第六章、曲线和曲面.

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。

最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。

该定义可以统一形式给出：从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。

以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。

因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。

表面积分的形式如下：\ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。

两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。

）。

最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。

求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。

换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。

因此，它也生动地称为通量。

在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。

然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。

第6章自由曲面编辑本章导读：自由曲面的编辑包括曲线曲面的编辑和外形的修改，在完成自由曲面设计之后，大多数情况下模型都不能满足需要，需要进行编辑修改。

本章将要介绍的就是曲面、曲线的编辑和修改命令。

1646.1 曲 面 编 辑曲面编辑是对曲面或曲线进行分割、连接分解、转换和复制的操作。

编辑曲面外形是通过控制点、匹配、填充、整体变形和延伸等操作对曲面外形进行修改。

通过修改曲面外形可以生成质量较高的曲面。

6.1.1 曲面分割曲面编辑是对曲面或曲线进行分割、连接分解、转换和复制的操作。

CATIA 提供了【操作】工具栏，该工具栏包括曲面分割、取消修剪、连接、分解、转换和复制几何参数等工具按钮，如图6-1所示。

图6-1 【操作】工具栏单击【操作】工具栏上的【中断曲面或曲线】按钮，系统弹出如图6-2所示的【断开】对话框。

在【中断类型】选项组中按下【中断曲线】开关按钮。

单击【选择】选项组中的【元素】文本框，从绘图区中选择修剪曲线。

单击【限制】文本框，从绘图区中选择中断曲面的限制元素。

如图6-3和图6-4所示。

图6-2 【断开】对话框从【选择】选项组中选择中断曲面和限制元素的操作，分别是【分解】、【交换选择】、【中断两者】。

在【修剪类型】选项组中设置修剪类型，分别是【修剪边线】、【修剪曲线】。

在【投影】选项组设置投影方式，分别是【沿指南针】、【沿法线】、【沿查看方向】。

在【外插延伸】选项组中设置延伸方式，分别是【切线外插延伸】、【曲率外插延伸】。

如果按下【偏差】选项组中【偏差模式】开关按钮，显示对话框中和几何图形上原始曲面和结果曲面之间的最大偏差，此设置仅适用于【中断曲面】选项下的【修剪曲面】选项。

第6章自由曲面编辑165图6-3 原曲线图6-4 断开曲线在【断开】对话框【中断类型】选项组中按下【中断曲面】开关按钮，【断开】对话框如图6-5所示。

单击【选择】选项组中的【元素】文本框，从绘图区中选择修剪曲面。

单击【限制】文本框，从绘图区中选择中断曲面的限制元素，如图6-6和图6-7所示。

南开大学高等数学下册教材南开大学高等数学下册教材是一本经典教材，为南开大学的学生提供了深入学习高等数学的机会。

本教材分为多个章节，涵盖了高等数学下册的重要内容。

下面将对本教材的主要章节进行简要介绍。

第一章：多元函数及其极限与连续本章主要介绍了多元函数的概念，以及多元函数的极限和连续。

其中，重点介绍了极限的定义及其相关性质，并讲解了多元函数的连续性及其应用。

第二章：偏导数与全微分该章节主要讨论了多元函数的偏导数及其计算方法，并引入了全微分的概念。

通过对偏导数与全微分的理解，学生可以进一步了解多元函数的变化规律与性质。

第三章：多元函数的一元极值与二元极值本章重点介绍了多元函数的一元极值和二元极值的概念及求解方法。

学生将学会如何通过导数和二阶偏导数来判断函数的极值，并应用到实际问题中。

第四章：多元函数的梯度与方向导数该章节深入讨论了多元函数的梯度和方向导数的概念。

学生将学会如何使用梯度和方向导数来描述函数在某一点上的变化规律，并掌握利用这些概念解决实际问题的方法。

第五章：重积分的概念与性质本章介绍了重积分的概念及其性质，包括累次积分、二重积分和三重积分的计算方法。

学生将学会如何使用重积分来计算曲面面积、体积等问题。

第六章：曲线与曲面积分该章节重点讲解了曲线积分和曲面积分的概念，并介绍了计算方法和应用场景。

学生将了解如何通过曲线积分和曲面积分来描述曲线和曲面上的物理量。

第七章：常微分方程本章主要介绍了常微分方程的基本概念、解法和应用。

学生将学习如何求解常微分方程，并理解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用。

通过学习南开大学高等数学下册教材，学生将掌握高等数学下册的基本理论和方法，培养解决实际问题的能力。

本教材内容丰富、知识点全面，是学习高等数学的重要参考资料。

希望广大南开大学的学生能够充分利用这本教材，努力提高数学水平，为将来的学习和研究奠定坚实基础。

《建筑制图》第五版名词解释第二章制图基本知识1、比例：图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。

2、尺寸标注：见P153、作平面图形的步骤：见P20第三章投影的基本知识1、斜投影：投射方向倾斜于投影面时所作出的平行投影。

2、正投影：投射方向垂直于投影面时所作出的平行有影。

见P263、平行投影的特性：度量性、相仿性、集聚性、平行性、定比性4、【例3-1】组合体投影图，见P39第四章点、直线、平面的投影1、点的三面投影，见P422、【例4-1】求一点的第三投影，见P433、【例4-2】根据坐标作三面投影，见P444、【例4-3】点的投影图读法，见P445、【例4-4】投影面上各点的投影，见P45第六章曲线和曲面1、曲线是由点运动而形成的。

曲线可分为平面曲线和空间曲线两大类。

凡曲线上所有点都在同一平面上的，称为平面曲线。

凡曲线上四个连续的点不在同一平面上的，称为空间曲线。

2、与曲线相交于两个点的直线，称为曲线的割线。

见P873、曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而成的。

这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。

母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。

见P89第七章截交线和相贯线1、假想用来截割形体的平面，称为截平面。

截平面与形体表面的交线称为截交线。

截交线围成的平面图形称为断面。

见P1132、有些建筑形体是有由两个相交的基本形体组成的。

两交线的形体称为相贯体，它们的表面交线称为相贯线。

3、棱柱体截交线画法，见P1154、圆柱上的截交线，见P1185、圆柱上截交线椭圆的作图步骤，见P1196、三棱柱与三棱锥相贯，见P1257、求直立圆柱与直立圆锥的相贯线，见P129第八章建筑形体的表达方法1、标注尺寸的步骤：见P1392、剖面图的产生，见P1413、剖面图的标注，见P1454、把断面投射到与它平行的投影面上，所得的投影，表示出断面的实形，称为断面图。

见P1465、剖面图与断面图的区别，见P146第九章轴侧投影1、根据平行投影的原理，把形体连同确定其空间位置的三根坐标轴一起，沿不平行于任一坐标的方向，投射到新投影面上，所得的投影称为轴测投影。

空间曲线与曲面的切线与法线空间曲线和曲面是三维几何中重要的概念，它们的性质和特点对于理解和应用空间几何学非常重要。

在本文中，我们将讨论空间曲线和曲面的切线与法线的概念及其相关性质。

一、空间曲线的切线与法线空间曲线是由一个或多个参数方程所确定的三维图形。

在空间曲线上的任意一点，都存在一个切线和一个法线。

切线是曲线在该点处的切线方向，而法线则垂直于切线，并指向该点的曲线内侧。

切线的表示方法有两种：一是使用曲线的参数方程，确定曲线上该点的切向量；二是使用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方向。

如果曲线的参数方程为x=f(t), y=g(t), z=h(t)，则曲线上点P(t)处的切向量为：T = （dx/dt, dy/dt, dz/dt）其中dx/dt, dy/dt, dz/dt分别表示函数f(t), g(t), h(t)对t的导数。

这个向量就是曲线在点P(t)处的切线方向。

对于曲线上的任意一点P(x0, y0, z0)，可以通过计算切线的斜率来确定切线的方向。

假设P处的切线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b 为截距。

可以使用以下公式计算切线斜率：k = dy/dx = dy/dt / dx/dt其中dy/dt和dx/dt可以通过曲线的参数方程计算得到。

通过计算切线的斜率和已知的点P(x0, y0, z0)，我们可以得到曲线在该点处的切线方向。

同样地，可以根据切线斜率求得切线的截距。

除了切线，每个点处还有一个法线。

空间曲线的法线垂直于曲线平面。

法线的计算方法和切向量类似，可以使用曲线的参数方程计算得到。

二、空间曲面的切线与法线空间曲面是由一个或多个方程所确定的三维图形。

在空间曲面上的任意一点，都存在一个切平面和一个法线。

切平面与切线类似，是曲面在该点处的切平面，法线则垂直于切平面。

切平面的计算方法与切线类似。

首先，我们需要求得曲面方程的偏导数，然后使用这些偏导数构成一个向量。

以曲面方程F(x, y, z) = 0为例，该曲面上点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为：dF/dx(x0, y0, z0)(x-x0) + dF/dy(x0, y0, z0)(y-y0) + dF/dz(x0, y0, z0)(z-z0) = 0其中dF/dx, dF/dy, dF/dz为曲面方程F(x, y, z)对应的偏导数。

高等数学同济大学下册教材高等数学是大学数学中的一门重要学科，对于理工科专业的学生而言，具有极高的学习价值和实践应用意义。

而同济大学下册的高等数学教材则是这门学科中的经典教材之一，本文将对该教材的内容进行全面介绍和评价。

同济大学下册的高等数学教材由同济大学数学系编写，共分为11章。

每一章都包含了相应的理论知识、典型例题和习题。

整个教材体系结构合理，逻辑性强，内容涵盖了高等数学的核心概念和方法，既有基础知识的解释，也有应用技巧的讲解，能够帮助学生全面系统地掌握数学知识。

第一章是多项式函数与微分学，介绍了多项式函数的性质和变化规律，并引入了微分学的基本概念和方法。

这一章节中的例题和习题涉及了多项式函数的图像、零点、极值等问题，并对微分的概念、微分法则进行了详细说明。

第二章是一元函数的积分学，主要介绍了积分的概念、基本性质和计算方法。

通过对定积分、不定积分和反常积分的讲解，学生可以了解到积分在求面积、求曲线长度等应用中的重要作用。

第三章是微分方程，介绍了微分方程的基本概念、解的存在唯一性定理和一阶线性微分方程的解法。

这一章节中通过典型的例题，让学生了解到微分方程是许多自然现象和工程问题的数学描述工具。

第四章是多元函数微分学，包括多元函数极限、偏导数、全微分、方向导数和梯度等内容。

通过这些内容的学习，学生可以掌握多元函数的导数及其相关性质，为后续章节的学习打下坚实的基础。

第五章是多元函数的积分学，主要介绍了多重积分的概念、性质和计算方法。

通过对二重积分和三重积分的讲解，学生可以了解到积分在二维和三维区域的面积、体积计算中的应用。

第六章是曲线与曲面积分学，包括曲线积分和曲面积分两个部分。

通过对曲线积分的参数表示和曲面积分的参数化表示的介绍，学生可以掌握曲线和曲面上矢量场及标量场的积分计算方法。

第七章是无穷级数，介绍了级数的收敛性与敛散性、常见级数的收敛性判定方法等内容。

这一章的学习能够帮助学生理解无穷级数的性质，并能够熟练地运用级数的基本性质和方法进行计算。

曲线积分与曲面积分总结笔记曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，它们在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。

下面对曲线积分和曲面积分进行总结和拓展。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。

根据曲线的参数方程给出曲线积分的计算公式。

曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分：对标量函数进行积分，求曲线上的标量场沿曲线的积分值。

它主要应用于测量曲线长度、质量等问题。

2. 第二类曲线积分：对矢量函数进行积分，求曲线上的矢量场沿曲线的积分值。

它主要应用于计算曲线上的力的做功、电流的环路积分等问题。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

曲面积分也有两类：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分：对标量函数进行积分，求曲面上的标量场通过曲面的积分值。

它主要应用于计算场的通量、质量通量等问题。

2. 第二类曲面积分：对矢量函数进行积分，求曲面上的矢量场通过曲面的积分值。

它主要应用于计算磁通量、电通量等问题。

曲线积分和曲面积分的计算方法有很多，常用的方法包括参数化、格林公式、斯托克斯定理和高斯定理等。

对于一些简单的曲线和曲面，也可以通过直接计算来求解。

此外，曲线积分和曲面积分还与梯度、散度和旋度等概念密切相关。

这些概念可以帮助我们理解和计算曲线和曲面上的积分值。

总之，曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理学和工程学中有广泛应用。

通过对曲线和曲面上的函数进行积分，我们可以得到一些重要的物理量和场量。

掌握曲线积分和曲面积分的计算方法和应用可以帮助我们解决实际问题。

高等数学三教材目录第一章极限与连续1.1 数列极限的概念与性质1.2 无穷小量与无穷大量1.3 函数极限的概念与性质1.4 函数的连续性与间断点1.5 极限运算法则与函数连续的判定1.6 无穷小的比较1.7 两个基本极限1.8 极限存在准则1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性1.10 初等函数的极限第二章导数与微分2.1 导数的概念2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分中值定理2.6 极值与最值2.7 函数的单调性与曲线的凹凸性 2.8 洛必达法则与泰勒公式第三章微分中值定理与导数的应用 3.1 拉格朗日中值定理3.2 积分中值定理3.3 高阶导数的应用3.4 曲率与曲率半径3.5 参数方程与极坐标下的求导 3.6 凹凸性与拐点3.7 渐近线与曲线图形第四章球坐标与柱坐标4.1 三维欧几里得空间的球坐标系 4.2 球坐标与直角坐标的转换4.3 三维欧几里得空间的柱坐标系 4.4 柱坐标与直角坐标的转换4.5 曲线与曲面的参数方程第五章重积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算5.3 转换积分的计算5.4 三重积分的概念与计算第六章曲线与曲面积分6.1 曲线积分的概念与性质6.2 第一类曲线积分的计算6.3 第二类曲线积分的计算6.4 曲面积分的概念与性质6.5 曲面积分的计算6.6 广义积分的收敛性与计算第七章多元函数的微分学7.1 多元函数的偏导数与全微分7.2 多元复合函数的求导法则7.3 隐函数的求导与参数方程的求导7.4 多元函数的高阶导数第八章向量值函数的导数与曲线积分 8.1 向量值函数的极限与连续性8.2 向量值函数的导数与微分8.3 曲线的切线与法平面8.4 曲线积分与曲线的势函数第九章多元函数的积分学9.1 重积分的概念与性质9.2 重积分的计算9.3 曲线积分与曲面积分的应用9.4 奇点解析法与共面分析法第十章向量场的微分学10.1 向量场与无旋场10.2 向量场的流量与发散10.3 向量场的旋度与环量10.4 无散无旋场与保守场10.5 有界闭区域上无散无旋场的判定第十一章广义积分与曲线曲面积分11.1 广义积分的概念与性质11.2 广义积分的判敛法则11.3 广义积分的计算11.4 曲线积分的陈述及计算11.5 曲面积分的陈述及计算第十二章向量场的应用12.1 力场与位场12.2 梯度场与势函数12.3 向量场的环量与流量12.4 黑塞尔定理与能量积分第十三章多元函数的应用13.1 参数方程与空间曲线的长度13.2 曲面积分在物理学中的应用13.3 双重积分在平面图形的面积和质心13.4 三重积分在物理学中的应用以上即为《高等数学三》教材的目录，希望对您有所帮助。

考研教材高等数学下册目录目录1. 课程简介2. 第一章：极限与连续2.1 无穷小量与无穷大量2.2 极限的定义2.3 极限的运算法则2.4 无穷极限与极限存在性2.5 连续函数与间断点3. 第二章：导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的几何意义与物理意义3.3 基本导数公式3.4 高阶导数3.5 微分与微分近似公式4. 第三章：函数的应用4.1 高阶导数的应用4.2 泰勒公式与函数逼近4.3 求曲线长度4.4 隐函数及其导数4.5 微分中值定理5. 第四章：不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质5.2 牛顿—莱布尼茨公式与定积分的概念 5.3 定积分的性质与计算5.4 反常积分及其判敛5.5 介质流动与物理问题的积分表示6. 第五章：重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算6.5 重积分的应用7. 第六章：曲线积分与曲面积分7.1 曲线积分的概念与性质 7.2 曲线积分的计算7.3 曲面积分的概念与性质 7.4 曲面积分的计算7.5 流量与高斯公式8. 第七章：常微分方程8.1 常微分方程的基本概念 8.2 常微分方程的解8.3 一阶线性常微分方程 8.4 高阶线性常微分方程8.5 常微分方程的应用9. 第八章：无穷级数9.1 数项级数的概念与性质 9.2 收敛级数的判别法9.3 幂级数的概念与性质 9.4 幂级数的收敛域9.5 泰勒级数与函数展开10. 第九章：概率论与数理统计基础10.1 随机事件与概率10.2 随机变量与概率分布10.3 期望与方差10.4 大数定律与中心极限定理10.5 统计基础与参数估计课程简介：《高等数学下册》是考研数学专业的重要教材之一，本教材共分为十个章节，涵盖了极限与连续、导数与微分、函数的应用、不定积分与定积分、重积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程、无穷级数以及概率论与数理统计基础等内容。

高等数学大学所有教材目录第一章：微积分- 微积分原理- 函数与极限- 导数与微分- 奇偶函数与对称性- 极值与最值- 微分中值定理- 泰勒展开与近似计算- 不定积分与定积分- 曲线的长度与曲面的面积- 定积分的应用第二章：向量代数与空间解析几何- 向量的概念与运算- 向量的数量积与夹角- 向量的叉积与混合积- 直线与平面的方程与位置关系- 空间曲线与曲面的方程与位置关系- 向量代数与几何应用第三章：多元函数与一元关系- 多元函数的极限与连续性- 偏导数与全微分- 多元函数的极值与最值，凹凸性- 隐函数与显函数及其导数- 多元复合函数的导数- 多元函数的泰勒展开与近似计算- 一元关系与参数方程第四章：多元函数微分学- 多元函数的向量表示与全微分- 多元函数的极值问题- 二元函数的二阶偏导数与极值- 一元函数的高阶导数与极值问题- 隐函数的高阶导数与极值问题- 多元函数的泰勒展开- 多元函数的空间曲线与曲面第五章：重积分- 重积分的概念与性质- 重积分的计算方法- 重积分的应用- 重积分的计算应用- 曲面的面积与曲线的长度- 曲面积分与曲线积分- 重积分的物理应用第六章：曲线积分与曲面积分- 曲线的参数方程- 参数方程下的曲线积分- 向量场与曲线积分- 曲面的参数方程- 参数方程下的曲面积分- 向量场与曲面积分- 曲线积分与曲面积分的物理应用第七章：常微分方程与初值问题- 一阶常微分方程- 高阶常微分方程- 线性常微分方程组- 二阶线性常微分方程的求解- 高阶线性常微分方程的求解- 常微分方程的物理应用第八章：级数与幂级数- 数列与级数的概念- 收敛与发散的判断- 正项级数与比较判别法- 交错级数与绝对收敛- 幂级数的概念与性质- 幂级数的收敛域和展开式- 幂级数的求和与逐项求导第九章：傅里叶级数与傅里叶变换- 周期函数与傅里叶级数- 傅里叶级数的性质- 傅里叶级数的收敛性- 傅里叶级数的展开系数- 傅里叶级数的奇偶性和对称性- 傅里叶变换与傅里叶反变换- 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换第十章：线性代数- 矩阵与向量空间- 线性方程组与矩阵求逆- 特征值与特征向量- 正交矩阵与对角化- 复数域与线性变换- 内积空间与正交变换- 非线性方程组与迭代法总结：高等数学大学所有教材的目录涵盖了微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数与一元关系、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程与初值问题、级数与幂级数、傅里叶级数与傅里叶变换、线性代数等重要内容。

简明化工制图(林大钧)(第三版)习题集简介本文档为《简明化工制图(林大钧)(第三版)习题集》的解答文档，共计收录了多个习题的解答。

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目录1.第一章：导论2.第二章：图形基础3.第三章：直线4.第四章：平面曲线5.第五章：空间曲线6.第六章：曲面第一章：导论习题1.1问题：什么是化工制图？解答：化工制图是化学工程领域中一种重要的图示化工具，它用于描述化学工艺、设备和管道等的结构和布局情况。

化工制图是化学工程师进行工艺设计、设备安装和维护的重要参考依据。

习题1.2问题：化工制图的分类有哪些？解答：化工制图可分为流程图、设备图和管道图等几个主要分类。

流程图用于描述化工工艺流程，包括原料投料、反应过程、产物分离等；设备图用于描述化工设备的结构和布局，包括反应器、换热器、分离塔等；管道图用于描述化工管道的布局和连接关系。

第二章：图形基础习题2.1问题：什么是平行投影？解答：平行投影是一种将三维物体投影到二维平面的投影方式。

在平行投影中，物体的平行线在投影平面上仍然保持平行，不会收缩或扭曲。

平行投影常用于绘制工程制图，因为它能够准确地表示物体的尺寸和形状。

习题2.2问题：什么是透视投影？解答：透视投影是一种将三维物体投影到二维平面的投影方式。

在透视投影中，物体的平行线在投影平面上会收缩到一点，这种效果能够产生出逼真的立体感。

透视投影常用于绘制艺术作品或建筑设计等领域。

第三章：直线习题3.1问题：如何绘制一条直线？解答：1.在纸上选择两个点，作为直线的起点和终点。

2.使用直尺连接起点和终点，得到一条直线。

习题3.2问题：如何确定直线的倾斜角？解答：直线的倾斜角是指直线与水平线之间的夹角。

可以通过以下方法确定直线的倾斜角：1.在纸上绘制一条水平线，作为参照线。

2.使用直尺测量直线与水平线之间的夹角，倾斜角即为测得的夹角值。

第四章：平面曲线习题4.1问题：什么是椭圆？解答：椭圆是平面上一条围绕两个焦点旋转的曲线。

§ 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。

证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()}r f v u f v u g v =，22222()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++，222(),()()E f v G f v g v ''==+纬线即u—曲线：0v v =（常数），其测地曲率为2'2'21ln 1ln 22u g E f k v v G f g∂∂=-=-∂∂+ 0'2'2000'()()()()f v f v f vg v =-+为常数。

2、证明：在球面S(cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =，,0222u v πππ-<<<< 上，曲线C的测地曲率可表示成()()sin(())g d s dv s k u s ds dsθ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程，s是曲线C 的弧长参数，()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲线）之间的夹角。

证明 易求出2E a =, 0F =,22cos G a u =,因此1ln 1ln cos sin 22g d E G k ds v u G Eθθθ∂∂=-+∂∂221ln(cos )sin 2d a u ds a uθθ∂=+∂sin sin cos d u ds a uθθ=-，而11sin sin cos dv dsa u Gθθ==，故 sin gd dv ku ds dsθ=-。

3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是(()()()()()())g k g Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s是曲线C 的弧长参数，2g EG F =-，并且12112111222(())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ，22222111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ特别是，参数曲线的测地曲率分别为2311(())u g k g u s '=Γ，1322(())vg kg v s '=-Γ 。

空间曲线和空间曲面的基本概念和性质空间曲线和空间曲面是高等数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍空间曲线和空间曲面的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些概念。

一、空间曲线的基本概念空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，可由参数方程、一般方程或向量方程来描述。

1. 参数方程空间曲线的参数方程给出了曲线上每一点的坐标与参数的关系。

一条参数方程为x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)的曲线在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))。

2. 一般方程空间曲线的一般方程为F(x, y, z) = 0。

例如，x^2 + y^2 + z^2 = 4表示一个球面。

3. 向量方程空间曲线的向量方程用向量表示曲线上任一点，用参数表示向量的方向。

例如，r(t) = ai + bj + ck表示一个向量r在三维空间中随参数t改变的轨迹。

二、空间曲线的性质空间曲线有着一些重要的性质，包括弧长、切向量和曲率等。

1. 曲线的弧长曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。

利用参数方程，可以通过积分计算曲线的弧长。

2. 曲线的切向量曲线的切向量表示曲线在某点的切线方向，其方向是曲线在该点的切线方向，模为单位长度。

切向量与曲线的切线垂直。

3. 曲线的曲率曲线的曲率衡量了曲线的弯曲程度。

曲率的倒数称为曲率半径，表示曲线上某点处的曲线在该点的局部半径。

三、空间曲面的基本概念空间曲面是指在三维空间中的一个二维曲面，可由一般方程或参数方程来描述。

1. 参数方程空间曲面的参数方程给出了曲面上每一点的坐标与参数的关系。

一条参数方程为x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)的曲面在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))。

2. 一般方程空间曲面的一般方程为F(x, y, z) = 0。

空间直角坐标系下的曲面与曲线在三维空间中，我们通常使用直角坐标系来描述一个物体的位置和形状。

在直角坐标系中，x、y、z三个坐标轴分别代表了空间中的长、宽、高，我们可以用(x, y, z)三元组来表示一个点的坐标。

而曲线和曲面则是由多个点组成的图形，它们的数学特性以及计算方式也截然不同。

曲线曲线是由无数个点连成的线，它们的形状可以是任意的，也可以被用数学函数来描述。

在三维空间中，曲线的表达式通常使用参数方程的形式表示。

例如，我们可以用下面的参数方程来描述一个圆：x = r cos(t)y = r sin(t)z = h其中r代表圆的半径，h代表圆心在z轴上的高度，t是一个参数，通常取值范围在[0,2π]之间。

这个参数方程可以表示一个在平面z=h上的圆，当我们让h=0时，即可得到一个在平面xy上的圆。

除了参数方程，我们还可以使用向量方程来描述曲线。

向量方程通常以起点和终点的坐标差作为参数，例如：p = p0 + tu其中p0是曲线的起点，t是参数，通常取值范围在[0,1]之间，u 是一个固定的向量，它的长度表示曲线的长度。

这个向量方程可以表示一条从p0到p1的直线段或曲线。

曲面既然曲线是由很多点组成的线，那么曲面就是由很多曲线组成的面。

在三维空间中，曲面的类型和形状也是各不相同的。

我们可以用一个显式函数或隐式函数来描述曲面。

例如，下面这个函数可以表示一个球体：x^2 + y^2 + z^2 = r^2这个函数可以称为一个隐式函数，因为它并没有明确地告诉我们每个点的坐标是多少，而是告诉我们所有满足这个等式的(x, y, z)三元组都在球体上。

在有些情况下，我们需要在曲面上找到一些特定点或曲线，这时候我们就需要用到计算曲面的切向量和法向量。

在某一个点上的切向量表示曲面在这个点上的切线的方向，而法向量则表示曲面在这个点上的法线的方向。

计算切向量和法向量需要用到微积分的知识，具体可以参考相关的数学文章。

结语空间直角坐标系下的曲面和曲线是数学中的重要知识点，它们应用于物理、工程、计算机图形学等多个领域。

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面工X 二x(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：《y = y(t) , t€(o(,P).z = z(t)设tot C，J, A(x(t o), y(t o), z(t o)、B(x(t i), y(t i),z(t i))为曲线上两点,A, B 的连线AB称为曲线C的割线，当B > A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A的切线.如果x = x(t), y = y(t), z = z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的•因为割线的方程为x — x(t°)y — y(t°) z—z(t°)x(tj — x(t o) y(tj — y(t o) z(t i) — z(t o)也可以写为x — x(t。

)_ y — y(t。

)_ z — z(t。

)x(tj - x(t。

) y(tj - y(t。

) z(tj —z(t。

)t -t o t - t o t - t o当B > A时，t > t o，割线的方向向量的极限为fx(t o), y(t o), z(t o)1，此即为切线的方向向量，所以切线方程为X — x(t o) _ y — y(t o) _ z _z(t o)x(t。

)「y(t。

)「z(t o).过点A(x(t o), y(t o), z(t o)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(x(t o), y(t o), z(t o)的法平面，法平面方程为x'(t o)(x-X o) y (t o)(y - y o) z'(t°)(z - z°) = 0如果空间的曲线C由方程为y = y(x),z = z(x)且y'(x o),z'(x°)存在，则曲线在点A(x°, y(X o), z(x°)的切线是X -X o _ y - y(X o) _ z -z(X o)1 y"(x o) z"(x o)法平面方程为(x-X o) y (X o)(y - y(X o)) z'(X o)(z-z(X o)) =o如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组；F(x, y,z)=0,c:丿[G(x, y, z) = o确定时，假设在A(x o, y o ,z o)有J =班F，G)式o，在A( x o, y o, z o)某邻域内满足隐函数点(y,z)A组存在定理条件，则由方程组丿F(x, y,z)-0,在点A(x o,y o,z o)附近能确定隐函数©(X, y,z) = 0y = y(x),z 二z(x)七/ 、/ 、 dy1 c(F,G) dz 1 F(F,G)有y o = y(x o ), Z o =z(x o ) — = ------------------------ ,一 = ---------------- 。