【精准解析】云南省曲靖市第二中学2020届高三适应性考试英语试题

曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（五）数学命题：冯淑萍审题：余楼建本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间：120分钟；满分：150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合{}{}2R12,R A x x B x x A =∈-≤≤=∈∉∣∣.则A B = （）A.2,2⎤⎦B.2,2⎤⎦ C.2⎡-⎣ D.2⎡-⎣2．已知复数z 在复平面内对应的点为），（21-Z ，则=zz（）A．34i 55-+B．34i 55--C．34i 55+D．34i55-3．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，平均数和方差都不变B．设具有线性相关关系的两个变量y x ,的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强C．在一个2×2列联表中,由计算得2χ的值,则2χ的值越小,判断两个变量有关的把握越大D．若),1(~2σN X ,()2.02=>x P ，则()010.3P X <<=4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2=CD ，则该曲池的体积为（）A．9π2B．5πC．11π2D．10π5.将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω的最大值为（）A.32B.2C.3D.56．某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A．72种B．81种C．144种D．192种7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（）2B．3568．设3.03-=e a ，6.0e b =， 1.6c =，则（）A．ab c <<B．ba c <<C．ca b <<D．a c b <<二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列选项中正确的是（）A．若向量a ，b 为单位向量，27a b -= a 与向量b的夹角为60°B．设向量()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，若,a b共线，则2±=x C．若()2,1-=a ，()1,4=b ，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为82,1717⎛⎫-- ⎪⎝⎭D．若平面向量,a b满足22b a == ，则2a b - 的最大值是510．过点()10P -，的直线l 与圆220:412C x y y +--=交于A ，B 两点，线段MN 是圆C 的一条动弦，且7MN =）A．AB 的最小值为211B．△ABC 55C．△ABC 面积的最大值为8D．PN PM 625-11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A P DC.当且仅当点Q 落在1C 处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D.若162D Q =，那么点Q 的轨迹长度为2412．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的)1,1(,-∈y x ，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A．()f x 是偶函数B．()00f =C．当B A ,是锐角△ABC 的内角时，()()A fB f sin cos <D．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则=+++4321a a a a .14.已知AB 是圆锥底面圆的直径，圆锥的母线4PA AB ==，则此圆锥外接球的表面积为.15.已知π0,,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则函数()(1sin )(1cos )f x x x =++的最大值为.16.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MN MF的最大值为.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足：()*422n n n S a n N -=∈.（1）设1n n n b a a +=+，证明{}n b 是等比数列；（2）求n S 2.18．（12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,sin cos A b A a c -=-．（1）求B ；（2）若点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，且3AB =，2BD =，求BC 边的长度．19.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形，13AB BC ==，点D 为棱AC 上的动点，平面1B BD 与棱11AC 交于点E ．(1)求证1//BB DE ；(2)若平面ABC ⊥平面11AAC C ，160AAC ∠=︒，判断在线段AC 上是否存在点D 使得平面11ABB A 与平面1B BDE 所成的锐二面角为3π，并说明理由.20.（12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？21．（12分）在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆()4491:221=++y x C 内切，且与圆()411:222=+-y x C 外切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 的左、右两个顶点分别为1A ，2A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为曲线C 的左焦点，求证：FMN ∆的周长为定值．22.（12分）已知函数x e x f ax -=)(（,e a R ∈为自然对数的底数），1ln )(++=bx x x g .(1)若1=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(3)若不等式()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对()+∞∈∀,0x ，[)+∞∈∀,1a 恒成立，求实数b 的取值范围.曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（五）数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BADDBDCABCDABDACDBCD1.【答案】B【解析】因为{}{}2R12,R A x x B x x A =∈-≤≤=∈∉∣∣，所以{}{}2222-<>∈=>∈=x x R x x R x B 或，所以{}|2A B x x =<≤ .故选B2.【答案】A【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为(1,-2)，所以12z i =-，则12i z =+，所以()()()212i 12i 34i 34i.12i 12i 12i 555z z ++-+====-+--⨯+故选：A.3．【答案】D【详解】对于A,方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,但平均数变化，故A 错误，对于B,具有线性相关关系的两个变量x ,y 的相关系数为r ,则r 越接近于1,x 和y 之间的线性相关程度越强,故B 错误,对于C,在一个22⨯列联表中,由计算得2χ的值,则2χ的值越大,判断两个变量有关的把握越大,故C 错误,对于D ，()2~1,X N σ ,(01)(12)P X P X ∴<<=<<(1)(2)0.50.20.3P X P X =>->=-=.故D 正确.4.【答案】D【详解】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，ππ322R r ∴=⨯，即3R r =，22CD R r r ∴=-==，解得：1r =，3R =，∴该曲池的体积221119ππππ510π4444V R r AA ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5.【答案】B【解析】函数π()2sin(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，又因为()y g x =在ππ[,64-上为增函数，所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，解得：2ω≤，故ω的最大值为2.故选：B.6．【答案】D【详解】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为2525A A 240=，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为2424A A 48=，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.7.【答案】C 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限，由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=；设过点2F 且与l 平行的直线的倾斜角为α，则tan ba α=，cos a cα∴=，12cos aF F M c∴∠=；在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.8.【答案】A【详解】设()e 1xf x x =--.因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当x ∈R ，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+．所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e13e 33b a -==<<，所以b a <．综上可知，c b a <<．故选：A 二、多选题9.【答案】BCD【详解】A 选项，由()227a b-=，以及||||1a b == ，可得1447a b +-⋅=，则1=||||cos ,2a b a b a b ⋅<>=- ，即1cos ,2a b <>=- ，又,[0,180]a b <>∈ ，所以夹角,=a b <>120°．对于B ，因为()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，且,a b共线，则()()1311x x ⨯=-+解得2x =±.所以B 正确.C 选项，a 在b方向上的投影向量为282cos ,,171717b a b b a a b b b b b ⋅⎛⎫⨯=⨯==-=-- ⎪⎝⎭，故C 正确，对于D ，因为22b a ==，所以2a b -==5==所以2a b -的最大值是5，所以D 正确，10.【答案】ABD【详解】∵224120x y y +--=即22(2)16x y +-=，∴圆心()0,2C ，半径4r =()1,0P -在圆C内，PC =设圆心C 到直线AB 的距离为d，由题意得0d ≤≤∵AB =min AB ==，故A正确；1122ABC S AB d d =⋅=⨯==△∵205d ≤≤，∴当25d =时，()max ABC S =△，故B 正确C 错误，．取MN 的中点E ，则CE MN ⊥，又MN =3CE =，∴点E 的轨迹是以()0,2C 为圆心，半径为3的圆．因为2PM PN PE +=，且min 33PE PC =-= ，所以||PM PN +的最小值为65-D 正确．故选：ABD ．11．【答案】ACD【解析】取11B C 、1C C 中点E F 、，连接11D E D F 、、EF 、PF ，由PF ∥1BC ∥11A D 且PF ＝111BC A D =知11A PFD 是平行四边形，∴1D F ∥1A P ，∵1D F ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1APD ，1D F ∥平面1A PD ，同理可得EF ∥平面1A PD ，∵EF ∩1D F ＝F ，∴平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF ，A 选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，11,1,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,1D ，设）z x Q ,1,(，1,0≤≤z x ，则()11,0,1A D =- ，110,1,2A P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,1,.D Q x z =设(),,m a b c=为平面1A PD 的一个法向量，则110,0.m A D m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,2a c c b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得,.2a c c b =⎧⎪⎨=-⎪⎩取1c =，则11,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ .若1D Q ⊥平面1A PD ，则1D Q ∥m ，即存在R λ∈，使得1D Q m λ=，则12x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得[]20,1x z ==-∉，故不存在点Q 使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 选项错误；1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d 最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大.12332A Q m d x z m ⋅==+-，①23≤+z x ，()213d x z =-+，则当0x z +=时，d 有最大值1；②32x z +>，()213d x z =+-，则当2x z +=时，d 有最大值13；综上，当0x z +=，即Q 和1C 重合时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 选项正确；11D C ⊥平面11BB C C ，111D C C Q ∴⊥，12D Q，12C Q ∴=，Q点的轨迹是半径为2，圆心角为2π的圆弧，轨迹长度为4，D 选项正确.故选：ACD.12．【答案】BCD【详解】令x ＝0，则()()f y f y -=-，所以()f x 为奇函数，故A 错误．令x ＝y ＝0，得()00f =，故B 正确．任取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()2121121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭．因为()()1221121110x x x x x x +-=-+->，所以21121x x x x -<-，所以2112011x x x x -<<-．因为()0,1x ∈，()0f x >，所以211201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()()12f x f x <，即()f x 在()1,1-上单调递增．因为A ，B 是锐角ABC 的内角，所以π2A B +>，所以π2A B >-，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭．因为sin A ，()cos 0,1B ∈，所以()()A f B f sin cos <，故C 正确．因为0n x >，且21112n n nx x x ++=，所以122(0,1)1n n n x x x +=∈+．令y ＝－x ，则222()1x f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，令n x x =，则()()12221nn n nx f x f f x x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，所以()()12n n f x f x +=．因为()11f x =，所以(){}n f x 是首项为1，公比为2的等比数列，所以()12n n f x -=，故D 正确．故选：BCD 三、填空题13.34【详解】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0=x ，得90=a ，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故=+++4321a a a a 3414.16π【详解】如图1所示，连接PO ，则222PO OB PB +=，解得2PO =即2PO OB ==，此圆锥外接球的球心为O ，半径为2，表面积为24π216πS =⨯=15.32+【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，2(sin cos )11sin cos 2x x x x +-=+++,令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,所以(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以(211(),22g t t t t =++∈,对称轴011t =-<,所以211()22g t t t =++在(单调递增,所以当0t =max 3()2g t g ==+,即当πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32.故答案为:32.16．32【详解】设过点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 为2py kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去x 得()2222104p y k py -++=，可得2124p y y =∵33AF BF ==，则可得：211232p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得231224p p p ⎛⎫⎛--= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =过点M 作准线的垂线，垂足为D ，则可得1sin MFMDMN MN MND==∠若MN MF取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切23x y =，即23x y =，则23y x'=设200,3x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率023k x =，切线方程为()2000233x y x x x -=-切线过30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得220023433x x --=-，解得032x =±，即33,24M ⎛⎫± ⎪⎝⎭则33,22MD ND ==，即π4MND ∠=则1sin MFMDMN MN MND==∠2故答案为：322四、解答题.17．【详解】(1)因为422n n n S a -=…①,故111422n n n S a +++-=…②,()*n N ∈②-①可得11142222n n n n n a a a +++-+=-.整理可得112n n n a a -++=,即12n n b -=,()*n N ∈.因为11222nn n n b b +-==,()*n N ∈.故{}n b 是等比数列.(2)当1n =时,111422S a -=,解得11a =,又112n n n a a -++=,)()()()(2126543212n n n a a a a a a a a S ++++++++=- 12531-++++=n b b b b 4141--=n 314-=n .18．【详解】（13sin cos b A b A a c -=-，由正弦定理，3sin sin sin cos sin sin B A B A C A -+=，()3sin sin sin cos sin sin B A B A A B A -++=，3sin sin cos sin sin B A B A A +=．因为sin 0A >3cos 1B B +=，即1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为()0,B π∈，所以7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以566B ππ+=，即23B π=．（2）法一：因为点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，所以2133BD BA BC =+ ，所以22222141433999BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭，因为3AB =，2BD =，23ABC π∠=，所以241414939992BC BC =⨯+-⨯⨯⨯，即260BC BC -=，解得6BC = ，即BC=6．法二：由已知得DC=2AD,设x AD =，x DC 2=.∵BDCADB ∠-=∠π∴BDCCOS ADB COS ∠-=∠∴x x 22942⨯-+=xa x 2224422⨯⨯-+-，即()1622-=x a ………①又∵120=∠ABC ∴21329922-=⨯⨯-+a x a ，即()19322=--+x a a ………②由方程①②解得6=a ，即BC=6.19．【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊄平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1//BB ∴平面11ACC A ，又1BB ⊂ 平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，1//BB DE ∴；（2）连结1A C ，取AC 中点O ，连结1AO ，BO ，在菱形11ACC A中，160A AC ∠= ，∴AC A 1∆是等边三角形，又O 为AC 中点，1A O AC ∴⊥，平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，1A O ∴⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，1A O OB ∴⊥，又AB BC = ，BO AC ∴⊥，以点O 为原点，1,,OB OC OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在点D,满足题意，设)0,0a D ，（()22≤≤-a ，)0,00，（O ，()0,2,0A -，(10,0,A ，()3,0,0B ，()0,,3a BD -=，(10,2,DE AA ==，设平面1B BDE 的一个法向量为),,(z y x n =，则00n BD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，所以⎩⎨⎧=+=+-032203z y ay x，令z =，则3=y ，a x =，故)3,3,(-=a n ，设平面11ABB A 的法向量为),,(111z y x m =()32,2,01=AA ,()0,2,3=AB ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001m AB m AA ,⎩⎨⎧=+=+0230322y x z y ，令3-=y ，则2=x ，3=z ，故)3,3,2(-=m，211612122cos 2=+-==a a ，解2=a ，所以点D 在点C 的位置时，平面11ABB A 与平面1B BDE 所成锐角为3π.由于D 不与A 、C 重合，故AC 上不存满足题意的点.20.【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B ，则()26210C 1C 3P A ==，()24210C 2C 15P AB ==，所以，()()()25P AB P B A P A ==.（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X 的所有可能取值为0,1,2,3，所以()0346310C C 2010C 1206P X ⋅====，()1246310C C 6011C 1202P X ⋅====，()2146310C C 3632C 12010P X ⋅====，()3046310C C 413C 12030P X ⋅====，所以X 的分布列如下表：X0123P1612310130所以()131623210305E X =+⨯+⨯=（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C ，则23233322220C 1C 33327P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*N n ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试21【详解】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(),x y 由题意可知：圆1C 的圆心为()11,0C -，半径为72；圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为12. 动圆P 与圆1C 内切，且与圆2C 外切，112122724212PC R PC PC C C PC R ⎧=-⎪⎪∴⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，其中224,22,2,3a c a b ==∴==，从而轨迹E 的方程为：22143x y +=证明：（2）由题意可知1(2,0)A -，2(2,0)A ，(4T ，)(0)t t ≠，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，如图所示，直线1AT 的方程为(2)6t y x =+，直线2A T 的方程为(2)2ty x =-，联立方程22(2)6143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(27)441080t x t x t +++-=，2124108227t x t -∴-⋅=+，即21254227t x t -=+，则2112254218(2)(2)662727t t t ty x t t -=+=+=++，22254218(,)2727t tM t t -∴++，联立方程22(2)2143t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(3)44120t x t x t +-+-=，∴22241223t x t -=+，即222263t x t -=+，则22222266(2)(2)2233t t t ty x t t --=-=-=++，2226(3t N t-∴+，26)3tt -+，22222221866273542269273MN t tt t t k t t t t t +++∴==-----++，∴直线MN 的方程为22226626()393t t t y x t t t -+=--+-+，即222666(1)999t t ty x x t t t =-+=-----，3t ≠±，故直线MN 过定点(1,0)，所以FMN ∆的周长为定值8，当3t =±时，3(1,)2M ，3(1,)2N -或3(1,)2M -，3(1,)2N ，MN ∴过焦点(1,0)，此时FMN ∆的周长为定值48a =，综上所述，FMN ∆的周长为定值8．22.【详解】（1）1=a ，x e x f x -=)(，1)(-='x e x f ，∴0)0(='f 又∵1)0(=f ，∴在))0(,0(f 处的切线方程为1=y .（2） ()f x 有两个零点，∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根，e 0ax >，∴0,x >)(xf 有两个零点即ln xa x=有两个相异实根.令()ln x G x x =，则()21ln xG x x -'=， ()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,x >()G x ∴在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，()max 1()e eG x G ∴==，又()10,G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,G x →)(x f 有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3） 1,0a x ≥>，所以e e ax x x x ≥∴原命题等价于e ln 1x x x bx ≥++对一切()0,x ∞∈+恒成立，ln 1e x x b x x∴≤--对一切()0,x ∞∈+恒成立，令()ln 1e (0)x x F x x x x=-->，min (),b F x ∴≤()222ln e ln e x xx x x F x x x+=+='令()()2e ln ,0,x h x x x x ∞=+∈+，则()x 212e e 0,xh x x x x+'=+>()h x ∴在()0,+∞上单增，又()120e11e 0,e 1e 10e h h -⎛⎫=>=-<-= ⎪⎝⎭，01,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，即0200e ln 0x x x +=①，当()00,x x ∈时，()0h x <，即()F x 在()00,x 递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()0,x +∞递增，()00min 000ln 1()e x x F x F x x x ∴==--由①知0200e ln xx x =-，01ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫∴=-== ⎪⎝⎭，函数()e x x x ϕ=在()0,+∞单调递增，001lnx x ∴=即00ln ,x x =-0ln 0min 0000111()e 11,x x F x x x x x --∴=--=+-=1,b ∴≤∴实数b 的取值范围为(],1-∞.。

宁波市2019学年第二学期高考适应性考试数学试卷一、选择题1.已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}1,1,2B =-，则()() UUA B =（ ） A. {}1,1-B. {}2,3-C.1,0,1,2D.{}2,0,2,3-【答案】D 【解析】 【分析】 首先分别求出 UA ，UB ，再求()() UUA B 即可.【详解】 {2,2,3}UA =-，{2,0,3}UB =-，()() {2,0,2,3}UUA B =-.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集的运算，属于简单题.2.已知复数z 是纯虚数，满足()12z i a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ） A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】由题意设(z bi b R =∈且)0b ≠，转化条件得2b bi a i +=+，进而可得2b a b =⎧⎨=⎩，即可得解.【详解】设(z bi b R =∈且)0b ≠，则()()112z i bi i b bi a i -=-=+=+，所以2b ab =⎧⎨=⎩，解得2a =. 故选：C.【点睛】本题考查了纯虚数的概念、复数的运算与复数相等的条件，属于基础题.3.已知实数,x y 满足约束条件1435x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A. 6B.152C.172D.253【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出可行域，转化目标函数为3y x z =-+，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影部分所示：目标函数3z x y =+可转化为3y x z =-+，上下平移直线3y x z =-+， 数形结合可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 取得最大值，由435x y y x +=⎧⎨=-⎩可得点97,44A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以max 97173442z =⨯+=. 故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题.4.已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，则“2222a b c +=”是“ABC 为等边三角形”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】举反例分析充分性,再直接推理必要性再判断即可.【详解】当3,4,2a b c ===时,满足ABC 三边关系与2222a b c +=,但ABC 不等边三角形.当ABC 为等边三角形时, 2222a b c +=成立.故“2222a b c +=”是“ABC 为等边三角形”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意推导或者举出反例证明充分性与必要性.属于基础题.5.已知随机变量X 的分布列是（ ）其中26a b a ≤≤，则()E X 的取值范围是（ ）A. 4,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 21,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 15,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 14,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得1130026a b a b a b a⎧++=⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≤≤⎪⎩，进而可得2192b ≤≤，由离散型随机变量期望公式即可得解.【详解】由题意可得113026a b a b a b a⎧++=⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≤≤⎪⎩，解得2192b ≤≤，所以()1222102,33393E X a b b b b ⎡⎤=-+⨯+=-+=-∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与期望公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6.函数21cos 21x x y x +=⋅-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，由()()f x f x -=-可排除B 、D ；由当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，可排除C ；即可得解.【详解】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，则()()()1121212cos cos cos 1211212xx x x x xf x x x x f x --+++-=-⋅=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，可排除B 、D ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，21021xx +>-，所以()0f x >，故排除C.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题.7.设,a b ∈R ，无穷数列{}n a 满足：1a a =，211n n n a a ba +=-+-，*n ∈N ，则下列说法中不正确的是（ ）A. 1b =时，对任意实数a ，数列{}n a 单调递减B. 1b =-时，存在实数a ，使得数列{}n a 为常数列C. 4b =-时，存在实数a ，使得{}n a 不是单调数列D. 0b =时，对任意实数a ，都有201820202a >-【答案】D 【解析】 【分析】当1b =时，由2110n n n a a a +-=--<可判断A ；当1b =-时，由21n n n a a a =---可得1n a =-，即1a =-时，数列{}n a 为常数列，可判断B ；当0a =、4b =-时，由213a a a <<可判断C ；若0b =，可得210n na a +<-≤，进而可得()20182018222202021a a a <-=---，即可判断D ；即可得解.【详解】对于A ，当1b =时，211n n n a a a +=-+-，则2110n n n a a a +-=--<即1n n a a +<，所以对于任意实数a ，数列{}n a 单调递减，故A 正确；对于B ，当1b =-时，211n n n a a a +=---，若1n n a a +=，则21n n n a a a =---即1n a =-，当1a =-即11a =-时，数列{}n a 为常数列，故B 正确；对于C ，当0a =、4b =-时，2141n n n a a a +=---，10a =，21a =-， 32a =，213a a a <<，故数列{}n a 不是单调数列，故C 正确；对于D ，当0b =时，211n n a a +=--，所以210n n a a +<-≤， 所以241n n a a +>，241n n a a +-<-，所以()201820182242220202019201821a aaaa <-<-<⋅⋅⋅<-=---，当21a =时，201822018202022a <-<-，故D 错误.故选：D.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.8.若正实数x 、y 满足x -=x 的取值范围是（ ） A. []4,20B. []16,20C. (]2,10D.(2,【答案】C 【解析】 【分析】因为正实数x 、y 满足x -=有意义，可得20x y -≥.利用换元法，令t (0t >)，将x -=化简，可得22420x x --=，结合方程的根的特征，即可求得答案.【详解】正实数x 、y 满足x -=有意义，则20x y -≥——①令t 0t >)，将t 代入①可得：22t x ≤，结合0t >解得：0t <≤将x - 整理可得：2442x x y x y π-+=-故：22420x x --=——②将t 225420t xt x x -+-=这是一个关于t 的一元二次方程，则方程有两个正根(含相等)()()222121620201205x x x t t x x ⎧∆=--≥⎪⎨=->⎪⎩解得：210x <≤ 故(]2,10x ∈ 故选：C【点睛】本题解题关键是利用还原法，将所给等式转化一元二次方程，利用一元二次方程知识求解变量的范围，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.点M 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y轴相交于,P Q ，若MPQ 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. ⎝⎭D. ⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】因为圆M 与x 轴相切于焦点F ，不妨设(,)M c y ，则(因为相切，则圆心与F 的连线必垂直于x 轴)，根据题意画出大致图象，根据几何关系求得PN ，NQ ，根据PMQ ∠为钝角，则45PMN QMN ︒∠=∠>，结合已知，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】圆M 与x 轴相切于焦点F ，∴不妨设(,)M c y ，则(因为相切，则圆心与F 的连线必垂直于x 轴)根据题意画出大致图象：M 在椭圆上，则2b y a=或()2222b y a b c a =-=+∴圆的半径为2b a过M 作MN y ⊥轴与N ，则,PN NQ MN c ==222b PN NQ c a ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭PMQ ∠为钝角，则45PMN QMN ︒∠=∠>即PN NQ MN c =>=∴222b c c a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即4222b c c a ->得()222222ac c a ->，即2222222a c c e c -+>可得：22140e e-+> 即：42410e e -+> 即：()22230e -->即：223(01)e e -<<< 故：232e <-620e -∴<<620,2e ⎛⎫-∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭选故：A.【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率范围问题，解题关键是掌握椭圆离心率定义，要注意椭圆的离心率范围是：01e <<，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 10.在四面体S ABC -中，点P 在线段SA 上运动（不含端点）.设PA 与平面PBC 所成角为1θ，PB 与平面SAC 所成角为2θ，PC 与平面ABC 所成角为3θ，则（ ）A. 213θθθ<<B. 231θθθ<<C. 312θθθ<<D.321θθθ<<【答案】D 【解析】 【分析】不妨设()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()1,1,1S ，AP AS λ=，01λ<<，然后算出122sin 443n PA n PAθλλ⋅==⋅++，222sin 333θλλ=-+，322sin 333λθλλ=-+即可.【详解】不妨设()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()1,1,1S ，AP AS λ=，01λ<< 所以()()0,1,10,,AP AS λλλλ===，所以()1,,P λλ所以()()()0,,,1,1,,1,,1PA PB PC λλλλλλ=--=---=---设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =则有00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()()1010x y z x y z λλλλ-+-+-=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩，即()12y z x y λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以可取()12,1,1n λ=-所以1sin 4n PA n PAθ⋅==⋅，同理可得2sinθ=，3sin θ=因为()22244333370λλλλλλ++--+=+>>所以123sin sin sin θθθ>>，故123θθθ>>， 故选：D【点睛】对于选择题，特殊化处理是解答本题的关键. 二、填空题 11.()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则实数a =______，该展开式中常数项为______.【答案】 (1). 1 (2). 10 【解析】 【分析】 由()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2求出1a =，然后写出()521x -的展开式的通项即可算出答案. 【详解】因为()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2 所以令()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的1x =可得12a +=，所以1a = 因为()521x -的展开式的通项为()()()5551552112,0,1,2,3,4,5rrrrrr r r T C x C x r ---+=-=-=所以()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()44511210C ⨯⨯-⨯= 故答案为：1，10【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，属于基础题.12.一个四面体的三视图如图所示（单位cm ），则该四面体体积（单位cm 3）为______，外接球的表面积（单位cm 2）为______.【答案】 (1). 6 (2). 34π 【解析】 【分析】根据三视图画出原图，由此计算出几何体的体积，并计算出外接球的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四面体1A BCD -，将其放置在长方体1111ABCD A B C D -中，所以几何体的体积为11114336332BCD S AA ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.四面体1A BCD -的外接球即长方体1111ABCD A B C D -的外接球，外接球的直径为222143334AC =++=22114342AC AC πππ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：（1）6；（2）34π.【点睛】本小题主要考查由三视图求几何体的体积，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题.13.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______. 【答案】 (1). 23π(2). ()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据()f x 的对称性和T 的范围，求得,,T ωϕ，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递减区间.【详解】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩， 两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查根据三角函数的对称性、周期性求参数，考查三角函数单调区间的求法，考查运算求解能力，属于中档题.14.已知过抛物线()21:20C y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B两点，其中(4,A ，双曲线()22222:10,0y x C a b a b-=>>过点,A B ，则p 的值是______，双曲线2C 的渐近线方程是______.【答案】 (1). 4(2). y = 【解析】 【分析】根据A 点坐标求得p ，由此求得抛物线方程，进而求得B 点坐标，将,A B 坐标代入双曲线的方程，由此求得,a b ，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】由于A 在抛物线1C上，所以(2244p p =⋅⇒=.所以抛物线方程为28y x =，其焦点坐标为()2,0，所以直线AB的方程为())02242y x x =-=--.由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩221x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩(1,B -.将,A B 坐标代入双曲线2C 的方程得222232161811a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得25a b ==，所以双曲线的渐近线方程为525a y x x xb =±=±=±.故答案为：（1）4；（2）y = 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线方程，属于中档题.15.某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为______.【答案】540 【解析】 【分析】根据分步计数原理以及组合数的计算，求得不同的选取方法数.【详解】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有3620C =；第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有33327⨯⨯=； 根据分步计数原理可知，总的方法数有2027540⨯=种. 故答案为：540.【点睛】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题.16.函数()123,013log ,132x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()22g x x x =-，若()()y g f x t =-恰有3个零点，则实数t 的取值范围是______.【答案】[]1,10 【解析】 【分析】设()m f x =，则()g m t =.由()f x 图像知，要使得恰有三个零点，则方程()g m t =存在两个实根12,m m ，满足113m ≤<，23m =或者113m ≤<，221m -≤<，结合()g x 的性质，得110t ≤≤.【详解】画出()f x 的图像如下图所示. 设()m f x =，则()g m t =.由()f x 图像知，要使得恰有三个零点，则方程()g m t =存在两个实根12,m m ，满足“113m ≤<，23m =”或者“113m ≤<，221m -≤<”.由于()()2221g x x x x x =-=-，所以()g x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上递减，在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，两个零点为1210,2x x ==，最小值为1148g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于()()()210,11,315g g g -===.所以实数t 的取值范围是110t ≤≤，即[]1,10 故答案为：[]1,10【点睛】本小题主要考查函数零点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17.已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，动点M 、N 分别在射线CB 、CD 上运动，且满足22111CM CN+=.对角线AC 交MN 于点P ，设AP x AB y AD =+，则x y +的最大值是______.【答案】85【解析】 【分析】由条件可知2222CM CN CM CN +=⋅，故MN CM CN =⋅，则点C 到MN 的距离为1，即1CP ≥，故4AP ≤，则8552AP x y +=≤. 【详解】由于22111CM CN+=，所以2222CM CN CM CN +=⋅， 所以222MNCM CN =⋅，所以MN CM CN =⋅，所以点C 到MN 的距离为1，所以1CP ≥，而22345AC =+=，所以4AP ≤，设CAB α∠=，则34sin ,cos 55αα， 所以sin ,cos x AB y AD AP AP αα⋅⋅==，则15x y AP ==. 则21185555AP x y AP AP +=+=≤. 故答案为：85【点睛】本小题主要考查向量在几何计算中的运用，属于中档题. 三、解答题18.已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ,且)2cos 3cos cos a A c B b C +. (1)求A 的值；(2)若1a =且sin cos B C +=求ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=(2)2ABCS=【解析】 【分析】(1)根据正弦定理边化角,再利用三角恒等变换以及三角函数值求解A 即可. (2)利用6A π=与内角和的关系,将sin cos B C +=C 的表达式,再利用三角恒等变换结合三角形内角的范围求解即可. 【详解】(1)由)2cos cos cos a A c B b C =+,)2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+故()2sin cos A A B C +即2sin cos A A A =,∵sin 0A ≠,∴cos A =而()0,A π∈,∴6A π=.(2)由sin cos B C +=6A π=得sin cos 62C C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭,3cos 2C C +=32C π⎛⎫+=⎪⎝⎭,5(0,)6C π∈,∴536C ππ+=,2C π=,3B π=. 故sin sinb a B A=,即sin 21sin 2a Bb A===又2C π=,故1122ABCS=⨯=. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理进行边角互化求解角度的问题,同时也考查了三角恒等变换在解三角形中的运用.属于中档题.19.已知三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别是1CC 与1A B 的中点，1ABA △为等边三角形，1CA CA =，112A A A M BC ==.（Ⅰ）求证：//MN 平面ABC ； （Ⅱ）（i ）求证：BC ⊥平面11ABB A ； （ii ）求二面角A MN B --的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i ）见解析（ii 470【解析】 【分析】（Ⅰ）由//MP BC 推出//MP 平面ABC ，由//PN AB 推出//NP 平面ABC ，则平面//PMN 平面ABC ，由MN ⊂平面PMN 即可得证；（Ⅱ）（i ）勾股定理证明AB BC ⊥、1A B BC ⊥，即可推出BC ⊥平面1ABA ；（ii ）建立空间直角坐标系，求出平面AMN ，平面BMN 的法向量代入121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可求得两向量夹角的余弦值，再求出正弦值即可.【详解】（Ⅰ）取1BB 中点P ，连接MP ，则//MP BC ， 因为BC ⊂平面ABC ，MP ⊄平面ABC ，所以//MP 平面ABC ，因为N 、P 分别11,A B BB 的中点，所以11//PN A B ，又11//A B AB ，所以//PN AB ， 因为AB平面ABC ，PN ⊄平面ABC ，故//NP 平面ABC ，因为NP MP P ⋂=，NP ⊂平面PMN ，MP ⊂平面PMN ， 于是平面//PMN 平面ABC ，又MN ⊂平面PMN ，所以//MN 平面ABC . （Ⅱ）（i ）不妨设1BC =，则112A A A M ==.依题意111CA CA C A ==，故1A M 为等腰11ACC △底边上的中线，则11A M CC ⊥.于是2211115AC AC A M MC ==+=，因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，同理22211A B BC A C +=，则1A B BC ⊥，又1AB A B B ⋂=，AB 平面1ABA ，1A B ⊂平面1ABA ，所以BC ⊥平面1ABA .（ii ）方法一：因为BC ⊥平面1ABA ，AN ⊂平面1ABA ，所以AN BC ⊥， 因为1ABA △为等边三角形且N 为1A B 的中点，所以1AN BA ⊥， 又1BCBA B =,BC ⊂平面1A BC ，1BA ⊂平面1A BC ，所以AN ⊥平面1A BC ，因为AN ⊂平面AMN ，故平面AMN ⊥平面1A BC . 设1A CAM Q =，则QN 为平面AMN 与平面1A BC 的交线.过B 作BH QN ⊥于点H ，则BH ⊥平面AMN .又过B 作BG MN ⊥于点G ，则MN ⊥平面BGH ，BGH ∠即为二面角A MNB --的平面角.在BMN △中，2BM MN ==，1BN =，则78BG =； 在BQN △中，455BH BN =⋅=. 所以32470sin 35BH BGH BG ∠===，即二面角A MN B --的正弦值是470.方法二：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0B ，()3,0A -，13,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,1M ，13,,122NM ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()2,3,1AM =-，()1,0,1BM =. 设平面AMN 的法向量()1111,,n x y z =，平面BMN 的法向量()2222,,n x y z =.由11111111132230x y zn NMn AMx y z⎧⎧-+=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪-+=⎩，可取()11,3,1n=；由2222222132n NM x y zn BMx z⎧⎧⊥-+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩，可取231,,13n⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭.于是1212123cos,35753n nn nn n⋅===-⋅⨯，所以二面角A MN B--的正弦值是3247035=.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定及证明，二面角的求法，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知正项数列{}n a的首项11a=,其前n项和为nS,且na与1na+2nS数列{}nb满足：122...2nnnab b ba++++=.(1)求23,a a,并求数列{}n a通项公式；(2)记nnnbca=,*n∈N,证明：12 (21)1nc c cn⎛+++<+⎝.【答案】(1)22a=,33a=,()*na n n=∈N. (2)见解析【解析】【分析】(1)由题可得12n n nS a a+=,再根据通项与前n项和的关系求得递推公式22n na a+-=,再根据12,a a 的值求解通项即可.(2)根据通项与前n 项和的关系求出{}n b 的通项公式,再代入可得n c =再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可. 【详解】(1)依题意,12n n n S a a +=由1122a a a =,()12232a a a a +=得22a =,33a =.于是有12n n n S a a +=,1122n n n S a a +++=,两式相减可得()1122n n n n a a a a +++=-. 约去正项1n a +可得22n n a a +-=.又11a =,22a =,所以{}n a 是以1为首项,1为公差的等差数列. 故()*n a n n =∈N . (2)依题意()12211 (22222)n n n a n b b b a n n ++++===-++, 当2n ≥时,12111 (21)n b b b n -+++=-+, 两式相减即得()()1111212n b n n n n =-=++++. 另外113126a b a ==亦符合上式,所以()()112n b n n =++()*n∈N .n c ===证一：22n c <==所以12...21...21n c c c ⎡⎤⎛⎛+++<+++=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦. 证二：（1）1n =时命题成立.（2）假设n k =时命题成立,即12...21k c c c ⎛+++< ⎝那么1211...212121k k k c c c c c ++⎛⎛⎛++++-<+- ⎝⎝⎝22=-=0=<即当1n k =+时命题也成立.综合（1）（2）对任意*n N ∈命题均成立.【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n 项和的关系求得递推公式与通项公式的方法,同时也考查了数列不等式的问题,包括裂项放缩以及数学归纳法的应用.属于难题.21.已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的焦点12F F 的距离为2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于,A B 两点，且1AB =. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若存在实数t ，使得经过相异两点()24,P t t h +和()22,Q t t h ++的直线交椭圆Γ所得弦的中点恰为点Q，求实数h 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）1h ≤<【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意得到2222213b a a b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩，解得答案.（Ⅱ）计算直线l 的方程22ty x h t =+-，联立方程得到()2221h t t -<+，利用点差法得到()11t h t+=-+，故1h ≥，0t <，变换得到()()2120h t h +-<，解得答案. 【详解】（Ⅰ）根据题意：2c =221ba =，即2222213b aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩，解得2a =，故1b =，椭圆Γ的方程为2214x y +=.（Ⅱ）过P 、Q 两点的直线l 的斜率为2222t t t t -=-，直线l 的方程22t y x h t =+-，代入2214x y +=可得()222240x tx h t ⎡⎤++--=⎣⎦，整理可得()()()2222214410tx t h t x h t ⎡⎤++-+--=⎢⎥⎣⎦， 依题意()()()2222221616110th t t h t ⎡⎤∆=--+-->⎢⎥⎣⎦，即()2221h t t -<+.① 若设直线l 交椭圆Γ于点()11,x y ，()22,x y ，则依题意有()212222221t h t x x t t --+==++，经整理可得()211t h t +=-+，0t ≠，即()11t h t+=-+.②由题意1t ≠，故由②可知()(]()1,22,h -+∈-∞-+∞，再结合①可知：若0t >，3h <-，则()()()222222223331h t t t t t ->--=+>+>+，不成立；故1h ≥，0t <，将②代入①消去2t ，可得()()()22111h t h t ++<-+， 再次将②代入①，可得()()()2111h h t h t +-<-+，即()()2120h t h +-<.又1h ≥，0t <，故解得1h ≤<【点睛】本题考查了椭圆方程，求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，利用点差法是解题的关键.22.已知实数0a ≠，函数()ln ||1f x ax a=-+. （Ⅰ）证明：对任意()0,a ∈+∞，()532f x a ≤-恒成立； （Ⅱ）如果对任意()0,x ∈+∞均有()x af x x a-≤+，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）(]0,1 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导得到函数()()()23max 4ln 41ln 43ln 1f x f aa a ==-=+-，故只需证5ln 43ln 132a a +-≤-，设()33ln 3ln 42a a a ϕ=-++，求导得到()max 3ln 42a ϕ=-，得到证明.（Ⅱ）对任意()0,x ∈+∞有意义，0a >，令1x =可得111ln 1aa a a-+≤++， 所以01a <≤，再证明对任意(]0,1a ∈，任意()0,x ∈+∞，不等式恒成立，考虑关于a 的函数()()1ln x am a xa a x a-=+--+，根据其单调性得到()11ln 01x n x x x -=+≤+，计算函数单调性得到证明.【详解】（Ⅰ）易知()f x 的定义域为0,，若()0,a ∈+∞，则()()ln 1f x ax =+， ()112f x x a ⎫'==-⎪⎭， 则()f x 在()20,4a单调增，在()24,a +∞单调减，所以()()()23max 4ln 41ln 43ln 1f x f a a a ==-=+-.要证()532f x a ≤-恒成立，只需证5ln 43ln 132a a +-≤-. 令()33ln 3ln 42a a a ϕ=-++，()0,a ∈+∞.()131a aϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故()()max 31ln 42a ϕϕ==-，由于3ln 402-<， ∴()0a ϕ≤，即()532f x a ≤-恒成立.（Ⅱ）()x a f x x a -≤+，即1ln ||x aax x a-+≤++.（*） 1°（*）对任意()0,x ∈+∞有意义， 当x →+∞时，1ln ||ax +→+∞，∴0a >； 2°若（*）对任意()0,x ∈+∞恒成立，则01a <≤特别地，在（*）中令1x =可得111ln 1a a a a-+≤++， 故122ln 01a a a +--≤+. 注意到()122ln 1h a a a a =+--+在()0,a ∈+∞单调增，且()10h =，所以()0h a ≤当且仅当01a <≤.3°下面证明：对任意(]0,1a ∈，任意()0,x ∈+∞，不等式（*）恒成立. 首先，将正实数x 给定，考虑关于a 的函数()()1ln x am a xa x a-=++， 注意到()()122ln xm a xa a x a =+-+在(]0,1a ∈单调增， 故()()111ln 1x m a m x x -≤=++.下面只需说明：()11ln 01x n x x x -=+-≤+对于()0,x ∈+∞恒成立即可. 显然()10n =，故只需说明()n x 在0,1单调增，在()1,x ∈+∞单调减.()()())()222221112121x x n x x x x x ++'=-=++当1x >)()533122222211121x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++>+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()0n x '<；当01x <<时，())5312222222222112121x x x x x x x x x +=+++>++>++=+，故()0n x '>.因此()n x 在0,1单调增，在()1,x ∈+∞单调减. 综上可知，实数a 的取值范围是(]0,1.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力 ，先算后证是解题的关键.。

高三英语3注意事项： 1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

因测试不考听力，第I卷从第二部分的“阅读理解”开始，试题序号从“21”开始。

2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该选项涂黑。

AA Guide to the Library’s FacilitiesTo use or reserve the facilities of the library, follow the procedures given at the circulation desk.Group Study Rooms （2F）Students and teaching staff can use these rooms for group study. Students are advised to use unlocked rooms （3 rooms for 2 people, 2 rooms for 4 people） available for free. When you use locked rooms （2 rooms for 4 people, 1 room for 10 people）, you need to go through reservation procedures at the circulation desk. These rooms are available for group discussion.Individual Reading Rooms （1-3F）There are 4 single rooms available for use by teaching staff and visiting scholars. Each room is equipped with a computer together 1 printer and 6 scanners. Reservation of these rooms is available for a period up to seven days on end.Meeting Rooms and Seminar Rooms （1-3F）Only teaching staff and graduate students can apply to use these rooms and reserve them one day in advance. The total number of seats is 40. They are available for workshops and small seminars.Computer Rooms （4F）These rooms are available for classes or seminars and so on. The total number of seats is 88. Only teaching staff can apply to use the computer rooms and reserve them one day in advance.21. How many locked rooms can students and teaching staff use？A. OneB. ThreeC. FourD. Ten22. If teachers want to print, they can go to ___________.A. a seminar roomB. a computer roomC. a group study roomD. an individual reading room23. Who can apply to use the computer rooms？A. TeachersB. Visiting scholarsC. Graduate studentsD. Teachers and studentsBFrom my earlier memory of Mother it somehow seemed quite natural to think of her as different, nor of everyday things as Father was. In those days he was a young-looking man. He did not hesitate to make friends with children as soon as they were able to talk to him and laugh at his stories. Mother was older than he was. She must have been a woman of nearly forty, but she seemed even older. She changed little for a long time, showing no indication of growing old at all until, towards the end of her life, she suddenly became an old lady.I was always inquisitive about Mother’s age. She never had birthdays like other people, nor did anyone else in our family. No candles were ever lit or cakes made or presents given in our house. To my friends in the street who talked delightfully about their birthday parties, I would repeat my mother’s words that such celebrations were only foolish.“Nothing but deception,” she would say. “As though life can be marked by birthdays. It’s deeds, not years, that matter.”Although I often repeated her words and even prided myself on not having birthdays, I once could not help asking Mother when she was born.“I was born. I’m alive as you can see, so what more do you want to know？” she replied, so sharply that I never asked her about her age again.In so many other ways Mother was different. Whereas all the rest of the women I knew in the neighboring hoses took pride in their housewifely abilities, their new furniture, the neat appearance of their homes, Mother regarded all those things as of little importance. Our house always looked as if we had just moved in or were about to move out.24. How did Father impress the author？A. He liked writing stories.B. He loved making friends.C. He was a very young man.D. He was popular with children.25. Before the end of her life, Mother ___________.A. looked quite youngB. looked like an old ladyC. looked younger than she was C. looked like a forty-year-old woman26. What does the word “inquisitive” in Paragraph 2 probably mean？A. CertainB. Curious.C. Cautious.D. Confident.27. What do we learn about Mother？A. She was lazy.B. She was strict.C. She was proud.D. She was specialCIt is only praise or punishment that determines a child’s level of confidence. There are some other important ways we shape our kids-particularly by giving instructions and commands in a negative or positive choice of words. For example, we can say to a child “Don’t run into traffic!” pr “Stay on the footpath close to me.” In using the latter, you will be helping your kids to think and act positively, and to feel competent in a wide range of situations, because they know what to do, and aren’t scaring themselves about what not to do.Why does such a small thing make a difference？ It is all in the way the human mind works. What we think, we automatically rehearse （预演）. For example, if someone offered you a million dollars not to think of a blue monkey for two minutes, you wouldn’t be able to do it. When a child is told “Don’t fall off the tree,” he will think of two things：“don’t” and “fall off the tree”. That is, he will automatically create the picture of falling off the tree in his mind. A child who is vividly imagining falling off the tree is much more likely to fall off. So it is far better to use “Hold on to the tree carefully.”Clear, positive instructions help kids to understand the right way to do things. Kids do not always know how to be safe, or how to react to the warning of the danger in negative words. So parents should make their commands positive. “Sam, hold on firm to the side of the boat”is much more useful than “Don’t you dare to fall out of the boat？” or worse still “How do you think I’ll feel if you drown？” The changes are small but the difference is obvious.Children learn how to guide and organize themselves from the way we guide them with our words, so it pays to be positive.28. Positive choice of words helps kids to __________.A. do things carefullyB. build up their confidenceC. improve their imaginationD. learn in different situations29. What can we infer from Paragraph 2？A. A child will act on what is instructedB. One can’t help imagining what is heard.C. A child will fall off the tree when told not to.D. One won’t think of a blue monkey when given money.30. Which of the following commands helps kids to be safe？A. Fasten your seat belt.B. Don’t play by the lake.C. How do you think I’ll feel if you get hurt？D. Don’t you dare to walk through the red light？31. The main idea of the passage is that __________.A. praise makes kids confidentB. right instructions keep kids safeC. clear commands make kids differentD. choice of words can make a differenceDIn today’s consumer world, we’ve never had so much, yet it seems we’ve never been so unsatisfied. The cost of housing has been rising for decades, and the cost to the planet has been huge, too. But there is a way to live a simpler, greener, and more affordable life：buy a TinyDwelling home!TinyDwelling homes are very small, yet comfortable houses at affordable prices. Each TinyDwelling home has a contemporary design and included a living room, kitchen, bathroom, upstairs sleeping area, and convenient storage space. TinyDwelling homes are cheap to run and ecologically-friendly, too. All you need is a small heater to keep your house warm in cold weather, and solar panels （太阳能电池板） in order to provide light and electricity.TinyDwelling is part of the small-living movement that began in the late 1990s. Back then, a growing number of people began to live in very small homes. They wanted to reduce their possessions, living space, and energy costs, so as to lead more ecologically-friendly lives. But the small-living movement really took off after the economic crisis of 2008, when many people realized that they couldn’t afford to keep large homes.Lizzy Morriaon, a small-living enthusiast, started TinyDwelling homes in 2008 to meet the needs of these people. Since then, Lizzy has been designing and building homes nonstop, and TinyDwelling homes have become so popular that thousands of people have bought one. And Lizzy hasn’t only designing and building houses. She has also been teaching people how to build them. Simply buy the plans and materials so that you can build your own home, and save even more money!32. It is implied in Paragraph 1 that __________.A. rich people are very unsatisfiedB. people are damaging the environmentC. there are more poor people than beforeD. people spend much money in saving the planet33. What do we know about the small-living movement？A. It aimed to handle the economic crisis.B. It was started by people without houses.C. It was well received by house designers.D. It did not become quite popular until34. What is the main attraction of TinyDwelling homes？A. They are affordable.B. They provide storage space.C. They have upstairs sleeping area.D.they are equipped with solar panels.35. Besides designing TinyDwelling homes, Lizzy also ___________.A. urged people to buy them.B. helped people to build them.C. taught people to save money.D. offered courses to train designers.第二节（共5小题：每小题2分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

Evaluation Only. Created with Aspose.Words. Copyright 2003-2016 Aspose Pty Ltd.秘密★启用前云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）语文试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时150分钟。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。

提到一座城市，人们往往会想到具有代表性的文化地标：600岁的紫禁城见证着北京城的过往，拓荒牛雕塑标记着深圳的开拓进取，珠海大剧院“日月贝”讲述着“珠生于贝，贝生于海”的城市记忆，古典园林里生长着苏州的温婉……这些城市文化地标或深植于历史文化，或投射着时代风貌，以鲜明独特的符号形象，成为一个城市的精神和文化象征，与人们产生紧密的情感连接、文化认同。

作为一种人文景观，文化地标首先应当与地理环境“不违和”。

人文景观与自然环境浑然天成、融为一体，才能给人以美的享受。

无论是中华文化天人合一、道法自然的审美意境，还是如今兴起的保护生态、亲近自然的绿色发展理念，都强调人文景观与自然环境和谐共生。

丽江古城依山傍水、以水为脉，整座古城获评世界文化遗产；国家体育场“鸟巢”充分采用自然采光和通风，勾勒出现代北京的美丽风景。

反之，若缺乏对自然的敬畏，滥造钢筋水泥地标，即便再大的“手笔”，也与审美旨趣和群众期待相差甚远。

《管子》言：“因天材，就地利，故城郭不必中规矩，道路不必中准绳。

”因地制宜，因势利导，与自然环境和谐共存，相得益彰，这是文化地标的基本要求。

作为一种符号化呈现，文化地标也应该追求形神兼备。