2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》
期中复习解答题专题训练（附答案）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，则∠AEC＝ ；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
2．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．
3．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝5，求四边形ABCD的面积．
4．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，若AC＝6，BD＝8，请直接写出AG的长．
5．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△EGF≌△AGD．
6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
北师大版初中数学九年级上（初三数学上）课件PPT配套教案
第1章 特殊平行四边形矩形（基础阶段）
第1部分 矩形
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
第一章特殊平行四边形最值问题专题训练1
一、选择题
1. 如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠ABC=60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值为（ ）
A. 4 cm B. √3𝑐𝑚
C. 2√5𝑐𝑚 D. 2√3𝑐𝑚
2. 如图，矩形ABCD中，∠BOC=120°，BD=12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3. 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点P是线段BC上的一个动点，过点P分别作AB、AC的垂线交AB、AC于点M、N，连接MN，则MN的最小值为（）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是( )
A. 12
B. 1
C. √2
D. 2
5. 如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（ ） A. 2 B. 1+3√22
C.
2√2 D. 52
6. 如图，四边形ABCD是矩形，P是CD边上的一点，若AB=8，BC=2，则PA+PB的最小值为（ ）
A. 2√10 B. 4√13 C. 4√5 D. 2√14
7. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为𝐴𝐶=6，𝐵𝐷=8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为( )
A. 4
B. 4.8
C. 5
D. 5.5
8. 如图，P是正方形ABCD外一点，PA=√2，PB=4，则PD的长度的最大值是（ ）
A. 5
B. 4+√2
C. 6
D. 4+√3
9. 如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点C逆时针旋转得到正方形A′B′C′D′，P是CD的中点，Q是对角线B′D′的中点，则旋转过程中PQ的最大值为（ ） A. 2
北师大版九年级上期数学第一章
特殊平行四边形证明题专题训练1（巩固提升）
一、菱形
1. 在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点．
（1）如图1，点G在BC边上时，
①判断△BDF的形状，并证明；
②请连接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的长；
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC．试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明．
2. 在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，∠EAF＝∠B＝60°，AD＝nAB．
（1）当n＝1时，求证：△AEF为等边三角形；
（2）当𝑛=12时，求证：∠AFE＝90°；
（3）当CE＝CF，DF＝6，BE＝3时，直接写出线段EF的长为_______．
3. 如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF是等边三角形，E、F在边BC，CD上．
（1）证明BE＝CF （2）当点E、F在边BC，CD上运动（△AEF保持等边三角形），请研究四边形AECF的面积是否发生变化，若不变，求这个定值；若改变求其最大值．
（3）在（2）的前提下，研究△CEF的面积是否发生变化，若不变，求这个定值；若改变求其最大值．
4. 已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60∘,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60∘.
(1)如图 ①,当E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图 ②,当E是线段CB上任意一点时(点E不与点B,C重合),求证:BE=CF;
(3)如图 ③,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15∘时,求CF的长.
5. 如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=120∘，𝐸是𝐵𝐶延长线上一点，连接𝐷𝐸，以𝐷𝐸为边向外作等边𝛥𝐷𝐸𝐹，连接𝐴𝐹，交菱形对角线𝐵𝐷的延长线于点𝑃．
（1）若𝐴𝐵=4，𝐶𝐹=6，求𝐶𝐸；
