当前位置：文档之家› 射影几何入门1

射影几何入门1

(一)1-1对应1

1.1-1对应的定义1

2.1-1对应的意义和性质2

3.1-1对应在数学中的应用4

4.无穷集之间的1-1对应4

5.部分和整体的1-1对应,无穷集的定义9

6.无穷远点.点列和线束10

7.轴束.基本形11

8.三种基本形的六种透视对应12

9.射影关系14

10.1到无穷或无穷到1的对应16

11.平面点的无穷阶数17

12.一阶与二阶无穷集17

13.通过空间一点的所有直线17

14.通过空间一点的所有平面18

15.平面上所有的直线18

16.平面系和点系19

17.空间中的所有平面19

18.空间中的所有点20

19.空间系20

20.空间中的所有直线20

21.点与数之间的对应20

22.无穷远元素22

（二）1-1对应基本形之间的关系25

23.七种基本形25

24.射影性25

25.Desargues定理26

26.关于二个完全四边形的基本定理27

27.定理的重要性28

28.定理的重述28

29.四调和点概念29

30.调和共轭的对称性30

31.概念的重要性30

32.四调和点的投影不变性31

33.四调和线3135.结果的概要性总结32

36.可射影性的定义33

37.调和共轭点相互之间的对应33

38.调和共轭的元素的隔离34

39.无穷远点的调和共轭34

40.射影定理和度量定理,线性作图法35

41.平行线与中点36

42.将线段分成相等的n个部分37

43.数值上的关系37

44.与四调和点关联的代数公式37

45.进一步的公式38

46.非调和比（交比）39

(三)射影相关基本形的结合41

47.叠加的基本形,自对应元素41

48.无自对应点的情况42

49.射影对应的基本定理,连续性假设43

50.定理应用于线束和平面束44

51.具有一公共自对应点的射影点列44

52.无公共自对应点的射影相关点列45

53.透视对应的两个射线束47

54.透视对应的面束（轴束）47

55.二阶点列47

56.轨迹的退化48

57.两阶线束48

58.退化情况48

59.二阶圆锥面49

(四)二阶点列49

60.二阶点列与二阶线束49

63.轨迹生成问题的陈述50

64.基本问题的解决51

65.图形的不同构作法52

66.将轨迹上四点连到第五点的直线52

67.定理的另一种陈述形式53

68.更为重要的定理54

69.Pascal定理54

70.Pascal定理中点的名称的替换54

71.在一个二阶点列上的调和点56

72.轨迹的确定56

73.作为二阶点列的圆和圆锥线56

74.通过五点的圆锥曲线57

75.圆锥线的切线58

76.内接四边形59

77.内接的三角形60

78.退化圆锥线61

(五)二阶线束63

79.已定义的二阶射线束63

80.圆的切线63

81.圆锥曲线的切线65

82.系统的生成点列线65

83.线束的确定65

84.Brianchon定理67

85.Brianchon定理中线的替换68

86.用Brianchon定理构造线束68

87.与一圆锥曲线相切的点68

88.外切四边形69

89.外切三边形70

90.Brianchon定理的应用70

91.调和切线71

92.可射影性和可透视性71

93.退化情况72

94.对偶律72

(六)极点和极线7596.圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹77

97.更多的性质78

98.极点极线的定义78

99.极点与极线的基本定理78 100.共轭点与共轭直线79 102.自配极三角形79

103.射影相关的极点与极线80 104.对偶性81

105.自对偶定理81

106.其他对应关系82

(七)圆锥曲线的度量性质83 107.直径与中心83

108.相关的几个定理83

109.共轭直径84

110.圆锥曲线的分类84

111.渐近线84

112.有关的几个定理85

113.关于渐近线的定理85 115.由双曲线及其渐近线切割的弦86

116.定理的应用86

117.由二条渐近线和一条切线形成的三角形87

118.用渐近线来表示一个双曲线的方程88

119.抛物线方程88

120.参引共轭直径的有心圆锥线的方程91

(八)对合(Involution)95 121.基本定理95

122.线性作图法96

123.直线上点的对合的定义97 124.对合中的二重点97

125.有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理99

126.退化圆锥线100

127.通过四点并与一已知直线相切的圆锥线100

129.Steiner的作图方法101 130.Steiner作图法在重对应中的应用102

131.二阶点列中点的对合103 132.射线的对合104

133.二重射线105

134.通过一固定点与四线相切的圆锥线105

135.双重对应105

136.处于对合下的二阶射线束106

137.有关对合二阶射线束的定理106

138.由一圆锥曲线确定的射线的对合106

139.定理的陈述106

140.定理的对偶107

(九)对合的度量性质109 141.无穷远点的引入;对合的中心109

142.基本度量定理109

143.二重点的存在110

144.二重射线的存在112 145.通过圆来构筑对合112 146.圆点113

147.对合中的正交射线对,圆对合114

148.圆锥线的轴114

149.由一圆锥线确定的对合的点是圆点115

150.圆点的性质115

151.圆点的位置116

152.寻找圆锥曲线的焦点117 153.圆和抛物线117

154.圆锥线焦点性质118 155.抛物线的情况119

156.抛物面反射镜119

157.准线．主轴．顶点119159.离心率120

160.焦距之和与差121

(十)综合射影几何的历史123 161.早期成果123

162.统一性原理124

163.Desargues124

164.极点与极线125

165.通过4点的二阶曲线的Desargues 定理125

166.推广到空间的极点与极线理论126

167.描述圆锥曲线的Desargues方法126

168.Desargues工作的被接纳127 169.Desargues时代的保守性127 170.Desargues的写作风格128 171.Desargues工作缺乏欣赏129 172.Pascal与他的定理129 173.Pascal的短评130

174.Pascal的独创性130

175.De La Hire和他的工作131 176.Descartes和他的影响132 177.Newton和Maclaurin133 178.Maclaurin的证法133 179.画法几何与综合几何的二次复兴134

180.对偶性,同调性,连续性,偶然性联系135

181.Poncelet和Cauchy135 182.Poncelet的工作136

183.解析几何妥欠综合几何的债137

184.Steiner和他的工作137 185.Von Staudt和他的工作138 186.近期的发展139

附录140

参考文献148

索引151

第1章1-1对应

1.1-1对应的定义

【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。

这里，1-1对应是定义两个集合之间的一种关系，而不是它们元素之间的关系，但要确定两个集合是否有这种关系，需要考察它们的元素之间是否能够建立一个具体的1-1对应。

【例】试问由三个数字组成的集合{1,2,3},和由三个字母组成的集合{A,B,C}之间是否1-1对应？

【答】我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应：1<->A，2 <->B，3<->C

这里符号<->表示其左右两边元素为对应。这样，两个集合中的每一个元素，都对应到了另一集合中的一个且仅一个元素。所以集合{1,2,3}与集合{A,B,C}为1-1对应。显然，包含两个数字的集合{1,2}或包含四个数字的集合{1,2,3,4}就不能与包含三个字母的集合{A,B,C}建立1-1对应。集合1-1对应的概念非常简单，但也非常重要，它在科研、生产或在日常生活中都频繁使用。例如，我们通常进行的计数过程就是将被计数对象与数字'1'、'2'、'3'…之间在心中建立1-1对应；在人类尚未进入文明时代、尚未发明数字之前，也已利用他们的手指与被计数对象（如每天的掠物）建立1-1对应。科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的word（单字）建立1-1对应。这种过程虽然不像计数那样简单，需要反复，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本质上，每一步无非就是对事物及其属性进行记录，并用一些word与它们建立1-1对应。这些word开始只是少数人的专用语言，随着科学不断普及，这些专业术语也就逐步演变成人们的日常用语。如果你仔细分析语言的各种成分，你将发现，人类语言的全部概念实际都是利用1-1对应这种简单想法(idea)生成的。

2.1-1对应的进一步的意义和性质

集合的1-1对应是定义在两个集合上的两个互逆的1-1变换所联合组合。如集合｛1,2,3｝与集合｛A,B,C｝的1-1对应

1<->A，2<->B，3<->C

就是下列两个1-1变换的组合：

ｆ：（1->A，2->B，3->C）

ｇ：（1<-A，2<-B，3<-C）

其中f是｛1,2,3｝到｛A,B,C｝的变换，g是｛A,B,C｝到｛1,2,3｝的变换，且ｇ与ｆ互逆。如果将二个变换改为

ｆ：（1->A，2->B，3->C）

ｇ：（2<-A，1<-B，3<-C）

则尽管ｆ和ｇ都是1-1变换，使一个元素变到一个元素，但ｇ与ｆ不是互逆的两个变换，它们合在一起就不构成（同）一个1-1对应。

1-1对应关系具有对称性和传递性。即：如果集合A与B为1-1对应，则B与A也1-1对应；如果集合A与B为1-1对应，且集合B与集合C也1-1

对应，则集合A与C也1-1对应。

1-1对应规定的仅仅是元素的对应方式，不允许１个元素对应到多个元素，也不允许某个元素不与另一集合中的任何元素对应。但除此以外不再附加任何条件。

我们不要求一个集合中的某个元素必须与另一集合中某个固定元素进行

对应。只要满足1-1关系，无论什么元素都可以与它对应。如前节例子中的数字集｛1,2,3｝与字母集｛A,B,C｝之间，下列６种对应方式都是合格的1-1对应：

（1）1<->A，2<->B，3<->C

（2）1<->A，2<->C，3<->B

（3）1<->B，2<->A，3<->C

（4）1<->B，2<->C，3<->A

（5）1<->C，2<->A，3<->B

（6）1<->C，2<->B，3<->A

可以看出，A,B,C三元素的任何一种排列，都可与1,2,3对应。这6种不同的1-1对应可用以下6张关系表来表示：

每个表的左边列出了集合{1,2,3}的元素，上边列出集合{A,B,C}的元素，中间的每个格子代表对应行和列的元素是否有对应关系，T代表有对应关系，否则代表没有对应关系。可以看出，每一行每一列都只有一个格子为T，这表示两个集合元素之间的对应为1-1的。六个表代表六种不同的1-1对应方式。如果两个集合都有n个元素，就有n！种不同的1-1对应方式。

其次，建立对应的两个集合完全任意。它们可以有相同类型元素，如{1,2,3}与{4,5,6}对应；或完全相同的元素，如{1,2,3}与{1,2,3}本身对应（这样的2个集合间仍有6种可行的对应方式）；或不同类型的元素，如前所述的{1,2,3}与{A,B,C}之间的对应。如果一个牧童用绳子把５头羊分别牵在５棵树上，就是让{羊}和{树}建立1-1对应；学生上课时，50名学生走进一间有50个座位的教室，找到空位就坐下，就是在{班级学生}和{教室座位}2个集合之间自动建立一个1-1对应；物理学家经常把各种客观事物的变化规律与他们主观想象出来的公式混为一谈，就是在{客观规律}和{错误公式}两个集合之间建立1-1对应。

本书考察的对应主要是点、线、面等几何元素组成的集合之间的对应，有时也考察其他对应，包括几何元素与数的对应、几何元素与字母的对应，等。

3.1-1对应在数学中的应用

在数学中，人们努力从事的工作，常常就是在简单概念和复杂概念之间建立1-1对应，或者是在已探索过的领域和正在探索中的未知领域寻找1-1

对应。例如，利用平面几何中点和直线的性质或关系，到空间几何中去寻找点、线、面对应的性质和关系；利用中心、焦点、切线、渐近线等点和直线的性质来研究二阶曲线的性质。解析几何是利用简单的代数方法来研究几何，而进入大学的高等代数中又反过来利用低维的几何直观来研究任意维的线性空间。在我们学习射影几何时，也要利用我们已学过的各门数学知识，其中最重要的是平面几何的知识。

4.无穷集之间的1-1对应

两个集合，如果它们相互1-1对应，我们通常就称这两个集合包含了相同数目的元素；如果一个集合的一部分与另一个集合1-1对应，那么前一集合的元素数目比后一集合的元素数目为大。但这些结论仅适用于有限集，如果为无穷集，结论就常常不是这样了。下面我们来看几个例子。

［例1］2,4,6,8,10,．．．等偶数仅仅是自然数的一半，但偶数集｛2,4,6,8,10,．．．｝与自然数集｛1,2,3,4,5,．．．｝是相互之间能够建立1-1对应的两个集合。

【证明】我们为这两个集合的元素建立下面的对应：

自然数：1，２，３，４，．．．

偶数：2，４，６，８，．．．

在这种对应下，每个偶数2n都能找到一个自然数n与其对应，而且反之，每个自然数n也都能找到一个偶数2n与其对应。可见，偶数虽为自然数的一半，但仍与自然数1-1对应。

［例2］自然数集合：N={1,2,3,4,5,…}与自然数对(i,j)，

i,j=1,2,3,...的集合：N2=

{(1,1),(1,2),(1,3),…,(2,1),(2,2),(2,3),…,(3,1),(3,2),(3,3),…}为

1-1对应的集合。

【证明】我们可以根据数对(i,j)的两个分量i,j的大小，将所有数对排成一个无穷方阵。规定数对(i,j)放在方阵第i行j列。这样每个数对(i,j)就有一个且仅有一个方阵格点与其对应，而所有数对就与方阵所有格点建立了1-1

对应。然后，再按下表所示方式将无穷多个方阵格点与无穷多个自然数建立对应：

1267↗↙.

358↗↙..

4913↙...

1012↙↗...

11↙↗....

↙↗.....

↗......

按这种对角线次序的排列方法，平面方阵的任意一个格点（i,j）都会有唯一的一个自然数ｎ(i,j)与其对应，而且反过来，每一个自然数n也一定能找到一个格点（i(n),j(n)）与此自然数对应。所以，利用这种方法方式，平面正整数格点全体，因而也是数对(i,j)全体，与自然数全体建立了1-1对应。

读者不妨思考一下，与自然数n=100对应的格点（i,j）的分量i,j 是多少？反过来，格点（10,10）对应的自然数n又是多少？如果有条件且又有兴趣的话，还可在计算机上编个小程序来计算自然数ｎ与数对（i,j）之间的对应关系，无论用Ｃ用Delphi或者别的语言都行。

【例3】１英寸线段上所有点与2英寸线段上所有的点为两个1-1对应的集合，

【证明】如图4-1所示。其中AB和A'B'分别是有2英寸和1英寸长的两条线段，C是AB上的任意一点。为寻找A'B'上与C对应的点，我们连AA'和BB'，并延长交于S。再作S与C的连线交A'B'于C'，则C'就是A'B'上与C对应的点。反之，对A'B'上任意C'，同样可找出AB上的对应点C。

图4-1１英寸与2英寸长线段点的1-1对应

【例4】对于无穷长直线AB上的任意一点，都能在1英寸长的线段A'B'上找到两个点与它对应。

【证明】我们作一个半径为2π分之一英寸的圆，则其周长为1英寸，也就是线段A'B'的长。因此，可以把这个圆看成就是由线段A'B'围成的圆，

如图4-2所示。

[注意，为了使标写的文字清晰，我们在图中把圆画大了一些，但所画圆的尺寸大小，不影响下面的证明。]

现设此圆的圆心为S。我们从直线AB上的任意点C作直线与S相连，此直线与圆的下半段圆弧交于C'，与上半段圆弧交于C''。则C'与C''就是与C 对应的两点，由此得证。

图4-2１英寸圆周与无穷长直线点的对应

反过来，对于圆上任意两个对称点C'与C''是否也能在直线AB上找到对应的一点呢？显然，这里有一个例外，就是当C'与C''的连线C'C''平行于AB时，在AB上就找不到对应点了，因为这时的连线C'C''与AB不相交。

此例说明了一个似乎不可思议的事情：1英寸线段A'B'上的点比无穷长直线AB 上的点的两倍还要多出两个点。

【例5】无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以建立1-1对应。

【证明】我们需要用以下三步来证明整个结论：

（１）无穷直线与单位直线（0,1）中点可以建立1-1对应；

（２）单位直线（0,1）与单位平面（0,1）×（0,1）中点可以建立1-1对应；

（３）单位平面（0,1）×（0,1）与无穷平面的点可以建立1-1对应。然后，根据1-1对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立1-1对应。

其中（1）是明显的，我们只证（2）和（3）。先证（2）。

因(0,1)中点是小于１的数d，可以用一个无穷小数

d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8…

来表示，如果d原来为有穷小数，改为等价的无穷循环小数（如0.4改为

0.39999…），这样，（0,1）间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应；现令

x=0.a1a3a5a7…,y=0.a2a4a6a8…

也就是说，用d的奇数位小数作为x的小数，d的偶数位小数作为y小数，那么，对任意一个直线点d，就有一个对应的平面点P（x,y）。且反之，有一个平面点P（x,y），其中

x=0.a1a2a3a4…,y=0.b1b2b3b4…

那么也有唯一的直线点

d=0.a1b1a2b2a3.b3…

与它对应。因此，单位平面点P（x,y）就和单位直线点d建立了1-1对应。这样就证明了(2)。

再来证(3)。将单位平面的垂直边v(0,1)与全平面x轴(-∞,+∞)对应，水平边u(0,1)与全平面y轴(-∞,+∞)对应。这样单位平面内的点(u,v)就可与整个平面中的点(x,y)建立对应。单位平面垂直边与x轴的对应如下图所示。将单位平面的垂直边作纵轴v，S是纵轴顶部左边任取的点，S‘是纵轴底部右边任取的点。

图4-3使区间(0,1)中点与直线(-∞,+∞)中的点建立1-1对应

垂线（0,1）被x轴分成上下两段，上段以S为中心与+ｘ轴对应；下段以S'为中心与-ｘ轴对应；中点0.5与x=0点对应。这样，整个x轴上的点就和（0,1）中的点建立了对应。

类似地，单位平面水平边可与ｙ轴对应。利用这两个分量的对应即实现单位平面与整个平面的点的对应。从而证明了(3)。

要特别注意，直线与平面上这种点的对应方式不具备连续性。两个邻近的直线点对应到平面后位置可以不邻近，且反之也一样。而本书后面将要考察的对应都要求有连续性，即其中任一集合的一个元素趋向另一元素时，另一集合的两个对应元素也必须充分接近。除非其中的点为无穷远点才有例外。

从上面各节的论述可以看出，1-1对应概念是比枚举（即计数）概念更为广泛的一种概念。直线上的点我们无法一个一个地进行枚举，我们无法列出一个点的下一个点，但我们仍然可以考察这类集合之间的1-1对应。

在集合论中，两个1-1对应的集称等势（power）集。由上可知，当集合为有限时，等势集就意味元素数目相同。但集合为无穷时，等势集并不意

味包含的元素数目严格相同。我们自然会问，是否所有无穷集都等势？答案为否定，能够证明直线点集就比自然数集势要大，它们元素不能建立1-1对应（证略）。凡和自然数1-1对应的集叫可列集（可数集、可枚举集），它们的势叫可列势。凡和直线点集1-1对应的集叫连续集，它们的势叫连续势。集合论中已证明比连续集更大的集也存在。

5.部分和整体的1-1对应，无穷集的定义

从上节讨论的几个例子中我们都能看出一个非常重要的事实，即无穷集都可以与它的一个真子集（从原集合中排除一些元素之后的集合）建立1-1

对应。这种情况对于有限集是无法想象也根本不可能发生的。无穷集之所以会有这一特点，根本原因就在于无穷集的一部分仍可能是无穷，因而元素的“数目”并不减少。因此，可以利用无穷集的这一特征作为无穷集的一种定义：【定义】能与自己的真子集1-1对应的集称为无穷集。

这一定义是一个正面定义，它与通常的，把无穷集说成是“无法枚举的集合”或“无法枚举完成的集合”等消极定义相比，更容易用实践检验，因而也是更为合理的定义。

6.无穷远点

前面§4的例２中，我们证明了两个不同长度的线段上的点的全体可以建立1-1对应，同节的例４则证明一寸长线段上可以找到两倍于无限长直线上的点。这些例子都是有关点集与点集间建立1-1对应的例子。

现在我们要为点和线两种不同元素的集合建立对应。我们为无穷直线上的点，与通过一个已知点的所有直线建立1-1对应，如图6-1所示。AB为所指直线，两端可以无限延伸，C是无穷直线AB上任意一点，S是给定的已知点。

通过C和S作直线SC，则此直线c＝SC就是与C对应的直线。反之，对于通过S的任意直线c，只要c不与AB平行，那么c延长后总能与AB交于一点C，所以交点C就是与直线c的对应点。但若过S的直线与AB平行，如图中虚线m，则根据Euclid假设，m无论怎样延长都不与AB相交。所以，AB上找不到任何点与此特殊直线m对应。

图6-1直线点C与通过点S的直线c对应

*射影相关基本形元素之间的1-1对应有连续性。即，如将其中任一基本形的两个元素充分接近，则另一基本形二个对应元素也充分接近。这和§4介绍的直线点与平面点之间的1-1对应不同。另外，当两个基本形为点列时，

这种连续性还应服从于无穷远点这一例外。

为了弥补这一缺陷，使无穷直线AB上所有点都能与通过S的所有直线1-1对应，在射影几何中通常假设，在直线AB的无穷远处存在一个点，并规定这个点就是AB与包括m在内的所有平行线的共同交点。在这样理解下，与直线m对应的AB上的点就是那个无穷远处的点。这样，无穷直线上所有点都能与通过S 的所有直线1-1对应了。

再回过头来考察§4例４中有关一英寸线段A'B'与无穷长直线AB的对应关系。我们已证明：对于无穷长直线AB上的任一点C，我们都能在周长与A'B'相等的圆上找到C'和C''两点与它对应。但反过来s通过圆心的直线L

与圆的一对交点C'和C''只有在L不与AB平行时，才能在AB找到这样的点，如果L与直线AB平行，则L与圆的交点C'和C''就在AB上找不到对应点C 了。这种特殊情况也和上面相似，只要假设AB无穷远处存在一个点，它是AB

以及与它平行的所有直线的共同交点，那么对于圆周上那两个特殊点C'和C''也能在AB上找到对应的一点了。由此我们圆满地证明了1英寸线段上的点，可以与无穷长直线AB上点的两倍建立1-1对应。

上述这种规定在研究射影几何时极重要，为此使用几个专业术语来称呼它们：把位于直线无穷远处的点叫无穷远点；原来意义下的直线加上无穷远点后特称扩充直线；扩充直线l上所有的点称为以l为底（base）的一个点列（point-row）。通过一点S的所有直线称以S为中心的一个（射）线束（pencil of rays）。点列和线束的这种对应称为透视对应，或称它们透视相关、它们处于透视位置（perspective position），简称它们相互透视。

7.轴束，基本形

用同样的方法，我们可以为一无穷直线上所有的点，与通过不和以上直线相交的另一直线的所有平面建立1-1对应。所有平面通过的共同直线称为轴（axial），而这些平面的全体就叫一个平面束，简称面束或轴束（axial pencil）。如图7-1所示。

图7-1以直线a为轴的平面束（轴束）

点列、线束和面束都是射影几何研究的基本结构（structure），常称它们为基本形（fundamental forms）。它们互相之间能建立1-1对应的事实，常用它们为同阶（same order）的这一术语来表达，并说它们都是一阶（first order）的。本书后面的讨论将会看到，还可以构造别的无穷集也能与点列建立1-1对应，但也有一些无穷集则不能与点列建立1-1对应，后者理所当然地将被称作为二阶或高阶无穷集。

8.三种基本形的六种透视对应

我们在§6中已介绍点列与线束之间的透视对应，§７介绍点列与面束（轴束）之间的透视对应。透视对应关系可以在不同或相同的任意两种基本形之间建立，对于点列、线束和轴束三种基本形而言，共有6种透视对应关系：1）点列与线束间的透视对应：前已讲过，是指线束中的每一条射线对应于点列中对应点的情况。这时线束中各射线的公共交点P称为透视中心，参见图8-1。

2）线束与线束间的透视对应：这是指两个线束对应的射线都相交于同一条直线ｕ。这条所有交点的共同直线称为透视轴（axis of perspectivity）,参见图8-2。

3）点列与点列间的透视对应：这是指点列u1和u2所有对应点都位于通过某一固定点P的直线上。这些直线组成一个线束，点P是线束中心，同时也是透视中心,参见图8-3。

图中u为点列，P为线束，π为轴束，a为直线，π为平面

4）点列与轴束间的透视对应：这是指轴束中的每个平面都通过与它对应的点列的点。这时，轴束的轴a同时也是透视轴，参见图8-4。

5）线束与轴束间的透视对应：这是指线束的每根射线都位于与它对应的轴束平面上。这时线束的中心P位于轴束的轴a上，轴束的轴a称为透视轴，参见图8-5。

6）轴束与轴束间的透视对应：这是指两个轴束中对应平面的交线都位于同一平面上。这些交线的共同平面称为透视平面，参见图8-6。

这里需要补充说明一些事情。我们在定义线束互为透视的图8-2中，两个线束的中心P1与P2都画在点列u的上方，但这不是必要的，如果它们位于不同侧，我们仍然称它们相互透视。类似地，在图8-3中，两个点列u1和u2都画在透视中心P的下方也非必要，如果它们分别位于中心的不同侧，我们仍然称它们互为透视。最后，在图8-6中，若把两个轴束π1和π2都画在透

视平面π的同一侧，我们仍然称它们互为透视。在今后的许多定理的证明中，为避免繁琐，往往仅就一种图形进行证明，但其证明不失一般性，对其他一种情况也将成立。

9.射影对应关系

不难想象，两个点列，除了透视对应外，还可以有更一般的对应关系。确实如此。我们来看个例子，考察图9-1。

9-1点列A'C'B'和A”C''B”互不透视但互为射影

线束S1与S2以ACB为共同的透视轴，对称地位于轴的左右二侧，根据上节线束与线束互为透视的定义以及后面的补充说明，S1与S2互为透视。现用两条直线从两个线束分别截取两个点列A'C'B'和A”C''B”，则由上节图8-3可知，它们均与ACB透视。但因C'C''与A'A''的交点T2，C'C''与B'B''交于为T1，点列A'C'B'和A”C''B”对应点的连线A'A'',B'B'',C'C''没有共同交点作为透视中心，故点列A'C'B'和A”C''B”不透视对应。

两个点列u1与u2，无论是本身直接透视对应，还是经过一系列透视对应，使u1与u2对应，都称相互射影对应。

射影对应的点列，又称处种等价的定义。在这里我们先对这种对应关系作些说明：

*射影对应关系是一种1-1对应关系。

*射影关系具有传递性。即如果u1射影对应于u2，而u2射影对应于u3，则u1射影对应于u3。如下面图9-2中画出的四根粗线代表四个点列，它们从左到右相邻的依次透视对应（因而也射影对应），不相邻的则都不透视对应，但全部点列都称为相互射影对应。

图9-2经多次透视对应仍为射影对应

9-3平行射影（投影）始终保持平行

*射影关系除了定义在两个点列之间外，也定义在任意两个基本形之间。包括点列与线束、线束与线束等。如图9-2中4个线束与4个点列之间全部射影对应。

*如果线束S1为平行（射影中心在无穷远点），则线束到点列的射影就像光线投射到半透明镜面，无论经多少次，其反射或透射的线束都相互平行。当然，射影线束的路径与光线反射折射路径不同，没有入射角与反射角相等的限制，如图9-3所示。

10.无穷到1或1到无穷的对应

我们前面已讲到，直线点与平面点能建立1-1对应。但这种对应没有连续性。我们如果要求对应有连续性（见上一节），那就情况两样了。现考察不在同一平面的二条空间直线a，b，在直线a上取m点，在直线b上取n点，则连接m点和n点的直线数目显然共有mn条。如图10-1所示。

如果我们把一条直线的所有点象征地记作∞，那么，一条线上的每一点都有∞条直线与另一条直线相连，故连接两条直线上点的直线集是比直线点集有高一阶的无穷，是二阶无穷。

一个点连到另一条直线的∞个点的对应称1到∞的对应，反过来的就叫∞到１的对应。

10-1两点与三点的连线有六条11-1点P与a,b点连线l对应

11.平面点的无穷阶数

现来证明（参看上页图11-1），平面π上的点P可以和两条不在同一平面的空间直线a,b的点的连线l建立1-1对应。

【证明】首先，直线系中的每条直线l都能与平面的一个点相交，此点P就是对应于直线l的平面点；反之，平面π的每个点P也唯一地确定一根直线l与两条已知直线相交，这就是由P和a及P和b所决定的两个平面的交线l。由此可知，平面点集与不在同一平面的二条线相交的直线全体有相同阶，也就是说，是二阶的。现在我们把已有的这些结果表达如下：

12.一阶与二阶无穷集

如果把直线上的点的全体称为一阶无穷集，则平面上一个线束中的所有射线也是个一阶无穷集，空间中一个轴束中的所有平面也是一阶无穷集。而与两条不在同一平面的直线相交的所有直线是一个二阶无穷集，一个平面上的所有点也是二阶无穷集。

13.通过空间一点的所有直线

如果我们将平面上的每个点与不在此平面上的一个固定点相连，那么我们就为平面点和通过空间点的直线建立了1-1对应。因此，通过空间一点的所有直线是二阶无穷集。

图14-1过空间一点的平面与直线1-1对应

14.通过空间一点的所有平面

如果我们为通过空间某点P的每条直线li作一垂直于此直角并仍通过P点的平面πi，则我们就为通过空间一点的直线与通过空间一点的平面建立了1-1对应，由此可知，通过空间一点的平面全体也是二阶无穷集。见图14-1。

15.平面上所有的直线

设π是一个平面，则π上的直线全体为二阶无穷集。

【证明】设P是空间中不在π上的一个点，因通过一点P的所有平面前面已证为二阶无穷，所以我们只要证明π上的直线可以和通过点P的平面建立1-1对应就行了。

图15-1平面直线a与为二阶无穷的证明

对于通过点P的任一平面π，我们求出π与π的交线a，此交线存在唯一，它就是π上与平面π对应的直线。

由于空间的一个点和一条线可以唯一地确定一个平面，所以上面这种对应是1-1的，即对于π上的任一直线a，也必有一个且仅有一个通过点P又通过直线a的平面π和它对应。

这样，我们证明了平面π上的直线可与通过点P的平面建立1-1对应。故平面上直线全体也为二阶无穷集。

又因§12中已证明平面上所有的点也是二阶无穷集，故根据1-1对应的传递性，平面上所有点，与平面上所有直线，也可以建立1-1对应。当然，我们也可以利用别的办法来直接证明平面π上的点可与平面π上的直线建立

1-1对应。例如，取不在平面π上的一个固定点P，对于平面π上任意一点Q，我们连接Q与P，通过P作一平面π与直线QP垂直，此平面与π交于直线a，则此直线a就可用来与点Q建立1-1对应。我们在第六章中还将给出另一种非常重要方法来实现平面点与平面直线间的1-1对应，即极点和极线之间的1-1对应。

16.平面系和点系

我们可以把空间中的一个平面看作组成它的所有点的系统或所有直

线的系统，叫平面系（Plane system），平面系为二阶基本形。同样，一个空间点当把它看作通过此点的所有直线组成的系统或所有平面组成的系统，叫点系（point system）。点系同样也是一种二阶的基本形。注意不要把点系与空间点集混淆。

17.空间中的所有平面

我们现在取空间中三条直线，它们两两均不在同一平面。例如，我们可取立方体上下、左右、前后六个面的12条公共边中相互不邻接的三条，如图17-1粗线所示，作为我们的直线。再在第一条直线上选l点，在第二条直线上选m点，在第三条直线上选n点，则通过每条直线一个点的平面总数就是l、m、n的乘积，即lmn条。因此，如果我们把一条直线的所有点象征地记作∞，那么，通过每个直线一点的平面总数应该就是∞３，故我们称这些平面总数为三阶无穷。但显然，空间任意平面都已包含在以上集合中，由此可得：

由空间所有平面组成的系统是三阶无穷集。

18.空间中的所有点

现考虑§17的两两不在同一平面三条直线中，我们通过三条直线每一条的每个点作一垂直平面，这样对于三条直线的每一组点可以得到三个平面，而这三个平面又进一步确定了空间唯一的点。而且反过来，对于空间每一个点，我们可以通过它得到唯一的一组三个平面垂直于三条直线，因此，空间点可以和通过三条直线各一点的平面建立1-1对应，而后者是三阶的无穷集，由此证明，空间点集是三阶无穷集。

19.空间系

我们把三维空间看作组成它的所有点或所有平面的系统，就叫空间系。因此，空间系是一个具有三阶无穷的基本形。

20.空间中的所有直线

如果我们把一个平面上每一个点连接到另一平面上每一个点，那么，这样的连线的总数应是∞2乘∞2条，即∞4条。而这些连线全体就是空间中所有的直线。所以，空间所有直线为四阶无穷，空间直线是一个四阶基本形。

21.点与数之间的对应

在解析几何中，点线面等几何元素都与数建立1-1对应。为了与不同类型的几何元素建立1-1对应，需要用不同数目、不同取值范围、不同类型（变量，常量，符号常量）的数。

对于无穷直线上变化的点，需要利用取值范围为?∞到+∞的一个变量x与它对应。平面上的点则需要一对这样的变量（x,y）与之对应，空间点需要三个这样的变量（x,y,z）来对应。

取值范围为?∞到+∞的一个常数，如3.1416，用来确定直线上一个固定点的位置，两个常数用来定义平面上一个点的位置，三个常数用来确定空间一个点的位置，等。

平面上的直线或曲线（如圆，椭圆等）均可看成一个平面点P(x,y)

的运动轨迹，需要用包含x,y两个变量的方程来对应。类似地，空间中的直线、平面或曲面（如球面）均可看成一个空间点P(x,y,z)的轨迹，需要３个变量的方程来对应，等。

x=a包含符号a，要代入-∞到+∞间的常数才是确定方程，故直线方

程，因而也是直线点，有无穷多个。

类似地，平面直线方程，如y=ax+b，含有a,b两个代表常数的符号，它们的取值范围都是?∞到+∞。故平面直线方程的数目或平面直线的数目，都有无穷多，且无穷的阶数为二。

同样，空间平面方程z=ax+by+c含有a,b,c三个符号常量（或称“系数”），它们每一个取值范围都为-∞到+∞。由此可知，空间平面有无穷多条，且无穷的阶数为三。

同样，平面上圆的方程(x-a)2+(y-b)2=c2也含有a,b,c三个符号常量，其中每一个取值范围都为-∞到+∞，由此可知平面圆全体也是一三阶无穷。

同理，因空间球面方程(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=d2含有a,b,c,d四个符号常量，所以空间球面为四阶无穷。

注意，无论直线与曲线、平面与曲面，都可用不同类型方程表示，有时出现的符号常量并不独立，就不能用来确定无穷阶数。如平面直线方程常写成含有三个符号常量的通式：

ax+by=c，（其中a,b不同时为0），

这里a,b,c三系数不独立。当a不为0时，方程可化为x=cy+d；当b不为0时，方程可化为y=ax+b形式。这样都减少为两个独立的符号常量。总之，只有方程的符号常量最少时，它们的数目才能代表方程的无穷阶数。根据这一点，二次曲线方程：

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,

含有６个符号常量，但其中二次项系数a,b,c不能全为0，故总可以化成５个符号常量的式子，所以二次曲线为五阶无穷。

另外，当方程有约束，阶数也随之减少。如通过一点的二次曲线为四阶无穷，通过两点的二次曲线为三阶无穷，如果通过五点，则曲线数目只有0

阶无穷，即只有唯一的一条曲线了。

我们或许期望在平面圆与空间平面或与空间点之间建立1-1对应，因为它们都是三阶无穷；或者在空间球面和空间直线之间建立1-1对应，因为它们都是４阶无穷。这确实都是行的，并可利用这种对应关系从一个定理来导出另一个定理，例如，利用有关直线的各种定理推导有关球面的定理，或者反之。这就是1-1对应的价值，它使数学家们有可能得到更多重大发现。但不应忘记，这里的对应必须是连续的。对于不受连续性约束的对应，如§4中介绍的直线点与平面点的对应，就完全没有这种可能了。实际上，在后一种对应方式下，无穷的阶数和维数概念均已消失，所有点集都能1-1对应，无论它们有几阶或几维。

22.无穷远元素

为了解释清楚研究射影几何中经常使用的一个术语，我们有必要向读者最后补充几句。当我们为直线设立无穷远点时，目的只是为弥补直线上所有点不能与通过一点的所有直线建立1-1对应这一缺陷。但这是一虚构点，实际

并不存在。我们说它是一个点，而不是一些点，因为在Euclid几何中，通过一点只能作一条线平行于一特定线。同样，我们说平面的所有无穷远点组成无穷远直线，是因为直线是我们能想象的、对平面上任何直线都有一个交点的最简单形式。同样，我们说空间的所有无穷远点组成一个无穷远平面，是因为平面是我们能想象的、对空间中任何平面都有一条交线的最简单形式。我们不能由此推断这些虚构的概念在物理上实际存在，也不能以为不可能用别的方法来描述这些无限远概念。事实上，在数学的另一个分支《复变函数论》中就采用与此完全不同的解释，虚构了另一种无穷远点概念。它把平面上的每一个点Z 与一球面（称黎曼球面）上的点P(Z)建立1-1对应，如图22-1所示。图中的球面被平面截在赤道大圆上，它的一半在平面上（有较深着色部分），一半在平面下（着色很浅部分）。对应的方法就是从球的最高点（即球顶或北极）引一直线到平面点Z，此直线与球面的交点P(Z)就是与Z对应的球面点。因此，如果点Z在此赤道大圆内部，如B点，其对应点P(B)位于下半球面。如果点Z 在此大园外，如A点，其对应点P(A)位于上半球面。如果是无穷远点，则不管什么方向，直线均与球面在球顶相切，故平面所有的无穷远点均对应到球顶一点，不再有无穷远直线的概念，这和射影几何中的无穷远点概念完全不同。

图22-1平面点Z与球面点P(Z)建立1-1对应

https://www.doczj.com/doc/cf4736721.html,/wiki/Riemann_sphere

第一章习题

1．空间点集是三阶无穷，空间点对有六阶无穷，为什么由两个空间点组成的空间直线不是六阶无穷，而是四阶无穷？

２．空间直线是四阶无穷，而空间每一条直线与一个固定点决定了一个平面，为什么空间平面不像空间直线一样是四阶无穷，而是三阶无穷？

３．试证空间中通过一点的圆为四阶无穷（提示：将圆的轴（axis）与空间直线1-1对应）。

４．试找出与空间一直线相交的所有直线的无穷阶数，与二直线相交的所有直线的无穷阶数，与三直线相交的所有直线的无穷阶数；与四直线相交的所有直线的无穷阶数。

５．试找出空间中，分别通过一个、两个、三个、四个固定点的所有球面的无穷阶数。

６．试找出球面上所有圆的无穷阶数；找出球面上分别通过一固定点、两固定点、三固定点的圆的无穷阶数；找出与一已知直线相切的圆的无穷阶数。７．试找出与一球面向切的所有直线的无穷阶数；找出与一球面向切的所有平面的无穷阶数；找出与一球面向切并通过一固定点的所有直线和平面的无穷阶数。

８．试将本章讲过的所有一、二、三、四阶无穷列出分类清单。

９．自然数集是否能和直线点集建立1-1对应？

第2章1-1对应基本形之间的关系

23.七种基本形

上章我们开始考察点列、线束，轴束三种一阶基本形，后来则又增加了面系、点系、空间系和空间直线系四种二阶或二阶以上的基本形，一共已有七种基本形。基本形都是由点、线、面等几何元素组成的最简的几何结构。本章我们将以这些基本结构为素材来构建一种更为一般的几何理论，这种理论将把中学的平面几何作为其特例。这里关心的，不再是角度大小、面积多少、线段长短等度量性质，而是对上述七个基本形进行组合与比较，并利用它们来生成新的几何形，如曲线和曲面。在构造过程中，除了某些理论的特殊应用之外，我们所做的工作仅仅是去寻找两点之间的连线、寻找两条直线的交点、寻找两个平面的交线，等，一般地说，就是寻找两个基本形的共同元素。

24.射影性质

本章我们的主要兴趣是寻找存在于同一种基本形元素之间的关系，当这种基本形1-1对应到其他基本形时，这些关系保持不变。不要以为一个集合的元素间的关系，一定也存在于和它1-1对应的集合元素间。如果这样想，那是危险的，这种想法会导致所谓的“类比证明”，它在那些专门利用比喻来进行推理的理论家中广泛流行。作为一门数学，我们绝对不能应用“类比证明”。当然，要做出准确判断并不容易。例如，已知点列u上三点A、B、C中“B是AC中点”，就不能推出与u透视对应的点列u'的对应三点A'、B'、C'中“B'是A'C'中点”。但另一方面，A、B、C三点“B在AC两点之间”的关系，却能保存到与u透视相关的点列u'的对应三点A'、B'、C'之间，即“B'在A'C'两点间”也为真。任何基本形元素之间的关系，如对应到与其射影相关的基本形元素去仍保持不变，叫射影关系（projective relation），凡涉及角度大小、线段长短等度量性质的关系都

计算几何基础知识整理

计算几何基础知识整理一、序言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。二、本基础目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容： 1. 矢量的概念 2. 矢量加减法 3. 矢量叉积 4. 折线段的拐向判断 5. 判断点是否在线段上 6. 判断两线段是否相交 7. 判断线段和直线是否相交 8. 判断矩形是否包含点 9. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中 10. 判断矩形是否在矩形中 11. 判断圆是否在矩形中 12. 判断点是否在多边形中 13. 判断线段是否在多边形内 14. 判断折线是否在多边形内 15. 判断多边形是否在多边形内 16. 判断矩形是否在多边形内 17. 判断圆是否在多边形内 18. 判断点是否在圆内 19. 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 20. 判断圆是否在圆内 21. 计算点到线段的最近点 22. 计算点到折线、矩形、多边形的最近点 23. 计算点到圆的最近距离及交点坐标 24. 计算两条共线的线段的交点 25. 计算线段或直线与线段的交点 26. 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点 27. 求线段或直线与圆的交点 28. 凸包的概念 29. 凸包的求法三、算法介绍 1.矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed

初中数学几何基础知识整理

初中数学几何基础知识整理轴对称 31. 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线 32. 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的中垂线 33. 定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 34. 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 35. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 36. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 37. 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 38. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 39. 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 40. 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 41. 三个角都相等的三角形是等边三角形 42. 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形 43. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

44. 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 45. 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（新增） 46. 勾股定理直角三角形两直角边 a、b的平方和、等于斜边 c的平方，即a2+b2=c2 47. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形四边形 48. 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 49. 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 50. 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 51. 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 52. 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 53. 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 54. 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形55. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 56. 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 57. 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 58. 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 59. 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 60. 矩形判定定理 3 有一个角是直角的平行四边形是矩形 61. 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 62. 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

初中几何常见的基本图形及证明

初中几何基本图形及证明说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线一：与角平分线有关的基本图形基本图形1 结论：如图，若P点是B和C 的平分线的交点，则P和A的数量关系 1为： P 90 A 2 基本图形2 结论：如图，若P点是FBC的平分线和ECB 的平分线的交点，则P与 A 的数量关系为：P 1 90 A 2 基本图形3 如图，若P是ABC 的角平分线和ACB的外角平分线的交点，则P与A 的数量关系为：P 1 A 2

二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形基本图形 4 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，D 点与C 点分别在 AB 两侧，且 AD BD ，基本图形 5 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，点 D 与C 在 AB 同侧，且 AD BD ，形三：线段和最短与轴对称基本图形 6 两定点一动点如图，A ，B 为直线l 同侧两定点， P 为直线l 上一动点， A 和A 1关于l 成轴对形成共斜边的两个直角三角形。结论： AD BD 2CD 延长 DA 使 EA BD ) AD BD 2CD B （截取 AE BD ） E B 成共斜边的两个直角三角形。结论：

称，连接A1B交直线l于P点。结论：PA PB最短 A1 基本图形7 一定点两动点如图P为AOB内一点，点P1与P关于OB成轴对称，P2与P关于OA成轴对称，连接P1P2交OB于E点，交OA于F 点。结论：△ PEF 的周长最短 P2 基本图形8 两定点两动点如图，A ，B为直角坐标系中的两定点，A1与A关于y轴对称，B1与B关于x 轴对称，连接A1B1分别交x轴、y轴于C、D两点，连A，B，C，D 结论：

初中几何基础练习作业

1 A D C A B C D 第14题图初中几何基础练习作业一、选择题： 1、下列图形不是轴对称图形的是（）（A ）平行四边形（B ）矩形（C ）菱形（D ）等腰梯形 2、若O 是四边形ABCD 对角线的交点且OA=OB=OC=OD ，则四边形ABCD 是（）（A ）平行四边形（B ）矩形（C ）正方形（D ）菱形 3、□ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则对角线AC 的长为（）（A ）6cm （B ）15cm （C ）5cm （D ）16cm 4、已知菱形的两条对角线长分别是4cm 和8cm ，则与此菱形同面积的正方形的边长是（）（A ）8cm （B ）24cm （C ）22cm （D ）4cm 5 如图3，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的（）． A ． 15 B ．1 4 C ． 13 D ．3 10 6下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 7平行四边形中一边长为10cm ，那么两条对角线的长度可以是（）A ．4cm 和6cm B ．6cm 和8cm C ．8cm 和12cm D ．20cm 和30cm 8 、延长等腰梯形的两腰相交，所构成的三角形的中位线恰好是该梯形的上底，则该三角形的中位线与原梯形的中位线的比是（）（A ）1︰2（B ）1︰3（C ）2︰1（D ）2︰3 9 如图,在直角坐标系中,将长方形OABC 沿OB 对折,使点A 落在A 1处,已知B=1,则点A 1的坐标是（） A.（ 322） B.（,32） C.（3, 22） D.（1,22 10，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝12，BD ＝9，则该梯形的面积是（） A 30 B 15 C 7.5 D 5 11 如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD 的空地，其各边的中点为E 、F 、G 、H ，测得对角线AC ＝10米，现想用篱笆围成四边形EFGH 场地，则需篱笆总长度是（）A 40米 B 30米 C 20米 D 10米 12、下列命题中正确的是（）（A ）梯形的两条对角线相等（B ）等腰梯形可能是直角梯形（C ）直角梯形中可以有两边相等（D ）梯形的两个底角相等二、填空题： 1 如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠C ＝700，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝度 2、如图，在直角梯形中，底AD=6 cm ，BC=11 cm ，腰CD=1 2 cm ，则这个直角梯形的周长为______cm 。 3、若菱形的周长为16 cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为______cm 2。 4 （1）顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_______________ (2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是__________ (3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______ 5 ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则ABCD 的周长为． 6 等腰梯形一个底角是60o，它的上、下底分别是8和18，则这梯形的腰长是，高是，面积是． 7 等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为面积为． 8 如图，在 ABCD 中，点P 在BC 上，PQ ∥BD 交CD 与Q ，则图中和△ABP 面积相等的三角形有个，它们分别是: 9O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，∠AEO ． 10过边长为1的正方形的中心O 引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 长的取值范围是_______．三．解答题： 11、平行四边形的周长为20cm ，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=2 cm ，AF=3 cm ，求平行四边形ABCD 的面积。 12、如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，AE=ED ，求∠EBF 的度数。 13.图，已知在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，底AD=6，斜腰CD 的垂直平分线EF 交AD 于G ，交BA 的延长线于F ，连结CG ，且∠D=45o ，（1）试说明ABCG 为矩形；（2）求BF 的长度。 14. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8。求：梯形两腰AB 、CD 的长。 Q P D C B A

GIS算法的计算几何基础

GIS算法的计算几何基础矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。矢量加减法：设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。显然有性质 P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。矢量叉积：计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P × Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。显然有性质P × Q = - ( Q × P ) 和P × ( - Q ) = - ( P × Q )。两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：若P × Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。若P × Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。若P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。折线段的拐向判断：折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。对于有公共端点的线段p0p1和p1p2，通过计算(p2 - p0) × (p1 - p0)的符号便可以确定折线段的拐向：若(p2 - p0) × (p1 - p0) > 0,则p0p1在p1点拐向右侧后得到p1p2。若(p2 - p0) × (p1 - p0) < 0,则p0p1在p1点拐向左侧后得到p1p2。

初中生怎样学好简单的几何基础知识

初中生怎样学好简单的几何基础知识摘要：初中生要学好几何，最关键和首要的就是要学好简单的几何基础知识，只有牢固地掌握好简单的几何基础知识，才能为进一步学习几何知识打下坚实的基础，只要我们掌握了学习几何的方法，勤思多练，学好几何不是没有可能的。关键词：初中生；几何；基础知识；概念；数学思想在初中数学的学习中，几何占有重要的地位，但它一直是大多数学生学习数学的障碍，那么初中生如何学好几何呢？它有捷径吗？初中生要学好几何，最关键和首要的就是要学好简单的几何基础知识，只有牢固地掌握好简单的几何基础知识，才能为进一步学习几何知识打下坚实的基础，那么怎样才能学好简单的几何基础知识呢？首先，我们应注意以下两个方面的问题：一是要清楚几何要研究什么样的问题；二是要知道几何要学习什么内容。几何要研究的问题就是：物体的形状、大小以及位置关系。因此，我们在学习几何知识的时候，要学习以下四个方面的内容：①图形的识别，②图形的画法，③图形的性质，④图形的计算和推理。实际上，以上几个方面都是依据推理来完成的，所以我们学习几何时，要根据已知条件进行一步步的推理，使我们的思维更加有序，逻辑性更强。因此，学习几何会使我们变得更加聪明！那么我们一开始学习几何时，要怎样做才能学好简单的几何基础知识呢？ 1.要学好几何中的概念

弄清概念的几个方面：①定义，②图形，③表达方式。注意概念间的联系和区别。如我们在七年级学习几何时，又进一步系统学习线段、射线、直线时，就要从这三个方面进行比较学习。同时，在理解概念的基础上要记住我们所学的公理、定理、图形的性质等。 2.要学会几何语言的运用善于用几何语言表示图形的特征。几何语言常包括：①一般的文字语言，②图形语言，③几何符号语言。在几何中，这三种语言是互相并存，互相渗透、互相制约的，因此，我们要学会运用这三种语言，我们来看下面的例子。例1：（1）文字语言：射线om是∠aob的平分线。根据文字语言，它的图形语言就是：根据文字语言和图形语言，用符号语言可表示为： ∵射线om是∠aob的平分线 ∴∠aom = ∠mob 或∠aom = ∠mob =12∠aob 或∠aob =2∠aom =2∠bom （2）文字语言：直线mn是线段ab的重直平分线。根据文字语言，可以用图形语言直观简洁地表示，再结合文字语言和图形语言，通过符号语言认识其本质，用符号语言可表示为：mn⊥ab于o，且oa = ob，我们要学好几何，就必须要学好用几何语言表达。 3.要会根据几何语言画出图形

几何基础知识

几何基础知识教学目标：1、掌握线段、角、基本的几何图形；了解平行线、三角形、平面直角坐标系的基本知识。 2、精讲多练，讲练结合难点：相交线、平行线、三角形重点：平行线及三角形的基本概念 ★知识点讲解要点一：图形认识初步。 ★第一步：要点一知识规律或思维方法、解题方法梳理知晓线段和角的基本知识，会识别图形。 ★第二步：要点一经典例题讲解 1、如图，已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠COD=90°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，求∠EOF 的度数. 2、如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，90COE ∠=?，OF 平分.AOE ∠ （1）写出AOC ∠与BOD ∠的大小关系：__________，（2）判断的依据是________________；（3）若35COF ∠=?，求BOD ∠的度数. 3、如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是（答案．125 ）． 4 D C B O E F A O B D F C E 35°

5 4D 3E 21 C B A ★第三步：要点一课堂巩固练习 1、如图，已知1∠=2∠，311726'∠=?，求4∠的度数. 要点二：相交线与平行线。 ★第一步：要点二知识规律或思维方法、解题方法梳理三线八角及平行线的判定与性质，会灵活运用。 ★第二步：要点二经典例题讲解 1. 如图，已知AB ∥CD ，BE ∥CF 那么∠ABE=∠DCF 吗？请说明理由。 2. B. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上， ∠1＝300，∠2＝500，则∠3等于 20 度． 3. 如右图，下列不能判定AB ∥CD 的条件有( )个. A 、?=∠+∠180BCD B B 、21∠=∠ C 、43∠ =∠； D 、 5∠=∠B . 4. B. 如图，已知AB ∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，∠BEF 与∠EFD 的平分线相交于点P ，求证：EP ⊥FP 。 F E D C B A l 1 5 2 1 3 l 2 l 3 l 4

一维优化方法

一维优化方法最优化设计数学模型中的基本概念： 1、设计变量在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数(或叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中则是需要优选的参数，它们的数值在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量，而每个设计变量用xi(i=1,2, ,n)表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行阵的转置，即写成 ??x1? x=?x? 2?=[x1,x2, ,xT ?? ?n] ?x? n? 我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量，设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间，用Rn表示。该空间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设计向量或者说一个设计点x。 2、目标函数优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中，人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指标方面最好。在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达，称该函数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准，也可称为准则函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为

初中几何基本图形归纳(基本图形+常考图形)

初中几何常见基本图形 AOC=BOD AOD=BOC OD OE ①BAD= C CAD= B ②AD2=BD·CD ③AB2=BD·BC ④AC2=CD·BC P=A+B+C A+B=C+D B=D P=90+A/2 P=A/2

P=90-A/2 ①AC平分BAD ②AB=CB ③BC∥AD AP平分BAC PB=PC ①AB=AC ②BD=CD ③AD BC

几何基本图形 1、如图，正三角形ABC 中，AE=CD ，AD 、BE 交于F ： ①△AEB ≌△ADC ②∠BFD=600 ③△AEF ∽△ABE 2、如图，正三角形ABC 中，F 是△ABC 中心，正三角形边长为a ： ①AF ：DF ：AD=2：1：3 ②内切圆半径DF= a 63 ③外接圆半径AF=a 3 3 3、如图Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，AC=a ，D 是AC 上的点： ①内切圆半径为 a 2 1 3 ②外接圆半径为a 4、如图Rt △ABC 中，∠C=900，AB=AC=a ，D 是AC 上的点：

F E D B A F E D C B A D C B A D C A 45 A B C 为 a 2 5 ； ②当BD 是角平分线时，BD 长为a 224-。 ①当D 是AC 中点时，BD 长 5、如图，如图Rt △ABC 中，∠BAC=900，AB=AC=a ，E 、D 是BC 、AC 上的点，且∠ AED=450：①△ABE ∽ECD ②设BE=x ，则CD=a x ax 2 2-。 6、如图AB=AC ，∠A=360，则：BC= 2 1 5-AB 。 7、如图AB=AC ，D 是BC 上一点，AE=AD ，则： 2 1 ∠BAD=∠EDC 。 8、如图，D 、E 是△ABC 边BC 上两点，AC=CD ，BE=BA ，则当：①∠BAC=1000时，∠DAE=400；②当∠BAC=x 0时，∠DAE=2 180x -0 。 9、如图，△BCA 中，D 是三角形内一点， ①当点D 是外心时，∠BDC= 21 ∠A ；②当点D 是内心时，∠BDC=2 180A ∠+ 10、如图，∠ACB=900，DE 是AB 中垂线，则①AE=BE ，若AC=3，BC=4，设AE=x ，有()2 22 34x x =+-； ②△BED ∽△BAC 。 11、如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，AE 交BC 延长线于点F ，H 是FG 中点：①△ADE ≌△CDE ； ②△EGC ∽ECF ； ③EC ⊥CH ； ④EC 是以BG 为直径的圆的切线。 12、如图，ABCD 、CGFE 是正方形：①△DCG ≌CBCE ； ②BE ⊥DG 。 C B A 300 A B C E A B C E D A B C D A B C D E A B C D E F G H A B C D E F G

专题08平面几何基础(第05期)2017年中考数学试题(附解析)

专题08 平面几何基础（第05期） -2017年中考数学试题一、选择题 1．（2017年贵州省毕节地区第6题）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED=（） A．55°B．125°C．135°D．140° 【答案】B. 考点：平行线的性质 2．（2017年湖北省十堰市第3题）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（） A．40°B．50°C．60°D．70° 【答案】B. 【解析】试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，

∴∠B=∠CDE=40°，又∵FG⊥BC， ∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，故选：B．考点：平行线的性质 3．（2017年湖北省十堰市第6题）下列命题错误的是（） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】C. 考点：命题与定理 4. （2017年湖北省荆州市第3题）一把直尺和一块三角板ABC(含30°、60°角)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°,那么∠BAF的大小为（） A.40° B.45° C.50° D.20° 【答案】D 【解析】试题分析：先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF =60°﹣50°=10°，

考点：平行线的性质 5. （2017年湖北省宜昌市第3题）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“爱”字一面的相对面上的字是（） A．美B．丽C．宜D．昌【答案】C 考点：正方体相对两个面上的文字 6. （2017年湖北省宜昌市第4题）谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转.打一数学学习用具，谜底为（） A．量角器B．直尺 C. 三角板D．圆规【答案】D 【解析】试题分析：利用圆规的特点：圆规有两只脚，一铁脚固定，另一脚旋转，可判断. 故选：D．考点：数学常识 7. （2017年湖北省宜昌市第10题）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（） A．①②B．①③ C. ②④D．③④

初中几何基础知识练

几何基础知识训练和提高一选择题 1．科学家用分数 722和113 355代替π的近似值，且这两个数分别称为和。（） (A). 刘徽密率约率 (B). 祖冲之密率约率 (C). 祖冲之约率密率 (D). 鲁道夫约率密率 2．早上7时30分在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是（）． (A) 30°； (B) 15°； (C) 45°； (D)60°. 3．在长方体ABCD –EFGH 中，与面ABFE 垂直的棱有（）．（A ）3条；（B ）4条；（C ）5条；（D ）6条． 4.下列图形中，是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是（）（A ）等腰梯形；（B ）等边三角形；（C ）平行四边形；（D ）直角梯形． 5.在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”。由此说明：（）（Ａ）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；（Ｂ）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；（Ｃ）圆的直径互相平分；（Ｄ）垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧． 6．下列哪种方法不能检验直线与平面是否垂直（）． (A ）铅垂线； (B)三角尺； (C)长方形纸片； (D)合页型折纸 7．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（A ）36°；（B ）54°；（C ）72°；（D ） 108°． 8．如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径长缩小为原来的 1 2 ，那么所得扇形的面积与原来扇形的面积的比值是（）（A ）1 （B ）2 （C ） 1 2 （D ）4 9．下列命题中的真命题是（）（A ）关于中心对称的两个图形全等；（B ）全等的两个图形是中心对称图形（C ）中心对称图形都是轴对称图形；（D ）轴对称图形都是中心对称图形． 10．直角坐标平面内，有标记为甲、乙、丙、丁的四个三角形，如图6所示，下列说法错误的是（）（A ）丙和乙关于原点对称；（B ）甲通过翻折可以与丙重合；（C ）乙向下平移7个单位可以与丁重合；（D ）丁和丙关于y 轴对称．二填空题 1．在长方体ABCD-EFGH 中，与棱EF 垂直的棱是 .（写出符合题意的所有棱） 2．若∠α的余角是56°36′，则∠α的补角是． 3．点A 在点B 的北偏东80°方向上，点C 在射线BA 与正北方向夹角的角平分线上，那么点C 位于点B________处． 4．如图，点A 、O 、C 在一直线上，OE 是BOC ∠的平分线，?=∠90EOF ，1∠比2∠大75°，则2∠求的度数是． COF ∠的度数是． 2 1 A O C E D F B 第10题图第4题图

初中几何基础证明题初一

初一几何证明题 1.如图，AD ∥BC ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD 。 2.如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB 。 3. 已知∠1=∠2，∠1=∠3，求证：CD ∥OB 。 4. 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO ，求证：CD ∥OP 。 B D E / F C A 2 G 3 B D C A B D / P C A O 2 3B D /P C O 2

5. 已知∠1=∠2，∠2=∠3，求证：CD∥EB。 6. 如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。 7. 已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：∠CFG=∠B。 8.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a∥b，c∥d。 B D E / C O 2 3 B D / C A 2 3 4 B D E F C A G 21 3 a c d b

9.如图，AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA ，求证：EF 平分∠BED 。 10、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350 ，求证：l 1∥l 2，l 3∥l 5，l 2∥l 4。 11、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900 ，求证：AB ∥CD 。 12、如图，∠A=2∠B ，∠D=2∠C ，求证：AB ∥CD 。 A B C D F E 2 1 l l l 3 41 23 45l 21A B C D 34 E B C D O A

13、如图，EF ∥GH ，AB 、AD 、CB 、CD 是∠EAC 、∠FAC 、∠GCA 、∠HCA 的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D 。 14、已知，如图，B 、E 、C 在同一直线上，∠A=∠DEC ，∠D=∠BEA ，∠A+∠D=900 ，求证：AE ⊥DE ，AB ∥CD 。 15、如图，已知，BE 平分∠ABC ，∠CBF=∠CFB=650，∠EDF=500 ，，求证：BC ∥AE 。 16、已知，∠D=900 ，∠1=∠2，EF ⊥CD ，求证：∠3=∠B 。 17、如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠B=∠3，AC ∥DE ，求证：AD ∥BC 。 B C D F E A G H B C D E A B C D E A 2 1 B C D F 3E A 2 1D 3 A

初中几何知识点总结非常全

证明（一） 1、本套教材选用如下命题作为公理：（1）、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（3）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（4）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（5）、三边对应相等的两个三角形全等。（6）、全等三角形的对应边相等、对应角相等。此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。 2、平行线的判定定理公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。 3、平行线的性质定理公理两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180。 5、三角形内角和定理的推论三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 2 b