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第七章 曲线曲面的投影[19页]

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河北工程大学张文增贾永祥等2第一节曲线第二节曲面第七章曲线曲面的投影回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录

河北工程大学张文增贾永祥等3§7-1 曲线第一节曲线第七章曲线曲面的投影一、曲线的形成及分类曲线可以看成是一个动点作不停改变方向运动时的轨迹。平面曲线：曲线上的所有点都在同一个平面上的曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线、等高线等；空间曲线：曲线上任意连续四点不在同一个平面上的曲线，如圆柱螺旋线等。回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录河北工程大学张文增贾永祥等4二、曲线的投影1、一般曲线的投影平面曲线的投影一般仍是曲线，当平面曲线所在的平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成为直线；当这个平面平行于投影面时，平面曲线在该投影面上的投影反映实形。空间曲线的投影在任何情况下都是曲线。图7-1 曲线的投影§7-1 曲线

回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录河北工程大学张文增贾永祥等5§7-1 曲线2、圆的投影当圆所在的平面平行于投影面时圆的投影反映实形；当圆所在的平面垂直于投影面时圆的投影积聚成一个线段，线段的长度为圆的直径；当圆所在的平面倾斜于投影面时圆的投影为椭圆，椭圆的长轴等于圆的直径，方向平行于平面上的该投影面的平行线，椭圆的短轴方向为平面上的该平面的最大斜度线方向。图7-2 圆的投影回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录河北工程大学张文增贾永祥等6§7-1 曲线例题1如图7-3所示，已知平面ABCE上有一圆，圆心为O，半径为R，完成圆的两面投影。图7-3 求圆的两面投影回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录河北工程大学张文增贾永祥等7作法如图7-3（b）所示1、先作圆的正面投影：过O点作正平线ⅠⅡ，求出ⅠⅡ的正面投影1′2′，1′2′为圆的正面投影椭圆的长轴方向，长半轴长度为R，作出两个长轴端点；过O点作平面的最大斜度线ⅢⅣ，3′4′⊥1′2′，3′4′为圆的正面投影椭圆的短轴方向，求出OⅣ的实长，在OⅣ的实长上截取长度R，返回到o′4′上得到5′，5′即为椭圆的一个短轴端点，作出另一个短轴端点；根据椭圆的四个端点，画出椭圆。图7-3 求圆的两面投影§7-1 曲线

回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录河北工程大学张文增贾永祥等82、用同样的方法作出圆的水平投影，图7-3（c）。图7-3 求圆的两面投影§7-1 曲线

回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录河北工程大学张文增贾永祥等9画椭圆几种的方法:方法一：同心圆法（图7-4）以椭圆的长短轴为直径画两个同心圆，从圆心向任意方向作一条射线（图中每隔30°画一条），射线与大小圆各有一个交点，过与大圆的交点作短轴的平行线，过与小圆的交点作长轴的平行线，这两条线的交点是椭圆上的点。求出椭圆上适当多的点后，将其光滑的连接起来即可得到椭圆。§7-1 曲线图7-4 同心圆法画椭圆回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录河北工程大学张文增贾永祥等10§7-1 曲线方法二：四心扁圆法（图7-5）AB、CD 分别为椭圆的长轴和短轴。图7-5 四心扁圆法画椭圆回上一页去下一页回章目录退出课件回总目录

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空间曲线在坐标面上的投影_高等数学(下册)_[共2页]

空间曲线在坐标面上的投影_高等数学(下册)_[共2页]

29 向量代数与空间解析几何第7章

（4）用平面z = c（c > 0）截该曲面得截痕为虚轴在xOz坐标面上的双曲线22yxc−=；

（5）用平面z = c（c < 0）截该曲面得截痕为虚轴在yOz坐标面上的双曲线22yxc−=−；

（6）综上，可得曲面完整图形[如图7-6-3（b）所示].

图7-6-3

不难发现该曲面就是双曲抛物面，形状类似于马鞍. 如果一个人在yOz 坐标面内沿曲面行走的

话，原点是最低点，而一个人如果在zOx 坐标面内沿曲面行走的话，原点却成了最高点.这样的点就

称为曲面的鞍点.

7.6.2 空间曲线在坐标面上的投影

在后续学习中，常常需要求出两空间曲面所围成的立体在指定坐标面上的投影区域. 在满足一

定条件的情况下，此类问题就可以转化为求这两个空间曲面的交线在指定坐标面上的投影.

定义7.6.1 以空间曲线Γ为准线，母线平行于z轴的柱面称为曲线Γ对xOy坐标面的投影柱

面. 投影柱面与xOy坐标面的交线C称为曲线Γ在xOy坐标面上的投影曲线. 同理，可得到空间曲

线Γ在yOz，zOx坐标面上的投影柱面和投影曲线的定义.

已知空间曲线Γ的方程为

()0

()0Fxyz

Gxyz=⎧⎨=⎩,,,

,,.

如何求Γ在xOy坐标面上的投影曲线C？

显然投影曲线C的方程中不应含有变量z，并且要满足曲线Γ的方程，故在以上方程组中消去

变量z，得到方程 ()0Hxy=,. （7.6.3）

由柱面方程的特点知，式（7.6.3）表示的是母线平行于z轴的柱面，且

曲线Γ在该柱面上，所以由定义知，式（7.6.3）即曲线Γ对xOy坐标面

的投影柱面，由此可得Γ在xOy坐标面上的投影曲线方程为 ()0

0Hxy

z=⎧⎨=⎩,,

. （7.6.4）

例7.6.2 求圆柱面221xy+=与平面10xyz−+−=所围立体的水

平投影区域.

解 此投影区域为两曲面的交线在xOy坐标面上的投影曲线所围

成的区域（见图7-6-4）.

曲线在xoy平面的投影曲线方程

曲线在xoy平面的投影曲线方程

曲线在xoy平面的投影曲线方程

1曲线面的投影

曲线面是三维坐标系中表示曲线的一种矢量场。它是一种特殊的

曲线，其中每一点连接到曲线的法向量和曲线的切线沿垂直于其的方

向前进。在三维空间中，曲线面的投影曲线是曲线面在xoy平面上的

投影，它关于xz,yz和xy三个平面分别具有不同的投影函数。

曲线面在xoy平面上的投影曲线就是经典的二次曲线方程，方程

式为：

$$y=ax^2+bx+c$$

其中，a,b,c是系数，由不同的参数而定。

2如何求解曲线面的投影曲线方程

首先，我们需要求出曲线面的标准方程。曲线面的标准方程为：

$$AX+BY+CZ+D=0$$

其中A，B，C，D是常数，由参数决定。

要求解曲线面的投影曲线方程，我们需要根据曲线面的标准方

程，在xoy平面上求解坐标，得到离散点（x，y），进而用最小二乘

法拟合出投影曲线方程。前述，投影曲线方程就是经典的二次曲线方

程，方程式为：

$$y=ax^2+bx+c$$其中，a,b,c是系数，由最小二乘法计算得到。

3曲线面的投影曲线的应用

曲线面的投影曲线在许多三维建模任务中被广泛应用，是三维建

模的基础。例如，在舰船设计中，可以将复杂的曲面投影到xoy平面

上，简化三维建模任务；在机械制图绘制中，可以使用投影曲线面的

投影曲线为零件绘制二次曲线；在城市规划中，可以使用投影曲线面

的投影曲线进行山体模拟，以反映城市的地形。

因此，曲线面的投影曲线方程的求解与应用有着重要的意义，它

在三维空间中的投影曲线，不仅有助于三维建模，也反映出对地形和

其他多维场景的准确记录。

第七章 曲线与曲面积分导学答案13-16(第一、二类曲面积分联系及高斯公式)

第七章 曲线与曲面积分导学答案13-16(第一、二类曲面积分联系及高斯公式)

第七章 曲线与曲面积分

7.2.6 第二类曲面积分及一、二类曲面积分的联系（计算）

7.2.7 Gauss 公式（导学解答）

一、相关知识

1．高斯公式的两种表示方法

答：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x,

y, z)在上具有一阶连续偏导数 则有

RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(

或 dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(

二、对坐标的曲面积分及应用高斯公式时的有关问题

1．坐标曲面积分的实质是什么?

答：其实质是将曲面积分中的曲面，进行有向投影，进而转化为平面上的二重积分.

2．坐标曲面积分过程中对称性的应用?

(1)设分片光滑的曲面关于xoy坐标面对称，且在xoy上半空间的部分曲面1取定上

侧，在xoy下半空间的部分曲面2取定下侧，则

10,,,,,dd2,,dd,,,RxyzzRxyzxyRxyzxyRxyzz关于是偶函数,关于是奇函数.

类似的有分片光滑的曲面分别关于,xozyoz平面对称的结论.

（2）若积分曲面关于x,y,z具有轮换对称性，则：

(,,)(,,)(,,)pxyzdydzpyzxdzdxpzxydxdy

=1(,,)(,,)(,,)3pxyzdydzpyzxdzdxpzxydxdy

3.高斯公式的实质是什么？

答：高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.

4.高斯公式添加辅助面的技巧？

答：辅助面一般取为坐标面或平行于坐标面的平面，并且应给出所选定的侧.

5. 两类曲面积分的联系

其联系表达式为：

参数曲线到隐式曲面的正交投影算法

参数曲线到隐式曲面的正交投影算法

参数曲线到隐式曲面的正交投影算法

I. 引言

A. 研究背景

B. 研究目的

C. 研究方法

II. 基础知识

A. 参数曲线

B. 隐式曲面

C. 正交投影

III. 研究方法

A. 正交投影基本理论

B. 正交投影与隐式曲面的关系

C. 算法的数学原理

IV. 实验与结果

A. 算法实现

B. 实验设计

C. 结果分析

V. 结论与展望

A. 结论总结

B. 展望进一步研究第一章节：引言

A. 研究背景

参数曲线是计算机图形学中经常使用的一种基本的数学概念，它可以用来描述三维空间中的曲线。在计算机图形学应用中，三维几何物体经常使用参数曲线和参数曲面进行表示。在进行三维图形渲染、动画、模拟等方面的研究中，对参数曲线的投影问题具有重要意义。正交投影则是图形投影的基本方法之一，能够保持图形的无失真性和线性性，因此也被广泛应用于计算机图形学中。因此，研究参数曲线到隐式曲面的正交投影算法具有重大的理论和实际意义。

B. 研究目的

本论文旨在探索一种基于正交投影的参数曲线到隐式曲面的正交投影算法。通过实现该算法，可以在计算机图形学应用中实现对参数曲线的无失真投影，使得三维几何物体更加真实、精细，从而提高了计算机图形学应用的质量。这也为其他相关领域的研究提供了参考和支持。

C. 研究方法

本文将首先对参数曲线、隐式曲面以及正交投影进行基础知识的介绍，以便了解相关的数学概念和基本理论。随后，本文将探讨正交投影与隐式曲面之间的关系，分析正交投影在参数曲线等计算机图形学应用中的优势和不足之处。在此基础上，本文将提出基于正交投影的参数曲线到隐式曲面的正交投影算法，并进行数学原理的推导和分析。最后，为了验证算法的有效性和鲁棒性，本文将实现算法，并进行相关的实验和分析。第二章节：基础知识

A. 参数曲线