江苏省南京市、盐城市2021届高三数学第二次模拟考试试题.doc

江苏省南京市、盐城市2021届高三地理第二次模拟考试试题（含解析）一、选择题（共60分）（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

下图分别为某日同一时刻太阳高度沿某经线和某纬线分布图，读图完成下面小题。

1. 此时（）A. 北京时间为2时B. a+c=90°C. 左图经线90°WD. 右图纬线为23°26′N2. 以下叙述正确的是（）A. 该日北极圈上出现极昼B. 该日后太阳直射点将向南移C. 次日右图纬线昼长夜短D. 次日南京日出东北方向【答案】1. B 2. D【解析】【分析】试题考查区时计算、太阳高度变化规律【1题详解】从左图中看，此时太阳直射点在赤道以北，90°N太阳高度为c，则太阳直射点的纬度为c，D 错。

从右图中看，90°E太阳高度为最大，最大的太阳高度为a，可判断出太阳直射点在90°E，90°E地方时为12点，北京时间为14时，左图中的经线为90°E ，A、C错。

右图中昼长为12小时，可判断出该纬线为赤道，正午太阳高度与直射点纬度和为90°，因此a+c=90°，B 正确。

【2题详解】从左图中看，此时太阳直射点在赤道以北，90°N太阳高度为c，则太阳直射点的纬度为c，（90°－c）纬线圈上出现极昼，A错。

太阳直射点可能向北移，也可能向南移，B错。

右图纬线昼长为12小时，可判断出该纬线为赤道，赤道上全年昼夜平分，C错。

从左图中看，此时太阳直射点在赤道以北，次日南京日出东北方向，D正确。

【点睛】太阳直射点位于北半球时，全球除极昼极夜地区外都东北日出、西北日落；太阳直射点位于南半球时，全球除极昼极夜地区外都东南日出、西南日落；太阳直射点位于赤道上时，全球正东日出，正西日落。

2021年1月6日-7日，全国迎来了冬至后的首次大范围降水，下图为“1月6日-7日全国降水量分布图”，读图完成下面小题。

绝密★启用前江苏省南京市、盐城市普通高中2022届高三毕业班第二次高考联合模拟考试数学试题2022年3月注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝A．[1，3] B．(2，3] C．[1，＋∞) D．(2，＋∞) 2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝A． 3 B． 5 C．7 D．54．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留2位有效数字)α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.98485．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为23，高为6，则球O的表面积为A．32πB．48πC．64πD．80π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝λkk!e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立,且服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等,则两周共销售2件该商品的概率为A．2e4B．4e4C．6e4D．8e47．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上,则椭圆C的离心率为A．7－12B．7－13C．5－12D．5－138．已知实数a,b∈(1,＋∞),且2(a＋b)＝e2a＋2ln b＋1,e为自然对数的底数,则A．1＜b＜a B．a＜b＜2a C．2a＜b＜e a D．e a＜b＜e2a 二､多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9．我国居民收入与经济同步增长,人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴,稳步实施乡村建设行动,为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表,下列说法一定正确的是A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差,城镇比农村的大C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数,农村比城镇的大D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升(第9题图)。

2021年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．（5分）设集合A={x|��2＜x＜0}，B={x|��1＜x＜1}，则A∪B= ． 2．（5分）若复数z=（1+mi）（2��i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为． 3．（5分）将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是． 4．（5分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为．5．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．6．（5分）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a2，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于． 7．（5分）如图，正三棱柱ABC��A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A��A1EF的体积是．2第1页（共27页）8．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜图象过点（��，��），则φ的值为．）的最小正周期为π，且它的9．（5分）已知f（x）=，不等式f（x）≥��1的解集是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线2��=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是．11．（5分）在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且则AC的长为．12．（5分）已知圆O：x+y=1，圆M：（x��a）+（y��a+4）=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．213．（5分）已知函数f（x）=ax+x��b（a，b均为正数），不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|��2��t＜x＜��2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠?，则��的最大值是． 14．（5分）若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y��2ex）（lny��lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，计90分）．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（14分）已知α为锐角，cos（α+（1）求tan（α+（2）求sin（2α+）的值；）的值．）=．2222=2，AD=，16．（14分）如图，在三棱锥P��ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；第2页（共27页）（2）若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC．17．（14分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：+=1（a＞b＞0）上，若点A（��a，0），B（0，），且=．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．①若点P（��3，0），直线l过点（0，��），求直线l的方程；②若直线l过点（0，��1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．*19．（16分）对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N）个数x0，x1，x2，…，xn，使得a=x0＜x1＜x2＜…＜xn��1＜xn=b，记S=|f（xi+1）��f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．（1）若函数f（x）=��2x+1，给定区间为[��1，1]，求S的值；（2）若函数f （x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；2（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx��x 在区间[1，e]上具有性质V．第3页（共27页）20．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（��1）Sn+p（p为常数，p≠0）．（1）求p的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设集合An={a2n��1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．三、数学附加题【选做题】在以下四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲] 21．（10分）如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE?CE=EF?EA．nn[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知a，b是实数，如果矩阵A=（3，4）．（1）求a，b的值．（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin（��θ）=，椭圆C的参数方程为（t为参数）．2所对应的变换T把点（2，3）变成点（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．解不等式：|x��2|+x|x+2|＞2．[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．第4页（共27页）26．（10分）设（1��x）=a0+a1x+a2x+…+anx，n∈N，n≥2．（1）设n=11，求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值；（2）设bk=|的值．ak+1（k∈N，k≤n��1），Sm=b0+b1+b2+…+bm（m∈N，m≤n��1），求|n2n*第5页（共27页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。

南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学2021． 03考前须知：1．本试卷共 4 页，包括填空题〔第1 题~第 14 题〕、解答题〔第 15 题~第 20 题〕两局部．本试卷总分值为 160 分，考试时间为120 分钟．．．．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．．．．．．．．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上．1的定义域为▲ ．1．函数 f(x)＝ ln 1－ x－－ ▲．2．假设复数 z 满足 z(1－ i)＝ 2i 〔 i 是虚数单位〕， z 是 z 的共轭复数，那么z ·z ＝3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，那么甲、乙不在同一兴趣小组的概率为▲．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众 4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研，假设在“不喜欢戏剧的男性青年观众〞的人中抽取了 8 人，那么 n 的值为▲．5．根据如下图的伪代码，输出S 的值为▲．S ← 1I ← 16．记公比为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ．假设 a 1＝ 1， S 4－ 5S 2＝0，WhileI ≤8S ← S ＋ I那么 S 5 的值为▲．I ← I ＋ 2 πEnd While 7．将函数 f(x)＝ sinx 的图象向右平移y ＝ g(x)的图象，PrintS个单位后得到函数3那么函数 y ＝ f(x)＋g(x)的最大值为 ▲．〔第 5 题图〕8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y 2＝ 6x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 为抛物线上一点， PA ⊥ l ， Aπ 3π ，那么 cos α的值为 ▲ ．9．假设 sin(α－ )＝ 5 ， α∈ (0， )6 210． α， β为两个不同的平面， m ， n 为两条不同的直线，以下命题中正确的选项是▲〔填上所有正确命题的序号〕 ．①假设 α∥ β， m α，那么 m ∥β；②假设 m ∥α， nα，那么 m ∥n ；③假设 α⊥ β， α∩ β＝ n ， m ⊥ n ，那么 m ⊥ β； ④假设 n ⊥ α， n ⊥ β， m ⊥ α，那么 m ⊥ β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 1： kx － y ＋2＝ 0 与直线 l 2： x ＋ ky － 2＝ 0 相交于点 P ，那么当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y － 4＝ 0 的距离的最大值为▲ ．12．假设函数 f(x)＝x2－mcosx ＋m 2＋ 3m － 8 有唯一零点，那么满足条件的实数 m 组成的集合为▲．13．平面向量→ → → →▲．AC ＝(1 ，2)， BD ＝ (－ 2， 2)，那么 AB ?CD 的最小值为14．函数 f(x)＝ lnx ＋ (e － a)x － b ，其中 e 为自然对数的底数．假设不等式b的最f(x)≤ 0 恒成立，那么 a 小值为 ▲ ．．．．．．．．．二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值 14 分〕如图，在△ ABC 中， D 为边 BC 上一点， AD ＝ 6， BD ＝3， DC ＝ 2．〔1〕假设 AD ⊥ BC ，求∠ BAC 的大小；AAπ〔2〕假设∠ ABC＝4，求△ ADC 的面积．BD CBDC〔第 15 题图 1〕 〔第 15 题图 2〕数学试卷第 2 页共16 页如图，四棱锥P－ABCD 中， AD ⊥平面 PAB， AP⊥ AB．（1〕求证： CD ⊥ AP；（2〕假设 CD ⊥PD，求证： CD∥平面 PAB；D CABP〔第 16 题图〕17．〔本小题总分值14 分〕在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600 平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB， BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米，其中a≥ b．（1〕当 a＝ 90 时，求纸盒侧面积的最大值；（2〕试确定 a， b， x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．D CA B〔第 17 题图〕22如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆 C ： x＋ y＝1 经过点 (b ， 2e)，其中 e 8 b 2为椭圆 C 的离心率．过点 T(1， 0)作斜率为 k(k ＞ 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点 (A 在 x 轴下方 )．〔1〕求椭圆 C 的标准方程；〔2〕过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆C 于点 M ， N ，求AT · BT 的值；MN 2→ 2 →〔3〕记直线 l 与 y 轴的交点为 P ．假设 AP ＝ 5 TB ，求直线 l 的斜率 k ．yMBOT xPNA19．〔本小题总分值 16 分〕〔第 18 题图〕函数 f (x)＝ e x － ax － 1，其中 e 为自然对数的底数， a ∈ R ．（ 1〕假设 a ＝ e ，函数 g (x)＝ (2－e)x ．①求函数 h(x)＝ f (x)－ g (x)的单调区间；②假设函数F(x)＝f (x)，x ≤m ，的值域为 R ，求实数m 的取值范围；g (x)， x ＞m（ 2〕假设存在实数 x 1， x 2∈ [0， 2]，使得 f(x 1)＝ f(x 2)，且 | x 1－x 2| ≥ 1，求证： e － 1≤ a ≤e 2－e ．20．〔本小题总分值16 分〕数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 { b n } ， { c n } 满足 (n ＋ 1) b n ＝ a n ＋ 1－S n，n(n ＋ 2) c n ＝a n ＋1＋a n ＋2 S n，其中 n ∈ N* ．－ n2〔1〕假设数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列，求数列 { c n } 的通项公式；〔 2〕假设存在实数 λ，使得对一切n ∈N* ，有 b n ≤ λ≤ c n ，求证：数列{ a n } 是等差数列．南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学附加题2021．03考前须知：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．21．【选做题】在 A 、B、C 、D 四小题中只能选做 2 题，每题 10 分，共计卷卡指20 分．请在答．．．．定区域内作答．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图，△ ABC 的顶点 A， C 在圆 O 上， B 在圆外，线段AB 与圆 O 交于点 M．（1〕假设 BC 是圆 O 的切线，且 AB＝ 8，BC＝ 4，求线段 AM 的长度；（2〕假设线段 BC 与圆 O 交于另一点 N，且 AB＝ 2AC，求证： BN＝ 2MN ．CC NOOA M BA M B〔第 21(A) 图〕B．选修 4— 2：矩阵与变换3 0设 a， b∈R．假设直线l ：ax＋ y－ 7＝0 在矩阵A=－1b对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x＋ y－ 91＝ 0．求实数a， b 的值．C ．选修 4— 4：坐标系与参数方程3在平面直角坐标系x＝1＋5t，x＝ 4k2，xOy 中，直线 l ：(t 为参数 )，与曲线 C：y＝4k(k 为参数 )交4y＝5t于 A， B 两点，求线段AB 的长．数学试卷第 5 页共16 页D ． 修 4— 5：不等式a ≠b ，求 ： a 4＋ 6a 2b 2＋ b 4＞ 4ab( a 2＋ b 2)．【必做 】第22 、第 23 ，每 10 分，共20 分． 在答 卷卡指定区域内作答．解答 写出．．．．．．．．文字 明、 明 程或演算步 ．22．〔本小 分10 分〕如 ，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，底面四 形ABCD 菱形， A 1A ＝ AB ＝ 2，π∠ABC ＝ ，E ， F 分 是 BC ， A 1C 的中点．3（ 1〕求异面直 EF ， AD 所成角的余弦 ；（ 2〕点 M 在 段 A 1D 上，A 1M＝ λ．假设 CM ∥平面 AEF ，求 数 λ的 ． A 1DA 1D 1B 1C 1FMADBEC〔第 22 题图〕23．〔本小 分10 分〕n(n ＋ 1)有〔 n ≥2， n ∈ N* 〕个 定的不同的数随机排成一个下 所示的三角形数 ：* ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 1 行**⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第 2 行 * * *⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第 3 行⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯** ⋯⋯⋯⋯ * * ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 n 行M k 是第 k 行中的最大数，其中 1≤ k ≤ n ， k ∈ N* ． M 1＜ M 2＜⋯＜ M n 的概率 p n ．（ 1〕求 p 2 的 ；2（ 2〕 明： p n ＞C n＋1 ．(n ＋ 1)!南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空 〔本大 共14 小 ，每小5 分， 70 分 .〕21． (－∞， 1) 2． 2 3． 34． 30 5．17 6． 31 7． 38． 64 3－ 3 10．①④11． 3 212． {2}9． 109113．－ 414．－ e二、解答 〔本大 共6 小 ，90 分．解答 写出必要的文字 明， 明 程或演算步 〕15．〔本小 分14 分〕解：〔 1〕 ∠ BAD ＝ α，∠ DAC ＝ β．因 AD ⊥ BC ， AD ＝ 6， BD ＝ 3，DC ＝ 2，所以 tan α＝1， tan β＝ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分231 1所以 tan ∠ BAC ＝ tan(α＋β)＝tan α＋tan β＝ 2＋3＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分1－ tan αtan β111－×32π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又∠ BAC ∈ (0， π)，所以∠ BAC ＝ ．4〔 2〕 ∠ BAD ＝α．π在△ ABD 中，∠ ABC ＝ ， AD ＝ 6，BD ＝3．4由正弦定理得AD ＝ BD， 解得 sin α＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分π sin α4sin 4因 AD ＞ BD ，所以 α 角，从而cos α＝ 1－ sin 2α＝14． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4πππ因此 sin ∠ADC ＝ sin(α＋ )＝ sin αcos ＋cos αsin 44 42 2 14 1＋ 712 分＝ 2 ( 4 ＋ 4 )＝4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯△ADC 的面 S ＝ 1×AD × DC · sin ∠ ADC2＝ 1× 6× 1＋ 7 3 7)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2 2× ＝ (1＋4 216．〔本小分 14 分〕明：〔1〕因 AD⊥平面 PAB ，AP? 平面 PAB，所以 AD⊥ AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又因 AP⊥ AB ， AB∩ AD ＝ A， AB? 平面 ABCD ，AD? 平面 ABCD ，所以 AP⊥平面 ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 CD? 平面 ABCD ，所以 CD⊥ AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2〕因 CD⊥ AP， CD⊥ PD，且 PD∩ AP＝P， PD ? 平面 PAD，AP ? 平面 PAD ，所以 CD⊥平面 PAD．①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 AD⊥平面 PAB， AB?平面 PAB，所以 AB⊥ AD ．又因 AP⊥ AB， AP∩ AD ＝ A， AP? 平面 PAD， AD ? 平面 PAD ，所以 AB⊥平面 PAD ．②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分由①②得 CD ∥AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分因 CD / 平面 PAB， AB? 平面 PAB，所以 CD∥平面 PAB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．〔本小分 14 分〕解：〔 1〕因矩形板 ABCD 的面 3600，故当 a＝ 90 ， b＝ 40，从而包装盒子的面S＝ 2× x(90－ 2x)＋ 2× x(40－2x)＝－ 8x2＋260x， x∈ (0，20)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 S＝－ 8x2＋260x＝－ 8(x－65)2＋4225，42故当 x＝65，面最大，最大4225平方厘米．42答：当 x＝6542256 分4，盒的面的最大 2 平方厘米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 2〕包装盒子的体2bV＝ (a－ 2x)(b－ 2x) x＝ x[ab－2(a＋ b)x＋ 4x ]， x∈ (0，2)， b≤60．⋯⋯⋯⋯⋯8 分V＝ x[ab－ 2(a＋b) x＋ 4x2] ≤x(ab－ 4abx＋ 4x2)＝x(3600－ 240x＋4x2)＝4x 3－ 240x 2＋ 3600x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分当且 当a ＝b ＝ 60 等号成立．f (x)＝ 4x 3－ 240x 2＋ 3600x ， x ∈ (0， 30)．f ′(x)＝ 12(x － 10)(x － 30)．于是当 0＜x ＜10 ， f ′(x)＞0，所以 f (x)在 (0， 10)上 增；当 10＜x ＜ 30 ， f ′(x)＜ 0，所以 f (x)在 (10， 30)上 减．因此当 x ＝ 10 ， f (x)有最大 f (10)＝ 16000， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分此 a ＝ b ＝60， x ＝ 10．答：当 a ＝b ＝ 60， x ＝10 盒的体 最大，最大16000 立方厘米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．〔本小 分 16 分〕222 2解：〔 1〕因xyb 4e8 ＋b 2＝ 1 点 (b ， 2e)，所以8 ＋ b 2＝ 1．2c 2 c 2b 2c 2因 e ＝ a 2＝ 8 ，所以8＋2b2＝ 1．2 2222b8－ b因 a ＝ b ＋ c ，所以8＋2b 2 ＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分整理得 b 4－ 12b 2 ＋32＝ 0，解得 b 2＝ 4 或 b 2＝ 8(舍 )．所以 C 的方程x22＋y＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分84（ 2〕 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2) ．因 T(1，0) ， 直 l 的方程 y ＝ k(x － 1)．y ＝ k(x － 1)， 立直 l 与 方程x 2 y 28＋4 ＝ 1，消去 y ，得(2k 2＋1)x 2－ 4k 2 x ＋2k 2 －8＝ 0，x 1 ＋x 2 ＝4k 2，2所以2k ＋ 12k 2 －8x 1 x 2＝ 2 ．2k ＋ 1因 MN ∥ l ，所以直 MN 方程 y ＝ kx ，y ＝ kx ， 立直 MN 与 方程x 2 y 28＋4 ＝ 1，2228消去 y 得 (2k ＋ 1)x ＝ 8，解得 x ＝ 2k 2＋ 1．因 MN ∥ l ，所以 AT · BT (1－ x 1)· (x 2－ 1)MN 2 ＝ (x － x N ) 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 (1－ x 1) ·(x 2－ 1)＝－ [x 1x 2－ (x 1＋ x 2) ＋ 1]＝7，22k ＋ 12232，(x M － x N ) ＝ 4x ＝22k ＋ 1AT · BT (1 －x 1)· (x 2－ 1)72k 2＋ 1710 分所以 MN 2 ＝(x M － x N )2＝ 2k 2＋ 1· 32 ＝ 32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 3〕在 y ＝ k(x － 1)中，令 x ＝ 0， y ＝－ k ，所以 P(0，－ k)，从而 → →AP ＝ (－ x 1,－ k －y 1 )， TB ＝ (x 2－ 1， y 2)．因→ 2 →22 2 12 分AP ＝5 TB ，所以－ x 1＝ (x 2－1) ，即 x 1＋x 2＝ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 55x 1 ＋x 2 ＝4k 2，2由(2) 知，2k ＋ 1x 1x 22k 2－8＝2．2k ＋1x 1＋ x 2＝4k 2，2－2 16k 2－2由2k ＋ 14k ＋ 2，x 2 ＝ ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分2 2 解得 x 1＝2 1) 3(2k 2 ＋1)3(2k ＋x 1＋ x 2＝ ，55因 x 1x 2＝2k 2－ 8－ 4k 2＋ 2 16k 2－ 2 ＝ 2k 2－ 82， 所以 2 × 22 ，2k ＋ 13(2k ＋ 1) 3(2k ＋ 1) 2k ＋ 1整理得50k 4－ 83k 2－ 34＝ 0，解得 k 2＝ 2 或 k 2＝－1750 (舍 ) ．又因 k ＞ 0，所以 k ＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19．〔本小 分 16 分〕解：〔 1〕当 a ＝ e ， f (x)＝ e x － ex － 1．① h (x)＝ f (x)－ g (x)＝e x － 2x －1， h ′(x)＝ e x －2．由 h ′(x)＞ 0 得 x ＞ ln2，由 h ′(x)＜ 0 得 x ＜ ln2 ．所以函数 h(x)的 增区(ln2 ，＋∞ )， 减区 (－∞， ln2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分② f ′(x)＝ e x － e ．当 x ＜ 1 ， f ′(x)＜0，所以 f (x)在区 (－∞， 1)上 减；当 x ＞ 1 ， f ′(x)＞0，所以 f(x)在区 (1，＋∞ )上 增．1°当 m ≤ 1 ， f (x)在 (－∞， m]上 减， 域[e m －em －1，＋∞ )，g(x)＝ (2 －e)x 在 (m ，＋∞ )上 减， 域(－∞， (2－ e)m)，因 F(x)的 域R ，所以 e m － em － 1≤ (2－ e)m ，即 e m － 2m － 1≤ 0．〔 * 〕由①可知当 m ＜ 0 ， h(m)＝ e m － 2m － 1＞ h(0)＝ 0，故〔 * 〕不成立．因 h(m)在 (0， ln2)上 减，在(ln2 ， 1)上 增，且h(0) ＝ 0， h(1)＝ e － 3＜ 0，所以当 0≤m ≤ 1 ， h(m)≤0 恒成立，因此0≤ m ≤1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2°当 m ＞ 1 ， f (x)在 (－∞， 1)上 减，在(1， m]上 增，所以函数 f (x)＝ e x － ex －1 在 (－∞， m] 上的 域 [f (1) ，＋∞ )，即 [－ 1，＋∞ )．g( x)＝ (2－ e)x 在 (m ，＋∞ )上 减， 域(－∞， (2－ e)m)．因 F(x)的 域 R ，所以－ 1≤ (2－ e)m ，即 1＜ m ≤ 1．e － 2合 1°， 2°可知， 数 m 的取 范 是 [0， 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分e －2]．〔 2〕 f ′(x)＝e x － a ．假设 a ≤ 0 ， f ′(x)＞ 0，此 f(x)在 R 上 增．由 f(x 1)＝ f( x 2)可得 x 1＝ x 2，与 |x 1－x 2|≥ 1 相矛盾，所以 a ＞ 0，且 f( x)在 (－∞， lna] 减，在 [ln a ，＋∞ )上 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分若 x 1，x 2∈ ( －∞， lna] ， 由 f (x 1) ＝f (x 2)可得 x 1＝ x 2，与 |x 1－ x 2|≥ 1 相矛盾，同不能有 x 1 ，x 2∈ [ln a ，＋∞ )．不妨 0≤x 1＜x 2≤2， 有 0≤ x 1＜ lna ＜ x 2≤ 2．因 f( x)在 (x 1， lna)上 减，在(lna ， x 2)上 增，且f (x 1)＝ f (x 2)，所以当 x 1≤ x ≤ x 2 ， f (x)≤f (x 1)＝ f (x 2)．由 0≤ x 1＜ x 2≤ 2，且 |x 1－ x 2 |≥ 1，可得 1∈ [x 1 ， x 2]，故 f (1)≤ f (x 1)＝ f (x 2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分又 f (x)在 (－∞， ln a] 减，且 0≤ x 1＜ lna ，所以 f (x 1)≤ f (0)，所以 f (1) ≤ f (0)，同理 f (1)≤ f (2)．e － a － 1≤ 0，2即e － a － 1≤ e 2－ 2a － 2，解得 e －1≤ a ≤ e － e － 1，所以 e － 1≤a ≤ e 2－ e ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分20．〔本小 分16 分〕解：〔 1〕因 { a n } 是公差2 的等差数列，所以 a ＝ a ＋ 2(n － 1)，S n＝a ＋n － 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n1n 1从而 (n ＋ 2) c n ＝ a 1＋ 2n ＋a 1＋ 2(n ＋ 1)4 分－ (a 1＋ n － 1)＝ n ＋ 2，即 c n ＝ 1． ⋯⋯⋯（2〕由 ( n＋ 1)b n＝ a n＋1－S n，n得n(n＋ 1) b n＝ na n＋1－ S n，(n＋ 1)(n＋ 2) b n＋1＝ (n＋1)a n＋2－ S n＋1，两式相减，并化得a n＋2－ a n＋1＝ (n＋ 2) b n＋1－nb n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分从而a n＋1＋ a n＋2n＝a n＋1＋ a n＋21－ (n＋ 1) b n](n＋ 2) c n＝－S－ [a n＋2n2＝a n＋2－an＋1＋(n＋1) b n2＝(n＋ 2) b n＋1－nbn＋(n＋1)b n 21＝2(n＋ 2)( b n＋ b n＋1)．11)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因此 c n＝ ( b n＋ b n＋21因一切 n∈N*，有 b n≤ λ≤ c n，所以λ≤ c n＝ (b n＋ b n＋1 )≤ λ，2故 b n＝λ， c n＝λ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分所以 (n＋ 1)λ＝ a ＋－S n，！未找到引用源。

盐城市、南京市2021届高三年级第二次模拟考试可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32一、单项选择题：共13题，每题3分，共39分。

每题只有一个选项最符合题意。

1.2020年11月，“奋斗者”号载人潜水器成功进行万米海试。

下列说法正确的是A.从海水中提取镁的过程属于物理变化B.“铝－空气－海水”电池中用铝作正极C.电解从海水获得的饱和食盐水可制金属钠D.从海水中提取铀是海水利用的研究方向之一2.钠着火不能用水扑灭的原因是2Na+2H2O=2NaOH+H2↑,下列说法正确的是A.Na基态核外电子排布式为［Ne]3s1B.H2O为非极性分子C.O结构示意图为D.NaOH电子式为3.氯及其化合物在生产、生活中有广泛应用。

下列物质的性质与用途具有对应关系的是A.Cl2能溶于水，可用于工业制盐酸B.CIO2有强氧化性，可用于自来水消毒C.HCIO不稳定，可用作棉、麻的漂白剂D.FeCl3溶液呈酸性，可用于蚀刻印刷电路板阅读下列材料，完成4~6题：CO2是一种常见温室气体，也是巨大的碳资源。

CO2可转化为CO、H2等燃料：CO2(g)+CH4(g)=2CO(g)+2H2(g) ΔH1=+247 kJ·mol-1.实验室用块状碳酸钙与稀盐酸反应制取少量CO2.4.下列关于二氧化碳的说法正确的是A.CO2分子的空间构型为直线形B.CO2的水溶液不能导电C.干冰与SiO2的晶体类型相同D.呼吸面具中CO2与Na2O2反应利用了CO2的氧化性5.下列关于反应CO2(g)+CH4(g)=2CO(g)+2H2(g)ΔH1=+247 kJ·mol-1的说法正确的是A.该反应在任何温度下都可自发进行B.反应CO2(s)+CH4(g)==2CO(g)+2H2(g)ΔH2<+247kJ·mol-1C.反应中每生成1molH2,转移电子的数目为3×6.02×1023D.选择高效催化剂可以降低反应的焓变，提高化学反应速率6.实验室制取CO2时，下列装置不能达到相应实验目的的是7.下列关于Na、Mg、Al元素及其化合物的说法正确的是A.Mg在周期表中位于p区B.原子半径：r(Na)<r(Mg)<r(Al)C.第一电离能：I1(Na)<I1(Al)<11(Mg)D.最高价氧化物的水化物的碱性：NaOH<Mg(OH)2<Al(OH)38.用硫酸渣（主要成分为Fe2O3、SiO2)制备铁基颜料铁黄（FeOOH)的一种工艺流程如下。

江苏省南京市、盐城市 2021届高三年级第二次模拟考试数学试题2021．3一、填空题〔本大题共 14小题，每题5分，合计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的地点上．〕．．．．．．．．．1．会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，那么AIB＝．答案：{1，3}考点：会合交集运算分析：∵会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，∴A I B＝{1，3}．2．复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为．答案：5考点：复数分析：z214i4i234i，∴z25．3．如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为﹣1，那么输入的实数x的值为．答案：1 4考点：算法与流程图分析：当x0时，log2(2x1)1，解得x 1切合题意，4当x0时，2x1，该等式无解．故x1．44．某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了以下频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生个．1答案：325 考点：频次散布直方图0.01)分析：x2，∴＋＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ．答案：12考点：随机事件的概率 分析：先后取两次共有16种取法，此中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81 ．162a6．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，f(x)x ，3那么f(a)的值为 ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性分析：当x(0，1]时，f(x)xa，∴f(1)1 a ，33a ，∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(1)f(1)13∵函数f(x)周期为 2，∴f( 1) f(1)，解得a ＝﹣3，∴f( 1)f(1) 0，∴f(a)f(3)f( 3 2)f(1)0．7．假定将函数f(x)sin(2x)的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与3f(x)的图象对于x 轴对称，那么的最小值为 ．答案：2考点：三角函数的图像与性质2T分析：由题意知．228．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：65考点：圆锥的侧面积分析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为25，5的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝2(255)65．9．数列a n为等差数列，数列b n为等比数列，知足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，﹣2}，此中a＞0，b＞0，那么a＋b的值为．答案：5考点：等差、等比中项分析：不如令a＞b，那么ab4，2ba2，那么b＝1，a＝4，∴a＋b＝5．10．点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，﹣1)，那么PFPA 的最小值为．答案：22考点：抛物线的性质分析：令直线l为：y＝﹣1，作PG⊥l于点G，那么PFPG cosAPGcos PAF，PA PA当直线AP且抛物线与点P时，∠PAF最大，此时cos∠PAF最小，即PF最小，PA 令直线AP：y＝kx﹣1，与抛物线联立：x24y，x24kx40，y kx1当(4k)2440，解得k＝±1，进而有∠PAF＝45°，即cos PAF＝2．2 11．x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，那么x＋y的最小值为．答案：8考点：根本不等式分析：∵xy＋2x＋4y＝41，∴(x4)(y2)49，∴(x4)(y2)2(x4)(y2)14，当且仅当x＝3，y＝5取“＝〞，∴x＋y≥8，即x＋y的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x m)2y2r2(m＞0)．过原点O且互相垂3直的两条直线 l 1和l 2，此中l 1 与圆C 订交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．假定AB ＝OD ，那么直线 l 1的斜率为 ．25答案：5考点：直线与圆综合分析：作CE ⊥AB 于点E ，那么CE 2BC 2BE 2 BC 21AB 2 BC 2 1OD 24 4r 21(m 2 r 2)5r 2 m 2 ，44由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴5r 2m 2 m 2 r 2，化简得r5 ，4m3即cos ∠OCD ＝CD ＝r 5，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝25，OCm 352 5．∴直线l 1的斜率为5．在△ 中， 为定长， uuuruuur uuurABC BC AB 2AC ＝3BC ．假定△ABC 的面积的最大值为2，那么13边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形分析：方法一：依据题意作图以下，且令在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，uuur uuuruuur此中C 是AD 中点，E 是BD 中点，那么AB 2AC2AE ，uuuruuur uuuruuur 3uuur3∴AB2AC ＝3BC 可转变为AEBCa ，22 依据三角形中线公式得，AE1 2(AD 2AB 2)BD 2，BC1 2(AB2 BD 2) AD 2，22即3a1 2(4b2 c 2) BD 2 ，a 1 2(c 2 BD 2)4b 2，消BD 2得，2 2211a 2 6b 2 3c 2，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，那么BF ＝ax ，AF ＝h ，411a 2 6b 2 3c 2 可转变为11a 2 6(x 2 h 2)3[h 22]，ax化简得h 29x 26ax8a 2 a 22a ，，当x3 时，h 取最大值a，即h 的最大值为9∴S max1 aa 2，解得a ＝2，即BC 的长为2． 2方法二：14．函数f(x)e x x b (e 为自然对数的底数，b R)，假定函数g(x)f(f(x)1 )恰有24个零点，那么实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln2)2考点：函数与方程分析：∵f(x)e x x b ，∴f(x)e x1，当x ＜0，f (x)＜0，那么f(x)在(，0)上单一递减，当x ＞0，f(x)＞0，那么f(x)在(0，)上单一递加，∴f(x)的最小值为f(0) 1b ，简单知道当1b 0，函数g(x)f(f(x)1)没有零点；2当1b0 ，函数g(x)f(f(x)1)有且仅有两个零点；2要使函数g(x)f(f(x)1)恰有4个零点，一定1b0，即b ＞12此时f(x)恰有2个零点，令这两个零点为t 1，t 2，规定t 1＜0＜t 2，那么f(x)1 ＝t 或t 2，f(x)＝1 t 或 1 t，易知f(x)＝1 t 有两个不相等的2 12 1 2 22 2实根，那么f(x)＝1t 1一定知足有且仅有两个不相等的实根，故1 t 11 b ，即t 112 12b ，由于函数 f(x)在( b ，t 1)上单一递减， 2 2∴f(11 b 11b)f(t 1)0，即e2 ( b)b0，解得bln2， 22251综上所述，1 bln2．2二、解答题〔本大题共 6小题，合计 90分．请在答题纸指定地区 内作答，解允许写出文字．．．．．．．说明，证明过程或演算步骤． 〕 15．〔本题总分值 14分〕如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． 〔1〕求证：AC ∥平面PDE ；〔3〕假定PD ＝AC ＝2，PE ＝ 3，求证：平面 PBC ⊥平面ABC ．（ 解：〔1〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，（ DE ∥AC ， （ AC平面PDE ，DE 平面PDE ，∴AC ∥平面PDE（ 2〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE1AC12在△PDE 中，DE 2PE 2 PD 24，PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE 平面PDE PE ⊥平面ABC PE 平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．〔本题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a ＝bcosC ＋csinB ．〔1〕求B 的值；〔2〕设∠BAC 的均分线AD 与边BC 交于点D ，AD ＝17，cosA ＝7 ，求b7 25的值．解：〔1〕由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB6Sin[﹣π(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB sinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB∵B 、C (0，)，sinB ＞0，sinC ＞0，cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B(0，)， 得B ＝ ．4 2〕记A ＝2 AD 是∠BAC 的角均分线∴∠BAD ＝∠CAD ＝∵cosA ＝7 ，A(0，)，2524∴sinA ＝1 cos2 A ＝25sinC ＝sin(A ＋B)＝17 250∵cosA ＝2cos 2112sin 2 ，A(0，)，22∴sin ＝4，cos＝355∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋)＝7210在△ADC 中，由正弦定理得：b AD ， AD sinADC sinCADC=5∴bsinsinC17．〔本题总分值14分〕如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛参观，从点A 向小岛建三段栈道 AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，此中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优弧〔圆C 上实线局部〕上再修筑栈道?DE ．记∠CBD 为．（ 1〕用表示栈道的总长度f()，并确立sin 的取值范围；（ 2〕求当为什么值时，栈道总长度最短．7解：〔1〕连结CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1 ，BD ＝ 1，sin tan?( 2)12DEf() 312 2tansin11，1)，当B 与A 重合时，sin，∴sin[33〔2〕∵sin[1，1)，∴cos(0，22 ]，33求得f()cos (2cos1)sin2∴时，即cos1，f()minf() 35323318．〔本题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系x 2 y 2 1(a ＞b ＞0)的离心率为1xOy 中，椭圆C ：b 2，且过a 2 2点(0，3)．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①假定点B 为椭圆C 的上极点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②假定原点 O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．8解：〔1〕由题意得c1 ，b 3，b 2a 2 c 2，解得a ＝2，b 23a 2 椭圆方程为：x 2 y 2143〔2〕①B(0， 3)，O 是△ABC 的垂心，设M(x 0，y 0)(y 0＜0)，那么N(x 0，﹣y 0)知足x2y 0 2 1，OM ⊥BN ，那么有y 0y 03 1，43x 0 x 0解得x 0 2 33，y 04 3377那么MN ＝433，7设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 0，y 0)，O 是△ABC 的重心，那么x 1x 2x 0，y 1y 2 y 0，那么有(x 1x 2)2(y 1 y 2)212431，那么2x 1x 2 3y 1y 210，I 假定MN 斜率不存在，那么M(﹣1，3 3)，N(﹣1， )，d ＝1，22II 假定MN 斜率存在，那么y kx m ，联立得(4k 23)x 28mkx 4m 2 120，3x 2 4y 21248(4k220，那么x 1 x 28km，x 1x 24m 22 m3) 4k 234k2，3整理得4k 23 4m 2，那么点O 到MN 的距离dm11，当k ＝0时，取d3k 22，14k 429综上，当k ＝0时，d min3 ．219．〔本题总分值16分〕函数f(x)x 3x 2 (a16)x ，g(x)alnx ，aR ．函数h(x)f(x) g(x)x的导函数h(x)在[5，4]上存在零点．2〔1〕务实数 a 的取值范围；〔2〕假定存在实数a ，当x[0，b]时，函数f(x)在x ＝0 时获得最大值，求正实数b 的最大值；〔3〕假定直线l 与曲线y f(x)和yg(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，务实数a 的值．解：〔1〕由题意，h(x)x 2 x (a16) alnx ，h(x)2x 1a在[5，4]上存在零点，5，4]上有解，ax2即2x 2x a0 在[2x 2x ，2x 2 x [10，28]，因此a 的取值范围是[10，28]． 2〔2〕f(x)3x 2 2x(a 16)，f (0) 0 a 16令f(x)＝0，x 113a4713a 473，x 23，当0＜b ≤x 2时，明显f(x)在x ＝0时取最大值当bx 2时，f(x)在[0，x 2]上单一递减，在 [x 2，b]上单一递加，因此只要f(b) f(0)0，即b 3b 2 (a16)bb 2 b a16，∵a max28，∴b 的最大值为 4，〔3〕设f(x)上切点为(x 1，f(x 1))，f(x)3x 2 2x(a 16) ，可得切线方程为y x 13 x 12 (a 16)x 1[3x 122x 1 (a 16)](x x 1)，点(0，﹣12)在其上，可得(x 12)(2x 123x 1 6) 0，因此x 12设g(x)上切点为(x 2，g(x 2))，g(x)a ，x10可得切线方程为y alnx 2a(xx 2)，点(0，﹣12)在其上，x 2可得12alnx 2 a ，由于公切线，因此 3x 122x 1(a 16)a，将x 12代入，可得24aax 2x 212 alnx 2ax 2 1由 a，因此a 的值为12．a，可得1224 x 2a20．〔本题总分值16分〕无量数列a n 的各项均为正整数，其前 n 项和为S n ，记T n 为数列a n 的前a n 项和，即T n a 1 a 2 Laa n．〔1〕假定数列 a n 为等比数列，且 a 1 1，S 45S 2，求T 3的值；〔2〕假定数列a nT n 2 ，求数列a n为等差数列，且存在独一的正整数n(n ≥2)，使得a n的通项公式；〔3〕假定数列T n 的通项为T nn(n 1)a n 为等差数列．2，求证：数列a 11q2 TS 15；解：〔1〕S 4 5S 234〔2〕由于无量等差数列，因此d ≥0，且a 1 N ，d N ，当d ＝0时，a n 和T n 均为常数，故不存在独一的整数知足条件，舍去；2n1T ni1a iII 当d ≥2时，a n1 2(n1)2n12n 13，舍去a na na 1 n1故d ＝1，T ni1a in(n 1)n(n 1)a 11) 2 2 a 1 a n a 1n 12(a 1 n2(a 1 n 1) 假定a 12，那么没有知足条件的n ，因此a 12，此时 T n n(n 1)n2， n2 211故a n n〔3〕T11，T23，T36a11，a22，a33，又T n T n1a n a n1因此a n n；假定a n n，T n a1a2L a a n a1a2L a n12Ln(n1)n与原命题2矛盾，∴a n n，a n a n11为常数，因此数列a n为等差数列．12。

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 理 试 题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ． 答案：5 考点：复数解析：∵2z i =+，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 答案：23考点：等可能事件的概率解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为23． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 答案：真 考点：命题的否定解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．答案：6考点：算法（伪代码）解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S ＝6，I＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 答案：2考点：平均数，方差解析：依题可得x ＋y ＝21，不妨设x ＜y ，解得x ＝10，y ＝11，所以方差为22222210(1)(2)5+++-+-＝2．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．答案：考点：抛物线及其性质解析：抛物线的准线为x ＝−1，所以P 横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，±)，所以OP＝8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 答案：3考点：等差中项，等差数列的通项公式 解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝ ． 答案：23考点：棱柱棱锥的体积解析：1111121123C ABB A C A B C V V V V V ==-=——，所以2123V V =．10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ． 答案：7考点：三角函数的图像与性质解析：∵()f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2，∴sin ϕ=，又0＜ϕ＜2π，∴3πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， ∴3632ππωπ+=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则 cos ∠BAC 的值为 ．考点：平面向量解析：∵H 是△ABC 的垂心， ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，∵11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，31BH AC (AB AC)AC 042⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042-⋅+=u u ur u u u r u u u r ，化简得：22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231cos BAC+042bc b -∠=则2222 cos BAC3b c bbc c-∠==，得3b c=，从而3cos BAC∠=．12．若无穷数列{}cos()nω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为．答案：10考点：等差数列解析：若等差数列公差为d，则cos()cos(1)n d nωω=+-，若d＞0，则当1cos1ndω->+时，cos()1nω>，若d＜0，则当1cos1ndω-->+时，cos()1nω<-，∴d＝0，可得cos2cosωω=，解得cos1ω=或1cos2ω=-（舍去），∴其前10项的和为10．13．已知集合P＝{}()16x y x x y y+=，，集合Q＝{}12()x y kx b y kx b+≤≤+，，若P⊆Q，则1221b bk-+的最小值为．答案：4考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题解析：画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x=-，所以k＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以1b=，2y kx b=+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．14．若对任意实数x∈(-∞，1]，都有2121xex ax≤-+成立，则实数a的值为．答案：12-考点：函数与不等式，绝对值函数解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2211xx ax e -+≥成立，令221()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()xx x a f x e --+'=，当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121a e -≥，解得12ea ≤-与211a +≥矛盾．当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 2122()(21)a a f x f a e ++=+=1≥． 接下来令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤， 设()1tg t e t =--，则()1tg t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t ＝0时，()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，∴12a =-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ．解：16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．证明：17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）解：18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．解：19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019mn b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 解：20．（本题满分16分）若函数()x xf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值． 解：B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．解：C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值． 解：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3，求母线AA 1的长．解：23．（本小题满分10分）设22201221(12)n i n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立． 解：。

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期第二次学情分析数学试题一、单选题1．设复数z 满足（其中i 为虚数单位），则（ ）2i z =-z =ABC ．5DA【分析】利用复数求模长公式进行计算.=故选：A2．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10xy =（ ）A ．93B ．94C ．95D ．96D【分析】根据平均数和标准差列方程即可求解.【详解】由题意 ，91011105x y++++=，解得 或 ，()()222010108x y x y +=⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩812x y =⎧⎨=⎩128x y =⎧⎨=⎩∴ ；96xy=故选：D.3．设， ，）1cos 662a =22tan131tan 13b =-c =A ．B ．C．D ．a b c >>a b c <<a c b<<b c a<<C【分析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.,,a b c 【详解】，1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin(306)sin 242a ==-=-= ，，22tan13tan 261tan 13b ==-sin 25c == 因为函数在上是增函数，，sin y x =()0,90 242526<<所以sin 24sin 25sin 26<<由三角函数线知：，，因为，sin 26MP = tan 26AT =MP AT <所以，所以sin 26tan 26<a c b<<故选：C.4．已知平面平面，直线平面，直线平面，，在下列说法α⊥βm ⊂αn ⊂βl αβ= 中，①若，则；②若，则；③若，则.m n ⊥m l ⊥m l ⊥m β⊥m β⊥m n ⊥正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③D【分析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③．【详解】平面平面．直线平面，直线平面，，α⊥βm ⊂αn ⊂βl αβ= ①若，可得，可能平行，故①错误；m n ⊥m l ②若，由面面垂直的性质定理可得，故②正确；m l ⊥m β⊥③若，可得，故③正确．m β⊥m n ⊥故选：D ．本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．5．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若，则的形ABC 1cos cos b B a A -=ABC 状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形C【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.【详解】由正弦定理得，即，sin cos sin sin cos B A A A B =-sin sin C A =由于为三角形内角，所以.,A C C A =故选：C.6．如图正方体中，M ，N 分别是，的中点，则正确的是1111ABCD A B C D -1AD 1BD （ ）A ．且平面ABCD 11A D BD ⊥MN ∥B ．且平面11A D BD ⊥MN ∥11BDD B C ．与相交且平面ABCD 1A D 1BD MN ∥D ．与异面且平面1A D 1BD MN ∥11BDD B A【分析】结合线线垂直、线面平行和直线相交、异面等知识正确答案.【详解】由于平面，所以与平交，由此排除BD 选项.1N BD ∈⊂11BDD B MN 11BDD B 由于平面，平面，且，1BD ⊂11BDD B 1A D ⋂11BDD B D =1D BD ∉根据异面直线的知识可知：与是异面直线.由此排除C 选项.1A D 1BD 对于A 选项，根据正方体的性质可知，1111,,A D AD A D AB AD AB A ⊥⊥= 所以平面，所以.1A D ⊥1ABD 11A D BD ⊥由于分别是的中点，所以，,M N 11,AD BD //MN AB由于平面平面，所以平面，所以A 选项正确.MN ⊂,ABCD AB ⊂ABCD //MN ABCD 故选：A7．在△中，，E 是上一点．若，则（ ）ABC 2BD DC =AD 12λ=+ CE CA CB λ=A ．B ．C ．D ．16121413A【分析】根据图形可设，从而得到，根据已知条件= AE m AD (1)3m CE m CA CB =-+，即可求出的值.12λ=+ CE CA CBλ【详解】如图所示，设，=AE m AD 则1()3⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭CE CA AE CA mAD CA m CD CA CA m CB CA ，(1)3=-+m m CA CB又∵，∴，∴，12λ=+CE CA CB 12m =136λ==m 故选：．A 8．如图，在平行六面体中，点是棱上靠近的三等分点，点1111ABCD A B C D -E 1BB B 是棱的中点，且三棱锥的体积为2，则平行六面体的F 1CC 1A AEF -1111ABCD A B C D -体积为（ ）A ．8B ．12C ．18D ．20B【分析】首先设点到的距离为，点到平面的距离为，得到E 1AA dF 11ABB A h，11112△=A AE ABB A S S 再计算平行六面体的体积即可.1111ABCD A B C D -【详解】如图设点到的距离为，点到平面的距离为，E 1AA dF 11ABB A h 则，，1112△=⋅⋅A AE S AA d ,1=⋅ABB A S AA d 所以11112△=A AE ABB A S S ，111,1263△△-=⋅⋅=⇒⋅=A AEF A AE A AEV S h Sh 平行六面体的体积为1111ABCD A B C D -111111-=⋅ABCD A B C D ABB A S V h所以.11111212△-==⋅ABCD A A D AE B C S h V 故选：B本题主要考查几何体的体积，同时考查了三棱锥的体积，属于简单题.二、多选题9．为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄200020进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）A ．名运动员是总体；B ．所抽取的名运动员是一个样本；200020C ．样本容量为；D ．每个运动员被抽到的机会相等.20CD【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.【详解】由已知可得，名运动员的年龄是总体，名运动员的年龄是样本，总200020体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，2000201100所以A 、 B 错误，C 、D 正确.故选：CD.本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.10．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ）()()()32=-+∈z a i i a R 1-A ．复数的虚部为B ．复数的共轭复数z 5-z 15=-z iC ．D ．在复平面内对应的点位于第三象限z =z ACD首先化简复数，根据实部为-1，求，再根据复数的概念，判断选项.z a 【详解】，()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i=-+=+--=++-因为复数的实部是-1，所以，解得：，321a +=-1a =-所以，15z i =--A.复数 的虚部是-5，正确；B.复数的共轭复数，不正确；z z 15z i =-+，正确；D.在复平面内对应的点是，位于第三象=z ()1,5--限，正确.故选：ACD11．下列命题中是真命题的是（ ）A ．在四边形ABCD 中，若，且，则四边形ABCD 是菱形0AB CD +=0AC BD ⋅= B ．若点G 为的外心，则ABC 0GA GB GC ++=C ．向量，能作为平面内的一组基底1(2,3)e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．若O 为△所在平面内任一点，且满足，则△ABC ()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=为等腰三角形ABC AD【分析】A 由相反向量的定义及向量数量积的垂直表示知ABCD 是菱形，B 根据钝角三角形外心即可判断命题的真假，C 由平面内基底的性质判断真假，D 利用向量加减法的几何含义及向量数量积的垂直表示即可判断真假.【详解】A ：四边形ABCD 中，由知：线段、平行且相等，由0AB CD +=AB CD 知：对角线相互垂直，即ABCD 是菱形，真命题；0AC BD ⋅=B ：以钝角△的外心为例，显然若点G 为外心时，，假命题；ABC 0GA GB GC ++≠C ：由已知有，显然共线，所以不能作为平面内的一组基底，假命题；124e e =D ： ，，若为中点，则，OB OC CB -=OB OA OC OA AB AC -+-=+ D BC 2AB AC AD += 由有，所以垂直平分，即，()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-= 0CB AD ⋅= AD BC AB AC =故△为等腰三角形.ABC 故选：AD.关键点点睛：利用相反向量的定义、向量数量积的垂直表示、平面中基底的性质、几何图形中向量加减法表示判断各选项所描述命题的真假.12．在正方体中，分别为的中点，则下列结论中1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BB 正确的是（ ）A ．1D D AF⊥B ．二面角F AEC --C ．异面直线与1A G EFD ．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍G AEF C AEF BCD【分析】由于在正方体中，，与不垂直，故与不垂直，判11//D D A A 1A A AF 1D D AF 断选项A ；过点作，交的延长线于，连接，设正方体的棱长为C CM AE ⊥AE M FM 2，，判断选项B ；取的中点，连接，则，tan FCFMC CM ∴∠=11B C H 1,A H GH //GH EF 与所成角即为直线与所成角，在中用余弦定理，判断1A GEF 1A G GH 1A GH ∠11AC G △选项C ；连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离CG EF N G AEF C AEF 之比为，而∽，判断选项D.GNCN GNF △CNE 【详解】在正方体中，显然有，且在正方体1111ABCD A B C D -11//D D A A中，与不垂直，1111ABCD A B C D -1A A AF 故与不垂直，选项A 错误；1D DAF 过点作，交的延长线于，连接，由二面角的定义可知，C CM AE ⊥AE M FM 即为二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则FMC ∠F AE C --1,CF CM === ，选项B 正确；tan FC FMC CM ∴∠===取的中点，连接，则，11B C H 1,A H GH //GH EF 故异面直线与所成角即为直线与所成角1A G EF 1A G GH 1A GH∠而，1A H =1A G ==GH ==故在中，由余弦定理可得11AC G △，选项C 正确；2221111cos 2A G GH A H A GH A G GH +-∠===⋅⋅连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离之比为CG EF N G AEF C AEF ，而∽ GNCN GNF △CNE 故， 选项D 正确.2GN GFCN CE ==故选：BCD.三、填空题13．一组数据从小到大排列，依次为，若它们的中位数与平均数相等，则2,3,4,,9,10x______.x =8【分析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x 的方程，解方程得到x 的值.【详解】因为数据2,3,4，，9,10的中位数与平均数相等，所以x ，解得.423491026x x ++++++=8x =主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题．14．如图，某人在高出海平面方米的山上P 处，测得海平面上航标A 在正东方向，俯角为，航标B 在南偏东，俯角，且两个航标间的距离为200米，则30°60︒45︒__________米.h =200【分析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出的值．h 【详解】航标在正东方向，俯角为，由题意得，．A 30°60APC ∠=︒30PAC ∠=︒航标在南偏东，俯角为，则有，．B 60︒45︒30ACB ∠=︒45CPB ∠=︒所以，；BC PC h ==tan 30PCAC ==︒由余弦定理知，2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-∠即，224000032h h h =+-可求得（米．200h =)故200．本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题．15．在 中．已知，为线段上的一点，且满ABC ∆2CD DB =P AD足．若的面积为，则的最小值为12CP CA mCB =+ ABC ∆3ACB π∠=CP_______．2【分析】利用A ，P ，D 三点共线可求出m ，并得到．再利用平面13=1123CP CA CB =+ 向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．CP【详解】解∵12CP CA mCB=+13(2)22CA m CD CD DB=+⋅=∵A ，P ，D 三点共线，∴，即m ．13122m +=13=∴131223CP CA CD=+⨯ 1122CA CD=+ 112223CA CB =+⨯，1123CA CB =+又∵．3ABC S ACB π=∠=∴，即CA •CB ＝8．12CA CBsin ACB ⋅∠=∴8ab =∴CP ==)CA b CB a ===令，=≥．2==故答案为2．本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．四、双空题16．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它111ABC A B C -的表面积为_________，与所成角的余弦值为_______________．1AA 1BC【分析】根据题目所给边长，直接求表面积即可得解，延长交于点，111,,AA BB CC P 作中点，中点，连接， ，则与1PC N AB M 11,,MN B N MB 1111//,//MB AA B N BC 1AA 所成角即为和所成角，在中解三角形，即可得解.1BC 1MB 1B N1MB N【详解】根据题意正三棱台的上下底面为等边三角形，111ABC A B C -上底面为边长为1的等边三级形，下底为边长为2的等边三角形，侧面为等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以高h=所以面积，111122322S =⨯⨯⨯⨯延长交于点，111,,AA BB CC P 由上底的边长为1，下底的边长为2，所以分别为中点，111,,A B C ,,PA PB PC 作中点，中点，连接，1PC N AB M 11,,MN B N MB ，则与所成角即为和所成角，1111//,//MB AA B N BC 1AA 1BC 1MB 1B N 连接，在底面的投影为，为底面的中心且在上，MC P O O MC 作于，显然NH MC ⊥H //NH PO 由，23CO ==2PC=所以PO ===所以，34NHPO ==MH MOOH =+==所以，，32MN ==212APMB ==在等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，11BCC B 所以，1BC =1B N =在中，，1MB N222111211cos 2MB B N MN MB N MB B N +-∠===⋅根据线线所成角的范围，则与1AA 1BC 故.本题考查了求空间几何体的表面积，考查了异面直线所成角，计算量较大，属于较难题.本题的关键点为：（1）通过平移把异面直线平移到同一平面中；（2）通过空间线面关系进行计算，是本题的核心能力.五、解答题17．已知复数满足（a ＞0，a ∈R ），且，其中为虚数单位．z i 1i ⋅=-+z a 2z z +∈R i (1)求复数；z (2)若复数，，在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC ．z 2z 2z z -(1)1iz =+【分析】（1）根据，得到，进而得到为实数求解.i 1i ⋅=-+z a i z a =+2z z +（2）化简得到复数所对应的点，进而得到向量 和的坐标，然后利用向量的夹BA BC 角公式求解.【详解】(1)解：因为，i 1i ⋅=-+z a 所以，()i 1i i=--+=+z a a 则，22i i +=+++z a z a ，()22i i 1-=+++a a a ，22221i 11⎛⎫=++-∈ ⎪++⎝⎭a a Ra a 所以，22101a -=+所以，21a =又，所以，0a >1a =所以．1i z =+(2)，，()221i 2iz =+=21i z z -=-所以，，，()1,1A ()0,2B ()1,1C -所以，，()1,1BA =-()1,3BC =-．cos cos ,BA BC ABC BA BC BA BC⋅∠=<>==18．某企业员工人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第组，第组x 1[)25,302，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图[)30,353[)35,404[)40,455[]45,50所示.区间[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[]45,50频数5050a 150b(1)上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数、、的值；x a b (2)现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，问：这三组应各12330取多少人？(3)若同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄.(1)，，500x =200a =50b =(2)这三组中抽取的人数分别为、、5520(3)41【分析】（1）计算出第组的频率，结合频率、频率和总人数之间的关系可求得的值，1x 再利用频率、频率和总人数之间的关系可求得、的值；a b （2）计算出第、、组的人数之比，结合分层抽样可计算出这三组所抽取的人数；123（3）将每个矩形底边的右端点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得结果.【详解】(1)解：第组的频率为，所以，，150.020.1⨯=505000.1x ==，50050.08200a =⨯⨯=.5000.02550b =⨯⨯=(2)解：第、、组的人数之比为，12350:50:2001:1:4=现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，12330第组抽取的人数为人，第组所抽取的人数为人，113056⨯=213056⨯=第组所抽取的人数为人.3430206⨯=(3)解：，300.025350.025400.085450.065500.02541x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以估计该企业员工的平均年龄为.4119．在中，角 ，，所对边分别为，，，且.ABC A B C a b c ()tan 2tan b A c b B=-（1）求角；A （2）若向量，，求的取值范围.()cos ,2cos m B A =20,cos 2C n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2m n -（1）；（2）.60︒【分析】（1）首先，利用正弦定理，正切化为正弦和余弦，化简得，求角；1cos 2A =（2）根据（1）的结果，得的坐标，再化简，根据角2m n - 121sin 226m n B π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 的范围求模的范围.B 【详解】解：（1）由，及正弦定理，()tan 2tan b A c b B=-得，()sin sin sin 2sin sin cos cos A BBC B A B =-即，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=即，()sin 2sin cos A B C A+=所以，.1cos 2A =3A π=（2），()222cos ,12cos cos ,cos cos ,cos 23C m n B B C B B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以，22241cos 221cos 232cos cos 322B B m n B B ππ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-=+-=+⎪⎝⎭ 11sin 226B π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由于，得，203B π<<1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以.2m n -∈ 20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 是线段PC 上的一点，．PC =()RPE EC λλ=∈(1)试确定实数，使平面BED ，并给出证明；λ//PA (2)当时，证明：PC ⊥平面BED ．2λ=(1)，证明见解析1λ=(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，连接AC ，可证明当E 为PC 中点时，使平面BED ，即//PA 得答案.（2）证明平面PAC ，即证明，再通过证明△PAC 与△OEC 相似，证明BD ⊥BD PC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明PC ⊥平面BED ．PC OE ⊥【详解】(1)连接AC ，且，AC BD O =若平面BED ，因为平面PAC ，平面平面，PA ∥PA ⊂PAC BED EO =所以，又因为O 为AC 中点，PA EO ∥所以E 为PC 中点，即．1λ=当时，E 为PC 中点，又因为O 为AC 中点，1λ=所以，平面BED ，平面BED ，PA OE ∥PA ⊂OE ⊂所以平面BED ．PA ∥(2)连接OE ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，PA ⊥BD ⊂所以，在菱形ABCD 中，，PA BD ⊥AC BD ⊥又因为，PA AC A = 所以平面PAC ，平面PAC ，BD ⊥PA ⊂所以，BD PC ⊥在直角三角形PCA 中，，2PA =PC =AC =所以OC =因为，所以，所以2λ=CE =CE OC=又，故△PAC 与△OEC 相似，AC PC=CE AC OC PC =所以，PC OE ⊥又因为，，OE ，平面BED ，PC BD ⊥OE BD O = BD ⊂所以平面BED ．PC ⊥21．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ，AD ＝2，PA ＝PD E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ；（2）若二面角P －AD －B 为60°．①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；．【详解】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线//EF PAB //EF MA 面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面//EF PAB PBC ⊥，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①ABCD PB ⊥ABCD平面，所以为直线与平面所成的角，由BE ⊥PBC FEB ∠EF PBC PB 为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面ABP ∠,AM EF Rt EBF ∆EF 所成的角的正弦值．PBC 试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ．12又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ．（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PD AD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB 从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB∠ABP 为直角．而MB ＝PBAMEF12又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝．BE EF 所以直线EF 与平面PBC 直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在BE ⊥PBC FEB ∠EF PBC 中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．Rt EBF ∆EF PBC 22．如图所示，四边形OAPB 中，OA ⊥OB ，PA +PB =10，∠PAO =∠PBO ，∠APB =，56π设∠POA =α，△AOB 的面积为.S （1）用α表示OA 和OB ；（2）求△AOB 面积S 的最大值．（1），；，；（2）π10sin()3sin cos OA ααα+=+π(0,)2α∈π10sin()6sin cos OB ααα+=+π(0,)2α∈【分析】（1）在和中分别利用正弦定理可求得，从而AOP BOP △10sin sin cos AP ααα=+得，在和中再一次分别利用正弦定理可求得OA 和10cos sin cos BP ααα=+AOP BOP △OB ；（2）由（1）表示出，50AOB S = sin cos t αα=+将上式转化为可求出结果25AOB S=π4t α=+∈【详解】解：（1）在中，由正弦定理得．AOP sin sin AP OPPAO α=∠在中，由正弦定理得．BOP △πsin sin()2BP OPPBOα=∠-因为∠PAO =∠PBO ，PA +PB =10，所以，10sin cos AP APαα-=则，．10sin sin cos AP ααα=+10sin 10cos 10sin cos sin cos BP αααααα=-=++因为四边形OAPB 内角和为2，可得∠PAO =∠PBO =，π3π在中，由正弦定理得，AOP sin sin AP OAAPO α=∠即，10πsin cos sin()3OAααα=++所以，π10sin()3sin cos OA ααα+=+π(0,)2α∈在中，由正弦定理得即，BOP △sin sin BP OBBOP BPO =∠∠cos sin BP OB BPO α=∠则，10πsin cos sin()6OBααα=++所以，．π10sin()6sin cos OB ααα+=+π(0,2α∈（2）的面积AOB ππ10sin()10sin()113622sin cos sin cos S OA OB αααααα++=⋅=⋅⋅++=．50=设，．sin cos t αα=+π)4t α+∈则50S ==150(252=当时，即时，t =π4α=S 25=所以AOB。

南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. ACD 10．BC 11．ABD 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．36 14．132 15． 6 16．34，2（第一问2分，第二问3分） 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)解：在△ABC 中，B ＝π－(A ＋C )，所以sin B ＝sin(A ＋C )．因为sin B －sin(A －C )＝3sin C ，所以sin(A ＋C )－sin(A －C )＝3sin C ， ············· 2分 即sin A cos C ＋cos A sin C －(sin A cos C －cos A sin C )＝3sin C ，所以2cos A sin C ＝3sin C ． ······································································· 4分 在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝32． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6． ····································································· 6分选择① 方法1因为A ＝π6，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋9－33b ．又因为b ＝3a ，所以2b 2－93b ＋27＝0，解得b ＝33，或b ＝332，此时△ABC 存在． ················································································· 8分 当b ＝33时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934．当b ＝332时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938． ········ 10分方法2因为b ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＝3sin A ＝3sin π6＝32．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，或B ＝2π3，此时△ABC 存在． ····························· 8分当B ＝π3时，C ＝π2，所以b ＝c cos A ＝332，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938．当B ＝2π3时，C ＝π6，所以b ＝c sin Bsin C＝33，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934． ···················· 10分选择②因为a ＝3cos B ，所以a ＝3×a 2＋9－b 26a，得a 2＋b 2＝9，所以C ＝π2，此时△ABC 存在． ································································· 8分因为A ＝π6，所以b ＝3×cos π6＝332，a ＝3×sin π6＝32，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab ＝938． ················································· 10分选择③ 由a sin A ＝c sin C ，得a sin C ＝c sin A ＝32， ·························································· 8分 这与a sin C ＝1矛盾，所以△ABC 不存在． ················································ 10分18．(本小题满分12分) 解：（1）方法1因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4＋r ，故a 2＝2． 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝8＋r ，故a 3＝4．因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1a 3，化简得2＋r ＝1，解得r ＝－1， ············· 3分 此时S n ＝2n －1．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1－1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，a n ＝2n －1，所以r ＝－1满足题意． ·········································································· 5分 方法2因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋r －2n －1－r ＝2n －1． ······································· 3分 因为{a n }是等比数列，所以2＋r ＝1，解得r ＝－1． ····································· 5分 （2）因为a n ＝2n －1，所以b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ． ········································· 7分 因为a 1＝1，a 2＝2＝b 1，a 3＝4＝b 2，a 4＝8＝b 4，a 5＝16＝b 8，a 6＝32＝b 16，a 7＝64＝b 32，a 8＝128＝b 64，a 9＝256＝b 128， ········································· 9分 所以c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋b 3＋···＋b 107)－(a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8) ······················· 11分 ＝107×(2＋214)2－2(1－27)1－2＝11302． ··············································· 12分19．(本小题满分12分)解：（1）对项目A 投资的统计数据进行计算，有－x ＝3，－y ＝0.6，n∑i =1x i 2＝55．所以^b ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－yn∑i =1x i 2－n －x2＝11－5×3×0.655－5×32＝0.2， ·················································· 4分 ^a ＝－y －^b －x ＝0.6－0.2×3＝0，所以回归直线方程为：^y ＝0.2x ． ······························································· 6分线性相关系数r ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－y(n ∑i =1x i 2－n －x 2) (n∑i =1y i 2－n －y 2)＝11－5×3×0.6( 55－5×32)(2.24－5×0.62)＝24.4≈0.9524＞0.95这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程^y＝0.2x 对该组数据进行拟合合理． ········································································ 8分（2）设对B 项目投资x (1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7－x )百万元．所获总利润y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49＋0.2(7－x ) ············································· 10分＝1.93－ [0.04(x ＋1)＋0.49x ＋1]≤1.93－20.04(x ＋1)×0.49x ＋1＝1.65，当且仅当0.04(x ＋1)＝0.49x ＋1，即x ＝2.5时取等号，所以对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大． ······· 12分20．(本小题满分12分)（1）证明：取AB 中点D ，连接CD ，B 1D ．因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，所以AB ⊥CD ，CD ＝3，BD ＝1． 又因为AB ⊥B 1C ，且CD ∩B 1C ＝C ，CD ，B 1C ⊂平面B 1CD ， 所以AB ⊥平面B 1CD ．又因为B 1D ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥B 1D ． ················································ 2分 在直角三角形B 1BD 中，BD ＝1，B 1B ＝2，所以B 1D ＝3． 在三角形B 1CD 中，CD ＝3，B 1D ＝3，B 1C ＝6，所以CD 2＋B 1D 2＝B 1C 2，所以CD ⊥B 1D ． ··············································· 4分 又因为AB ⊥B 1D ，AB ∩CD ＝D ，AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥平面ABC ． 又因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC ． ························· 6分 （2）解：以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，1，0)，B (0，－1，0)，C (3，0，0)，B 1(0，0，3)，因此BB 1→＝(0，1，3)，AC →＝(3，－1，0)，AA 1→＝BB 1→＝(0，1，3)． 因为点P 在棱BB 1上，则设BP →＝λBB 1→＝λ(0，1，3)，其中0≤λ≤1．则CP →＝CB →＋BP →＝CB →＋λBB 1→＝(－3，－1＋λ，3λ)． ······························ 8分 设平面ACC 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0， n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y ＋3z ＝0．取x ＝1，y ＝3，z ＝－1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(1，3，－1)． ……………………………………………………10分 因为直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，所以cos ＜n ，CP →＞＝n·CP →|n |×|CP →|＝－235×3＋(λ－1)2＋3λ2 ＝－45，（第20题图）化简得16 λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝14，所以BP ＝λBB 1＝12． ·········································································· 12分21．(本小题满分12分)解：由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4y ＋4m ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ．因为直线l 与C 相交，所以△＝16－16m ＞0，得m ＜1． ···························· 2分 （1）由AT →＝2TB →，得y 1＋2y 2＝0， ······················································· 4分所以4＋y 2＝0，解得y 2＝－4，从而y 1＝8，因为y 1y 2＝4m ，所以4m ＝－32，解得m ＝－8． ······································ 6分（2）设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，因为M ，N 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，则y 4－y 3x 4－x 3＝y 4－y 3y 424－y 324＝4y 4＋y 3＝－1，解得y 4＝－4－y 3． 又y 4＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，于是－4－y 3＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，解得x 4＝－4－2m －x 3． ······························· 8分又点N 在抛物线上，于是(－4－y 3)2＝4(－4－2m －x 3)．因为y 32＝4x 3，所以y 32＋4y 3＋16＋4m ＝0， ··········································· 10分 于是MA →·MB →＝(x 1－x 3)(x 2－x 3)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 124－y 324)(y 224－y 324)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[(y 1＋y 3)(y 2＋y 3)＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[y 1y 2＋y 3(y 1＋y 2)＋y 32＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16(4m ＋4y 3＋y 32＋16)＝0，因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ，N 在以AB 为直径的圆上，即A ，B ，M ，N 四点共圆． ··············· 12分22．(本小题满分12分)解：（1）当a ＝12时，f (x )＝e x －12x sin x －x －1，则f ′(x )＝e x －12(x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋12x sin x －cos x ．因为x ∈[0，π]，所以e x ≥1，12x sin x ≥0，因此f ′′(x )≥1－cos x ≥0， ··················· 2分所以f ′(x )在[0，π]上单调递增，于是f ′(x )≥f ′(0)＝0，因此f (x )在[0，π]上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0． ····································· 4分 （2）由（1）知，当a ≤12时，f (x )≥e x －12x sin x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时取等号，此时函数f (x )仅有1个零点． ··································································· 6分 当a ＞12时，因为f (x )＝e x －ax sin x －x －1，所以f ′(x )＝e x －a (x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋a (x sin x －2cos x )． 当x ∈[π2，π]时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．当x ∈[0，π2]时，f ′′′(x )＝e x ＋a (3sin x ＋x cos x )．因为e x ＞0，a (3sin x ＋x cos x )≥0，所以f ′′′(x )＞0，所以f ′′(x )单调递增．又f ′′(0)＝1－2a ＜0，f ′′(π2)＝e π2＋π2a ＞0，因此f ′′(x )在[0，π2]上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(0，π2)． ································ 8分当x ∈(0，x 0)时，f ′′(x )＜0，所以f ′(x )单调递减； 当x ∈(x 0，π2)时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．又f ′(0)＝0，f ′(x 0)＜f ′(0)＝0，f ′(π)＝e π＋a π－1＞0，因此f ′(x )在[0，π]上存在唯一的零点x 1，且x 1∈(x 0，π)．······························ 10分 当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )单调递减； 当x ∈(x 1，π)时，f ′(x )＞0，所以f (x )单调递增． 又f (0)＝0，f (x 1)＜f (0)＝0，f (π)＝e π－π－1＞0，所以f (x )在(x 1，π)上存在唯一零点，因此f (x )在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是(12，＋∞)． ··························································· 12分。

【市级联考】江苏省南京市、盐城市2024届高三第二次模拟考试全真演练物理试题（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，用一交流电源给理想变压器供电，已知理想变压器原线圈连有阻值为R的电阻，副线圈接有电阻R1、R2，且R1=R2=100R，闭合开关S后发现三个电阻消耗的功率均为P，则理想变压器原、副线圈的匝数比n和a、b间的电压U0分别为（ ）A．n=5：1，B．n=5：1，C．n=1：5，D．n=1：5，第(2)题如图，一只蜗牛沿着弧形菜叶从右向左缓慢爬行，下列说法正确的是（ ）A．菜叶对蜗牛的弹力大小一定不变B．蜗牛受到的合力变大C．菜叶对蜗牛的摩擦力大小变小D．菜叶对蜗牛的作用力大小不断变化第(3)题如图所示，人游泳时若某时刻手掌对水的作用力大小为F，该力与水平方向的夹角为，则该力在水平方向的分力大小为（ ）A．B．C．F D．第(4)题如图所示，用激光笔照射半圆形玻璃砖圆心O点，发现有a、b、c、d四条细光束，其中d是光经折射和反射形成的。

当入射光束a绕O点逆时针方向转过小角度时，b、c、d也会随之转动，则（ ）A．光束b顺时针旋转角度小于B．光束c逆时针旋转角度小于C．光束d顺时针旋转角度大于D．光束b、c之间的夹角减小了第(5)题氢原子能级如图所示，用光子能量为的光照射大量处于能级的氢原子，氢原子向低能级跃迁时辐射出的光照射到逸出功为的金属板时，射出光电子最大初动能为（）A．B．C．D．第(6)题取无穷远处电势为0，在x轴上固定有两个点电荷，x轴负半轴上电势随位置的分布如图所示，已知在x1处图像的切线平行于x轴，则（ ）A．在x轴负半轴上，x1处的电场强度最大B．两点电荷可能带同种电荷C．两点电荷可能带等量电荷D．两点电荷中正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量第(7)题为了消杀新冠病毒，防控重点场所使用一种人体感应紫外线灯，这种灯装有红外线感应开关，人来灯灭，人走灯亮，为人民的健康保驾护航，下列说法错误的是（ ）A．红外线的光子能量比紫外线的大B．红外线的衍射能力比紫外线的强C．紫外线能消杀病毒是因为紫外线具有较高的能量D．红外线感应开关通过接收到人体辐射的红外线来控制电路通断第(8)题如果一个电子的德布罗意波长和一个中子的相等，则它们相等的是（）A．速度B．动能C．动量D．总能量二、多项选择题（本题包含4小题，每小题4分，共16分。

江苏南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试展开全文·本试卷共8页，23小题，满分150分。

考试用时150分钟。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I(本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：“饿了么”的全职骑手2017年月均收入在8000元以上，能力出众的“单王”月收入甚至可达3万元，这已远超全国城镇私营单位就业者的月均薪资。

据报道，2018年富士康工人月平均工资为6000元，更何况普通制造业工厂根本拿不出富士康这么高的工资。

结果就是：人往高处走，制造业则招不起人。

外卖骑手平均年龄在26-30岁之间，35岁以下占近70%.富士康27万名员工中，30岁以下的员工占到59.65%,看上去还算和外卖行业旗鼓相当，但相比2012年，青年人的比例已经缩减了三分之一。

不能吸引年轻人是对制造业的致命打击，一个失去年轻人的行业将会如同一潭死水。

不妨参考一下美国的情况。

1970年后，美国传统制造业所在的“铁锈八州”人口增量严重放缓，反倒是加利福尼亚、德克萨斯和佛罗里达三州人口激增。

“加德佛”三州以先进制造业和现代服务业为主，此次人口大迁移，其实是就业人口从制造业向服务业转移的结果，被称为“服务业革命”。

因此，外卖行业从制造业抢人，从本质上说，属于中国式服务业革命中的一个具体场景。

（摘编自吴晓波《为什么几百万中国年轻人愿意送外卖不想去工厂》）材料二：制造业工厂智能化、自动化设备的日益完善，从根本上削减了工厂对普通工人的用工需求。

根据对国内2000家企业的调研，新技术应用对制造业普通劳动力岗位的替代率为19.6%.在技术迭代的形势下，外卖员成了国内制造业工人转行的主要选择之一，由工人转行的外卖员成了行业主流。

受疫情影响，今年劳动力市场需求下降明显，但高技能人才依然短缺，各技术等级或专业技术职称的空缺岗位与求职人数的比率均大于2.0.尽管如此，收入相对较高的技工，依旧很难成为年轻人的优先职业选项。

江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试地理试题本试卷分为选择题和综合题两部分。

本次考试满分为120分，考试时间为100分钟。

注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，答案按要求填涂在答题卡上；非选择题答案写在答题卡上对应题目的答案空格内，答案写在试卷上无效。

考试结束后，交汇答题卡。

一、选择题（共60分）（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2019年伊始，一条关于“美联航890航班穿越了”的新闻在网络上火了。

该航班联系上海和旧金山（西八区）两城市。

2019年起飞，2016年到达，飞行时间11个小时。

据此回答1-2题。

1.飞机起飞时，太平洋上的日照情况最可能是下图中的（）2.关于该次航班的叙述，正确的是（）A.飞机自东向西穿越日界线B.飞行过程中穿过晨线C.飞机先向东南方向飞，再向东北方向飞D.飞行过程中太阳处于偏北的方向“七下八上”是指每年7月下旬到8月上旬我国气象部门高度关注的一个多雨时期。

读中国雨带进程示意图（图1），回答3-4题。

3.与“七下八上”多雨期密切相关的天气系统是（）A.蒙古-西伯利亚高压B.西太平洋副热带高压C.阿留申低压D.江淮准静止锋4.“七上八下”期间，我国各地与其面临的气象灾害组合正确的是（）A. 长江中下游—梅雨、洪涝B. 华北平原—洪涝、暴雨C. 东北地区—冰雹、滑坡D. 华南沿海—伏旱、台风当海面有空气平流运动时，海面温度和气温之间产生温度差异，空气和海面之间发生热量交换，空气达到饱和状态而形成雾，海雾的发生和洋流的运动密切相关。

图2为图3中AB航线附近海雾时空分布图（图中数值越大，出现海雾的频率越高），据此回答5—6题。

5. 关于AB航线附近海域海雾时空分布，描述正确的是（）A. 海面和大气温差较大季节海雾发生频率更大B. 东侧海雾发生的频率比西侧高C. 55°W地区海雾发生的季节变化最大D. 西侧和东侧海雾发生频率多的季节是相同的6. 关于B附近海域海雾的状况，理解正确的是（）A. 寒暖流交汇是当地海雾形成的重要原因B. 海雾导致该地区阴雨天气较多C. 海雾的形成与流经该地区的暖流相关D. 海雾对当地环境产生比较严重的大气污染图4是我国贵州某地地质地形图（从①--⑤，岩层年龄由老到新），该地大部分地区已开辟为梯田。

【市级联考】江苏省南京市、盐城市2024届高三第二次模拟考试物理高频考点试题（强化版）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题相传牛顿年轻时曾坐在苹果树下看书，被树上落下的苹果砸中，这件事启发了牛顿，促使他发现了万有引力定律，假如此事为真，有一颗质量为的苹果从树上自由下落，砸中牛顿后以碰前速度的反弹，设相互作用时间为，。

则相互作用过程苹果对牛顿的平均作用力约为（ ）A．B．C．D．第(2)题为防疫，学校配备了消毒用的喷壶。

如图所示，喷壶的储气室内有压强为、体积为的气体。

闭合阀门K，按压压杆A向储气室充气，每次充入压强为、体积为的气体，多次充气后储气室内压强为。

打开阀门K，消毒液从喷嘴处喷出。

假设充气过程储气室容积不变，气体温度不变，气体可视为理想气体。

则按压压杆的次数是（ ）A．5次B．7次C．10次D．15次第(3)题甲乙两同学想将货物运送至楼上，设计了如图所示装置。

当重物提升到一定高度后，两同学均保持位置不动，乙用一始终水平的轻绳将工件缓慢向左拉动，最后将重物运送至乙所在位置，完成运送。

若两绳始终位于同一竖直面内，绳子足够长，不计滑轮的摩擦和重力，则此过程（ ）A．甲手中绳子上的拉力不断变小B．楼面对甲的作用力不断增大C．楼面对甲的摩擦力与楼面对乙的摩擦力大小相等D．乙手中绳子上的拉力不断增大第(4)题如图所示，一等腰梯形ABCD处于匀强电场中，电场强度方向平行于等腰梯形所在平面，已知∠DAB=∠CBA=60°，AB=2m，AD=1m，A、D、C三点的电势分别为1V、3V、5V。

下列说法正确的是（ ）A．B点的电势为6VB．电场强度大小为C．一质子在梯形区域内的电势能不一定大于零D．一电子从D点移到AB的中点，电场力做正功第(5)题某同学周末在家大扫除，移动衣橱时，无论怎么推也推不动，于是他组装了一个装置，如图所示，两块相同木板可绕处的环转动，两木板的另一端点、分别用薄木板顶住衣橱和墙角，该同学站在该装置的处。

江苏省（南京市、盐城市、镇江市）2021届高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x ＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023 B．2026 C．2029 D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A．3：1 B．3：2C．1：3 D．2：35．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是A．[0，4] B．(4，6) C．[4，6] D．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log2(1＋SN)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c 的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为A ．23B ．63C ．4－2 3D ．3－18．已知函数f (x )＝x －a ex ，且e a＝ln b ＝c ，则A ．f (a )＜f (b )＜f (c )B ．f (b )＜f (c )＜f (a )C ．f (a )＜f (c )＜f (b )D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <211．已知函数f (x )＝sin 3xx 2＋1，x ∈(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ．∃x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x)6＝1470ii i a x−=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13， ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值；(2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC －B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f′(x )的最大值不小于0．(1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．江苏省（南京市、盐城市、镇江市）2021届高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

盐城市、南京市2021届高三年级第二次模拟考试地理一、选择题：本大题共22小题，每小题2分，共计44分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

日晷是我国古代根据晷针日影位置来确定时辰的一种仪器，按晷面的摆放角度可分为地平式、垂直式和赤道式。

位于清华大学校礼堂前的日晷（图1）为典型的赤道式日晷，其下部底座上镌刻着1920届学生的铭言：行胜于言。

图2为“赤道式日晷示意图”。

读图，完成下面小题。

1. 江苏某地安装赤道式日晷时，下列做法及原因描述合理的是（）A. 精确测定当地经度，用于调整晷面与水平面之间夹角B. 精确测定当地纬度，用于计算当地与北京时间的时差C. 使用角度测量仪，保证晷针与地平面夹角等于当地纬度D. 使用罗盘精准调节，保证当地正午时晷针针影朝向正南2. 夏至日清华日晷的晷针在晷面上形成的针影（）A. 划过角度小于180°B. 移动速度先快后慢C. 呈顺时针方向移动D. 长度先变长再变短【答案】1. C 2. C【解析】【分析】【1题详解】由图2可知，赤道式日晷的晷面与赤道平行，晷针与地轴平行，指向北极星，晷针与地平面夹角等于当地纬度，C对，D错。

晷面与地平面之间的夹角与纬度有关，与经度无关，A错。

纬度不能用来计算与北京的时差，且日晷安装不需考虑与北京的时差问题，B错。

故选D。

【2题详解】夏至日太阳直射北回归线，北京昼长和太阳高度角达到一年中最大值，晷针的针影落在盘面上方，划过角度大于180°，呈顺时针方向移动，正午时长度最短，AD错，C对。

针影移动速度与地球自转速度有关，是匀速的，否则不能用来计时，B错。

【点睛】解答该题的关键是看懂图2，赤道式日晷其实就是微缩版的压扁的地球，晷面相当于赤道，晷针相当于地轴。

下图为“亚洲局部地区集时刻500hPA等压面高度（米）分布示意图”，图中数值越大则低层的气压越高，反之则越低。

下表为“天气尺度系统类别”。

据此完成下面小题。

专题2.2 数 列1．（1） 等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换； （2）数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．2．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解，这也是考查频率比较高的考查点．1．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为3,9n S S =，若1231,1,3a a a +++构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：13nT ≥ 【试题来源】二轮复习联考（一）2021届高三 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析．【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式．（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果． 【解析】（1）由{}n a 为等差数列，39,S =得239a =，则23,a = 又1231,1,3a a a +++构成等比数列，所以()2132()(11)3a a a ++=+， 即()461,)6(d d -+=解得2d =或4d =-(舍)，所以21n a n =-；（2）因为()()1111121212)21211(n n a a n n n n +=--+-+=， 所以12231111n n n T a a a a a a +=+++…111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11111213221n n n ==≥=+++.2．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为公比大于0的等比数列，且11b =，236b b +=，33a =，4652a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()121n n n c a b +=-⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ． 【试题来源】天津市部分区2021届高三下学期质量调查（一）【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）()16232n n S n +=+-⨯．【分析】（1）求出{}n a 的公差和{}n b 的公比后可得{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）利用错位相减法可求n S ．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则26q q +=，解得2q或3q =-（舍），故12n n b -=．又()5233316d d b ++=+=，故1d =，故n a n =． （2）()()121212nn n n c a b n +⋅==--⋅，故()23123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()23412123252212n+n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()()23122222212n n n S n +-=++++--⨯()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--⨯=---⨯-，故()16232n n S n +=+-⨯．3．已知{a n }为等差数列，各项都为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且13b =，339S =，127a b =-，4041a b =-．（1）求{}n a ､{}n b 的通项公式；（2）求和1231222n n a a a a a ++++⋯⋯++．【试题来源】陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】（1）a n =2n ；b n =3n ，n ∈N *；（2）2n 2+4n ．【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可； （2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可．【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q >0，由b 1=3，S 3=39，a 1=b 2﹣7，a 40=b 4﹣1，可得3+3q +3q 2=39，a 1=3q ﹣7，a 1+39d =3q 3﹣1， 解得q =3，d =2，a 1=2，则a n =2+2(n ﹣1)=2n ；b n =3•3n ﹣1=3n ，n ∈N *；（2）a 1+2a 2+2a 3+……+2a n +a n +1=2(a 1+a 2+a 3+……+a n +a n +1)﹣a 1﹣a n +1 =2•12(n +1)(2+2n +2)﹣2﹣2(n +1)=2n 2+4n ． 4．已知{}n a 是等差数列，11a =，410a =，且1a ，()k a k *∈N ，6a 是等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 是由数列{}n a 的项删去数列{}n b 的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{}n c 的前20项的和．【试题来源】湘豫名校联考2021届高三（4月）【答案】（1）32n a n =-，14n n b -=；（2）767．【分析】（1）根据14,a a 以及等差数列的通项公式计算即可得到n a 结果，然后根据216k a a a =⋅可得k ，最后简单计算可得n b ．（2）根据（1）的条件可知求解的是()()2012241234S a a a b b b b =+++-+++，计算即可．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且11a =，410a =．则111310a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，所以()13132n a n n =+-=-．因为1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，则216k a a a =⋅，由于32k a k =-，代入上式解得2k =．于是11b =，24b =，316b =，因此等比数列{}n b 的公比4q =．故数列{}n b 的通项公式为14n n b -=．（2）设数列{}n c 的前20项的和为20S ．因为3422464b a ===，45864256b a ===，则()()2012241234S a a a b b b b =+++-+++()242324131416647672⨯=⨯+⨯-+++=． 5．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-． （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若数列{}n b 满足331n n a og n log b +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【试题来源】百校大联考2021届高三第六次大联考【答案】（1）22n a n =-；（2）()181964nn n T +-⨯=．【分析】（1）利用1n n n a S S -=-求通项公式；（2）先根据331n n a og n log b +=求出19n n b n -=⨯，再用错位相减法求和．【解析】()21n S n n =-，∴当1n =时，2111,S =-即10a =；当2n ≥时，()211)1(n S n n -=---，()()()21211n n S S n n n n -⎡⎤∴-=-----⎣⎦．()222n n n a ∴=-≥，验证知，当1n =时，也成立．综上，22n a n =-．()2据()1求解知，22n a n =-．又33n n a log n log b +=，3322n n log n log b ∴-+=，19n n b n -∴=⨯，∴数列{}n b 的前n 项和01211929399n n T n -=⨯+⨯+⨯⋯+⨯，① 12391929399n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，②①-②得01219191919199n nn n T T n --=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯()1198919n n n T n ⨯-∴-=-⨯-，()181964nn n T +-⨯∴=【名师点睛】数列求和常用方法：（1）公式法； （2）倒序相加法；（3）裂项相消法； （4）错位相减法．6．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的n 项和34nT < 【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三下学期3月模拟考试 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得()2131222n S n n n n n =+-⋅=+，211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再由裂项相消求和，可得所求和． 【解析】（1）公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列，则2411325a a a a ⎧=⎨=⎩，即()()121115312a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得132a d =⎧⎨=⎩ 则()32121na n n =+-=+；（2）由等差数列求和公式得()2131222n S n n n n n =+-⋅=+， 211111222n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 故11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭()()1111312331221242124n n n n n +⎛⎫=+--=-⋅< ⎪++++⎝⎭． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和及裂项相消法求和，常见的裂项技巧：（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +-- ()()()()1121212121n n n n ++---=-- 1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误，考查学生的运算能力，属于中档题．7．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且满足112b =，351256b b =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}nc 满足12n n n c a b =，其前n 项和为n T ．求证：2n T <． 【试题来源】陕西省宝鸡市2021届高三下学期高考模拟检测（二）【答案】（1）2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析．【分析】（1）根据{}n a 为等差数列及题干条件，可求得1a ，代入等差数列的通项公式，即可求得答案，根据{}n b 为等比数列及题干条件，可求得q ，代入等比数列通项公式，即可求得答案．（2）由（1）可得12nn c n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减求和法，即可求得前n 项和为nT 的表达式，即可得证．【解析】（1）解：由2d =，且126a a +=．所以1226a +=，解得12a =．故()2212n a n n =+-=． 因为{}n b 为等比数列，0n b >，设公比为q ，则0q >， 所以23541256b b b ⋅==，所以341116b b q ==，所以12q =，∴1111222n n n b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）由（1）得1122nn n n c a b n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭， 所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，所以()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，所以由①-②得所以231111111222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111122111(2)12212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以()1222nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，所以2n T <． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314a =，374S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0n a >，求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【试题来源】华大新高考联盟2021届高三3月教学质量测评（全国卷）【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，31143n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）()121nn T n =-⋅+．【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前n 项和公式列出关于q 的方程，解出即可得出{}n a 的通项公式；（2）先确定12n nnn a-=⋅，利用错位相减法求和即可．【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则123211174444a a a q q ++=++=，即2610q q --=，解得12q =或13q =-； 若12q =，则3133111422n n n n a a q ---⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若13q =-，则3331143n n n a a q --⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得，12n nnn a -=⋅， 故01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12321222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得012122222212n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅，故()121nn T n =-⋅+．9．已知等比数列{}n a 的各项均为整数，公比为q ，且1q >，数列{}n a 中有连续四项在集合{}96,24,36,48,192M =--中，（1）求q ，并写出数列{}n a 的一个通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：数列{}n S 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．【试题来源】江苏省苏锡常镇四市2021届高三下学期3月教学情况调研（一） 【答案】（1）2q =-，()132n n a -=⨯-；（2）证明见解析．【分析】（1）因为1q >，且各项均为整数，所以连续四项为24,48,96,192--，故2q =-，不妨取13a =，故()132n n a -=⨯-；（2）设等比数列{}n a 的首项为1a ，()1123nn a S ⎡⎤--⎣⎦=，再分n 为奇数时和n 为偶数时验证122n n n S S S +++=即可．【解析】（1）因为1q >，且各项均为整数，所以连续四项为24,48,96,192--， 所以公比2q =-，取()113,32n n a a -==⨯-．（2）由题意，()1123nna S ⎡⎤--⎣⎦=， 所以当n 为奇数时，()1123n na S +=，()()1211121212,33n n n n a a SS ++++-+==，所以()11122223n n n n a SS S +++++==，当n 为偶数时，()()11111212,33n n nn a a S S ++-+==()212123n n a S ++-=，所以()11122223n n n n a SS S +++-+==，所以对n S 中的任意连续三项，经顺序调整后可以构成等差数列．【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式的求解，前n 项和公式，等差中项证明等差数列等，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题．本题第二问解题的关键在于分n 为奇数和n 为偶数两种情况，并结合等差中项验证122n n n S S S +++=．10．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且4228S S =+． （1）求公差d 的值；（2）若11,n a T =是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使不等式511n T ≥成立的n 的最小值．【试题来源】黑龙江省漠河市高级中学2020-2021学年高三上学期第三次摸底考试 【答案】（1）2d =；（2）5．【分析】（1）{}n a 是公差为d 的等差数列，所以4S =146a d +，2S =12a d +，代入4228S S =+整理即得解；（2）由1a 1,d 2，得21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 裂项相消得出n T 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，解不等式得5n ≥，得到结果． 【解析】（1）由4228S S =+，即11462(2)8a d a d +=++， 化简得48d =，解得2d =；（2）由1a 1,d 2，得21n a n =-，所以111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 所以12231111111111(1)23352121n n n T a a a a a a n n +=+++=-+-++--+ 11(1)22121n n n =-=++，由511n T ≥解得5n ≥，所以n 的最小值为5．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）利用等差数列求和公式，根据题中所给的条件，列出等量关系式，求得结果； （2）根据首项和公差，写出数列的通项公式，将11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项求出，之后利用裂项相消法求和，解不等式，求得结果． 11．己知数列{}n a 满足()*1111,202n n n n a a a a a n N ++=-+=∈ （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和，证明14n S <【试题来源】山东省临沂市沂水一中2021届高三 二轮复习联考（一） 【答案】（1）证明见解析，12n a n=；（2）证明见解析． 【分析】（1）构造数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，根据1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得结果． （2）由裂项相消法即可求和，进而证明不等式．【解析】（1）由题对1120n n n n a a a a ++-+=两边同时除以1n n a a +得1112n na a +-= 又112a =，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列， 所以()12212n n n a =+-=，所以12n a n=；（2）由()()11111114141n n a a n n n n +⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭所以()1111111111114223141441n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 因为*n N ∈所以()1114414n -<+，即14n S <.【名师点睛】 1120n n n n a a a a ++-+=，两边同时除以1n n a a +，构造等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是本题的关键．本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目．12．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，满足11a =，1829a a a =，数列{}n b 满足2n an b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T 的值． 【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测（三）【答案】（1）n a n =，2nn b =；（2） ()1122n n T n +=-⨯+．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件列出关于d 的方程，解方程求出d ，进而求出数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法即可求解．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ．由题意得()()117118d d d +=++，解得1d =或0（舍），所以()111n a n n =+-⨯=，所以2nn b =．（2）由（1）知231122*********nn n n T a b a b a b a b n =+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，所以()23412122232122nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减得()2311121212122122n n n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=-⨯-，所以()1122n n T n +=-⨯+．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为324,7,16n S S a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11b =，当2n ≥时，2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【试题来源】江西省八所重点中学2021届高三4月联考 【答案】（1）12n na ；（2）12n T n=-． 【分析】（1）由3247,16S a a ==解出基本量即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知，111n b n n=--，利用裂项相消法求和． 【解析】（1）因为数列n a 正项等比数列，设公比为q ，且22430,16q a a a >∴==，即2314a a q ==，又()()32123121171714a q q q S a q q qq -++==++=∴=-，，解得2q 或23-(舍) 又111,2n n a a -=∴=．（2）22111112,log log (1)1n n n n b a a n n n n+≥===---，所以1211111112231n n T b b b n n =+++=+-+-++--12n=-． 当1n =时也适合此式，所以12n T n=-． 【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=-⎪++⎝⎭；（2） 1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦，此外需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．14．已知{}n a 数列满足12a =，1122n n n a a ++-=．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列． （2）求数列{}12n n a ++的前n 项和．【试题来源】湖南省衡阳市2021届高三下学期一模 【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n S n +=+⋅-．【分析】（1）将1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，即可证数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）利用（1）的结论可以求出数列{}n a 的通项公式，再利用乘公比错位相减求和．【解析】（1）依题，在1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，得11122n nn n a a ++-=，1112a =，故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得()112n na n n =+-=，可得2nn a n =⋅， 所以()1222n n n a n ++=+⋅，则数列{}12n n a ++的前n 项和()12332425222n nSn =⋅+⋅+⋅+++⋅①，()()231232421222n n n S n n +=⋅+⋅+++⋅++⋅②，①-②得()()()231121262222242212n n n n n S n n ++--=++++-+⋅+-+⋅-=，所以()1122n n S n +=+⋅-．15．已知等比数列{}n a 的前n 项和2,nn S r =+其中r 为常数．（1）求r 的值；（2）设()221log n n b a =+，若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，求123100c c c c ++++的值．【试题来源】江苏省南京市、盐城市2021届高三下学期3月第二次模拟考试【答案】（1）1,r =-；（2）11302．【分析】（1）利用等比数列的定义先求数列的前几项，求出首项和公比，从而求出r 的值，但此方法需验证；也可利用1(2)n n n a S S n =≥－－求解；（2）找出数列{}n b 中数列{}n a 的项，再在求和中将其减掉即可．【解析】（1）方法1：因为2n n S r =+，所以当1n =时，112S a r ==+．当2n =时，2124S a a r +==+，故22a =． 当3n =时，31238S a a a r ++==+，故34a =． 因为{}n a 是等比数列，所以2213a a a ，化简得21r +=，解得1,r =-此时21nn S =-．当2n ≥时，11121212n n n n n n a S S ----==-+=－， 当1n =时，1111,2n n a S a -===，所以1,r =-满足题意． 方法2：因为2nn S r =+，所以当1n =时，112S a r ==+． 当2n ≥时，11121212n n n n n n a S S ----==-+=－．因为{}n a 是等比数列，所以21r +=，解得1,r =-． （2）因为12n na ，所以221log 2()n nb a n =+=．因为1213244586161,2,4,8,16,32a a b a b a b a b a b ===========，732864912864,128,256a b a b a b ======，所以123100c c c c ++++1231072345678()()b b b b a a a a a a a ++++-++++++＝107(2214)254113022⨯+=-=．【名师点睛】数列求和的方法技巧（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N ．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <．【试题来源】东北三省四城市联考暨沈阳市2021届高三质量监测（二） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由2n n a S n =+得()11212n n a S n n --=+-≥，作差得121n n a a -=+，进而得1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是等比数列；（2）由（1）得21n n a =-，故()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，再根据裂项求和证明即可．【解析】（1）因为2n n a S n =+①，所以()11212n n a S n n --=+-≥②， 由①-②得，121n n a a -=+．两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+， 所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列．（2）令1n =，1121a S =+，则11a =． 由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-．因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)nn n S a =+-，1n ≥．（1）求数列{}n a 的前3项1a ，2a ，3a ；（2）求证：数列()213n na ⎧⎫+⋅-⎨⎬⎩⎭是等比数列： （3）求数列{}(63)n n a -⋅的前n 项和n T ． 【试题来源】天津市红桥区2021届高三下学期一模 【答案】（1）11a =，20a =，32a =；（2）证明见解析；（3）3(23)22,,3(23)22,.n n nn n n T n n n ⎧+-⋅-=⎨+-⋅+⎩为偶数为奇数． 【分析】（1）分别令1,2,3n =计算即可；（2）1n n n a S S -=-（2n ≥）转化为递推数列即可证明； （3）分n 的奇偶性计算即可．【解析】（1）当1n =时，有：()1111211S a a a ==+-=⇒； 当2n =时，有：()221222210S a a a a =+-⇒=+=； 当3n =时，有：()3312333212S a a a a a =++=+-=⇒；综上可知11a =，20a =，32a =；（2）由已知得2n ≥时，1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得1122(1)n n n a a --=+-上式可化为1122(1)2(1)33n n n n a a --⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦故数列2(1)3n n a ⎧+-⎫⎨⎬⎩⎭是以112(1)3a +-为首项，公比为2的等比数列． （3）由（2）知121(1)233n n n a -+-=所以1122(1)33n n n a -=⋅-- ()()()16321221nn n n a n -⎡⎤-⋅=---⎣⎦()1=2122(1)(21)n n n n --⋅-⋅-⋅-， 当n 为偶数时，011n 1232(21)22[135(23)(21)]n n n T n -⎡⎤=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅--+-+⋅⋅⋅--+-⎣⎦ 令0111232(21)2n n A n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2[135(23)(21)]n B n n =-+-+⋅⋅⋅--+-01221123252(23)2(21)2n n n A n n --=⋅+⋅+⋅+-⋅+-⋅⋅⋅⋅① 12121232(23)2(21)2n n n A n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②则①-②得01212222222(21)2n nn A n --=+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅--⋅()12112222(21)2n nn -=+++--⋅⋅⋅⋅()121212(21)212n nn --=+⋅--⋅-3(32)2n n =-+-⋅ 3(23)210n n A n ∴=+-⋅，2[135(23)(21)]n B n n =-+-+⋅⋅⋅--+-2222nn =⋅⋅= 所以3(23)22nn n n T A B n n =-=+-⋅-．当n 为奇数时，3(23)2nn A n =+-⋅，2[135(25)(23)(21)]n B n n n =-+-+⋅⋅⋅--+---122212n n -⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭2n =-所以3(23)22nn n n T A B n n =-=+-⋅+，综上，3(23)22,,3(23)22,.n n nn n n T n n n ⎧+-⋅-=⎨+-⋅+⎩为偶数为奇数 【名师点睛】本题的核心是考查错位相减求和．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．18．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,A B C 成等差数列，且2c a =． （1）求角A 的大小； （2）设数列{}n a 满足1cos (2)n a nC n n =+，其前n 项和为n S ，求2n S ．【试题来源】黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三第六次调研考试数学试卷【答案】（1）6π；（2）()41n n + 【分析】（1）根据2B A C =+及内角和，得到3B π=，再由2c a =，及余弦定理求解．（2）化简0,21,1,2(2)n n k a k N n k n n =+⎧⎪=∈⎨=⎪+⎩，再利用裂项相消法求2n S ． 【解析】（1）因为,,A B C 成等差数列，2B A C ∴=+， 又A B C π++=，3B π∴=，又2c a =， 由余弦定理得22222222cos4233b ac ac a a a a π=+-==+-即222+=a b c ，所以ABC 是直角三角形，故,26C A ππ==所以角A 的大小为6π． （2）因为0,2111cos cos ,1,2(2)(2)2(2)n n k n a nC k N n k n n n n n n π=+⎧⎪===∈⎨=++⎪+⎩，所以2123421110024462(22)n n S n n a a a a a +=+++++=+++⨯+⨯+11111124462(22)122314()1n n n n ++⨯⨯+⨯⨯+⎛⎫=++=++⎪⎝⎭1111111223411n n ⎛⎫=+-+⎪-++- ⎝⎭()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．已知数列{}n a 满足11a =，且点()1,2nn n a a +-在函数()3f x x =的图象上．（1）求证：12n na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式： （2）若1n n n a b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：233n S n >+． 【试题来源】湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模【答案】（1）证明见解析；32n nn a =-；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意得123nn n a a +=+，推得11311222n n n n a a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可证明12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；（2）推得1113323212233323331122nnn n n n n nn nn a b a +++⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭====+>+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证． 【解析】（1）由点()1,2nn n a a +-在函数()3f x x =的图象上，可得123nn n a a +=+，所以13122n nn na a +=+，即11312222n n n n a a ++=⋅+， 也即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由11a =，所以113122a +=，所以12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项和公比均为32的等比数列，则3122nn n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32n n n a =-；（2）1113323212233323331122nnn n n n n nn nn a b a +++⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭====+>+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，2221332222333222333313nn n n S n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭>++++=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 4232333n n ≥+-=+． 【名师点睛】证明数列为等比数列的常用方法：（1）定义法；（2）等比中项法；（3）通项法；（4）前n 项和法．20．已知等差数列{}n a 的公差不为零，41a =，且457a a a ，，成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()24n n S b n N*=-∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：()111,2n n nn a c c c n N b *+=-=-∈，求使得216n n c -≥成立的所有n 值．【试题来源】浙江省绍兴市2021届高三下学期一模【答案】（1）3n a n =-，12n n b +=；（2）2，3，4．【分析】（1）由等差、等比数列的定义及递推关系求出2个数列的通项．（2）累加法求新数列的通项，错位相减法来求等差乘等比的前n 项和，即可得到数列通项，然后解不等式即可．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为0d d ≠（），由题得2547a a a =， 即2113d d +=+（），整理得2d d =，解得1d =，所以()443n a a n d n =+-=-．因为1124b b =-，所以14b =，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，所以{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b +=．（2）由1n n n n a c c b +=-得1132n n n n c c ++--=， 所以()()()112211n n n n n c c c c c c c c ---=-+-+⋯+-+2312142222n n ---⎛⎫=--++⋯+ ⎪⎝⎭设23214222n n n T ---=++⋯+，则34112142222n n n T +---=++⋯+， 作差得2341121114222222n n n n T +--=+++⋯+- 31111114122221224212n n n n n ++-⨯--=-+-=--- 所以1222n n n T -=--，所以1222n n n n c T -=--= 因为22216n n n n c --=≥，所以()()42210n n ---≥． 当1n =时，不满足题意；2n =时，满足题意； 当3n ≥时，4210n --≥，解得34n ≤≤． 所以，满足题意的所有n 值为2，3，4．。