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08年高考数学江西卷最后一题研究

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22．（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝x +11＋a +11＋8
+ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间；
（2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2． 令ax
c x b 8,==,则第(2)等价于:若a,b,c>0,abc=8求证: )1(211
11
11
1----<++++
+<c b a 上式不等式(1)与2004年西部奥林匹克最后一题：
设a,b,c 是正数，求证：2
231222222≤+++++<a c c c b b b a a
类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。

而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。

另外，2003年中国数学奥林匹克第三题：
给定正数n,求最小正数λ,使得对于任何),,...2,1)(2
,0(n i i =∈π
θ 2212tan ...tan tan πθθθ=••n 只要,就有n θθθcos ...cos cos 21••不大于λ
答案:当n ≥3,λ=n-1
当n=3时,令322212tan ,tan ,tan θθθ===c b a 即得(1)右边的等式。

江西的宋庆老师说:今天阅卷结束。

该题第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。

由此可知，（2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。

所以第
（2）小题不宜作高考题。

此题也引起了张景中院士的兴趣，在 “张景中院士解江西高考压轴题”一贴中
命题人陶平生教授的证明：其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的2003年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。

22．解：()1、当8a =时，(
)13f x =+，求得 ()
f x '=， 于是当(0,1]x ∈时，()0f x '≥；而当 [1,)x ∈+∞时，()0f x '≤．
即()f x 在(0,1]中单调递增，而在[1,)+∞中单调递减．
（2）.对任意给定的0a >，0
x >
，由() f x =+，
若令 8b ax =，则 8abx = … ① ，而
(
)f x = … ② （一）、先证()1f x
>11x >+
11a >+
11b >+，
又由
28a b x +++≥≥= ，得 6a b x ++≥．所以
(
)111111f x x a b
=>+++++32()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++=+++ 9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥+++1()()1(1)(1)(1)
a b x ab ax bx abx x a b +++++++==+++． （二）、再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤ （ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥
，因为1<
，
1≤<，此时
(
)2f x =<． （ⅱ）、当7a b +< …③，由①得 ,8x ab
=
= 因为 22211[1]114(1)2(1)b b b b b b b <-+=-++++
所以12(1)b b <-+ … ④
12(1)a a <-+ …⑤ ，于是 (
)12211a b f x a b ⎛<-+- ++⎝… ⑥
今证明 11a b a b +>++…⑦, 因为 11a b a b +≥++， 只要证(1)(1)8
ab ab a b ab >+++，即 8(1)(1)ab a b +>++，即 7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ()2f x <．综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．
说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。

问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。

平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。

2008-07-12 21:03 scpajmb 的发言：
确实，陶平生教授是不等式高手，所命那道2005年全国联赛加试第二题，大家还记忆犹新。

当然，宋老师也是不等式高手。

我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。

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2008年普通高考江西理科数学卷及答案

2008年普通高考江西理科数学卷及答案


22．（本小题满分 14 分）已知函数 f x 1 1 ax ， x 0, ．
1 x 1 a ax 8
1 ．当 a 8 时，求 f x 的单调区间； 2 ．对任意正数 a ，证明：1 f x 2．
20．（本小题满分 12 分）如图，正三棱锥 O ABC 的三条侧棱 OA 、 OB 、 OC
A．1
B．46
C．4245
D．4246
9 若 0 a1 a2 , 0 b1 b2,且a1 a2 b1 b2 1，则下列代数式中值最大的是
A． a1b1 a2b2
B． a1a2 b1b2
C． a1b2 a2b1
D． 1 2
10．连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为 4 的球的两条弦 AB 、 CD 的长度分别等于 2 7 、 4 3 ， M 、 N
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷理）
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数 z sin 2 i cos 2对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．定义集合运算: A B z z xy, x A, y B.设 A 1, 2, B 0, 2,则集合 A B 的所有元素之和为
21．（本小题满分 12 分）设点 P(x0 , y0 ) 在直线 x m( y m, 0 m 1) 上，过点 P 作双曲线 x2 y2 1的两条切 线 PA、PB ，切点为 A 、B ，定点 M ( 1 , 0) .
m （1）求证：三点 A、M、B 共线。
（2）过点 A 作直线 x y 0 的垂线，垂足为 N ，试求 AMN 的重心 G 所在曲线方程.
由2008年江西高考理科数学最后一题说起

由2008年江西高考理科数学最后一题说起

由2008年江西高考理科数学最后一题说起周湖平年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同。

2008年是江西省高考数学自主命题的第四年，今年全省理科平均分为69.37 比去年了降了19.87，特别是理科压轴题的难度系数为0.11，属于超难题。

2007年考生满面笑容，2008年考生叫苦连天。

2008年的理科压轴题是一道函数与不等式的综合题，一改前两年以数列与不等式的综合题为压轴题局面，避免了老师和学生猜题压宝，具有良好的导向作用。

压轴题基于公平的原则体现了试题选拔功能,其设计之新颖,立意之深隧,技巧之高难，把选拔功能体现得酣畅淋漓。

本文以08年江西省高考数学理科压轴题为例谈谈自己的看法。

1考查能力好载体题目 函数()f x ＝x +11＋a +11＋8+ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间；（2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．解 （1）略（2）对任意给定的0>a ，0>x ，因为ax a x x f 8111111)(+++++=，若令axb 8=，则8=abx ① ba x x f +++++=111111)( ② （一）先证1)(>x f ：因为x x +>+1111，a a +>+1111，bb +>+1111 又由x b a +++2≥8244=abx ，∴x b a ++≥6所以（2）.再证2)(<x f ：由①、②中关于x ，a ，b 的对称性，不妨设x ≥a ≥b ，则0<b ≤2， （Ⅰ）.当a+b ≥7，则a ≥5，∴x ≥a ≥5111<+b ，16261611111<=+≤+++a x1)1)(1)(1()()(1)1)(1)(1()()(9)1)(1)(1()(23111111111111)(=++++++++++=+++++++++≥+++++++++=+++++>+++++=b a x abx ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x b a x x f∴2111111)(<+++++=b a x x f（Ⅱ）若a+b<7，由①得ab x 8=，∴811+=+ab ab x ③ 因为222))1(21()(41111b b b a b b b b +-=+++-<+ ∴)1(2111b b b +-<+ ④ 同理得)1(2111a a a +-<+ ⑤，于是 )8211(212)(+-+++-<ab ab b b a a x f ⑥ 今证明8211+>+++ab ab b b a a ⑦ 因为)1)(1(211b a ab b b a a ++>+++，则只要)1)(1(2b a ab ++82+>ab ab 只要ab b a +<++8)1)(1(，即证ab ab b a +<+++81，即a+b<7，而这显然成立。

2008年高考试题——数学理(江西卷)(有答案解析及评分标准)

2008年高考试题——数学理(江西卷)(有答案解析及评分标准)

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

第Ⅰ卷考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)kkn kn n P k C p p -=-一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23 D ．10[3,]34．1limx →=A ．12B ．0C ．12-D ．不存在5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．2(0,2D ．228．610(1(1++展开式中的常数项为A ．1B ．46C ．4245D ．42469若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．1210．连结球面上两点的线段称为球的弦。

2008年高考数学江西卷(理)全解全析

2008年高考数学江西卷(理)全解全析

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试江西卷数学试题（理科）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C kn P k (1一P )k n -一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数z =sin2＋i cos 2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【标准答案】D【试题解析】易知sin2>0 ,cos 2<0。

根据复数的几何意义可知z 所对应的点位于第四象限。

【高考考点】三角函数的定义和复数的几何意义 【易错提醒】实数值与三角函数角的大小的对应。

【学科网备考提示】注意复数的几何意义。

2．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为 A ．0 B ．2 C ．3 D ．6 【标准答案】D【试题解析】A ，B 两个集合中的元素的乘积：1⨯0=0，1⨯2=2，2⨯0=0，2⨯2=4.故集合A *B 有三个元素0，2，4，它们的和为6。