3．1.5 空间向量运算的坐标表示[提出问题]一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力分别为F 1，F 2，F 3，它们两两垂直，且|F 1|＝3 000 N ，|F 2|＝2 000 N ，|F 3|＝2 000 3 N.问题1：若以F 1，F 2，F 3的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F ＝(3 000,2 000,2 0003)． 问题2：巨石受到的合力有多大？ 提示：|F |＝5 000 N. [导入新知]1．空间向量的加减和数乘的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R)；(4)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3. 2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3； (2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23； (4)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)． (1)AB ―→＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB ―→|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.[化解疑难]1．空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广，包括运算法则，仅是在平面向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算．2．空间两向量平行与平面向量平行的表达式不一样，但实质一样，即对应坐标成比例． 3．空间中两向量垂直的充要条件形式上与平面内两向量垂直类似，仅多了一个基向量．[例1] 已知，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)OP ―→＝12(AB ―→－AC ―→)；(2)AP ―→＝12(AB ―→－AC ―→)．[解] AB ―→＝(2,6，－3)，AC ―→＝(－4,3,1)， ∴AB ―→－AC ―→＝(6,3，－4)．(1)OP ―→＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2.(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )， 则AP ―→＝(x －2，y ＋1，z －2)， ∵12(AB ―→－AC ―→)＝AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. [类题通法](1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．[活学活用]已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB ―→，q ＝CD ―→.求：(1)p ＋2q ； (2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )．解：因为A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB ―→＝(2,1,3)，q ＝CD ―→＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.[例2] 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC ―→. (1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c ； (2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k . [解] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)，且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )， ∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0，即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[类题通法]解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a ＝(x ，y ，z )． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a ∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的． [活学活用]已知向量a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；(3)若b ⊥c ，求c 在a 方向上的投影． 解：(1)∵a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)， ∴b ＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a.∴a∥b .(2)∵a ∥c ，∴21＝x 2＝－4－2，解得x ＝4，∴c ＝(2,4，－4)， 从而|c |＝22＋42＋－2＝6.(3)∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0.∴(－2，－4,4)·(2，x ，－4)＝－4－4x －16＝0， 解得x ＝－5.∴c ＝(2，－5，－4)． ∴c 在a 方向上的投影为|c |cos 〈a ，c 〉＝|c |×a ·c|a ||c |＝，2，－，－5，－12＋22＋－2＝2－10＋83＝0.[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．[解] 如图，以CA ―→，CB ―→，CC 1―→为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴|BN ―→|＝－2＋－2＋－2＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1―→＝(1，－1,2)，CB 1―→＝(0,1,2)， ∴BA 1―→·CB 1―→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又∵|BA 1―→|＝6，|CB 1―→|＝5，∴cos 〈BA 1―→，CB 1―→〉＝BA 1―→·CB 1―→|BA 1―→||CB 1―→|＝3010.故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. [类题通法]在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．[活学活用]在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，点G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F 12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.EF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C ―→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF ―→·B 1C ―→＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0，∴EF ―→⊥B 1C ―→，即EF ⊥B 1C .(2)∵C 1G ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1， ∴|C 1G ―→|＝174.又∵EF ―→·C 1G ―→＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38，|EF ―→|＝32，∴cos 〈EF ―→，C 1G ―→〉＝EF ―→·C 1G ―→|EF ―→||C 1G ―→|＝5117.即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12， ∴FH ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12，∴|FH ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418.5.探究两向量的夹角[典例] 已知向量a ＝(5,3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25.若a 与b 的夹角为钝角，求实数t的取值范围．[解] 由已知，得a ·b ＝5×(－2)＋3t －25＝3t －525，∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b ＜0.∴3t －525＜0，即t ＜5215.若a 与b 的夹角为180°， 则存在λ＜0，使a ＝λb (λ＜0)， 即(5,3,1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ－，3＝λ·t ，1＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，∴t ＝－65.故t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－65∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，5215. [多维探究]1．在本例条件下，若a 与b 的夹角为180°，求t 的值． 解：由本例的解法知t ＝－65.2．在本例条件下，若a 与b 的夹角为锐角，求实数t 的取值范围． 解：由已知，得a ·b ＝5×(－2)＋3t －25＝3t －525，因为a 与b 的夹角为锐角， 所以a ·b ＞0， 即3t －525＞0，所以t ＞5215.若a 与b 的夹角为0°，则存在λ＞0，使a ＝λb (λ＞0)， 即(5,3,1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25， 所以5＝－2λ，3＝λt,1＝－25λ，进而得t ＝－65(舍去)．故t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫5215，＋∞.3．若a ＝(1，t ，－2)，b ＝(－2，t ，－1)，试求a 和b 夹角θ余弦值的范围．解：cos θ＝t2t 2＋5·t 2＋5＝t2t 2＋5，当t ＝0时，cos θ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝11＋5t2＜1，∴0≤cos θ＜1，即夹角θ的余弦值的取值范围是[0,1)． [类题通法]求解时，易误认为a ，b 的夹角是钝角与a ·b ＜0等价，而a ·b ＜0中包含着〈a ，b 〉＝180°的情形，〈a ，b 〉＝180°的情形可利用a ＝λb (λ＜0)，也可利用a ·b ＝－|a |·|b |，即cos 〈a ，b 〉＝－1求得，同样a ·b ＞0也包含着〈a ，b 〉＝0°的情形，解题时应把这种情况剔除．[随堂即时演练]1．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC AB ＝13，则点C 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－3，2C.⎝⎛⎭⎪⎫103，－1，73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32解析：选C 由题意知，2AC ―→＝CB ―→，设C (x ，y ，z )， 则2(x －4，y －1，z －3)＝(2－x ，－5－y,1－z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －8＝2－x ，2y －2＝－5－y ，2z －6＝1－z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B.15 C.35D.75解析：选D 由题意得：(ka ＋b )·(2a －b )＝(k －1，k,2)·(3,2，－2)＝3(k －1)＋2k－4＝0，所以k ＝75.3．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角的大小是________．解析：∵AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)， cos 〈AB ―→，CA ―→〉 ＝－－＋－＋－14×14＝－714＝－12， ∴〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°4．已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________． 解析：由a ＝(2,4，x )，得|a |＝22＋42＋x 2＝6，所以x ＝±4.又因为a ⊥b ，所以a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，解得x ＝4，y ＝－3或x ＝－4，y ＝1.所以x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.答案：1或－35．已知向量a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求： (1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4.这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2， 于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)， 因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值 cos θ＝5－12＋338×38＝－219.[课时达标检测]一、选择题1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)B ．a －b ＝(2，－1，－6)C ．a ·b ＝10D ．|a |＝6解析：选D a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，a ·b ＝22，|a |＝6，∴选项A ，B ，C 错误．2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA ―→与BO ―→的夹角是( ) A ．0 B ．π C.32π D ．2π解析：选B ∵OA ―→·OB ―→＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且|OA ―→|＝33，|OB ―→|＝63， ∴cos 〈OA ―→，OB ―→〉＝5433×63＝1.∵〈OA ―→，OB ―→〉∈[0，π]， ∴〈OA ―→，OB ―→〉＝0. ∴〈OA ―→，BO ―→〉＝π.3．若非零向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2是a 与b 同向或反向的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 若x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2，则a 与b 同向或反向，反之不成立．4．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C AB ―→＝(3,4，－8)，AC ―→＝(5,1，－7)， BC ―→＝(2，－3,1)，∴|AB ―→|＝32＋42＋82＝89， |AC ―→|＝52＋12＋72＝75，|BC ―→|＝22＋32＋1＝14，∴|AC ―→|2＋|BC ―→|2＝75＋14＝89＝|AB ―→|2.∴△ABC 为直角三角形．5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66 D ．± 6解析：选C ∵OA ―→＝(1,0,0)，OB ―→＝(0，－1,1)，∴OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，∴(OA ―→＋λOB ―→)·OB ―→＝λ＋λ＝2λ，|OA ―→＋λOB ―→|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB ―→|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12， ∴λ2＝16. 又∵2λ2·1＋2λ2＜0， ∴λ＝－66. 二、填空题6．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________. 解析：∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.∵λ＞0，∴λ＝3.答案：37．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________.解析：因为AB ―→＝(m －1,1，m －2n －3)，AC ―→＝(2，－2，6)，由题意得AB ―→∥AC ―→，则m －12＝1－2＝m －2n －36， 所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0.答案：08．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________． 解析：由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)．∴|b －a |＝＋t 2＋t －2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355. 答案：355三、解答题9．空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)，试求：(1)△ABC 的面积；(2)△ABC 的AB 边上的高．解：(1)AB ―→＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，|AB ―→|＝14，|AC ―→|＝217，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝－1414×217＝－7238， sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝2734， S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1214×217× 2734＝321.(2)|AB ―→|＝14，设AB 边上的高为h ，则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321， ∴h ＝3 6.10.如图，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A 1P ―→＝λA 1B ―→，且PC ⊥AB .求：(1)λ的值；(2)异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0，1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，于是AB ―→＝(3，1,0)，CA 1―→＝(0，－2,2)，A 1B ―→＝(3，1，－2)．因为PC ⊥AB ，所以CP ―→·AB ―→＝0，即(CA 1―→＋A 1P ―→)·AB ―→＝0，也即(CA 1―→＋λA 1B ―→)·AB ―→＝0.故λ＝－CA 1―→·A 1B ―→A 1B ―→·AB ―→＝12. (2)由(1)知CP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AC 1―→＝(0,2,2)， cos 〈CP ―→，AC 1―→〉＝CP ―→·AC 1―→|CP ―→||AC 1―→|＝－3＋22×22＝－28， 所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.。
