坡度、方向角与解直角三角形
关键问答
① 将方向角转化成三角形内角的方法有哪些？ ② 坡角和坡度的关系是什么？ 1.
①
如图28 — 2— 30, 一艘海轮位于灯塔 P
的北偏东30°方向，距离灯塔 80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南
偏东45°方向上的B 处，这时海 轮所在的B 处与灯塔P 的距离为（
A. 40 .;2海里 B . 40 _：3海里
C. 80海里D . 40
6海里
2. ②
如图28— 2— 31是某拦水坝的横断面示意图，
斜坡AB 的水平宽度AC 的长为12米,
斜面坡度为1 : 2，则斜坡AB 的长为（
）
A. 4 3米 B . 6
：5米
C. 12 , 5 米 D . 24 米
考向提升训练
[热度：93%]
A 南偏东20°方向的
B 处遇险，测得海岛 A 与B 的 A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛
C 靠近， 10°
方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛 C 处恰
A. 10 3海里/时B . 30海里/时 C. 20 3海里/时D . 30
.3海里/时
解题突破
③
由两个方向角的和及平行线的性质定理可得
命题点1
方向角在海面上的应用
③
3.如图28— 2— 32, 一渔船在海岛 距离为20海里，渔船将险情报告给位于 同时，从A 处出发的救援船沿南偏西 好遇上渔船，那么救援船航行的速度为
B
图 28 — 2— 30
东
△ABC各内角的度数，进而求解即可?
4. 2018 -济宁如图28-2 —33,在一笔直的海岸线I上有相距2 km的A, B两个观测
站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C 在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线I的距离是 _____________________ km.
图28 - 2-33
5. 2017 ?乌鲁木齐如图28-2 —34, —艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口
A20海里的B处，它沿着北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B, C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援船的航行速度.（结果取整数.参考数据：sin37 °~0.6 , cos37°~ 0.8 , - 3~ 1.732）
6. ④如图28 —2—35,我国某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向25海里的B 处，该渔政船收到渔政搜救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时40海里的速度航行半小时到达C处，再向南偏东53°方向航行，同时捕鱼船向正北方向低速航行.若两船航速不变，并且在D 处会合，求C, D两点间的距离和捕鱼船的速度.（结果保留整数.参考数据：，3~ 1.7 , si n53°
4 3 4
~ 匚，cos53°~二tan53 °~~）
5 5 3
解题突破 ④ 通过作辅助线可以把四边形 ABC 除化成两个直角三角形和一个
矩形求解
命题点2 方向角在陆地上的应用 [热度：90%]
7. 2017 ?百色如图28 — 2- 36 ,在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的
“和
谐号”动车，当动车车头在
A 处时，恰好位于
B 处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车
车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这列动车的平均车速是 ___________ 米/秒( )
图 28 - 2-38
图 28 - 2-
35
图 28 - 2-36
A. 20(1 +
3)
B . 20( 3-1)
C. 200
&在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图
D. 300
28-2-37,河岸 EF//
MN 小聪在河岸 MN 上的点A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向，然后他沿河岸走
了 30米，到达B 处，测得河对岸电线杆 D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得
CD
=10米，根据这些数据可求出河的宽度为
________ 米.(结果保留根号)
图 28 - 2-37
9. ⑤如图28-2 -38, AC 是某市环城路的一段， AE BF, CD 都是南北方向的街道，它们
与环城路AC 的交叉路口分别是 A , B, C 经测量，花卉世界 D 位于点A 的北偏东45°方向, 点B 的北偏东30°方向上，AB= 2 km ，/ DAC= 15 ⑴
求B, D 之间的距离；
(2)求C, D 之间的距离.
中
山路
北
东
解题突破
⑤利用方向角、平行线的性质及三角形外角的性质，可得△ABD是等腰三角形?命题点3 坡度在实际问题中的应用[热度：93%]
10. 2018 ?重庆如图28-2 —39,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角/ AED= 58°,升旗台底部到教
学楼底部的距离DE= 7米，升旗台坡面CD的坡度i = 1 : 0.75，坡长CD= 2米.若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC= 1米，则旗杆AB的高度约为（参考数据：sin58 °~ 0.85 , cos58° ?0.53 , tan58 °~ 1.6）（）
图28 —2—39
A. 12.6 米B . 13.1 米C . 14.7 米D . 16.3 米
11. 2018 ?重庆如图28—2 —40, AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端
B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度（或坡比）为i = 1 : 0.75、
坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（点代B, C, D,
E均在同一平面内）.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24 °~ 0.41 , cos24°~ 0.91 , tan24 °~ 0.45）（）
图28 — 2 —40
A. 21.7 米B . 22.4 米C . 27.4 米D . 28.8 米
12. ⑥如图28—2—41,某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm,深为30 cm,
为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡
BC的坡度i = 1 : 5，则AC的长度是 ________ cm.
图28 — 2 —41
解题突破
⑥利用平移可得斜坡BC的高.
13. ⑦如图28 —2—42,点A, B, C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB BC表
示连接缆车站的钢缆，已知A, B, C三点在同一铅直平面内，它们的海拔AA , BB , CC
分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i i = 1 : 2，钢缆BC的坡度i2 = 1 ：1,景区因改造缆车线路，需要从A到C沿直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？
图28 - 2-42
解题突破
⑦利用A, B, C三点的海拔，可以求出AB BC的竖直高度，进而利用坡度求出其水平宽度，再利用勾股定理求出AC的长度.
思筆拓展培优増优崔足鈴动牝
14. ⑧如图28- 2-43，高36米的楼房AB正对着斜坡CD点E在斜坡CD的中点处，已知斜坡的坡角(即/ DCG为30°, ABL BC
(1) 若点A, B, C, D, E, G在同一个平面内，从点E处测得楼顶A的仰角a为37°,
楼底B的俯角卩为24°,则点A, E之间的距离是多少米(结果精确到0.1米)?
(2) 现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF使新斜坡DF的坡比为,3 : 1.某施工队承接了这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的 1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建多少米？
(参考数据：cos37°~ 0.80 , tan37 °~ 0.75 , tan24 °~ 0.45 , cos24°~ 0.91)
图28 - 2-43
解题突破
⑧对于(1)可先求出点E到AB的距离，从而求出AE的长度，对于(2)可先求出EF, DF 的长度，再列分式方程求解
解直角三角形（坡度、坡角）第七-九课时 ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1，则该斜坡的坡角为______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（ ）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1：3 的山路行了20m ，则该人升高了（ ）． A ．．40.33 m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡度i 等于（ ）． A ．35 B ．45 C ．1：43 D ．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）． A ．4m B ．．3m D ．◆典例分析 水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1?已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度． 解：过D 作DE ⊥BC 于E ． ∵该斜边的坡度为1， 则tan α α=30°， 在Rt △DCE 中，DE ⊥BC ，DC=24m ． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m ）． 故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m ． 点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业
●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离 AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）． （?≈1.73） 1题图 2如图，防洪大堤的横断面是梯形， 坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2， 2题图 则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）． 3题图 4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（） A．米 B． C．米 D．6米 5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2）修400m长的渠道需挖的土方数． 6、一勘测人员从A点出发，沿坡角为30°的坡面以5km/h的速度行到点D，?用了10min，然后沿坡角为45°的坡面以2.5km/h的速度到达山顶C，用了12min，?求山高及A，B两点间的距离（精确到0.1km）． 7、某村计划开挖一条长为1600m的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡度为1：1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m3） ●体验中考
《解直角三角形的应用》 教学设计 米 玲 玲 霍州市三中
《解直角三角形的应用（坡度、坡角等）》教学设计 教学目标 1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决。 2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。 3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。 4.通过本节课的学习，一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度． 教学重点 理解坡度和坡角的概念． 教学难点 利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题． 教师准备 幻灯片、三角板 学生准备 预习新课，完成导学案“温故互查”和“设问导读” 教学过程 一、导入新课 在我们的生活中有很多的山坡，有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡缓程度呢？这就是我们今天要学习的内容。 二、明确目标 学生齐读学习目标 学习目标： 1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决． 2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。 3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
重点、难点 1.利用坡度、坡角解直角三角形； 2.解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。 三、自学检查 小组活动：互相检查导学案“温故互查”和“设问导读”两部分内容。 发现问题和疑问，教师及时指导，师生共同解决。 四、新知梳理 学生齐读 知识点：坡角与坡度(坡比) 概念：如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡 比)，记作i，即i＝h l .坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角， 记作α，有i＝h l ＝tanα. 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡。 五、自学检测 1.一段坡面坡角为0 60，则坡度i=_______。 2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000米，则他升高了________米。 A B.500 C.D.1000 3.一水库迎水坡坡度i=1，则该坡坡角α=_______。 4.随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图所示，你能求出DC的长吗？（结果保留根号）
2013中考全国100份试卷分类汇编解直角三角形（仰角俯角坡度问题） 1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 A. 40 D. 160 答案：D 解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。 BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝D。 2、（2013?衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）． AD=
x ﹣ ， 3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（） A．12 B．4米C．5米D．6米 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴则AC=BC×=6， ∴AB===12． 故选A． 点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 4、（2013?宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）
m 5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC 30∠= ，则该山坡的高BC 的长为_____米。 答案：100 解析：BC=AB ·sin30°= 1 2 AB=100m 6、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 750 米．
利用三角函数测高导学案 姓名: 一、相关定义 二、典型题型 1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在 同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处 测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥， 有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由． 3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处 向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
4、5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3 1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m参考数据：3≈1.732） 7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
页眉内容 24.4.3 .解直角三角形（坡度与坡角） 教学目标：回运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题。重点：解决有关坡度的实际问题。 难点：理解坡度的有关术语。 教学过程 一、导入新课，出示目标 导语：复习回顾 板书课题：解直角三角形（坡度与坡角） 下面大家齐读一下这节课的学习目标： 二次备课 二、设置提纲，引导自学 自学指导 自学范围：课本第115,116页。 自学时间：3分钟 自学方法：独立看书，独立思考。 自学要求：1.知道坡比概念以及和坡角的关系。 2.完成例4。 3.记住读一读。 自学检测 问题一： 1、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为； 2、一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了 _米． 3、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5m，迎水坡AB的长是13m，那么斜坡AB 的坡度是（）． A 1： 3 B 1： 2.6 C 1： 2.4 D 1：2 65
页眉内容 4 、如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）． A 1: B 3: C 1:3 D 3:1 三、合作探究一 1、什么叫坡度？ 坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。 2、什么叫坡角？ 坡角是斜坡与水平线的夹角 3、坡角和坡度什么关系？ 坡角与坡度之间的关系是： i＝ h l =tan a 坡度i越大，坡角 就越大，坡面就越陡。 合作探究二 例4、如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的倾角分别是30°和45°．求路基下底的宽.(精确到0.1m) 四、课堂练习 1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度 i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m） （2）斜坡CD的坡角α。（精确到1°） 10 10 3 图24.4.5
嵩县实验中学九年级数学导学案主编：张彩芹第张 班级： _____姓名：_____组别：_____组长评：_____教师评：_____ 25.3 解直角三角形——坡度、坡角 学习目标：（1）了解坡度 . 坡角的意义。 （2）会用直角三角形知识解决有关坡度的实际问题。 （3）体会转化的思想。积极参与，激情展示，精彩点评。 预习案：请同学们阅读课本“ 25.3 解直角三角形”例 4 前的“读一 读”及例 4 的内容，思考并填空： 如图 1，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面 的 h ,坡度通常写成1：m 的形式，如 i=1:6 ，，记作 i，即i l h 坡面与水平面的夹角叫做.记作，有 i 就越 tan ，显然，坡度越大，坡角 l 大，坡面就越陡。 试一试： 1、小明沿着坡度为1： 2 的山坡向上走了1000m,则他升高了（）（ A）200 5m（ B）500m（ C）500 3m （D）1000m 2、如图，一水库迎水坡AB 的坡度 i=1： 3 ，则该坡的坡角= 自学检测： 1. 如图2，某防洪指挥部发现长江边一处长500 米，高 10 米，背水坡的坡角为45°的防江大堤（横断面为梯 形ABCD ）急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制定 的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡EF 的坡比i=1： 3 。（1）求加固后坝底 增加的宽度AF ； （ 2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
班级： _____姓名：_____组别：_____组长评：_____教师评：_____ 2.如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC 宽为 6m，坝高为 23m，斜坡 AB 的坡度 i=1： 3 斜边 CD 的坡度 i、=1： 1，求斜坡 AB 的长，坡角和坝底宽 AD （结果保留根号） 达标检测： 1、如图 1，某人沿坡度i=1 ：399 的山路向上前进200 米，他升高了米。 2、如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板 AB 的长为 4 米，点 D、B、C 在同一水平地面上。 （1）改善后滑滑板会加长多少米？ （2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板 的前方有 6 米，长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由（参 考数据：2 1.414，3 1.732 ，以上结果均保留到小数点后两位） 能力提升 3、庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡 山脚 C 处出发，以 20 米 /分钟的速度攀登，同时，李强从南坡 山脚 B 处出发，如图，已知小山北坡的坡度i=1： 3 ，山坡 长为 240 米，南坡的坡角是45°。问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A ？（将山路 AB 、 AC 看成线段，结果保留根号）
姓名: 一、相关定义 二、典型题型 1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB 的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由． 3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？ 4、 5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3 1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到参考数据：3≈） 7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
解直角三角形测试题与答案 一．选择题（共12小题） 1．（2014?义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（） 2．（2014?巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） 3．（2014?凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（） AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（） 米 m 看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（） ）米）米6+2 段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）
km 8．（2014?路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（） 9．（2014?长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（） 12．（2014?邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（） 二．填空题（共6小题） 13．（2014?济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为_________． 14．（2014?徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A 的正切值为_________． 15．（2014?虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=_________． 16．（2014?武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是_________米．
解直角三角形与斜坡坡度在实际生活中的应用 教学过程： 一、知识回顾
二、新课 1、坡角、坡度的概念，坡角与坡度之间的关系 2、
一、例题讲解 1、如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC ＝30°，则该山坡的高BC 的长为__米．,第1题图),第2题图)2．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是1∶3，坝高BC ＝10m ，则坡面AB 的长度是()A ．15m B ．203m C ．103m D ．20m 3．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上 相邻两棵树的坡面距离是()A ．3m B ．35m C ．12m D .6m 4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i 1＝1∶3，坝外斜坡的坡度i 2＝1∶1， 则两个坡角的和为()A ．90°B ．60°C ．75°D ．105° 二、课堂练习 1．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为() A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米,第2题图) 2．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ， 为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是__cm . 3．如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB ＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 50°≈1.20) 3、 （以上的1、2、3教师主讲，抽学生回答） （抽学生上黑板做，其余学生在练习本上做，老师行距 辅导，及时发现问题）
解直角三角形(坡度、坡角)
解直角三角形（坡度、坡角）第七-九课时 ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1 则该斜坡的坡角为______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（ ）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1：3的山路行了20m ，则该人升高了（ ）． A ． ．40 .33 m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡 度i 等于（ ）． A ．35 B ．4 5 C ．1：43 D ．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）． A ．4m B ． ．3m D ．
◆典例分析 水库拦水坝的横断面为梯形ABCD，背水坡 CD的坡比i=1：3，?已知背水坡的坡长 CD=24m，求背水坡的坡角α及拦水坝的高 度． 解：过D作DE⊥BC于E． ∵该斜边的坡度为1：3， ，∴α=30°， 则tanα= 3 在Rt△DCE中，DE⊥BC， DC=24m． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m）． 故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m．点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业 ●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离
AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）． （?可能用到的数据2≈1.41，3≈1.73）1题图 2如图，防洪大堤的横断面是梯形， 坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，2题图 则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）． 3题图4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（） A．25米 B．210米 C．45米
28.2.2 应用举例 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 教学目标： 1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点) 教学过程： 一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l ＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高 速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)． 解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表
示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区． 解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33 PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8km ＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步 伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数) 解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD . 解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝