空间向量与立体几何综合测试题附详解新人教A版选修2-1
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1 空间向量与立体几何综合测试题（附详解新人教A版选修2-1）
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是
( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．
答案 B
2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝12”的
( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当α＝π6＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋π3)＝cos π3＝12.
反之当cos 2α＝12时，有2α＝2kπ＋π3(k∈Z)⇒α＝kπ＋π6(k∈Z)，或2α＝2kπ－π3
(k∈Z)⇒α＝kπ－π6(k∈Z)，故应选A.
答案 A
3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是
( )．
A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)
B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
解析 若l∥α，则b²n＝0.将各选项代入，知D正确．
答案 D
4．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是 ( )．
2 A．90° B．60° C．30° D．0°
解析 ∵|a|＝|b|＝2，∴(a＋b)²(a－b)＝a2－b2＝0.故向量a＋b与a－b的夹角是90°.
答案 A
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于
( )．
A．10 B．8 C．6 D．4
解析 由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案 B
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ( )．
A.63 B.255
C.155 D.105
解析 建立如图所示坐标系，
得D(0，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，1)，B1(2，2，1)，
D1(0，0，1)，
则DB→＝(2，2，0)，DD1→＝(0，0，1)，
BC1→＝(－2，0，1)．
设平面BD1的法向量n＝(x，y，z)．
∴n²DB→＝2x＋2y＝0，n²DD1→＝z＝0，
∴取n＝(1，－1，0)．
设BC1与平面BD1所成的角为θ，
则sin θ＝cos〈n，BC1→〉＝|BC1→²n||BC1→||n|＝25²2＝105.
答案 D
7．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为
( )．
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
3 C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 y2＝ax的焦点坐标为(a4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－a4)，令x＝
0得y＝－a2.∴12³|a|4³|a|2＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案 B
8．三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB→²CD→等于 ( )．
A．－2 B．2
C．－23 D．23
解析 AB→²CD→＝AB→²(AD→－AC→)＝AB→²AD→－AB→²AC→
＝|AB→||AD→|cos 90°－2³2³cos 60°＝－2.
答案 A
9．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( )．
A.3 B．2 C.5 D.6
解析 双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±ba
x＝0只有一个实根，∴b2a2－4＝0，∴c2－a2a＝4，∴c2a2＝5，∴e＝5.
答案 C
10．双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x2m2＋y2b2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是 ( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析 双曲线的离心率e12＝a2＋b2a2，椭圆的离心率e22＝m2－b2m2，由已知e12e22＝1，即a2＋b2a2
³m2－b2m2＝1，化简，得a2＋b2＝m2.
答案 C
4 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．已知命题p：∀x∈R(x≠0)，x＋1x≥2，则綈p：________．
解析 首先将量词符号改变，再将x＋1x≥2改为x＋1x<2.
答案 ∃x∈R(x≠0)，x＋1x<2
12．与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．
解析 依题意设双曲线的方程x2－y24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双
曲线的标准方程为x23－y212＝1.
答案 x23－y212＝1
13．给出下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析 对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；
对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225＋y29＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．
解析 ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝64|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
解得|PF1||PF2|＝18.∴△PF1F2的面积为12|PF1|²|PF2|＝12³18＝9.
答案 9
5 三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知命题p：方程x22m＋y29－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25－x2m＝1的离心率e∈(62，2)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
解 若p真，则有9－m>2m>0，
即00，
且e2＝1＋b2a2＝1＋m5∈(32，2)，
即52
若p、q中有且只有一个为真命题，
则p、q一真一假．
①若p真、q假，
则0
②若p假、q真，
则m≥3或m≤0，且52
即3≤m<5.
故所求范围为：0
16．(10分)已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→||MP→|＋MN→²NP→＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
解 设P(x，y)，则MN→＝(4，0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)．
∴|MN→|＝4，|MP→|＝（x＋2）2＋y2
MN→²NP→＝4(x－2)，
代入|MN→|²|MP→|＋MN→²NP→＝0，
得4（x＋2）2＋y2＋4(x－2)＝0，
即（x＋2）2＋y2＝2－x，化简整理，得y2＝－8x，故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝
－8x.
17．(10分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．
(1)求a的取值范围；
6 (2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
解 (1)由y＝ax＋1，3x2－y2＝1消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得3－a2≠0，Δ>0，即－6
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2a3－a2，x1x2＝－23－a2.
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)²－23－a2＋a²2a3－a2＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
18．(12分)如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝12AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(2)求二面角ACDE的余弦值．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原
点．
设AB＝1，依题意得B(1，0，0)，
C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，
M(12，1，12)．
(1)BF→＝(－1，0，1)，DE→＝(0，－1，1)，
于是cos〈BF→，DE→〉＝BF→²DE→|BF→||DE→|＝0＋0＋12³2＝12.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
