中考复习专题：中点型问题归类

中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

S四边形 AGCD
5 6
A.
B.
4 5
C.
3 4
D.

2 3
七、倍长中线 9、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD
八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
10、半径是 5 cm的圆中，圆心到 8 cm长的弦的距离是________
11、半径是 5 cm的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________， 最长弦是__________，
F A B M D B C E F A D M E
C
图甲
G
G 图乙
五、有中点时常构造垂直平分线
7、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B, BC=2AC。 求证：△ADC为等边三角形。
A
B
D
C
六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积） 8、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G， 则 S 等于_________. 矩形ABCD
中 点 专 题
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜
边的一半”； 3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”； 4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中 点时，常联想“八字型”全等三角形）； 5、有中点时常构造垂直平分线； 6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7、倍长中线
，常联想“八字型”全等三角形） 。 求证：S△ABE= 1 S四边形ABCD
2
5、如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE

第八讲 中点问题专题一、知识点梳理1、中位线：2、直角三角形斜边上的中线：二、典型例题类型一、中位线例1、(2018·苏州中考)如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝21BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF.若AB ＝8，则DF 的长为( )A.3B.4C.2D.3例2. 如图，点D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=11，BD=8，CD=6，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 （ ）A ．14B ．18C ．21D ．24类型二、直角三角形斜边上的中线例3. 如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，M ，N 分别是BC ，DE 的中点．求证：MN ⊥DE.例4．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，G，H分别是AC，BD的中点．若∠BEC＝80°，求∠GHE的度数．变式练习1．如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离( )A.变小B.不变C.变大D.无法判断类型三、中点综合例5、如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5例6、如图，EF是Rt△ABC的中位线，D是BC延长线上的一点，∠DEC=∠A．求证：四边形EDCF是平行四边形．例7、如图Z3-3-5，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAD=2∠CAB=45°，E，F分别是CD，CA的中点，AC=AD=8，求BE的长．类型四、中点四边形例8、如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点.（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若AC BD，四边形EFGH是矩形,并说明理由；（3）若AC BD，四边形EFGH是菱形，并说明理由．课后作业1. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．2. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）若EF=5，BC=12，求△EFM的周长；（2）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠FME的度数．3. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点.求证：MN与PQ互相垂直平分(提示：证明PMQN为菱形).。

你口前•学习过哪些和中点有关的知识点，请写出来?知识点一、中点有关联想归类：【知识梳理】一.中点有关联想归类：1. 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想"三线合一”的性质；2. 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3. 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4. 两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5. 有中点时常构造垂直平分线；6. 有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7. 倍长中线。

二.与中点问题有关的四大辅助线：1•出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2. 出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3. 出现三角形边上的中点，作中位线；4. 出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。

三.几何证明之辅助线构造技巧：1. 假如作一条辅助线，能起到什么作用；2. 常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。

【例题精讲】例1、(2018•广东)如图，四边形ABCD中，AB = AD=CD,以AB为直径的经过点C,连接AC, OD交于点E.(1) 证明：OD〃BC；(2) 若AC = 2BC,证明：DA与OO相切；【课堂练习】1・如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1, CE=3, H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）2. （2018-南京）如图，在"BC 中，用直尺和圆规作A3、AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点D 、E,连接3. （2020-徐州）如图，在 RtA ABC 中，ZABC=90°, D 、E 、F 分别为 AB. BC 、CA 的中点，若 BF=5,则 DE4. （2019-泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则△ ABC 的重心是（） A.点DB.点EC •点FD.点GDE.若 BC=Wcm,则 DE= ___________ cm.5. （2020-苏州）如图，在MBC 中，已知AB = 2, AD1BC.垂足为D, BD = 2CD •若E 是AQ 的中 点，则EC =.6. （2020-镇江）如图，在△SBC 中，BC = 3 ,将△SBC 平移5个单位得到△力i/C — 点P 、Q 分别是43、7. （2020黑龙江牡丹江）如图，四边形ABCD 内接于0O ,连接BD ・若AC = BC , Z3DC = 50。