高中数学导数典型例题和练习题

高中数学导数

经典例题剖析

考点一：求导公式。

例1. ()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是 。

解析：2'2xxf，所以3211'f

答案：3

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff 。

解析：因为21k，所以211'f，由切线过点(1(1))Mf，，可得点M的纵坐标为25，所以251f，所以31'1ff

答案：3

例3.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是 。

解析：443'2xxy，点(13)，处切线的斜率为5443k，所以设切线方程为bxy5，将点(13)，带入切线方程可得2b，所以，过曲线上点(13)，处的切线方程为：025yx

答案：025yx

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：xxxy2323，直线kxyl:，且直线l与曲线C相切于点00,yx00x，求直线l的方程及切点坐标。

解析：直线过原点，则0000xxyk。由点00,yx在曲线C上，则02030023xxxy， 2302000xxxy。又263'2xxy， 在00,yx处曲线C的切线斜率为263'0200xxxfk， 26323020020xxxx，整理得：03200xx，解得：230x或00x（舍），此时，830y，41k。所以，直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23。

答案：直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知1323xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围。

解析：函数xf的导数为163'2xaxxf。对于Rx都有0'xf时，xf为减函数。由Rxxax01632可得012360aa，解得3a。所以，当3a时，函数xf对Rx为减函数。

（1） 当3a时，98313133323xxxxxf。

由函数3xy在R上的单调性，可知当3a是，函数xf对Rx为减函数。

（2） 当3a时，函数xf在R上存在增区间。所以，当3a时，函数xf在R上不是单调递减函数。

综合（1）（2）（3）可知3a。

答案：3a

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值。

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围。

解析：（1）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．，解得3a，4b。

（2）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx。

当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx。所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc。则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc。因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，

所以 298cc，解得 1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，。

答案：（1）3a，4b；（2）(1)(9)，，。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数xf的极值步骤：①求导数xf'；

②求0'xf的根；③将0'xf的根在数轴上标出，得出单调区间，由xf'在各区间上取值的正负可确定并求出函数xf的极值。

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，axxxf42。求导数xf'；（2）若01'f，求xf在区间2,2上的最大值和最小值。

解析：（1）axaxxxf4423， 423'2axxxf。

（2）04231'af，21a。14343'2xxxxxf

令0'xf，即0143xx，解得1x或34x， 则xf和xf'在区间2,2上随x的变化情况如下表：

x 2 1,2 1 34,1 34 2,34 2

xf' ＋ 0 —

0 ＋

xf 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0

291f，275034f。所以，xf在区间2,2上的最大值为275034f，最小值为291f。

答案：（1）423'2axxxf；（2）最大值为275034f，最小值为291f。

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数xf在区间ba,上的最值，要先求出函数xf在区间ba,上的极值，然后与af和bf进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数3()fxaxbxc(0)a为奇函数，其图象在点(1,(1))f处的切线与直线670xy垂直，导函数'()fx的最小值为12。（1）求a，b，c的值；

（2）求函数()fx的单调递增区间，并求函数()fx在[1,3]上的最大值和最小值。

解析： （1）∵()fx为奇函数，∴()()fxfx，即33axbxcaxbxc

∴0c，∵2'()3fxaxb的最小值为12，∴12b，又直线670xy的斜率为16，因此，'(1)36fab，∴2a，12b，0c．

（2）3()212fxxx。 2'()6126(2)(2)fxxxx，列表如下：

x (,2) 2 (2,2) 2 (2,)

'()fx  0  0 

()fx 增函数 极大 减函数 极小 增函数

所以函数()fx的单调增区间是(,2)和(2,)，∵(1)10f，(2)82f，(3)18f，∴()fx在[1,3]上的最大值是(3)18f，最小值是(2)82f。

答案：（1）2a，12b，0c；（2）最大值是(3)18f，最小值是(2)82f。

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。

导数强化训练

（一） 选择题

1. 已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2. 曲线1323xxy在点（1，－1）处的切线方程为 （ B ）

A．43xy B．23xy C．34xy D．54xy

3. 函数)1()1(2xxy在1x处的导数等于 （ D ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 已知函数)(,31)(xfxxf则处的导数为在的解析式可能为 （ A ）

A．)1(3)1()(2xxxf B．)1(2)(xxf

C．2)1(2)(xxf D．1)(xxf

5. 函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（ D ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

6. 函数32()31fxxx是减函数的区间为( D )

（Ａ）(2,)（Ｂ）(,2)（Ｃ）(,0)（Ｄ）(0,2)

7. 若函数cbxxxf2的图象的顶点在第四象限，则函数xf'的图象是（ A ）

8. 函数231()23fxxx在区间[0,6]上的最大值是（ A ） A．323 B．163 C．12 D．9

9. 函数xxy33的极大值为m，极小值为n，则nm为 （ A ）

A．0 B．1 C．2 D．4

10. 三次函数xaxxf3在,x内是增函数，则 （ A ）

A． 0a B．0a

C．1a D．31a

11. 在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ）

A．3 B．2 C．1 D．0

12. 函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（ A ）

A．1个 B．2个

C．3个 D． 4个

（二） 填空题

13. 曲线3xy在点1,1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为__________。

14. 已知曲线31433yx，则过点(2,4)P“改为在点(2,4)P”的切线方程是______________ x y

o

A x y

o

D x y

o

C x y

o

B

x

abxy)(fyO