2.2.2 事件的独立性
自主预习·探新知
情景引入
在一次有关“三国演义”的知识竞赛中,三个“臭皮匠”能答对某题目的概率分别为50%,45%,40%,“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%,如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛,各选手独立答题,不得商量,团队中只要有一人答出即为该组获胜．
试问：哪方获胜的可能性大？
新知导学
相互独立事件
1．概念
(1)设A,B为两个事件,若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即__P(B|A)＝P(B)__,则称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做__相互独立事件__．
(2)对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任一个事件发生的概率不受__其他事件是否发生__的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立．
2．性质
(1)如果事件A与B相互独立,那么事件A与__B__,A与__B__,__A__与__B__也都相互独立．
(2)若事件A与B相互独立,则P(A|B)＝__P(A)__,P(A∩B)＝__P(A)×P(B)__．
(3)若事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率,等于__每个事件发生的概率积__,即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
预习自测
1．(2020·刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次,若两人投中的概率都是0.7,则恰有一人投中的概率是( A )
A．0.42 B．0.49
C．0.7 D．0.91
[解析] 设甲投篮一次投中为事件A,则P(A)＝0.7,
则甲投篮一次投不中为事件A,则P(A)＝1－0.7＝0.3,
设乙投篮一次投中为事件B,则P(B)＝0.7,
则乙投篮一次投不中为事件B,则P(B)＝1－0.7＝0.3,
则甲、乙两人各投篮一次恰有一人投中的概率为：
P＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.7×0.3＋0.7×0.3＝0.42.故选A．
正态分布
[A组 学业达标]
1．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )
A．P1＝P2 B．P1＜P2
C．P1＞P2 D．不确定
解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
答案：A
2．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.
答案：A
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：P(3＜ξ＜6)＝12[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.
答案：B
4．随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，若P(2＜ξ＜3)＝a，则P(ξ＜－1)＋P(1＜ξ＜2)＝( )
A.1－a2B.12－a
C．a＋0.003aD.12＋a
解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，所以正态曲线关于x＝1对称，因为P(2＜ξ＜3)＝a，所以P(－1＜ξ＜0)＝a，P(1＜ξ＜2)＝P(0＜ξ＜1)，P(ξ＜－1)＋P(1＜ξ＜2)＝12－a.
答案：B
5．已知X～N(0,1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率为( )
A．0.954 B．0.046
C．0.977 D．0.023
解析：由题意知，正态曲线的对称轴为x＝0，
人教A版高中数学选修2-3
全册知能训练
目 录
第1章1.1知能优化训练
第1章1.2.1第一课时知能优化训练
第1章1.2.1第二课时知能优化训练
第1章1.2.2第一课时知能优化训练
第1章1.2.2第二课时知能优化训练
第1章1.3.1知能优化训练
第1章1.3.2知能优化训练
第2章2.1.1知能优化训练
第2章2.1.2知能优化训练
第2章2.2.1知能优化训练
第2章2.2.2知能优化训练
第2章2.2.3知能优化训练
第2章2.3.1知能优化训练
第2章2.3.2知能优化训练
第2章2.4知能优化训练
第3章3.1知能优化训练
第3章3.2知能优化训练人教A版高中数学选修2-3知能训练
第2页 共63页
1．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是( )
A．3＋2＋4＝9 B．1
C．3×2×4＝24 D．1＋1＋1＝3
解析：选C.由题意从A地到B地需过C、D两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．
2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．
3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.13 B.12
C.23 D.34
解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝39＝13.
4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．
描述：
描述：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布
一、学习任务
了解正态分布的意义，了解正态曲线的意义与性质，会利用 ， 的意义求正态总体小于
的概率．
二、知识清单
连续型随机变量的概念 正态分布
三、知识讲解
1.连续型随机变量的概念
若随机变量 的分布函数 可表示成一个非负可积函数 的积分，则称
为连续型随
机变量， 称为 的概率密度函数（分布密度函数）．
2.正态分布
正态曲线的定义
如果随机变量的概率密度函数为
其中实数 和 （）为参数．我们称 的图象为正态分布密度曲线，简称正态
曲线．
当 ， 时，函数表达式是φ(x)F(x)
X
XF(X)f(x)X
f(x)X
X
(x)=, x∈(−∞，+∞)φ
μ,σ1
σ2π−−
√e−(x−μ)2
2σ2
μ σ σ>0 (x)φ
μ,σ
μ=0 σ=1
相应的曲线称为标准正态曲线．
正态分布
（1）正态分布的定义：
一般地，如果对于任何实数， ，随机变量满足
则称随机变量 服从正态分布（normal distribution）．正态分布完全由参数和确定，
因此正态分布常记作．如果随机变量 服从正态分布，则记为 ．
（2）正态分布的特点：
① 曲线位于轴上方，与轴不相交，并且曲线是单峰的；
② 它关于直线对称；
③ 曲线在处达到峰值 ，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间
高，两边低”的形式；
④ 曲线与轴之间的面积为 ；
⑤ 当 一定时，曲线的位置是由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移；
⑥ 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越 “瘦高”，表示总体的分布越集中；
越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散．
（3）正态分布的 原则：
若，则对于任何实数 ， 为如下图阴
影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大．这说明 越小，
落在区间 的概率越大，即 集中在 周围的概率越大．f(x)=, x∈
(−∞
，
+∞)1
