江苏省南通市2017高考数学冲刺小练(27)扫描版

B．（选修 4-2：矩阵与变换）求将曲线 y2 x 绕原点逆时针旋转 90 后所得的曲线方程．
C．（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴
重合．若曲线
C1
的方程为
sin(
π 6
)
2
3
0
，曲线
C2
的参数方程为
x y
cos sin
（1）将 C1 的方程化为直角坐标方程；
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分． 15．（本小题满分 14 分） 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， A 2B ， sinB 3 ．
3 （1）求 cosA 及 sinC 的值； （2）若 b 2 ，求 △ABC 的面积． 16．（本小题满分 14 分） 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1B1B 为正方形， BB 1C1C 为菱形， BB1C1 60 ，平面 AA1B1B
已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为 1.8 元/千克，每次
购买配料需支付运费 236 元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7 天以内（含 7 天），无
论重量多少，均按 10 元/天支付；超出 7 天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天 0.03 元/千克支
2．命题“若 a b ，则 a2 b2 ”的否命题是________．
3．已知
i
为虚数单位，复数
z
1 2i 1 i
，则复数
z
的虚部是________．
4．一支田径队有男运动员 28 人，女运动员 21 人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取 14 位运动员进

江苏南通2018高考数学二轮冲刺小练（27）班级 学号 姓名1．若复数i iz -=1，则||z = ．2．设全集为R ，1{|0}A x x =<，则R ðA= ．3．已知函数2(4),()(1)(4),x x f x f x x ⎧<=⎨-⎩≥则)5(f = ．4．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是 (,)c +∞，其中c = ．5．若||1,||1,==a b 且2||3-=a b ，则a 与b 的夹角为 ．6．已知{(,)|6x y x y Ω=+≤，0,0}x y ≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =-≤≥≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ．7．如图，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为 ．8．已知两点A （－2，0），B （0，2），C 是圆0222=-+x y x上任意一点，则△ABC 面积的最小值是 ．9．已知点O 在△ABC 内部， OA → ＋2OB → ＋2OC → =0，△ABC 与△OCB 的面积 之比是 ．10．已知函数)(x f 的定义域为),2[+∞-，部分对应值如下表．)(x f '为)(x f 的导函数，函数)(x f y '=的图象如下图所示．若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则33++a b 的取值范围11．如图，四棱锥P －，E 、F 分别为AB ，PC 中点，且PD=PE ，PB=PC ．求证：（1）EF ∥平面PAD ；（2）平面PDE ⊥平面ABCD ．12．若βα,为锐角，2πβα≠+，且)2sin(sin 3βαβ+=．（1）求证：αβαtan 2)tan(=+； （2）求βtan 的最大值．。

2017届高三数学第二十七次限时训练一、选择题和填空题1．记集合A ＝{}x |x －a >0，B ＝{}y |y ＝sin x ，x ∈R ，若0∈A ∩B ，则a 的取值范围是（ A ） A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞) 2．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能．．．是（ B ） A ．圆柱 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 棱柱 3．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能．．．是（ C ） A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋14．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ B ）A ．10种B ．60种C ．125种D ．243种5. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 合计201030附表：P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K 2＝10，则下列选项正确的是：（ A ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 6. 非负．．实数x 、y 满足ln(x ＋y －1)≤0，则关于x －y 的最大值和最小值分别为 ( D ) A. 2和1 B ．2和－1 C. 1和－1 D ．2和－2 7. △ABC 的周长等于2(sin A ＋sin B ＋sin C)，则其外接圆半径等于___1_____．8. M 、N 分别为双曲线x 24－y 23＝1左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则||MN →·v 的最小值为___4_____．。

第7题PD A BCE 2017年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 已知集合{1234}A =，，，，{147}B =，，，则A B = ▲ ． 2． 已知复数z 满足i i z =（i 为虚数单位），则||z 3． 已知样本数据12,,n x x x 的均值5x =，则样本数据13x +231,,31n x x ++ 的均值为 ▲ ．4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．5． 随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为 ▲ ．6． 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．则数列第10项10a = ▲ ． 7． 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E －P AB 的体积为4，则PA 的长为 ▲ ．8．函数2log y x =，1,324x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为 ▲ ．9． 如果函数3sin(2)y x ϕ=+的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,OA t =- ，()2,2OB =，若OBA ∠为直角三角形，则实数t 的值为 ▲ ．11．若存在实数x ，使不等式2e 2e 10xx a +≥-成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．已知正数,a b 满足13a b+=，则ab 的最小值为 ▲ ． 13．已知点(2,3)A ，点(6,3)B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足等式20AP BP λ⋅+=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ▲ ．14．设函数()33,2,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩，，若关于x 的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，3B π=． （1）若AC =2BC =，求AB ；（2）若cos A =tan C ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//2DC AB DC AB =，,E 为棱PA 上一点.（1）设O 为AC 与BD 的交点, 若2PE AE =, 求证://OE 平面PBC ； （2）若DE AP ⊥, 求证：PB DE ⊥．17．(本小题满分14分）南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于t 的近似函数的关系为321124100010(t)4(t 10)(3t 41)1001012t t t t V t ⎧-+-+<=⎨--+<⎩，≤，，≤． （1）该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以1i t i -<<表示第i 月份（1212i = ，，，），问一年内哪几个月是衰退期？ （2）求一年内该地区冰川的最大体积．D O PB 第16题 AC E18．(本小题满分14分）已知圆222:(0)O x y r r +=>与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于点()0,1M ,()01N -，，且椭圆的离心率为2. （1）求r 值和椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A，① 若23MB MA =，求直线l 的方程；② 设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为问:21k k 是否为定值,如果是,求出定值;19．(本小题满分16分）设函数()e ||x f x x a =--，其中a 是实数．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 各项均为正数，2122a a ==，且312n n n na a a a +++=对*n ∀∈N 恒成立，记数列{}n a的前n 项和为n S . （1）证明：数列212{}n n a a -+为等比数列；（2）若存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅． B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵12-14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算3A α．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos2x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数），求直线l与曲线C 交点P 的直角坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ∈R ，e a b >>(其中e 是自然对数的底数)，求证:ba ab >．(第21－A 题)【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局比赛中小明获胜的概率为34．(1)求第三局结束后小明获胜的概率；(2)设比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()nn m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．2017年高考模拟试卷(3)参考答案一、填空题1.{1,4}2.23.164.115.1106.227.48.[0,5]9.3π. 由题意可知当56x π=时，0y =，即有5sin()03πϕ+=，解得5,3x k k Z ππ=-∈，化简得()2,3x k k Z ππ=-+∈，所以ϕ的最小值为.3π 10.5. OBA ∠为直角，有0OB AB ⋅= ，即有()0OB OB OA ⋅-= ，所以2OA OB OB ⋅= ;代入坐标得228t -+=，所以 5.t =11.[1,)-+∞12.因为,a b 为正数，13a b =+≥，即有ab ≥当且仅当1313a ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即a b ==时，取“=”.13. (,2)-∞.设(,)P x y ，则()2,3A P x y =--，()6,3BP x y =-+，根据20AP BP λ⋅+= ，带入坐标化简有()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭.由题意圆：()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭圆与直线3430x y -+=相交，圆心到直线的距离3d ==< 2.λ<14. )1,2⎛⎫-∞∞⎪⎝⎭.当1a ≤-，函数()f x 有最大值2a -，此时24a a ->， 解得0a <，又因为1a ≤-，所以1a ≤-；当12a -<≤，函数()f x 有最大值2，此时24a >解得12a <，又12a -<≤，所以112a -<<当2a >，函数()f x 无最大值，因为取不到33a a -，所以334a a a -> 即370aa ->解得0,a <<或a >又因为2a >，所以a >综上所述，a 的取值范围是)1,2⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭.二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，3B π=,AC =2BC =. 由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅,得21242AB AB =+-，即2280AB AB --=解之得4AB =，2AB =-（舍去）．（2）cos 013A =>，得 02A π<<，sinA 13==tan cos SinA A A ==3B π=,所以tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +=-+=--5==． 16．（1）在AOB ∆与COD ∆中，因为//,2DC AB DC AB =， 所以12AO AB CO CD ==，又因为2PE AE =， 所以在APC ∆中,有12AO AE CO PE ==，则//OE PC . 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//OE 平面PBC ． （2）因为AB ⊥平面PAD ， DE ⊂平面PAD ， 所以AB DE ⊥. 又因为AP DE ⊥,AB ⊂平面PAB ,AP ⊂平面PAB ,AP AB A = ， 所以DE ⊥平面PAB ， PB ⊂平面PAD ，所以.DE PB ⊥ 17. (1)当010t <≤时，32(t)1124100100V t t t =-+-+<， 化简得 211240t t -+> ，解得3t <或8t > ， 又010t <≤，故04t <<或810t <≤，当1012t <≤时， (t)4(t 10)(3t 41)100100V =--+<，解得 41103t <<，又1012t <≤，故1012t <≤． 综上得 04t <<，或812t <≤．所以衰退期为1月，2月，3月，4月， 9月，10月，11月，12月共8个月． (2)由(1)知：(t)V 的最大值只能在()4,9内取到．由()''32V (t)1124100t t t =-+-+232224t t =-+-令`(t)0V =，解得6t = 或43t =(舍去)． 当t 变化时，`(t)V 与(t)V 的变化情况如下表：由上表，(t)V 在t ＝6时取得最大值 (6)136V = (亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．（1）因为圆222:O x y r +=与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于点()0,1M所以1b r == . 又离心率为2c e a ==,所以a =所以椭圆22:12x C y +=． （2）因为过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于,A B 两点，所以设直线l 的方程 为()10y kx k =+≠，由22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()222140k x kx ++=，所以222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 同理2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩得到()22120k x kx ++=， 所以22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 因为23MB MA = ， 则224223211k kk k --=++则因为0k ≠，所以2k =±，即直线l的方程为12y x =±+. ②根据①222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 221211121A N NAA N k y y k k k k x x k -++-+===--+ 1k =-，222221121421B NNB B N k y y k k k k x x k -++-+===--+12k =-， 所以2112k k =为定值. 19．（1）因为e ()e ||e x xx x a x a f x x a x a x a ⎧-+⎪=--⎨+-<⎪⎩，≥，=，，则e 1()e 1x x x a f x x a ⎧-⎪'⎨+<⎪⎩，≥，=，，因为()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥恒成立，当x a <时，()e 110x f x '+>=≥恒成立，当x a ≥时，()e 10x f x '-=≥恒成立， 故应()0f a '≥，即0a ≥．（2）由（1）知当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，不符题意，所以有0a <． 此时，当x a <时，()e 110x f x '+>=≥，()f x 单调递增，当x a ≥时，()e 1x f x '-=，令()0f x '=，得0x =，所以()0f x '<在(),0a 上恒成立，()f x 在(),0a 上单调递减，()0f x '>在()0,+∞恒成立，()f x 在上单调()0,+∞递增.所以()=()e a f x f a =极大，()=(0)1+f x f a =极小，即0a <符合题意.由2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，可得e 1a a ka --≥对任意0a <恒成立， 设()e (1)1a g a k a =-+-，求导，得()e (1)a g a k '=-+，① 当1k -≤时，()0g a '≥恒成立，()g a 在(0)-∞，单调递增，又因为1(1)0g k -=+<，与()0g a >矛盾；②当0k ≥时，()0g a '≤在(0)-∞，上恒成立，()g a 在(0)-∞，单调递减， 又因为(0)0g =，所以此时()0g a ≥恒成立，符合题意；③当10k -<<时，令()0g a '>在(0)-∞，上的解集为(ln(1)0)k +，， 即()g a 在(ln(1)0)k +，上单调递增，又因为(0)0g =，所以)(ln(1)0g k +<不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0)+∞，． 20．（1）证明：由312n n n n a a a a +++=，可知323311n n n n a a aa a a a +++==== ， 所以212232123212212()n n n n n n n na a a a a a a a a a ++---++==++，当1n =时，123a a +=，即数列212{}n n a a -+是以3为首项，3a 为公比的等比数列．（2）法一, 由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列．故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++ ．333(1)1k a a -=-故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++ ． 333(2)(1)11k a a a +-=+-． 又因为{}n S t +为等比数列，故有()()()221n n n S t S t S t ++++=+,对n +∀∈N 恒成立，所以()()()222221k k k S t S t S t ++++=+和()()()2212322k k k S t S t S t +++++=+对k +∀∈N 恒成立，即()()()2133********333333332(1)3(1)3(1)11112(1)2(1)3(1)11111k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a +++⎧⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫--⎪++=++ ⎪⎪⎪---⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+-+-⎛⎫-++++=+⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩对k +∀∈N 恒成立,解得34a =，1t =，此时()()()2132111S S S ++=+也成立. 所以34a =，1t =，即21n n S =-得到12n n a -=．法二,由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列． 故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++333(1)1k a a -=- 333311k a a a =--- 要使得{}n S t +为等比数列必有2{}k S t +为等比数列,即有331t a =-成立① 故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++ ． 333(2)(1)11k a a a +-=+-． 333322111k a a a a a ++=-+-- 要使得{}n S t +为等比数列必有21{}k S t ++为等比数列,即有33211a t a +=--成立② 联立①②得31,4t a ==以下同解法一法三,由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列． 故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++ ．333(1)1k a a -=-故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++ ． 333(2)(1)11k a a a +-=+-． 要使得{}n S t +为等比数列必有()()()2243S t S t S t ++=+和()()()2132S t S t S t ++=+解得31,4t a ==,通过验证31,1t a ==时, {}n S t +为等比数列. 以下同解法一第II 卷（附加题，共40分）21.A . 连接AD ，因为AB 为圆O 的直径， 所以0=90ADB ∠,又0=90EF AB AFE ⊥∠，，则,,,A D E F 四点共圆，,BD BE BA BF ∴⋅=⋅,又ABC ∆～AEF ∆，即AB AF AE AC ⋅=⋅.BE BD AE AC BA BF AB AF ∴⋅-⋅=⋅-⋅()AB BF AF =⋅-2AB =.B ．因为212()5614f λλλλλ--==-+- ，由()0f λ=，得=2λ或=3λ． 当=2λ时，对应的一个特征向量为12=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当=3λ时，对应的一个特征向量为21=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦．设321=211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩, 所以()3312A A ααα=+3312A A αα=+ 332143=12+13=1135⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ C ．因为直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ，所以直线l的直角坐标方程为y =， 又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos2x y αα=⎧⎨=-⎩所以曲线C 的普通方程为[]212,2,22y x x =-+∈-,联立解方程组2122y y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ .解得3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩所以点P的直角坐标为(3-.D ．0,0a b b a >> ， ∴要证b a a b >，只要证ln ln a b b a > 只要证ln ln b a b a >， 构造函数()()ln ,,x f x x e x=∈+∞. ()()21ln ,,x f x x e x-'=∈+∞， ()0f x '<在区间(),e +∞恒成立， 所以函数(),x e ∈+∞在上是单调递减，所以当e a b >>时，有()()f b f a >即ln ln b a b a>，得证. 22．(1) 记“第三局结束后小明获胜”为事件A ， 则3327()()464P A ==． (2) 由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()+()4416P X ===， 131333311345(4)()()+()()4444128P X C C ===，27(5)1(3)(4)128P X P X P X ==-=-==． 所以比赛局数X 的分布列为74527483()345.16128128128E X =⨯+⨯+⨯= 23．（1）当1m =时，1100111(1)(1)(1)111n n k kk k n n k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，， 又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，. （2）0()(1)n k k n k m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k n n n k m m C C m k m k ----==+-++-++∑1111111(1)(1)n n kk k k n n k k m m C C m k m k ----===+-+-++∑∑111(1,)(1)n k k n k m P n m C m k --==-+-+∑0(1,)(1)n k k n k m m P n m C n m k==-+-+∑ (1,)(,)m P n m P n m n =-+即()(1)n P n m P n m m n =-+，，， 由累乘，易求得!!1()(0)()!n n m n m P n m P m n m C +==+，，， 又()n n m Q n m C +=，，所以()()1P n m Q n m ⋅=，，．。