2016届《创新设计》数学一轮(理科)北师大版配套课时作业1-1 集合及其运算

其关系
2．(2015·汕头质检)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确 命题的序号)． ①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数” 是真命题； ②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”； ③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”等价．
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考点突破 题型透析
考点一 四种命题及其关系
在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命 题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了 的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作 结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的 条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和 逆命题互为逆否命题也是等价的．
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
若 x>2 则1x<12，但1x<12 x>2.
如当 x＝－1 时，1x＝－1<12，但 x 不大于 2. A
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第4讲 三角函数的图像与性质基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案 B2．(2014·新课标全国Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图像知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.答案 A3．(2014·陕西统一检测)已知函数f (x )＝cos 23x －12，则f (x )的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ( ) A.2π3 B.π3C.π6D.π12解析 因为f (x )＝1＋cos 6x 2－12＝12cos 6x ，所以最小正周期T ＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π6，故选C. 答案 C4．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 B5．(2015·江西六校统考)关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图像的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图像的一个对称中心，故选C. 答案 C 二、填空题6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 7．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) 8．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则有y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1， 可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1三、解答题9．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解 由cos 2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 因为f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝6cos 4(－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－2x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ＝f (x )．所以f (x )是偶函数， 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2 x －4cos 2x ＝6cos 4 x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)2cos 2x －1＝3cos 2x －1. 所以f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y ＜12，或12＜y ≤2. 10．(2014·天津卷)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，得f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14. 所以，函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于 ( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2，此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin ＝32. 答案 B12．(2014·成都诊断)若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a－φ)＝±1，所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，故选D. 答案 D13．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x . 给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0； ⑤f (x )的图像上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________．解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图像如图所示．由图像可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0；f (x )的图像上相邻两个最低点的距离是2π. 所以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤14．(2015·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π， ∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

B中m与n可平行、可异面； C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误； 故D正确．
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考点突破 考点一 有关线面、面面平行的命题真假判断
【例1】 (2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列 结论中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β (2)A错误，n有可能在平面α内； B错误，平面α有可能与平面β相交； C错误，n也有可能在平面β内； D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β， ∴n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l， 则m∥l，又n∥m，∴n∥l，又n⊄β，l⊂β，∴n∥β. 答案 (1)D (2)D
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考点突破 考点二 直线与平面平行的判定与性质
【训练 2】如图，直三棱柱 ABC-A′B′C′，∠BAC＝90° ，AB＝AC ＝ 2，AA′＝1，点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点． (1)证明：MN∥平面 A′ACC′；(2)求三棱锥 A′-MNC 的体积．
(2)解 法一 连接BN，如图， 由题意A′N⊥B′C′， 平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′， A′N⊂平面A′B′C′， 所以A′N⊥平面NBC.
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考点突破 考点二 直线与平面平行的判定与性质
【例2】如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB 利用判定定理 ＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

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课时提升作业(一)集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·西安模拟)已知集合A={x|x-2≥0},B={x|0<log2x<2},则错误！未找到引用源。

(A∩B)是( ) A.{x|2<x<4} B.{x|x≥2}C.{x|x≤2或x≥4}D.{x|x<2或x≥4}【解析】选 D.因为B={x|1<x<4},所以A∩B={x|x≥2}∩{x|1<x<4}={x|2≤x<4},错误！未找到引用源。

(A∩B)={x|x<2或x≥4},故选D.2.(2015·长春模拟)已知集合A=错误！未找到引用源。

,B=错误！未找到引用源。

,若B⊆A,则x=( )A.0B. -4C.0或-4D.0或±4【解析】选C.由B⊆A知.x2=16或x2=4x,解得x=〒4或0.经检验.x=0或-4符合题意,故选C.【误区警示】解答本题时易误选D,出错的原因是忽视了集合中元素的互异性.3.已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2,3},则集合B有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.因为A∪B={1,2,3},A={1,2},所以集合B中应含有元素3,故集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},故选D.4.已知集合A={x|y=log2(x-1)},B={x|x<2m-1},且A⊆错误！未找到引用源。

B,那么m的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.A={x|x>1},错误！未找到引用源。

B={x|x≥2m-1},因为A⊆错误！未找到引用源。

B,所以2m-1≤1,即m≤1,因此m的最大值为1.5.(2015·九江模拟)设A={(x,y)|x-y=6},B={(x,y)|2x+y=2},满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为( )A.0B.1C.2D.4【解析】选 C.A∩B=错误！未找到引用源。