第3讲 常用逻辑用语
【基础知识】
1.四种命题及其关系：
互逆否命题的真假性相同，解题时常常用到正难则反
2.充分条件与必要条件
一般地，如果p q ⇒，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件．
从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A .B 互为充要条件.
3.简单的逻辑联结词
（1）P 或q ：p q ∨ （2）p 且q : p q ∧ (3) 非p : p ⌝
4.全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”.“任意一个”等，用∀表示；
全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词--------“存在一个”.“至少有一个”等，用∃表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀
【基本题型】
一、充分必要条件问题
例1．(2011·福建高考)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【解析】 若a ＝2，则(a －1)(a －2)＝0，但(a －1)(a －2)＝0，有a ＝1或a ＝2，即(a －1)(a －2)＝0
a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．【答案】 A
变式训练1..若．“6π
α=”是“21
2cos =α”的 （ A ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、逻辑联结词，命题真假的判定
例2.下列命题中，真命题是（ ）．
Ａ．m ∃∈R ，使函数()()2f x x mx x =+∈R 是偶函数
Ｂ．m ∃∈R ，使函数()()2f x x mx x =+∈R 是奇函数
Ｃ．m ∀∈R ，使函数()()2f x x mx x =+∈R 都是偶函数
Ｄ．m ∀∈R ，使函数都()()2f x x mx x =+∈R 都是奇函数
【解】当0m =时，函数()()2f x x x =∈R 是偶函数，故选Ａ．此外，m ∀∈R ，函数都
()()2f x x mx x =+∈R 都不是奇函数，因此排除Ｂ，Ｄ．
，则函数()()2f x x x x =+∈R 既不是奇函数也不是偶函数．因此排除Ｃ
变式训练2.命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式是（B ）
A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根
B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
三、互为逆否命题的真假性相同
例3.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，
命题q ：实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【尝试解答】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .
当a ＝1时，1＜x ＜3，又⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.得2＜x ≤3. 由p ∧q 为真．∴x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧2＜x ≤3，1＜x ＜3.即2＜x ＜3.所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3. (2)由¬p 是¬q 的充分不必要条件，知
q 是p 的充分不必要条件，由A ＝{x |a ＜x ＜3a ，a ＞0}，B ＝{x |2＜x ≤3}，
∴B A .因此a ≤2且3＜3a .所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.
评析：．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
变式训练3.已知p: 23
11≤--
x ,q: ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
解：由p ：23
11≤--x .102≤≤-⇒x ()().9,21101.,,11:,
210:.11,0122≥⎩
⎨⎧-≤-≥+⌝⇒⌝⌝⌝-<+>⌝-<>⌝+≤≤-〉≤-m m m q p q p m x m x p x x p m x m m m x q 所以故只需满足所以的必要不充分条件是因为或或所以所以可得由
【基础训练】
1. 命题“若b a >，则11->-b a ”的否命题．．．
是（ C ） A . 若b a >，则11-≤-b a B . 若b a ≥，则11-<-b a
C . 若b a ≤，则11-≤-b a
D . 若b a <，则11-<-b a
2．（2012·重庆高考文科）命题“若p 则q ”的逆命题是( A )
(A)若q 则p (B) 若p ⌝则q ⌝ (C) 若q ⌝ 则p ⌝ (D) 若p 则q ⌝
3.（2012·湖南高考文科）命题“若α=
4π，则ta nα=1”的逆否命题是( C ) (A )若α≠4π，则ta nα≠1 (B )若α=4
π，则ta nα≠1 (C )若ta nα≠1，则α≠4π (D )若ta nα≠1，则α=4
π 4.（2011·福建卷文科）若a ∈R ，则“a =1”是“|a |=1”的( A )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
5.（2013·重庆高考文科）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为( A )
A ．存在0x R ∈，使得200x <
B .对任意x R ∈，都有20x <
C .存在0x R ∈，使得200x ≥
D .不存在x R ∈，使得20x <
6.命题“若)(x f 是奇函数，则)(x f -是奇函数”的否命题是（ B ）
A . 若)(x f 是偶函数，则)(x f -是偶函数
B . 若)(x f 不是奇函数，则)(x f -不是奇函数
C . 若)(x f -是奇函数，则)(x f 是奇函数
D . 若)(x f -不是奇函数，则)(x f 不是奇函数
7.（2013·安徽高考文科）“(21)0x x -=”是“0x =”的 ( B )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
8.（2013·湖南高考文科） “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（A ）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
9.（2012·湖北高考文科）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ B ）
(A )任意一个有理数，它的平方是有理数 (B )任意一个无理数，它的平方不是有理数
