０２ ０ ０ ５ — ６ 中图分类号 ：４７ 文献标识码 ： １ ３— ６ ６ ２ １ ）４— ０ ２ ０ ； ０ Ｆ２ ； Ａ

组合预测模型包括估计的ARCH-type模型以及估计隐含波动率。

考虑到时间变量的期权价格公式来衡量，估计的隐含波动率的计算按年率计算。

为了使用连续的每日回报，其隐含波动率估计在组合预测模型转化为日常交易日估计和扩展到了理想的预测范围。

以下曼弗雷德等人公式变换上述年率估计为日常交易日的隐含波动率，它可以扩展到一个理想的预测范围（hr），在以下方程：（11）等式11，代表在时间t内交易速率在时期内的波动性预测。

符号代表在时间t内隐含波动率估计（年率）。

hr代表所需的预测范围。

考虑到每天的隐含波动率估计是按年率与每日数据计算，在等式中分子代表one-trading-day（换句话说，预测是为了下一个可用交易日），分母近似表示一年里的多个交易日数量。

为创造综合预测模型，有必要使用简单平均组合预测技术仅仅是在时间t内个人预测的平均值。

因此，每个波动预测的权重产生通过最小二乘法（最小二乘）回归过去已实现波动在各自的波动性的预测。

这个过程创建了权重为上述复合波动预测解释更加的详细。

这是可以观察以下方程：（12）代表在时间t内以实现的波动。

代表在一个周期t内个人的波动预测（k）相对应的已实现波动率。

因为它可以被观察到在这个方程，组合预测模型包括个人的平均波动性的预测时间t。

以下布莱尔，潘和泰勒（2001），已实现波动可以计算如下：（13）是已实现（事后）波动在时间t超过预测范围hr。

代表在时间周期T内平方日志返回。

重要的是指出，波动不是明显的。

已实现波动率是一个对真实波动率的“代理”。

然而，这种方法是最常用的波动性预测的研究。

因此，由此可以看出方程14产生的复合性预测变量与前边是相同的。

这个方程的组合预测模型是一个为期一天的波动性估计。

为创建一个以一个贸易日以上复合波动预测；即hr> 1，估计一天的复合波动预测（从方程14）乘以。

上述方法获得一天以上（h>1）的复合波动性预测是一种常见的做法在学术研究；然而，重要的是强调，另一个是获得预测波动的各个时期的预测区间（如从ARCH模型）。

ARCH模型和GARCH模型Robert F. Engle Clive W. J. Granger本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。

引子---问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。

但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。

例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，y t=y t-1+εt其中εt为白噪声过程，1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。

图1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)图3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图4 D(JPY)的平方 (1995-2000)这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。

（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。

（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。

图5给出高峰厚尾分布示意图。

高峰厚尾分正态分布图5 高峰厚尾分布特征示意图显然现期方差与前期的“波动”有关系。

描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。

使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测y t或u t的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测y t的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。

§1、ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：条件方差或者波动率（Condition variance ，volatility ）定义为其中1t ψ-是信息集。

作者简介：熊德斌，1971 年生，贵州遵义人，硕士，贵州大学经济学院副教授，研究方向应用统计、计量经济学。
第9期
熊德斌： 基于 ARCH-M 模型上证基金指数收益性与波动性的实证分析
p
35
Rt=β0+ΣβiRt-i+εt
i = 1 2
（1 ）
t 日的上证基金指数的收盘价。 3.2 上证基金指数统计特征 3.2.1
p
（1 ） R 描述性统计分析与序列图
表 1 R 的描述性统计表
Mean Std. Dev. 0.000694 0.014561 0.429786 10.15858 3526.254 0.000000
Rt=β0+ΣβiRt-i+λσt+εt
i = 1
（4 ）
Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability
关键词： ARCH-M 模型 ；上证基金指数 ；波动性 ；杠杆效应
The Empirical Analysis on SH Fund Index Profitability and Volatility Property based on the ARCH-M Model Xiong Debin Abstract: On the basis of Log yield of the closing price index and the ARCH-M model (GARCH-M, EGARCH-M and TGARCH-M), this paper adopts the empirical study with the volatility and profitability of SHFI. The results show the and the impact on fluctuations existence of the volatility cluster, positive correlation between volatility and profitability ， in the fund of bad and good information exerting significant leverage effect. Key Words: ARCH-M model，SHFI，Volatility，Leverage effect

基于HMM-GARCH 模型的VaR 方法1.波动率模型及其估计方法1.1 GARCH 模型GARCH 模型是由Bollerslev 提出的，GARCH 模型是由ARCH 模型推广而来，是ARCH 模型一种更普遍的形式。

GARCH 模型是波动率研究中一个标准的方法，对金融时间序列中存在的一些重要的特征比较敏感，如波动的集聚性、时变性和波动的结构性转变等特点。

一般的GARCH 模型：212121102211jt q j j it p i i ttt t q j jt j t p i i t i t a a a a r r -=-==-=-∑∑∑∑++==-++=σβαωσεσϕφφ其中t r 表示金融时间序列，{}t ε是均值为0、方差为1的独立同分布随机变量序列，2tσ是条件方差，即条件波动率。

0,0,0≥≥>j i βαω，()()1,max 1<+∑=q p i i iβα（这里对0,=>i p i α，对0,=>j q j β）。

对i i βα+的限制条件是保证t a 的无条件方差是有限的，同时条件方差2t σ是随时间变化的。

通常假定t ε服从标准正态分布或标准化的学生-t 分布或广义误差分布。

密度函数如下：标准正态分布：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2222exp 21t t t t f σεπσε 学生ｔ分布：()()()21222212221+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=v t tt t v v v v f σεπσεＧＥＤ分布：()()[]()t v v v t tt v v f σλλσεε1221exp 1Γ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+，且()()()12312⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΓΓ=-v v v λ其中v 表示自由度。

1.2 MRS-GARCH 模型及其估计方法由于GARCH 模型在对波动率进行预测时，假设条件波动率在整个时期只有一个机制，没有考虑到突发事件和预期的改变等冲击可能会使影响金融资产价格的结构发生显著变化，前后往往表现出不同的特征，为了反映这种结构性变化，Hamilton 将马尔科夫状态转换方法引入波动率模型中，刻画了金融资产在不同状态下的特征及其转换行为。

E[rt4 ] E[rt2 ]2
3 exp(2h
2
2 h
)
3e
2 h
3
exp(2h
2 h
)
因此，rt的分布具有厚尾的性质。
❖ （2）E[ rt m ]：
E[ rt ] E[eht /2 zt ] E[eht /2 ]E[ zt ]
2
/
exp(h
/
2
2 h
/
8)
E[ rt 3 ] E[e3ht /2 zt 3] E[e3ht /2 ]E[ zt 3] 2
一个相合估计为：Avar(ˆT )
(Gˆ WˆGˆ )1Gˆ TWˆSˆWˆGˆ (Gˆ WˆGˆ )1, 其中Gˆ
T t 1
ft (ˆT
)
性质4：如果Wˆ =Sˆ1，此时得到的GMM估计量具有最小的渐进方差—协方差矩阵，
称为最优的GMM估计量。此时渐近方差—协方差矩阵简化为：Avar(ˆT ) (Gˆ Sˆ-1Gˆ )1
❖ 选择合意矩条件旳经典措施是蒙特卡罗模拟。
❖ 基本想法：假设模型正确，据模型和设定旳 参数模拟出数据，选定矩条件对模型进行估 计，假如估计措施有合意旳性质，则模型参 数估计比较精确。因为抽样旳随机性，反复 上面旳做法若干次，取得大量旳估计然后在 此基础上评价估计措施旳体现。
❖ 用蒙特卡罗模拟评价GMM估计SV模型旳有限样 本体现旳经典环节：
1
2 2 (1
2
)
2 2
2
2 2 2
2 2 2 22
t
3 9 2 92 2
9 2 2 8
9e 3
2(1 ) 8(1 2 ) 8
E[r ] e ( 2 t
9 2 2

1.1.波动率波动率是用来描述证券价格、市场指数、利率等在它们均值附近上下波动幅度的术语，是标的资产投资回报率的变化程度的度量。

股票的波动率σ是用于度量股票所提供收益的不确定性。

股票通常具有15%-50%之间的波动率。

股票价格的波动率可以被定义为按连续复利时股票在1年内所提供收益率的标准差。

当∆t 很小时，2t σ∆近似的等于在∆t 时间内股票价格变化百分比的方差。

这说明σ√∆t 近似的等于在∆t 时间内股票价格变化百分比的标准差。

由标准差来表述股票价格变化不定性的增长速度大约为时间展望期长度的平方根（至少在近似意义下）。

1.2.由历史数据来估计波动率为了以实证的方式估计价格的波动率，对股票价格的观察通常是在固定的时间区间内（如每天、每星期或每个月）。

定义n+1——观测次数；S i ——第i 个时间区间结束时变量的价格，i =0，1，…n ； τ——时间区间的长度，以年为单位。

令1ln ,0,1,,;i i i S u i n S -⎛⎫== ⎪⎝⎭1.2.1u i 的标准差s 通常估计为s = 1.2.2或s =1.2.3其中u ̅为i u 的均值。

由于i u 的标准差为。

因此，变量s 是的估计值。

所以σ本身可以被估计σ∧，其中σ∧=可以证明以上估计式的标准差大约为σ∧。

在计算中选择一个合适的n 值并不很容易。

一般来讲，数据越多，估计的精确度也会越高，但σ确实随时间变化，因此过老的历史数据对于预测将来波动率可能不太相干。

一个折中的方法是采用最近90～180天内每天的收盘价数据。

另外一种约定俗成成俗的方法是将n 设定为波动率所用于的天数。

因此，如果波动率是用于计算量年期的期权，在计算中我们可以采用最近两年的日收益数据。

关于估计波动率表较复杂的方法涉及GARCH 模型与EWMA 模型，在下文中将进行详细介绍。

1.3.隐含波动率首先对于一个无股息股票上看涨期权与看跌期权，它们在时间0时价格的布莱克-斯科尔斯公式为012()()rT c S N d Ke N d -=- 1.3.1201()()rT p Ke N d S N d -=---1.3.2式中21d =221d d==-函数N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数。

第3章波动率模型金融市场数据有着和一般时间序列数据不一样的特征。

在金融研究中，比较关注的是资产的回报率和风险。

一般使用波动率来衡量风险。

这里的波动率指资产回报的条件标准离差，它也是影响资产定价的一个重要因素。

本章主要以金融时间序列为主要研究对象，介绍条件波动率模型，它为金融市场上的资产回报波动率建模，包括ARCH 模型，GARCH模型，以及TARCH模型等。

恩格尔（Engle，R.,1982）最早提出了自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedasticity model，ARCH模型），并由博勒斯莱文（Bollerslev，T.1986）发展成为GARCH模型（generalized ARCH model）——广义自回归条件异方差模型。

这些模型广泛应用于经济学的各个领域，特别是在金融时间序列中有重要的应用。

3.1 引言1、问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。

但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。

例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，x t = x t -1 + u t(3.1)其中u t为白噪声过程。

1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图3.1和图3.2。

80100120140160JPY (1995-2000)-8-6-4-2246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000)图3.1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图3.2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)2468Volatility of returns102030405060200400600800100012001400DJPY^2图3.3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图3.4 D(JPY)的平方 (1995-2000)可以看出，汇率既有平静的时刻，也有大涨或大跌的时候，序列的波动并不会一直持续。