高考数学压轴题集锦
1.
椭圆的中心是原点Ｏ，它的短轴长为相应于焦点(,)0F c (0>c )的准线l 与x 轴相交于点A ,2OF FA =,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心率;
(2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；
(3)设AP AQ λ=（1λ>）,过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ,证明
FM FQ λ=-. （14分)
２． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时,求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01
log )(4=+x
x f 是否有实数根?若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根,请说明理由。
3.(本题满分12分)如图，已知点F(０,1），直线L:y=－２,及圆Ｃ：1)3(2
2
=-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小１，求动点M 的轨迹Ｅ的方程； （2） 过点F
（3） 过轨迹E 上一点P P 的坐标及S
4.以椭圆
222
y a
x
+＝1
并推证能作出多少个符合条件的三角形．
5 已知,二次函数f (x ）＝ax ２
+b ｘ＋c 及一次函数g （x ）=－bx ,其中a 、ｂ、c ∈Ｒ，ａ＞b ＞c ，ａ+ｂ＋c ＝0.
(Ⅰ）求证：ｆ(x )及g （x ）两函数图象相交于相异两点; (Ⅱ）设f （x ）、g (x )两图象交于A 、Ｂ两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时,试求|A 1B １|的取值范围.
6 已知过函数f(ｘ)＝12
3++ax x 的图象上一点B （１，ｂ)的切线的斜率为－3。 （1） 求ａ、b 的值；
（2） 求A 的取值范围,使不等式f(x ）≤A －１987对于x ∈［-1，4]恒成立;
（3） 令()()132
++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数ｔ,使得当]1,0(∈x 时，g(ｘ）有
最大值1？
７ 已知两点M （－２，0)，N （2，0）,动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是２和→
→
⋅PN PM 的等比中项。
（1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线ｘ+y=１上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方
程。 8．已知数列{a n }满足a
a a
a b a a a a a a a n n
n n n n +-=+=>=+设,2),0(32211 (1)求数列{ｂn }的通项公式;
(２)设数列{b ｎ}的前项和为S n ，试比较S ｎ与
8
7
的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，１为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．
(Ⅰ)求双曲线C 的方程;
（Ⅱ)设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A,B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；
（Ⅲ)若Ｑ是双曲线C 上的任一点,21F F 为双曲线Ｃ的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N,试求点N 的轨迹方程．
10. )(x f 对任意R x ∈都有.2
1)1()(=
-+x f x f (Ⅰ）求)2
1
(f 和)( )1
(
)1(N n n
n f n
f ∉-+的值． （Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f ＋)1()1
(
)2()1(f n
n f n f n f +-+++ ,数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明;
（Ⅲ)令.16
32,,1
44
2
232221n
S b b b b T a b n n n n n -
=++++=-=
试比较n T 与n S 的大小．
11. :如图,设OA 、OB 是过抛物线y 2
=2px 顶点O 的两条弦，且错误!＝0,求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹．(13分)
12.知函数f (x )＝log 3(x 2
-2ｍx +２m ２
+
9
m 2
－3
)的定义域为R (1）求实数m 的取值集合Ｍ；
(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数ｆ（x )中,其函数值最小的一个是２,并求使函数值等于２的m 的值和x 的值.
１3.设关于x 的方程2ｘ2
－t ｘ-２=0的两根为),(,βαβα<函数f(x ）=.1
42
+-x t
x (1)． 求ｆ()()βαf 和的值。 （2)。证明：ｆ(x)在[],βα上是增函数。 (3）。对任意正数x １、x 2,求证：βαα
ββα-<++-++2)()(
2
1212121x x x x f x x x x f
1４．已知数列{ａｎ}各项均为正数,S n 为其前n 项的和.对于任意的*
n N ∈,都有
()2
41n n S a =+.
Ｉ、求数列{}n a 的通项公式．
I Ｉ、若2n n tS ≥对于任意的*
n N ∈恒成立,求实数t 的最大值．
15.( 12分）已知点H （－３，０),点P 在ｙ轴上，点Q 在x 轴的正半轴上,点Ｍ在直线PQ 上,
且满足·PM =0,PM =-2
3
， (1）当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C ;
（2)过点T (-1，0）作直线l 与轨迹Ｃ交于A 、Ｂ两点,若在x 轴上存在一点E (x ０,0），使得△ＡB Ｅ为等边三角形,求x 0的值．
16．(14分)设f 1(x ）＝
x
+12,定义ｆn ＋1 (x )=f 1[f n (x )],a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈Ｎ＊
．
(1) 求数列{a ｎ}的通项公式
;
