江苏省南京市高考数学一模试卷(理科)

2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．√36的值为（）A．6B．﹣6C．±6D．362．在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（）A．22×106B．2.2×106C．22×107D．2.2×1073．下列计算正确的是（）A．a•a•a＝3a B．5+x＝5xC．y+y+y+y＝4y D．2x﹣x＝24．用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．̂的中点，则OC长为（）5．将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后ABA．2B．√3C．1D．√26．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD 的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置） 7．计算：|﹣2|＝ ；（﹣2）0＝ ． 8．若式子1x−2有意义，则x 的取值范围是 ．9．计算√2×√6的结果是 ．10．已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为 ． 11．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根，则1x 1+1x 2的值为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A （1，2），B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2），AC 交x 轴于点D ，则OD 的长为 ．13．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，AE ＝2ED ，射线BE 交CD 的延长线于点F ，若S △DEF ＝1，则S△BCF的值为 ．14．如图，点I 是△ABC 的内心．若∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，则∠ICA 的度数是 °．15．某同学的眼睛到黑板的距离是6m ，课本上的文字大小为0.4cm ×0.35cm ．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm 的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．16．要使反比例函数y =6x的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 （只填序号）．①向上平移3个单位长度；②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③沿直线y ＝3轴对称；④先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组{4(x −1)＞3x −22x −3≤5，并写出该不等式组的整数解．18．计算：(x +2−5x−2)÷x+3x−2．19．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h ．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？20．如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD ，BC 于点E ，F ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB ＝6，BC ＝12，求菱形AFCE 的面积．21．4张卡片上分别写有数字1，2，﹣3，4，除标记数字外它们完全相同．从这4张卡片中随机抽取2张． （1）求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；（2）下列事件中，概率小于12的是 （填写正确说法的序号）．①抽取的两个数乘积为负数；②抽取的两个数乘积为正数；③抽取的两个数之和为负数；④抽取的两个数之和为正数．22．某水果店过去20天苹果的日销售量（单位：kg）从小到大记录如下：40，42，44，45，46，48，52，52，53，54，55，56，57，58，59，61，63，64，65，66．（1）估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量；（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上75%地满足顾客需求（即将100天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第75个数据），则苹果的日进货量应为多少千克？23．已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为；（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．24．为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度．（参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）25．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．（1）用“＞、＝、＜”号填空：k0，b0；（2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）①y＝kx﹣b；②y＝2kx+2b；③y＝﹣kx+2b．26．过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线：①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．（1）用尺规完成作图步骤②；（2）连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；（3）求证：直线AD为⊙O的切线．27．已知函数y＝ax3+bx2+cx（a，b，c为常数，且a≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…（1）函数y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负．（2）你同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．（3）已知ac＜0，直接写出关于x的不等式ax3+x2+cx＞0的解集（用含a，c的式子表示）．2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．√36的值为（）A．6B．﹣6C．±6D．36解：√36=6．故选：A．2．在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（）A．22×106B．2.2×106C．22×107D．2.2×107解：22000000＝2.2×107．故选：D．3．下列计算正确的是（）A．a•a•a＝3a B．5+x＝5xC．y+y+y+y＝4y D．2x﹣x＝2解：A、aaa＝a3，故本选项错误；B、5和x不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、y+y+y+y＝4y，故本选项正确；D、2x﹣x＝x，故本选项错误．故选：C．4．用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．解：观察图形可知，用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是．故选：D ．5．将半径为5的⊙O 如图折叠，折痕AB 长为8，C 为折叠后AB̂的中点，则OC 长为（ ）A ．2B ．√3C ．1D ．√2解：延长OC 交⊙O 于D 点，交AB 于E 点，连接OA 、OB 、AC 、BC ，如图， ∵C 为折叠后AB ̂的中点， ∴AC ̂=BC ̂， ∴CA ＝CB ， ∵OA ＝OB ， ∴OC 垂直平分AB ， ∴AE ＝BE =12AB ＝4，在Rt △AOE 中，OE =√OA 2−AE 2=√52−42=3， ∴DE ＝OD ﹣OE ＝5﹣3＝2，∵ADB̂沿AB 折叠得到ACB ̂，CD 垂直AB ， ∴C 点和D 点关于AB 对称， ∴CE ＝DE ＝2，∴OC ＝OE ﹣CE ＝3﹣2＝1． 故选：C ．6．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD 的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；③∵OE＝OA，OE⊥DE，∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．计算：|﹣2|＝2；（﹣2）0＝1．解：|﹣2|＝2，（﹣2）0＝1．故答案为：2，1．8．若式子1x−2有意义，则x的取值范围是x≠2．解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2；故答案为：x≠2．9．计算√2×√6的结果是 2√3 ．解：√2×√6=√2×√2×√3 =(√2)2×√3 ＝2√3． 故答案为：2√3．10．已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为 2π ． 解：扇形面积=12lR =12×π×4＝2π． 故答案为：2π．11．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根，则1x 1+1x 2的值为54．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝5，x 1•x 2＝4， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=54．故答案为：54．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A （1，2），B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2），AC 交x 轴于点D ，则OD 的长为 3 ．解：∵A （1，2），B （﹣1，﹣2）， ∴OA ＝OB ，∵B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2）， ∴BC ∥x 轴， ∴OD BC =OA AB ，∴OD 6=12，∴OD ＝3． 故答案为：3．13．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，AE ＝2ED ，射线BE 交CD 的延长线于点F ，若S △DEF ＝1，则S△BCF的值为 9 ．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FDE ＝∠BAE ，∠DFE ＝∠ABE ，∠FDE ＝∠C ，∠FED ＝∠FBC ，∴△DEF ∽△AEB ，△DEF ∽△CBF ，∴DE AE =FE BE ，S △DEFS △CBF =(FE FB )2，∵AE ＝2ED ，∴FE BE =12， ∴FE FB =13， ∵S △DEF ＝1，∴1S △CBF =(13)2， 解得：S △CBF ＝9．故答案为：9．14．如图，点I 是△ABC 的内心．若∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，则∠ICA 的度数是 20 °．解：∵点I 是△ABC 的内心．∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，∴∠ABC ＝2∠IBC ＝2×36°＝72°，∠BAC ＝2∠IAB ＝2×34°＝68°，∴∠ACB ＝180°﹣72°﹣68°＝40°，∴∠ICA =12∠ACB =12×40°=20°．故答案为：20．15．某同学的眼睛到黑板的距离是6m ，课本上的文字大小为0.4cm ×0.35cm ．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm 的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 8cm ×7cm （答案请按同一形式书写）．解：设老师在黑板上写的文字大小应约为a cm ×b cm ，由题意可得：60030=a 0.4=b 0.35，解得a ＝8，b ＝7，即老师在黑板上写的文字大小应约为8cm ×7cm ，故答案为：8cm ×7cm ．16．要使反比例函数y =6x的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 ②③ （只填序号）．①向上平移3个单位长度；②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；③沿直线y ＝3轴对称；④先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．解：①反比例函数y =6x 的图象向上平移3个单位长度得到y =6x +3，∵x ＝3时，则y =63+3=5，∴方案①不可行；②反比例函数y =6x 的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y =6x−2−2， ∵x ＝3时，y =63−2−2＝4， ∴方案②可行；③把x ＝3代入y =6x 得，y ＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线y ＝3的对应点为（3，4），∴反比例函数y =6x 的图象沿直线y ＝3轴对称得到的图象经过点（3，4），∴方案③可行；④把x ＝3代入y =6x得，y ＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线x ＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x ＝2代入y =6x 得y ＝3，∴反比例函数y =6x 的图象先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度得到的图象不经过点（3，4），∴方案④不可行；故答案为：②③．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组{4(x −1)＞3x −22x −3≤5，并写出该不等式组的整数解． 解：{4(x −1)＞3x −2①2x −3≤5②， 解①得x ＞2，解②得x ≤4．则不等式组的解集是：2＜x ≤4．则整数解是：3，4．18．计算：(x +2−5x−2)÷x+3x−2．解：(x +2−5x−2)÷x+3x−2=(x+2)(x−2)−5x−2•x−2x+3 =x 2−4−5x+3 =(x+3)(x−3)x+3 ＝x ﹣3． 19．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h ．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？解：设车间技术革新前每小时加工x 个零件，则技术革新后每小时加工2.5x 个零件，由题意得：1500x −15002.5x =18，解得：x ＝50，经检验：x ＝50是原分式方程的解，且符合题意，答：该车间技术革新前每小时加工50个零件．20．如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD ，BC 于点E ，F ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB ＝6，BC ＝12，求菱形AFCE 的面积．（1）证明：∵点O 是AC 的中点，EF ⊥AC ，∴EF 是AC 的垂直平分线，∴F A ＝FC ，EA ＝EC ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠ECO ．在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；∴AE ＝CF ，∴AE ＝CE ＝CF ＝AF ，∴四边形AECF 为菱形．（2）解：设AE ＝CE ＝x ，则BF ＝12﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°．在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB 2+BE 2＝AE 2，即62+（12﹣x ）2＝x 2，解得，x ＝7.5，即AE ＝7.5，∴DE ＝BF ＝4.5，∴菱形AFCE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣△ABF 的面积﹣△CDE 的面积＝6×12﹣2×12×6×4.5=45．21．4张卡片上分别写有数字1，2，﹣3，4，除标记数字外它们完全相同．从这4张卡片中随机抽取2张．（1）求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；（2）下列事件中，概率小于12的是 ③ （填写正确说法的序号）． ①抽取的两个数乘积为负数；②抽取的两个数乘积为正数；③抽取的两个数之和为负数；④抽取的两个数之和为正数．解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片的数字都是正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取两张卡片的数字都是正数的概率为612=12． （2）∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，4），（4，﹣3），共6种，∴抽取的两个数乘积为负数的概率为612=12， 故①不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取的两个数乘积为正数的概率为612=12， 故②不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），共4种，∴抽取的两个数之和为负数的概率为412=13， 故③符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（﹣3，4），（4，1），（4，2），（4，﹣3），共8种，∴抽取的两个数之和为正数的概率为812=23，故④不符合题意．故答案为：③．22．某水果店过去20天苹果的日销售量（单位：kg）从小到大记录如下：40，42，44，45，46，48，52，52，53，54，55，56，57，58，59，61，63，64，65，66．（1）估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量；（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上75%地满足顾客需求（即将100天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第75个数据），则苹果的日进货量应为多少千克？解：（1）120×（40+42+44+45+46+48+52+52+53+54+55+56+57+58+59+61+63+64+65+66）×30=120×1080×30＝1620（kg），答：估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量约1620kg；（2）∵20×75%＝15，样本中的数从小到大排列，排在第15个数是59，∴苹果的日进货量应为59千克．23．已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6；（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3），∴4+2（a﹣2）+3＝3，解得a＝0，∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y的最小值为2，当x＝0时，y＝3，当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6，∴0＜x ＜3时，y 的取值范围为2≤y ＜6，故答案为：2≤y ＜6；（3）∵点P （m ﹣1，y 1），点Q （m ，y 2）且y 1＞y 2，对称轴为直线x ＝1，∴m−1+m 2＜1， 解得m ＜32，∴m 的取值范围为m ＜32．24．为测量建筑物DE 的高度，小明从建筑物AB 的A 处测得E 处的仰角为37°，C 处的俯角为22°，从C 处测得E 处的仰角为58°．已知B ，C ，D 在同一直线上，AB 高为6.8m ．求建筑物DE 的高度． （参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）解：过点A 作AF ⊥ED ，垂足为F ，由题意得：ED ⊥BD ，AB ＝FD ＝6.8m ，AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴∠F AC ＝∠ACB ＝22°，在Rt △ABC 中，BC =AB tan22°≈6.825=17（m ）， 设CD ＝x m ， ∴AF ＝BD ＝BC +CD ＝（x +17）m ，在Rt △ECD 中，∠ECD ＝58°，∴ED ＝CD •tan58°≈85x （m ），在Rt △EAF 中，∠EAF ＝37°，∴EF ＝AF •tan37°≈34（x +17）m ，∵EF +DF ＝ED ，∴34（x +17）+6.8=85x ， 解得：x ＝23，∴DE =85x ＝36.8（m ），∴建筑物DE 的高度约为36.8m ．25．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ．（1）用“＞、＝、＜”号填空：k ＞ 0，b ＜ 0；（2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）①y ＝kx ﹣b ；②y ＝2kx +2b ；③y ＝﹣kx +2b ．解：（1）由函数图象可知，k ＞0，b ＜0，故答案为：＞，＜；（2）①在y 轴正半轴上截取OC ＝OB ，过点C 作直线l ∥AB ，则直线l 即为所求，如图所示：②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求，如图所示：③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求，如图所示：26．过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线：①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．（1）用尺规完成作图步骤②；（2）连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；（3）求证：直线AD为⊙O的切线．（1）解：如图，直线AD 为所作；（2）证明：在△ABC 和△ABD 中， {AC =ADAB =AB BC =BD，∴△ABC ≌△ABD （SSS ），∴∠BAC ＝∠BAD ，∴AB 平分∠CAD ；（2）证明：连接OB 交AC 于E 点，如图， ∵AC 为⊙O 和⊙B 的公共弦，∴OB 垂直平分AC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠ABE +∠BAE ＝90°，∵OB ＝OA ，∴∠ABE ＝∠BAO ，而∠BAE ＝∠BAD ，∴∠BAO +∠BAD ＝90°，即∠OAD ＝90°，∴OA ⊥AD ，∵OA 为⊙O 的半径，第21页（共21页） ∴AD 为⊙O 的切线．27．已知函数y ＝ax 3+bx 2+cx （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…（1）函数y ＝ax 3+bx 2+cx 的图象如图⑤所示，指出常数a ，b ，c 的正负．（2）你同意“函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．（3）已知ac ＜0，直接写出关于x 的不等式ax 3+x 2+cx ＞0的解集（用含a ，c 的式子表示）．解：（1）通过观察图象可得，y ＝ax 3+bx 2+cx 的图象如图⑤，则a ＜0，b ＞0，c ＞0；（2）不同意“函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标为1”，理由如下：对任意实数m （m ＞0），当x ＝1+m 时，y 1＝﹣（1+m ）3+2（1+m ）2＝﹣m 3﹣m 2+m +1，当x ＝1﹣m 时，y 2＝﹣（1﹣m ）3+2（1﹣m ）2＝m 3﹣m 2﹣m +1，∴y 1+y 2＝﹣2m 2+2，若函数y ＝﹣x 3+2x 2图象的对称中心的横坐标为1，则y 1+y 2的值与m 无关，而﹣2m 2+2的值与m 有关，∴函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标不是1；（3）令ax 3+x 2+cx ＝0，则x （ax 2+x +c ）＝0，∴x ＝0或ax 2+x +c ＝0，∵ac ＜0，∴ax 2+x +c ＝0的解为x 1=−1−√1−4ac 2a ，x 2=−1+√1−4ac 2a， ∴y ＝ax 3+x 2+cx 与x 轴交点横坐标分别是−1−√1−4ac 2a ，0和−1+√1−4ac 2a ，当a ＞0时，ax 3+x 2+cx ＞0（即y ＞0）的解集为−1−√1−4ac 2a ＜x ＜0或x ＞−1+√1−4ac 2a ； 当a ＜0时，ax 3+x 2+cx ＞0（即y ＞0）的解集为0＜x ＜−1−√1−4ac 2a 或x ＜−1+√1−4ac 2a．。

2025届江苏省普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟试卷（一模）一、选择题(本大题共28小题，每小题3分，共84分。

每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分)1.已知集合，，则（）{}1,0,1A =-{}1,2,5B =A B = A.B.C.D.{}1{}1,0,1,5-{}1,0,1,2,5-{}1,0,2,5-【正确答案】A，{}{}{}1,0,11,2,51A B -== 故选：A2.已知复数，则（ ）1i z =+z z ⋅=A. 1C. 2D. 【正确答案】C.(1i)(1i)2z z ⋅=+-=故选：C3. 对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则平均数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】B因为，所以这组数据的平均数为5，故B 正确；2334668858+++++++=故选：B4.知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，终边与单位圆交于，则αx 12P ⎛- ⎝（ ）sin α=A ．B ．C ．D12-【正确答案】D由三角函数的定义，.sin y α==故选：D.5.命题：的否定是（ ）2(4,),51x x m ∀∈+∞+>A.B.2(4,),51x x m ∀∈+∞+≤2(4,),51x x m ∃∈+∞+≤C.D.2(,4],51x x m ∃∈-∞+≤2(4,),51x x m ∃∈+∞+<【正确答案】B由命题否定的概念可知，命题：的否定是.2(4,),51x x m ∀∈+∞+>2(4,),51x x m ∃∈+∞+≤故选：B.6.已知a ，，若，，，则下列不等式正确的是（）b ∈R 0ab <0a b +>a b >A. B.11a b<0b a a b +>C. D. 22a b>||a b <【正确答案】C因为，，，0ab <0a b +>a b >所以，0,0a b ><所以，故A 错误；110ab >>则，所以，故B 错误；0,0b a a b <<0b aa b +<由得，即，所以，故C 正确，D 错误.0a b +>a b >-a b>22a b >故选：C.7.函数）y =A. B.C.D.[]22-,()2,2-()()2,11,2- [)(]2,11,2- 【正确答案】D24010x x ⎧-≥⎨-≠⎩ 221x x -≤≤⎧∴⎨≠⎩定义域为∴[)(]2,11,2- 故选:D.8. 若复数，则复数的共轭在复平面内对应的点位于第（）象限12z =-+2z A. 一B. 二C. 三D. 四【正确答案】B因为，所以，12z =-+221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭又因为，所以复数的共轭在复平面内对应的点位于第二象限.212z =-+2z 故选：B.9. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（ ）A. 淮安方特B. 龙宫大白鲸世界C. 西游乐园D. 不能确定【正确答案】C先从乙说的出发，可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园，再由甲说的，可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园，则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个，再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过西游乐园.故选：C.10.已知，，，则的大小关系是（）12log 3a =132b =32c -=,,a b c A. B. C. D. a b c <<a c b<<b a c<<c<a<b【正确答案】B因为，，，所以．1122log 3log 10a =<=103221b =>=300221c -<=<=a c b <<故选:B ．11.如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）m n m n A. 共面 B. 平行C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线【正确答案】D根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平m n m n 行，也可能是异面直线.故选：D.12.奇函数在区间上是减函数，最小值为，则函数在区间上是()f x []28,5-()f x []8,2--（）A. 增函数且最大值是5B. 增函数且最小值是5C. 减函数且最大值是5D. 减函数且最小值是5【正确答案】C 因为奇函数在区间上是减函数，最小值为，()f x []28,5-所以由奇函数的图像关于原点对称可知，函数在区间上是减函数且最大值是5.()f x []8,2--故选：C.13.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（ ）A. A 与B 互为对立事件B. A 与B 互斥C. A 与B 相等D. P (A )=P (B )【正确答案】D抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种结果，事件A 包含的结果有：（正，正），（正，反）2种，事件B 包含的结果有：（正，正），（反，正）2种，显然事件A 和事件B 都包含（正，正）这一结果，即事件A 和事件B 能同时发生，所以事件A 和事件B 既不对立也不互斥，故选项A 、B 错误；事件A 和事件B 中有不同的结果，所以事件A 和事件B 不相等，故选项C 错误；由古典概型得,所以,故选项D 正确；2121(),()4242P A P B ====()()P A P B =故选：D. 14.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）()()21mf x m m x =+-f=A.C. 2D. 12【正确答案】A 因为为幂函数，所以，解得，或，()f x 211m m +-=2m =-1m =又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，()f x 0m <2m =-()2f x x -=所以.212f-==故选:A.15.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约A 15CB 为.下面叙述不正确的是（）5CA. 各月的平均最低气温都在以上0C B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温不低于的月份有个20C5【正确答案】D对于A 选项，由雷达图可知，各月的平均最低气温都在以上，A 对；0C对于B 选项，七月的平均温差大约在，一月的平均温差大约在，10C 5C故七月的平均温差比一月的平均温差大，B 对；对于C 选项，三月和十一月的平均最高气温基本相同，C 对；对于D 选项，平均最高气温不低于的月份为月和月，只有个，D 错.20C782故选：D.16.已知三棱锥P -ABC ，满足，，则三棱锥π2PAB PAC ABC ∠=∠=∠=22PA AC AB ===的表面积为（）-P ABCA BC D 【正确答案】C由题，，π2PAB PAC ABC ∠=∠=∠=22PA AC AB ===由勾股定理可得，，则有，=PC PB =BC =222PC PB BC =+所以，π2PBC ∠=三棱锥的表面积为-P ABC 1111122212222S =⨯⨯+⨯⨯+⨯=故选：C17.五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是、、，假定三人的行动相互之间没131415有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（）A ．B ．C ．D ．59603512160【正确答案】B记事件至少有1人去厦门旅游，其对立事件为：三人都不去厦门旅游，A A 由独立事件的概率公式可得，1112()(1)(1)(13455P A =---=由对立事件的概率公式可得，3()1()5P A P A =-=故选：B.18.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道甲、丁两人的成绩B ．乙、丁可以知道自己的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．丁可以知道乙、丙两人的成绩【正确答案】B甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果故选：B.19. 在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ）1111ABCD A B C D -1AD 11A C A ．B ．C ．D ．π6π4π3π2【正确答案】C由正方体性质得异直线与所成角即为与所成角，1AD 11A C 1AD AC 由正方体结构特征可知为等边三角形，1ACD △因此与所成角为.1AD AC π3故选：C.20.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x 0.240.5112.023.988.02y2.0- 1.0-01.002.03.0在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（ ）,a b ,x y A. B.y a bx=+xy a b =+C.D.log b y a x=+by a x=+【正确答案】C由题，作出散点图如下，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系，log b y a x =+,x y 故选：C.根据，in(s )αβ-=sin()αβ+=得sin cos cos sin αβαβ-sin cos cos sin αβαβ+=两式分别相加、减，可得2sin cos αβ=2cos sin αβ=易得，，，所以上述两式相除，得．ππ2k α≠+ππ2k β≠+k ∈Z tan 5tan 11αβ=-故选：D ．22.如图所示，在中，为BC 边上的三等分点，若，，为AD 中点，ABC DAB a=AC b = E 则（ ）BE =A ．B ．2136a b-+ 2136a b +C ．D ．1136a b-+1136a b+ 【正确答案】A()111112121223263636BE AE AB AD AB AB BC AB AB AC AB AB AC a b⎛⎫=-=-=+-=-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭故选：A23.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）m n αβA ．若，，则B ．若，，，则//m n //m α//n α//αβm α⊂n β⊂//m n C ．若，，则D ．若，，，则//m n m α⊥n α⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥【正确答案】C对于A ，若，，则或，故A 错误；//m n //m α//n αn ⊂α对于B ，若，，，则或与异面，即B 错误；//αβm α⊂n β⊂//m n m n 对于C ，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C 正确；//m n m α⊥n α⊥对于D ，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D 错误；αβ⊥m α⊂n β⊂m n 故选：C 24.已知，若，则实数的值为（）()()1,2,3,4a b =-=()()3a b a kb-+∥k A. B. C. 1D. 1213-13【正确答案】B由题意知，，()1,2a =-()3,4b =所以，，()30,10a b -=-()()()1,23,413,24a kb k k k k +=-+=+-+因为，所以，解得，故B 正确.()()3//a b a kb-+()()010130k +-⨯+=13k =-故选：B.25.人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等dB x 级为，喷气式飞机起飞时，声音约为，大货车鸣笛时，声音()2()10lg10xf x dB -=140dB 约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（）倍.90dB A. B. C. D. 100014914910510【正确答案】C由可得2()10lg14010xf x -==1210x =由可得2()10lg9010xf x -==710x =所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的倍1257101010=故选：C26.一艘船以32 n mile/h 的速度向正北方向航行．从A 处看灯塔S 位于船北偏东的方向上，45︒30分钟后船航行到B 处，从B 处看灯塔S 位于船北偏东的方向上，则灯塔S 与B 之间的75︒距离为（ ）A. B. C.D.16nmile【正确答案】B由题意知，，，303216nmile 60AB =⨯=45BAS ∠=︒30ASB ∠=︒由正弦定理得，，16sin 45sin 30BS =︒︒解得.BS =故选：B.27.我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时P ()10110,n P a a n =⨯≤<∈Z，当时，是位数，则是（ ）位数（参考lg lg 110P n a a =+≤<（）0n >P 1n +114082310⨯数据：，）lg20.301≈lg30.477≈A. 14B. 15C. 55D. 56【正确答案】B，114011408823lg lg 2lg 3lg1011lg 240lg 38 3.31119.08814.39110⨯=+-=+-≈+-=所以是15位数.114082310⨯故选：B28.已知函数的定义域为，若存在，满足21()log 2x f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[2,0]-12,[2,0]x x ∈-，则实数的取值范围是（）()()123f x f x -≥a A. B. 4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. D. 2,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭4,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D令，且在单调递减，所以的最小值为，()12x u x a =-()u x [2,0]-()u x ()010u a =->可得，且，1a <()[]1,4u x a a ∈--所以在上单调递增，所以2()log g u u =[]1,4a a --()()()22log 1,log 4g u a a ∈--⎡⎤⎣⎦因为存在，满足，12,[2,0]x x ∈-()()123f x f x -≥则，()()max min 3f x f x -≥所以()()()()222max min 4log 4log 1=log 31ag u g u a a a--=---≥-解得：，417a ≤<故选：D.二、解答题(本大题共2小题，共16分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第1页/总54页【高考数学】2022-2023学年江苏省南京市专项提升仿真模拟试题（一模）第I 卷（选一选）请点击修正第I 卷的文字阐明评卷人得分一、单选题1．设集合{}{}220,1,1,2,3A x x x B =∈--=-N∣，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32．在复平面内，设z=1+i （i 是虚数单位），则复数+z 2对应的点位于A ．象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知单位向量,,a b c 满足2340a b c ++= ，则a b ⋅=（）A ．2912-B ．78-C ．0D ．144．已知sin20tan20m +=m 的值为（）A B ．2C ．4D ．85．为加快新冠检测效率，检测机构采取“10合1检测法”，即将10个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定一切样本都是阴性的；若为阳性，则还需求对本组的每个人再做检测．现对来自管控区的100人进行核酸检测，若有2人，则随机将其平均分成10组后这两名患者在同一组的概率为（）A ．115B ．112C ．111D ．1106．已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．3-试卷第2页，共6页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※7．已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △的）A 1B ．12C ．2D 18．已知11e e ,x y z ππ===，则,,x y z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．x z y>>C ．y x z>>D ．y z x>>评卷人得分二、多选题9．已知,A B 两种项目获得的分别为,X Y ，分布列如下表，则（）X /百万1-02P0.2m0.6/Y 百万012P0.30.4nA ．0.5m n +=B ．()214E X +=C ．两种项目的期望一样多D ．A 项目的风险比B 项目高10．如图是函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图像，则（）第3页/总54页A ．()f x 的最小正周期为πB ．将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数C ．5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴D ．若函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭11．某酒店大堂的壁灯的外观是将两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体（如图），已知1BC AB ==，现已知三棱锥E BCD -的高大于三棱锥A BCD -的高，则（）A ．AB ∥平面DCEB ．二面角A BC E --的余弦值小于79-C ．该六面体存在外接球试卷第4页，共6页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※D ．该六面体存在内切球12．在数列{}n a 中，若221n n a a p --=（*2,,n n p ∈N 为非零常数），则称{}n a 为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．{}(1)n-是等方差数列B ．若正项等方差数列{}n a 的首项11a =，且125,,a a a 是等比数列，则221n a n =-C ．等比数列不可能为等方差数列D ．存在数列{}n a 既是等方差数列，又是等差数列第II 卷（非选一选）请点击修正第II 卷的文字阐明评卷人得分三、填空题13．在正项等比数列{}n a 中，1241,93a a a =⋅=，记数列{}n a 的前n 项的积为n T ，若()1,1000n T ∈，请写出一个满足条件的n 的值为__________．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与圆222x y a +=相切，且与双曲线的左支交于x 轴上方的一点P ，当112PF F F =时直线2PF 的斜率为__________．15．函数()ln 1f x x x =--，若函数()y f x m =-有三个零点，则实数m 的值为__________．评卷人得分四、双空题16．如图，已知四面体ABCD 中，ABD △和BCD △都是等腰直角三角形，π2AB BAD CBD ∠∠===．若四面体ABCD 外接球的表面积为8π，则此时二面角A BD C --的大小为__________；若二面角A BD C --为π3时，点M 为线段CD 上一点，则AM 的最小值为__________．第5页/总54页评卷人得分五、解答题17．在①()222sin a c b B +-=且4Bπ>；②sin 1cos b A B =-；③sin sin sin sin B C a A C b c +=--这三个条件中任选一个，补充在上面的成绩中，并解答成绩．成绩：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________．(1)求B ；(2)若D 为边AC 的中点，且3,4==a c ，求中线BD 长．18．如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右挪动一个单位，质点到达地位的数字记为X ．(1)若该质点共挪动2次，位于原点O 的概率；(2)若该质点共挪动6次，求该质点到达数字X 的分布列和数学期望．19．已知数列{}n a 满足()*1232311111,3333n n n a a a a n n a ⎧⎫++++=∈⎨⎬⎩⎭N 的前n 项和为n S ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3log n n b a =，数列121n n n b b b ++⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：112n n T S +<．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠= ，3AB AD ==，4CD =，点,M N 分别在线段AB 和PD 上，且2AM MB =，2DN NP =.试卷第6页，共6页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※(1)求证：//PM 平面ACN ；(2)设二面角P CD A --PC 和平面PAB 所成角的大小．21．已知a ∈R ，函数()e sin 0,2xf x a x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．(1)讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；(2)若()f x ，求a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0F ，点M 到直线3x =-的距离比到点F 的距离大2，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过点A 作C 的切线，交x 轴于点P ，直线BP 交C 于点Q （不同于点B ），直线AQ 交x 轴于点N ．若2ANF PNQ S S = ，求直线l 的方程．第7页/总54页答案：1．B【分析】化简集合A ，根据交集运算即可.【详解】{}{}220{0,1,2},1,1,2,3A x x x B =∈--==-N ∣，{}1,2A B ∴= .故选：B 2．A【详解】试题分析：根据复数的四则运算进行化简，复数的几何意义即可得到结论．解：∵z=1+i ，∴+z 2=+（1+i ）2==1﹣i+2i=1+i ，对应的点为（1，1），位于象限，故选A ．点评：本题次要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是处理本题的关键．3．D【分析】根据数量积的运算律移项后平方化简即可得解.【详解】由2340a b c ++= 可得234a b c →→→+=-，平方可得222412916a a b b c →→→→→+⋅+=，所以412916a b →→+⋅+=，解得14a b ⋅= .【高考】模仿试卷（5月）试卷第8页，共30页故选：D 4．C【分析】变形可得m tan20sin20︒=︒，由两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简可得．【详解】解：∵tan20°+m sin20°=∴msin20tan20cos20sin20sin20︒︒︒==︒︒sin20sin20cos20︒-︒=︒︒12sin2021sin402⎫︒-︒⎪⎝⎭=︒()2sin 60201sin402︒-︒==︒4故选：C 5．C【分析】根据组合计数原理平均分组法以及古典概型的概率公式可求得结果.【详解】若有2人，随机这100人平均分成10组，则这两名患者在同一组的分组方法数为8101010101010101098908070605040302099C C C C C C C C C A ，第9页/总54页因此，所求概率为81010101010101010989080706050403020981099810101010101010101010109100908070605040302010091010C C C C C C C C C A C A 1C C C C C C C C C C A 11A P ===.故选：C.6．D【分析】由函数为奇函数可得2b a =，根据切线的斜率为0建立方程求出a 即可得解.【详解】由()()()()220f x x x ax b a =-+≠可得32()(2)2f x ax b a x bx =+--，由于()()f x f x -=-，所以20b a -=，解得2b a =.所以()424y f a a a ==-，故切线斜率()0k f a '==，又2()(34)f x a x '=-，所以2()(34)0f a a a '=-=，解得a =a =所以3b =-或3.故选：D 7．B【分析】依题意可得2a ，2b ，2c ，设12AF F △内切圆的半径为r，根据等面积法得到|A r y =，即可得到r 的值，从而求出m ，即可求出椭圆的离心率；【详解】解：由椭圆221(1)1x y m m m +=>-，可得2a m =，21b m =-，2221c a b ∴=-=，则1c =，如图，【高考】模仿试卷（5月）试卷第10页，共30页设12AF F △内切圆的半径为r ，1212121211||||(||||||)22AF F A S F F y AF AF F F r =⋅=++⋅ ，2||(22)A c y a c r ∴⋅=+⋅，则|A r y =，要使12AF F △内切圆半径，则需||A y，||A y b = ，又12AF F △4m =，所以2a =．则椭圆的离心率12c e a ==故选：B ．8．D【分析】将11e e ,x y z ππ===变为111ln ln 2,ln e,ln 2e x y z ππ===，构造函数()()ln 0xf x x x =>，利用导数判断函数的单调性，再11ln ln 2ln 424x ==，根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：由11e e ,x y z ππ==，得111ln ln 2,ln e,ln 2e x y z ππ===，令()()ln 0xf x x x=>，则()()21ln 0x f x x x -'=>，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上递增，在[)e,+∞上递减，又因11ln ln 2ln 424x ==，e 34,<<且[)e,3,4e,∈+∞，所以()()()e 34f f f >>，即ln ln ln y z x >>，所以y z x >>.故选：D.9．ACD【分析】根据分布列的性质求出m 、n ，再根据期望、方差公式计算可得；【详解】解：依题意可得0.20.61m ++=，所以0.2m =，0.30.41n ++=，所以0.3n =，所以0.5m n +=，故A 正确；所以()10.200.220.61E X =-⨯+⨯+⨯=，则()()21213E X E X +=+=，故B 错误；()00.310.420.31E Y =⨯+⨯+⨯=，所以()()E X E Y =，故C 正确；由于()()()()222110.2010.2210.6 1.6D X =--⨯+-⨯+-⨯=()()()()222010.3110.4210.30.6D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，即()()D X Y D >，所以A 项目的风险比B 项目高，故D 正确；【高考】模仿试卷（5月）故选：ACD 10．AD【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ，接上去求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图像平移判断B ，令ππ2π()32x k k Z +=+∈解出x 即可判断C ，令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D 【详解】由图像可知，2A =πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确2π2Tω∴==此时()2sin(2)f x x ϕ=+又π(,2)12在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π()3k k Z ϕ=+∈ππ()2sin(22π)2sin(233f x x k x ∴=++=+将()f x 的图像向右平移π3个单位后得到的图像对应的解析式为πππ()2sin[2()2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故B 错误π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π()32x k k Z ∴+=+∈ππ()62k x k Z ∴=+∈当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时43k =不符合题意，故C 错误令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ()62k x k Z t t=-+∈当0k =时，π06x t=-<，不合题意1k =时，π3x t=；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t=又由于函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确故选：AD 11．BD【分析】连接AE 交平面BCD 于F .延伸DF 交BC 于H.对于A ：利用向量法求解，即可判断；对于B ：先判断出EHA ∠为二面角A BC E --的平面角.在EF 上取点G ，使AF GF =.连接BG 、CG 、DG 、HG.解三角形求出7cos 9AHG ∠=-.利用余弦函数的单调性判断出7cos cos 9AHE AHG ∠<∠=-.即可证明；对于C ：先求出正三棱锥A-BCD 的外接球球O ，再判断出球O 不能点E .即可否定C ;对于D：利用等体积法可求出内切球的半径r d ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭.即可判断.【详解】连接AE 交平面BCD 于F .延伸DF 交BC 于H.【高考】模仿试卷（5月）由于该几何体为两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体，且1BC AB ==，所以BCD △为边长为1的正三角形，且F 为BCD △的，且AF ⊥面BCD ,EF ⊥面BCD .所以2233DF DH ==⨯AF ===以H 为原点， HC 为x 轴正方向，HD为y 轴正方向，过H 作Hz 平行AF ，为z 轴建立空间直角坐标系,则1,0,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，A ⎛ ⎝⎭，E t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（3t <-）.所以1,2AB ⎛= ⎝⎭,12CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,12CE t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.对于A ：设(),,n x y z =为面DCE 的一个法向量，则()()11,,,,00222211,,,022n CD x y z x y n CE x y z t x y tz ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，不妨令y =1，则3n t ⎫=⎪⎪⎭.假设AB ∥平面DCE，则有1,02AB n ⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎭，解得.3t =-这与t <AB ∥平面DCE 不成立.故A 错误；对于B ：由于AE ⊥面BCD ,所以AE BC ⊥.在正三角形BCD 中，DH BC ⊥.又DH AE F ⋂=,所以BC ⊥面AHE ,所以BC AH ⊥,BC EH ⊥.所以EHA ∠为二面角A BC E --的平面角.在EF 上取点G ，使AF GF =.连接BG 、CG 、DG 、HG.则几何体G-BCD 为正三棱锥，且与正三棱锥A-BCD 全等.所以AH GH ==2AG AF ==由余弦定理得.2222222237cos 29AH HG AG AHG AH HG ⎫⎫⎛⎫+-⎪⎪ ⎪+-∠==-⨯⨯如图示：由于AHG AHE ∠<∠,所以7cos cos 9AHE AHG ∠<∠=-.即二面角A BC E --的余弦值小于79-.故B 正确；对于C ：假设该六面体存在外接球，设其球心为O .则球O 必ABCD ,所以球O 为正三棱锥A-BCD 的外接球，设球O 的半径为R .【高考】模仿试卷（5月）由OA OD R ==得.R =由于DF =,AF =,所以R =.R =设球O 的与AE 的另一个交点为M ，则4OM R ==,所以4126FM OM OF =-=而FE AF >=所以球O 不能点E .即该六面体不存在外接球.故C 错误；对于D ：由于该六面体是将两个正三棱锥的底面重合构成的，所以存在球Q 与六面体均相切，设内切球的半径为r .设EF d =.由等体积法可得：11111332BCD V S AE d ⎫=⋅=⨯⨯⨯⎪⎪⎝⎭.而113311133222V S r r ⎛=⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⋅ ⎝表，可求出r d ⎛ ⎝⎭.故该六面体存在内切球.故D 正确.故选：BD 12．BC【分析】根据等方差数列定义判断A ，由等方差数列定义及等比数列求2n a 判断B ，根据等方差数列定义及等比数列的通项公式判断C ，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.【详解】设(1)n n a =-，则221110n n a a --=-=，0p =不满足为非零常数，所以{}(1)n -不是等方差数列，故A 错误；由题意21(1)n a n p =+-，则25a a ==1p +=2p =或0p =（舍去），当2p =时，221n a n =-满足题意，故B 正确；设数列{}n a 为等比数列，不妨设n n a cq =，则11n n a cq --=，所以2222122(1)n n n a c q q a ---=-，若2222(1)n c q q --为常数，则1q =±，但此时2222(1)0n c q q --=，不满足题意，故C 正确；若数列{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，不妨设221n n a a p --=，（*2,,n n p ∈N 为非零常数），1(0)n n a a d d --=≠，所以1()n n a a d p -+=，即1n n p a a d -+=，所以2n pa d d-=，即22n p d a d =+，所以{}n a 为常数列，这与1(0)n n a a d d --=≠，221(0)n n a a p p --=≠矛盾，故D 错误.故选：BC 13．4（答案不）【分析】先求出公比，{}n a 的通项公式，从而得到()32123n n n n T a a a -== ，得到n 的值.【详解】由于{}n a 为正项等比数列且22439a a a ⋅==，所以33a =，又由于113a =，所以2319a q a ==，又0q >，所以3q =，则121333n n n a --=⨯=，()3122123333n n n n n T a a a ---==⨯⨯⨯= ，【高考】模仿试卷（5月）由于()1,1000n T ∈，所以当4n =时满足要求，故414．34-##0.75-【分析】根据双曲线定义求得2PF 的长度，在△12EF F 中利用勾股定理求得c a 、的关系，进而求得直线2PF 的斜率【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点D ，连接DO ，过点1F 作12F E PF ⊥于E ，则1122PF F F c ==，OD a =，12F E a=由点P 位于双曲线的左支上，可得222PF c a =+又△12PF F 中，112PF F F =，12F E PF ⊥，则2EF c a =+则有2221212EF EF F F +=，即()()()22222a c a c ++=解之得35a c =，或a c =-（舍）则12122 1.23tan 0.64EF a c EF F EF a c c c ∠====++，则直线2PF 的斜率为34-故34-15．2-【分析】先求定义域，对()ln 1f x x x =--去掉值，利用导函数研讨其函数图像，画出函数图像，将()y f x m =-有三个零点转化为两函数的交点成绩，数形求出实数m 的值.【详解】()ln 1f x x x =--定义域为()()0,,0∞+⋃-∞，当1≥x 得：()ln 1f x x x =-+，()1110x f x x x-=-=≤'恒成立，所以()ln 1f x x x =-+在1≥x 上单调递减，此时()max 0f x =，当()0,1x ∈时，()ln 1f x x x =+-，()1110xf x x x+=+=>'，所以()ln 1f x x x =+-在()0,1x ∈上单调递增，当(),0x ∈-∞时，()()ln 1f x x x =-+-，()11f x x'=+，当(),1x ∈-∞-时，()110f x x '=+>，当()1,0x ∈-，()110f x x+'=<，所以()f x 在(),1x ∈-∞-单调递增，在()1,0x ∈-上单调递减，且()1112f -=--=-，画出函数图像如下：【高考】模仿试卷（5月）显然，当2m =-时，y m =与()ln 1f x x x =--有三个交点，此时()y f x m =-有三个零点，满足要求故-216．π2##12π4【分析】①首先找到四面体ABCD 外接球的球心，再作出二面角A BD C --的平面角，即可求得二面角A BD C --的大小；②首先确定AM 的最小值即为ADF 的边DF 上的高，再利用余弦定理解三角形即可求得AM 的最小值.【详解】分别取BD 、CD 中点E 、F ，连接EF ，AE ，AF由ABD △和BCD △都是等腰直角三角形，π2BAD CBD ∠∠==．可得AE BD EF BD ⊥⊥，，则AEF ∠为二面角A BD C --的的平面角又由ABD △和BCD △都是等腰直角三角形，π2AB BAD CBD ∠∠===．可得2,BD BC ==1,AE EF ==BF CF DF ===①若四面体ABCD 外接球的表面积为8π，可得四面体ABCD 由CD =和π2CBD ∠=，可知BCD △在四面体ABCD 外接球的大圆上,则F 为四面体ABCD 外接球的球心，则AF =AEF 中，1,AE EF ==AF =，则有222AE EF AF +=则∠=AEF π2，即此时二面角A BD C --的大小为π2②若二面角A BD C --为π3时，则∠=AEF π3，又1AE EF ==，则1AF =点M 为线段CD 上一点，则AM 的最小值即为ADF 的边DF 上的高ADF 中3cos4ADF ∠=又0πADF <∠<，则sin ADF ∠=则ADF 边DF 上的高为sin 44AD ADF ∠则AM 的最小值为4故π217．(1)3B π=(2)2【分析】（1）若选①：利用余弦定理和二倍角公式得到sin22B =，求出3B π=；若选②：利用正弦定理和夹角公式sin 3B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3B π=；若选③：由正弦定理和余弦定理求出3B π=．（2）利用余弦定理求出b =BD (1)若选①：()222sin 2a cb B ac +-=，且2222cos a c b ac B +-=，所以2cos sin 2ac B B ac =，所以sin22B =．又4B ππ<<，所以222B ππ<<，所以223B π=，所以3B π=．若选②：由正弦定理得sin sin 1cos B AA B=-，由于sin 0A ≠，所以sin B B =，即sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【高考】模仿试卷（5月）由40,333B B ππππ<<<+<，所以233B ππ+=，所以3B π=．若选③：由正弦定理得b c aa cb c+=--，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又0B π<<，所以3B π=．(2)在ABC 中，由余弦定理得2222cos 9161213b a c ac B =+-=+-=，所以b =又()()224AC BA BC BD DA BD DC BD ⋅=+⋅+=-，所以21334cos 34BD π⋅⋅=-，所以中线BD 长为2．18．(1)12;(2)分布列见解析，0.【分析】(1)由题意知质点挪动2次的一切可能种数，再求出挪动2次后在原点的一切可能种数，根据古典概型求解即可；（2）设向左挪动的次数为随机变量Y ，易知1(6,2Y B ，得出随机变量62X Y =-,由二项分布求出对应的概率，即可求出分布列，再由期望的性质求解X 的期望.(1)质点挪动2次，可能结果共有224⨯=种，若质点位于原点O ，则质点需求向左、右各挪动，共有12C 2=种，故质点位于原点O 的概率2142P ==.(2)质点每次挪动向左或向右，设A 为“向右”，则A 为“向左”，故1()(2P A P A ==,设Y 表示6次挪动中向左挪动的次数，则1(6,)2Y B ，质点到达的数字62X Y =-,所以06611(6)(0)C ()264P X P Y =====,16613(4)(1)C ()232P X P Y =====，266115(2)(2)C ()264P X P Y =====，36615(0)(3)C ()216P X P Y =====，466115(2)(4)C ()264P X P Y =-====，56613(4)(5)C ()232P X P Y =-====，66611(6)(6)C ()264P X P Y =-====，所以X 的分布列为：X6-4-2-0246P164332156451615643321641()(62)2()626602E X E Y E Y =-=-+=-⨯⨯+=.19．(1)()*3n n a n =∈N (2)证明见解析【分析】（1）由已知，令1n =，求解出1a ，然后再递推一项作差，从而得到n a 的关系式，再验证1a 能否满足即可完成求解；（2）由第（1）问求解出n a 的通项公式，先求解出数列{}n a 的前n 项和n S ，然后将n a 的通项公式带入3log n n b a =中，得到n b 的通项公式，然后写出1231n n n b b b +++的表达式，并对通项进行裂项，然后求和，经过对比即可完成证明.(1)当1n =时，13a =，当2n 时，1232311113333n n a a a a n ++++= ①【高考】模仿试卷（5月）1231231111113333n n a a a n --++++=- ②由①-②得()1113nna n n =--=，即()32nn a n =．当1n =时也成立，所以数列{}n a 的通项公式为()*3n n a n =∈N ．(2)证明：由（1）知3nn a =，所以1111113311112313n n n S+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎪⎝⎭-，由于33log log 3nn n b a n ===，所以()()()()()12311111122112n n n b b b n n n n n n n +++⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，所以()()()()()11111111112122323341122212n T n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，所以()()1221212n T n n ⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦．由于()()()()()1110121111123211C C C 1122n n n n n n n n n n n +++++++++>=+++=+++>，所以()()11121121121223n n n T S n n ++⎡⎤⎛⎫=-<=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以112n n T S +<．20．(1)证明见解析(2)45【分析】（1）连接MD ，交AC 于点E ，根据平行线分线段成比例可证得//NE PM ，由线面平行的判定可证得结论；（2）取CD 中点F ，作PO MF ⊥，利用线面垂直的判定可证得CD ⊥平面PFM ，PO ⊥平面ABCD ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角平面角的定义可知二面角P CD A --的平面角为PFO ∠，由此可得的线段长度，得到所需点的坐标，利用线面角的向量求法可求得结果.(1)连接MD ，交AC 于点E ，连接NE ；2AM MB = ，223AM AB ∴==，//AB CD Q ，12AM ME CD DE ∴==，又2DN NP =，ME PN DE DN∴=，//NE PM ∴，又NE ⊂平面ACN ，PM ⊄平面ACN ，//NE ∴平面ACN .(2)取CD 中点F ，连接,PF MF ；作PO MF ⊥，垂足为O ；PCD Q V 为正三角形，PF CD ∴⊥；2AM DF == ，//AM DF ，∴四边形AMFD 为平行四边形，//AD FM ∴，又90ADC ∠= ，CD FM ∴⊥，又PF FM F = ，,PF FM ⊂平面PFM ，CD \^平面PFM ；PO ⊂ 平面PFM ，CD PO ∴⊥，又PO FM ⊥，CD FM F = ，,CD FM ⊂平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ；作//OG CD ，交BC 于点G ，则OG FM ⊥，以O 为坐标原点，,,OM OG OP正方向为,,x y z 轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，【高考】模仿试卷（5月）PF CD ⊥ ，MF CD ⊥，PFO ∴∠即为二面角P CD A --的平面角，又PF =，cos PFO ∠=cos 2OF PF PFO ∴=∠=，OP ∴=则(0,0,P ，()2,2,0C -，()1,2,0A -，()1,1,0B，(2,CP ∴=-，(AP =-，(1,BP =--，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则20AP n x y BP n x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，解得：x =0y =，()n ∴= ；设直线PC 和平面PAB 所成角为θ，sin cos ,432CP n CP n CP nθ⋅∴=<>===⨯⋅，又090θ≤≤ ，45θ∴= ，即直线PC 和平面PAB 所成角的大小为45 .21．(1)当1a <时，()f x '的零点个数为0；当1a ≥时，()f x '的零点个数为1；(2)6,e 3π∞⎛⎤- ⎥ ⎝⎦.【分析】（1）求导再对a 分三种情况讨论得解；（2）先证明1a 满足题意；再讨论1a >时，6e a π⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，综合即得解.(1)解：令()()()e cos ,e sin x xg x f x a x g x a x ==-=+''．若1a <，则()e cos 110xf x a x =>-'-=，所以()f x '的零点个数为0；若()1,e sin 0xa g x x ==+>'，所以()f x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()00e cos0110f =-=-='，所以()f x '的零点个数为1；若()1,e sin 0xa g x a x =+'>>，所以()f x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()2010,e 02f a f ππ⎛⎫=-<=⎪⎝⎭' '>，所以()f x '的零点个数为1．综上得，当1a <时，()f x '的零点个数为0；当1a ≥时，()f x '的零点个数为1.(2)解：由（1）知：若()1,e cos 0xa f x a x =-'，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()()01f x f =>，所以1a 满足题意；若1a >，存在唯00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭一，使得()000e cos 0xf x a x =-='，且当()00,x x ∈时，()0f x '<，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．所以()0min 0000()e sin cos sin x f x f x a x a x a x ==-=-，化简得05cos cos 412x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以00,6x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设cos sin cos (),(0,),()0e 6e x xx x xh x x h x π--'=∈∴=<，所以cos e x x y =在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以006cos 1e 2e x x a ⎫⎪=∈⎪⎣⎭，【高考】模仿试卷（5月）解得61,e 3a π⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦．综上所述，a 的取值范围为6,e 3π∞⎛⎤- ⎥ ⎝⎦．22．(1)24y x=(2)y =-y =-+【分析】（1）利用点M 到直线3x =-的距离比到点F 的距离大2，可知M 到直线1x =-的距离等于到()1,0F 的距离，可知其轨迹为抛物线，写出抛物线方程.（2）先求出A 点的切线方程，再将直线l 和直线PQ 方程分别与抛物线方程联立，然后根据2ANF PNQ S S = 可求得直线的方程.(1)解：由题意得：由于点M 到直线3x =-的距离比到点F 的距离大2所以M 到直线1x =-的距离等于到()1,0F 的距离所以M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，1x =-为准线的抛物线，方程为24y x =(2)设()()()()222,2,,2,,2A s s B t t Q r r t r ≠点A 处的切线方程为()22y k x ss=-+联立方程组()2224y k x s sy x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，得224840s y y s k k --+=由2248Δ440s s k k ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1k s =，可知切线为1y x ss =+今0y =，得()2,0P s -．设直线l 的方程为1x my =+联立方程组241y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，所以4A B y y =-．设直线PQ 的方程为2x ny s =-联立方程组224y x x ny s ⎧=⎨=-⎩，得22440y ny s -+=，所以24B Q y y s =．所以2224,224s t r t s ⋅=-⋅=，得31,t r ss=-=-又,B Q 在拋物线上，得()()63212,,,21B Q s s s ss ⎛⎫--≠± ⎪⎝⎭．所以直线AQ 的方程为()3222211s y x s s s=---，令0y =，得()4,0N s ．由2ANF PNQ S S = ，得()()4423111|2|2222s s s s s -=⋅+解得s =，得1,2A ⎛ ⎝．所以直线l 的方程为y =-或y =-+【高考】模仿试卷（5月）【高考数学】2022-2023学年江苏省南京市专项提升仿真模拟试题（二模）第I 卷（选一选）请点击修正第I 卷的文字阐明评卷人得分一、单选题1．已知复数z 满足()1i 22i z -=+，则|z |＝（）A ．1BC ．2D ．2．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的暗影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}3．足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%．若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为60%、40%，则该球员点球射门进球的概率为（）A ．77%B ．77.5%C ．78%D ．78.5%4．已知2tan 10θθ-=，则tan 2θ=（）A ．．6C D5．已知直线():120l x a y +-+=，20l y +=，且12l l ⊥，则22a b +的最小值为（）A ．14B ．12C ．2D ．13166．为庆祝神州十三号飞船顺利前往，某校举行“特别能吃苦，特别能，特别能攻关，特别能奉第31页/总54页献”的航天演讲比赛，其奖杯设计如下图，奖杯由一个半径为6cm 的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm 的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则奖杯的高度为（）cm．A．6+．6+．9+．9+7．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线E 的两条渐近线分别交于M ，N ，若12F M MN = ，且1290F NF ∠= ，则双曲线E 的离心率为（）A．4C．68．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，已知当[]0,1x ∈时，()2x f x a =-，若()|1|f x m x =-恰有六个不相等的零点，则实数m 的取值范围为（）A ．1111,6426⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．1111,8426⎛⎫⎡⎤⋃- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦C ．111,646⎛⎫⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D ．111,846⎛⎫⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭评卷人得分二、多选题9．为了解先生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学进行了质量监测．已知该地甲、乙两校高三年级的先生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校数学学科的考【高考】模仿试卷（5月）试卷第32页，共30页试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布1N （108，25）、2N （97，64），人数保留整数，则（）参考数：若()2,Z N μσ~，则(||)0.6827P Z μσ-<≈，(||2)0.9545P Z μσ-<≈，(||3)0.9973P Z μσ-<≈.A ．从甲校高三年级任选一名先生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865B ．甲校数学成绩不超过103的人数少于140人C ．乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散D ．乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小10．若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++ ，则（）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑11．在正四面体A －BCD 中，3AB =，点O 为ACD △的重心，过点O 的截面平行于AB 和CD ，分别交BC ，BD ，AD ，AC 于E ，F ，G ，H ，则（）A ．四边形EFGH 的周长为8B ．四边形EFGH 的面积为2C ．直线AB 和平面EFGHD ．直线AC 与平面EFGH 所成的角为4π12．若正整数m ．n 只要1为公约数，则称m ，n 互质，对于正整数k ，ϕ（k ）是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数ϕ（k ）以其首名研讨者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()21ϕ=，(3)2ϕ=，(6)2ϕ=，(8)4ϕ=．已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么()()()mn m n ϕϕϕ=，第33页/总54页例如：(6)(2)(3)ϕϕϕ=，则（）A ．(5)(8)ϕϕ=B ．数列(){}2n ϕ是等比数列C ．数列(){}6n ϕ不是递增数列D ．数列()16n ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于35第II 卷（非选一选）请点击修正第II 卷的文字阐明评卷人得分三、填空题13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，直线10x y --=被抛物线C 截得的弦长为8，则抛物线C 的准线方程为___．14．某射手每次射击击中目标的概率均为0.6，该名射手至少需求射击___次才能使目标被击中的概率超过0.999，（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）15．已知等差数列{n a }的前n 项和是n S ，180S >，190S <，则数列{|n a |}中值最小的项为第___项．16．平面向量,,a b c 满足1,2a b == ，a 与b 的夹角为60 ，且()()20c a c b -⋅-= 则||c 的最小值是___．评卷人得分四、解答题17．在①2sin tan cos sin B A CC =+，②sin 2A A =，③cos2cos 0A A +=这三个条件中任选一个，补充在上面成绩中，并完成成绩的解答．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，b ＝1，c ＝3，且___．(1)求A ；(2)若点D 在边BC 上，且3BC BD =，求AD ．【高考】模仿试卷（5月）试卷第34页，共30页注：如果选择多个进行解答，则按个解答计分18．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()*N n n a S n n +=∈(1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．19．手机用户可以经过查看本人每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或．现从小华的内随机选取了100人，记录了他们某的行走步数，并将数据整理如下表：0～20002001～50005001～80008001～1000010001以上男58121213女10121369若某人的行走步数超过8000则被评定为“积极型”，否则被评定为“懒惰型”．(1)根据题意完成上面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；积极型懒惰型总计男女总计附：()20P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.706 3.841 6.6357.87910.828第35页/总54页22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；(2)在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取8人，再从中随机抽取3人，求抽到女性“积极型”人数X 的概率分布列和数学期望．20．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，1CC =D 为BC 的中点，E 为侧棱1AA 上的点．(1)当E 为1AA 的中点时，求证：//AD 平面1BC E ；(2)若平面1BC E 与平面ABC 所成的锐二面角为60 ，求AE 的长度．21．已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F，其离心率e =F 垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ =(1)求椭圆Γ的方程；(2)若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．22．已知函数()1e 1(0)x f x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()e 2ln ln (0)x a g x x a a x=-+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)求证：()g x 存在极小值；【高考】模仿试卷（5月）试卷第36页，共30页(3)若()g x 的最小值等于0，求a 的值．答案：1．C【分析】由已知得1i 22i z -=+，根据复数的模的计算可得答案.【详解】解：由已知得1i 22i z -=+=2z =，故选：C ．2．B【分析】根据文氏图求解即可.【详解】{2,4}A B ⋂=，{}0,2,3,4,5,6A B ⋃=，暗影部分为{}0,3,5,6.故选：B ．3．C【分析】根据该球员点球射门进球的可能情况，即踢向球门左、右两侧时都有进球的可能，由此求得答案.【详解】由题意得：该球员进行点球射门时踢向球门左册时进球的概率为80%60%⨯踢向右侧进球的概为75%40%⨯，故该球员点球射门进球的概率为80%60%75%40%78%⨯+⨯=，故选：C ．4．D【分析】由已知利用正切的二倍角公式可求解．【详解】21tan θθ=-2tan 1tan θθ=-，∴22tan tan 21tan 3θθθ==-，故选：D ．5．A【分析】由两直线垂直得到1a =，再代入消元利用二次函数的性质求解.【详解】解：12l l ⊥10a +-=，∴1a =，所以()22221a b b +=-+241b =-+，二次函数的抛物线的对称轴为b =，当b =时，22a b +取最小值14.故选：A ．6．C【分析】A ，B ，C 在底面内的射影为M ，N ，P 分别为对应棱的中点，可得12==AB MN DF ，设△ABC 外接圆圆心O ，则由正弦定理可得半径r ，利用勾股定理可得1OO 、AM 从而端点答案.【详解】A ，B ，C 在底面内的射影为M ，N ，P 分别为对应棱的中点，∴1136924AB MN DF ===⨯=，∴△ABC 是边长为9的等边三角形，设△ABC 外接圆圆心O ，半径r，则2r r ===，∴13OO ==，AM ==O 到平面DEF 距离＝∴奖杯的高度为639+++故选：C ．7．B【分析】设11(,)N x y ，由12F M MN = 将M 的坐标表示出来，再利用N 在b y x a =，M 在b y x a =-上，求出点N 的坐标，由120NF NF ⋅= 可求出离心率.【详解】设11(,)N x y ，已知()1,0F c -、2(,0)F c ，∵()1122⇒-=-= OM O ON OM F M MN F ，∴1112122,33333c OM ON OF x y ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ ，∴1122,333⎛⎫- ⎪⎝⎭c M x y N 在b y x a =，M 在b y x a =-，∴111122()333b y x a b c y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴1144c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即N ,44⎛⎫ ⎪⎝⎭c bc a ，15,44⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ c bc NF a ，23,44⎛⎫=- ⎪⎝⎭ bc NF c a ，2221221501616b c NF NF c a ⋅=-+= ，∴2215b a =，∴2216,4c e a==，故选：B ．8．D【分析】根据已知求出1a =，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解.【详解】解：由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()0020,1f a a =-=∴=.所以当[]0,1x ∈时，()21x f x =-.由于()()11f x f x +=-，则()f x 关于1x =对称，由于1y m x =-关于1x =对称，()1f x m x =-有6个不相反的根，∴()(1)f x m x =-在()1,x ∈+∞有三个不同的根，(1)y m x =-表示过定点(1,0)的直线系，()()()2,(4)[(2)2](2)(),f x f x f x f x f x f x f x +=-=-∴+=++=-+= 4T ∴=.作出()f x 在[0,)+∞上的图象,如图所示，0m >时，AC AB k m k <<，又101101,918514AC AB k k --====--,则1184m <<；0m <时，16AD m k ==-;0m =时，显然不满足题意.∴m 的取值范围111,846⎛⎫⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.故选：D ．9．AC【分析】根据正态分布的性质逐一判断即可得选项.【详解】解：对于A ，由于甲校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布1N （108，25），则1131085μσ=+=+，()()10.68271130.158622P X P X μσ≥=≥+=-=，故A 正确．对于B ，()()1030.15865P X P X μσ<=<-=，9000.158********⨯=>，故B 不正确．对于C ，甲校的15σ=，乙校的28σ=，∴乙更分散，故C 正确．对于D ，由于甲校数学学科的考试成绩服从正态分布1X N ~（108，25），所以()11310.158650.84135P X <=-=，乙校数学学科的考试成绩服从正态分布()297,64Y N ~，所以()()11320.977250.84135P Y P Y μσ<=<+=>，故D 不正确．故选：AC.10．ABD【分析】令0x =，可求得02022a =，判断A ；写出2a 的求解式子，组合数的性质化简，即可判断B ；令1x =-，即可求得20221(1)ii i a =-∑的值，判断C;对()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++ 两边求导数，令1x =-，即可求得202211(1)i i i ia -=-∑ D.SixED.【详解】当0x =时，02022a =，故A 对；3322222223220223342022342022C +C +C ++C C +C +C C a C +===+ ，B 对；令1x =-，则01234202120220a a a a a a a =-+-+-+ ，∴202201(1)2022i i i a a =-=-=-∑，故C 错；对等式()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++ 两边求导，即()()()220211213120221x x x +++++++ 202112202222022a a x a x =+++ 令1x =-，则123420212022123420212022a a a a a a =-+-++- ，∴202211(1)1i i i ia -=-=∑，故D 对，故选：ABD ．11．BCD【分析】根据O 点式ACD △的重心和HG CD //可以求出HG ,同理可求出,,GF EF HE ,则可以判断A ，AB CD HE EF ⊥⇒⊥,则四边形的面积可求，可以判断B ，将正四面体补成正方体，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再利用向量法求出距离和夹角，则可以判断CD【详解】O 为ABC 的垂心，连AO 延伸与CD 交于M 点，则23AO AM =∴2//3HG CD ，∴2HG =，2EF =，1//3HE AB ，∴1HE GF ==，∴周长为6，A 错．AB CD ⊥，则212EFGH S =⨯=，B 对．将四面体补成一个长方体，则正方体边长为2，∴HP ，Q 分别为AB ，CD 中点，PQ ⊥平面EFGH，n PQ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∴A 到平面EFGH距离2AH n d n ⋅=== C 对AC 与PQ 夹角为π4，则AC 与平面EFGH 的夹角为π4，D 对故选：BCD12．ABD 【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果.【详解】(5)4,(8)4,(5)(8)ϕϕϕϕ==∴=，A 对；∵2为质数，∴在不超过2n 的正整数中，一切偶数的个数为12n -，∴()11222=2ϕ---=n n n n 为等比数列，B 对；∵与3n 互质的数为1,2,4,5,7,8,10,11,,32,3 1.-- n n 共有11(31)323n n ---⋅=⋅个，∴1(3)23,ϕ-=⋅n n 又∵()6=(2)(3)ϕϕϕn n n =126-⋅n ，∴()6ϕn 一定是单调增数列，C 错；()1626n n ϕ-=⋅，()16n ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为111263131156516n n n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，D 对.故选：ABD ．。

2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.能与−2相加得0的数是( )A. 2B. −2C. 12D. −122.下列正确的是( )A. 4+9=2+3B. 4×9=2×3C. 94=32D. 4.9=0.73.整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 84.下列图形是三棱柱展开图的( )A. B.C. D.5.若m≠n，则下列化简一定正确的是( )A. m+3n+3=mnB. m−3n−3=mnC. m3n3=mnD. 3m3n=mn6.如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图(成绩均为整数)，其中部分已破损.若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是( )A. 3环以下(含3环)的人数B. 4环以下(含4环)的人数C. 5环以下(含5环)的人数D. 6环以下(含6环)的人数二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.若x+2y=5，则3x+6y−1的值是______．8.若分式xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．9.计算3+12的结果是______．10.若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是______．11.若a n+a n⋯+a na个a n=a4(a为大于1的整数)，则n的值是______．12.一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是______．13.如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为______．14.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是______．15.关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m(m>1)的两根之和是______．16.如图，已知点A(1,0)、B(5,0)，点C在y轴上运动.将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为______．三、解答题：本题共11小题，共88分。