解直角三角形的应用——坡度、坡角

解直角三角形的应用坡度坡角洋葱数学
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角），其他两个角度为锐角。

直角三角形具有许多实际应用，其中之一是在测量和计算斜坡的坡度和坡角。

测量斜坡的坡度是确定斜坡的陡峭程度的方法之一。

坡度以百分比表示，表示斜坡上升或下降的垂直距离与水平距离之间的比例关系。

使用直角三角形中的三角函数，可以计算斜坡的坡度。

具体而言，可以使用正切函数（tan）来计算坡度。

假设斜坡的高度为h，水平距离为d，则坡度可以用下式表示：
坡度 = h / d
另外，直角三角形还可以用来计算斜坡的坡角。

坡角指的是斜坡与水平面之间的夹角。

根据直角三角形的性质，可以使用正切函数（tan）来计算坡角。

假设斜坡的高度为h，水平距离为d，则坡角可以用下式表示：
坡角 = arctan(h / d)
最后，直角三角形还可以应用于洋葱数学中。

洋葱数学是一种应用数学方式，用于模拟和计算洋葱的形状和结构。

直角三角形可以用来计算洋葱的各个部分之间的夹角和长度。

通过将洋葱切成基于直角三角形的形状，可以使用三角函数来计算洋葱的各个部分的几何属性。

总之，直角三角形在坡度、坡角和洋葱数学等许多实际应用中
发挥着重要的作用。

通过应用三角函数和直角三角形的性质，可以计算和测量各种实际问题。

解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。

2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。

3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。

变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。

3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。

2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用（常考类型）一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】2．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．（参考数据：）3．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于E，若θ＝37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）4．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）6．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）7．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为60°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）9．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）10．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）11．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD和大楼AC的高度吗？12．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）13．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）三、解直角三角形的应用：方向角问题15．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）17．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离（结果保留根号）．18．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）20．某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，A船突然出现故障，向B，C两船发出紧急求救信号，此时C船位于B船的北偏西81°方向，距B船36海里的海域，A船位于B船的北偏东24°方向，同时又位于C船的北偏东69°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）B船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．参考答案一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，∴AC＝＝≈32.05（m），答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．2．【解答】解：解：过点A作AD⊥MN于点D，在Rt△ADB与Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知：tan10°＝＝＝，tan14°＝＝，故4AD＝DC，则＝，解得：AD＝1，答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m．3．【解答】解：地面水平线与吸热管夹角∠1与θ互余，延长ED交BC的延长线于点H，则∠H＝θ＝37°，在Rt△CDH中，HC＝，∴HF＝HC+CF＝+CF，在Rt△EFM中，EF＝（+CF）•sin37°≈＝76答：EF的长为76cm．4．【解答】解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8，∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．5．【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝＝米，答：斜坡CD的长是米．6．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝900（9﹣5）立方米．7．【解答】解：由题意知，AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10（米）∵DH＝AH﹣DA＝AH﹣（DB﹣AB）＝10﹣10+10＝20﹣10≈2.7（米）∴建筑物需要拆除．二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，∴＝，∴x＝24+8≈37.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．9．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．10．【解答】解：设MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：楼MF的高56.1米．11．【解答】解：作CE⊥BD于E，则四边形ACED为矩形，∴CE＝AD＝26，AC＝DE，在Rt△BAD中，tan∠BAD＝，则BD＝AD•tan∠BAD＝26，在Rt△BCE中，tan∠BCE＝，则BE＝CE•tan∠BCE＝，∴AC＝DE＝BD﹣BE＝，答：西塔BD的高度为26米，大楼AC的高度为米．12．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．13．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．14．【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM ＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．三、解直角三角形的应用：方向角问题15．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．16．【解答】解：（1）过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．根据题意，得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．设CD＝xkm．在Rt△ACD中，cot∠CAD＝＝，∴AD＝xkm；在Rt△BCD中，cot∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，∴BD＝xkm，BC＝xkm．∴AB＝AD﹣BD＝x＝10，∴x＝5，∴BC＝x＝10km．（2）在Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，∴AC＝2CD＝10km．17．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D由题意知，AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°，∴∠C＝45°在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，∴sin60°＝∴BD＝海里在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，∴sin45°＝∴BC＝海里答：灯塔C与码头B之间的距离为海里．18．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝9+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．19．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．20．【解答】解：（1）∵BD∥CE，∴∠DBC+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°，∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°；（2）如图，作BH⊥AC，垂足为H．在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°．∵∠ACB＝30°，∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18，∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝，∴AB＝＝＝18．则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）．答：B船约0.85小时能到达A船出事地点．21．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝230km．CD＝AC＝230km．∵丙地位于乙地北偏东66°方向，在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，∴BD＝＝（km）．∴AB＝BD+AD＝230+（km）．答：公路AB的长为（230+）km．。

第12关 解直角三角形的应用（讲义部分）知识点1 坡角、坡度题型1 坡角、坡度【例1】如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度．【解答】解：过点B 作BD AC ⊥于D ，根据题意得：23060()AD cm =⨯=，18354()BD cm =⨯=，斜坡BC 的坡度1:5i =， :1:5BD CD ∴=，5554270()CD BD cm ∴==⨯=，27060210()AC CD AD cm ∴=-=-=． AC ∴的长度是210cm ． 答：AC 的长度为210cm ．【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题，难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数 形结合思想的应用与辅助线的作法．【例2】在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，//AD BC ，坝高10m ，迎水坡面AB 的坡度53i =，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度56i =．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB 的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7m ，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米？【解答】解：（1）过点B 作BF AD ⊥于F ．在Rt ABF ∆中，53BF i AF ==，且10BF m =．6AF m ∴=，AB =．答：此大坝迎水坡AB 的长是； （2）过点E 作EG AD ⊥于G ．在Rt AEG ∆中，56EG i AG ==，且10EG BF m ==12AG m ∴=， 6AF m =，6BE GF AG AF m ∴==-=，如图，延长EC 至点M ，AD 至点N ，连接MN ，方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．ABE CMND S S ∆=梯形，∴11()22BE EG MC ND EG =+ 即BE MC ND =+．6 2.7 3.3()DN BE MC m =-=-=． 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3m ．【点评】本题考查直角三角形应用，（1）过点B 作BF AD ⊥于F ，在直角三角形ABF 中从而 解得AF ，AB 的长度；（2）作辅助线，由ABE CMND S S ∆=梯形，解方程组得到ND ．【例3】如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下HD 长的人行道，问人行道HD 的长度是( )米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：1.414≈ 1.732)≈A ．2.7B ．3.4C ．2.5D ．3.1【解答】解：根据题意可知：90CBA ∠=︒，45CAB ∠=︒， 45ACB ∴∠=︒， 10AB CB ∴==， 10AH =，设DH x =，则10AD AH DH x =-=-，20BD AD AB x ∴=+=-， 在Rt DCB ∆中，30CDB ∠=︒，tan30BCBD∴︒=，即1020x =-， 解得 2.7x ≈．所以人行道HD 的长度是2.7米． 故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角．【例4】小明想测量一棵树的高度，他发现树影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30︒，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 米．【解答】解：延长AC 交BF 延长线于D 点，则30CFE ∠=︒，作CE BD ⊥于E ，在Rt CFE ∆中，30CFE ∠=︒，4CF m =，2CE ∴=（米)，4cos30EF =︒=)， 在Rt CED ∆中，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，2CE =（米)，:1:2CE DE =，4DE ∴=（米)，12BD BF EF ED ∴=++=+)在Rt ABD ∆中，11(126)22AB BD ==+=（米)．故答案为：6)+．【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线 得到AB 的影长．知识点2 俯角、仰角题型2 俯角、仰角【例5】如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60︒，又从A 点测得D 点的俯角β为30︒，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( )A ．20米B ．米C ．米D ．【解答】解：点G 是BC 中点，//EG AB ，EG ∴是ABC ∆的中位线， 230AB EG ∴==米，在Rt ABC ∆中，30CAB ∠=︒，则tan 30BC AB BAC =∠== 如图，过点D 作DF AF ⊥于点F ．在Rt AFD ∆中，AF BC ==则tan 10FD AF β===米，综上可得：301020CD AB FD =-=-=米． 故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的 知识求解相关线段的长度．【例6】如图，某电信公司计划修建一条连接B 、C 两地的电缆．测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30︒、45︒，在B 处测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200m ，求电缆BC 的长．（结果可保留根号）【解答】解：过B 点分别作BE CD ⊥、BF AD ⊥，垂足分别为E 、F ．设BC xm =． 60CBE ∠=︒，12BE x ∴=，CE =．200CD =，200DE x ∴=．200BF DE ∴==，12DF BE x ==．45CAD ∠=︒， 200AD CD ∴==．12002AF x ∴=-．在Rt ABF ∆中，2002tan 3012002BF AF x ︒==-，解得1)()x m =． 答：电缆BC至少200)m【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．【例7】如图，小山顶上有一信号塔AB ，山坡BC 的倾角为30︒，现为了测量塔高AB ，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45︒，然后顺山坡向上行走100米到达E 处，再测得塔顶仰角为60︒，求塔高AB1.73≈1.41)≈【解答】解：依题意可得：30AEB EAB ∠=∠=︒，15ACE ∠=︒，又AEB ACE CAE ∠=∠+∠ 15CAE ∴∠=︒，即ACE ∆为等腰三角形， 100AE CE m ∴==，在Rt AEF ∆中，60AEF ∠=︒，cos6050EF AE m ∴=︒=，sin 60AF AE =︒=， 在Rt BEF ∆中，30BEF ∠=︒，tan3050BF EF ∴=︒==，58AB AF BF ∴=-==≈（米)． 答：塔高AB 大约为58米．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表 示出相关线段的长度，难度一般．【例8】某学校门前一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度DE 为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离CD 不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机A 与斑马线前后两端的视角FAE ∠、FAD ∠的大小分别为15︒和30︒，司机距车头的水平距离BC 为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？(E 、D 、C 、B 四点在平行于斑马线的同一直线上．)（参考数据：tan150.27︒≈，sin150.26cos150.97︒≈︒︒≈ 1.73≈ 1.41)≈【解答】解：15FAE ∠=︒，30FAD ∠=︒，15EAD ∴∠=︒， //AF BE ，15AED FAE ∴∠=∠=︒，30ADB FAD ∠=∠=︒， EAD AED ∴∠=∠， 4AD DE ∴==米．在直角三角形ADB 中，30ADB ∠=︒，cos30 3.46BD AD ∴=︒=≈米，3.460.8 2.662CD BD BC ∴=-≈-=>米， 故该旅游车停车符合上述安全标准．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，其中涉及到平行线的性质，等腰三角形的判定，锐 角三角函数的定义，根据题意找出符合条件的直角三角形，利用直角三角形的性质进 行解答是解决本题的关键．知识点3 方向角题型3 方向角方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）.【例9】如图，已知B 港口位于A 观测点东偏北67︒（即67)DAB ∠=︒方向，且B 到A 观测点正东方向的距离BD 长为46海里，一艘货轮从B 港口以40海里/h 的速度沿45ABC ∠=︒的BC方向航行．现测得货轮C 处位于A 观测点东偏北82︒（即82)DAC ∠=︒方向，求此时货轮C 到AB 之间的最短距离（精确到0.1海里）．（参考数据：sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，tan67 2.36︒≈，sin820.99︒≈，cos820.14︒≈．tan827.12︒≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27)︒≈【解答】解：过C 作CH AB ⊥于H ，在Rt ABD ∆中，46BD =，67BAD ∠=︒，4650sin 670.92BD AB ∴===︒，45ABC ∠=︒， CH BH ∴=， 82DAC ∠=︒， 15CAB ∴∠=︒， 设CH BH x ==，tan150.27CH xAH ∴==︒， 500.27xx ∴+=，解得：10.6x ≈，∴货轮C 到AB 之间的最短距离是10.6海里．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据已知构造直角三角形得出BH 的长是解题关键．【例10】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，在景区道路CD 的C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，另一端B 位于北偏东45︒方向，又测得AC 为100米，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）． （参考数据：27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【解答】解：过C 作CE AB ⊥于E ，如图所示：则90CEA CEB ∠=∠=︒，由题意得：42ACE ∠=︒，45BCE ∠=︒，BCE ∴∆是等腰直角三角形， BE CE ∴=，sin AE ACE AC ∠=，cos CEACE AC∠=， 27sin 4210067.540AE AC ∴=⨯︒≈⨯=（米)，3cos42100754CE AC =⨯︒≈⨯=（米)，75BE CE ∴==米，67.575142.5143AB AE BE ∴=+=+=≈（米)； 答：木栈道AB 的长度为143米．【点评】本题考查解直角三角形-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三 角形解决问题，属于中考常考题型．【例11】如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A 、B 两艘巡船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ．B 两船相距1)海里，船C 在船A 的北偏东60︒方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75︒方向上．已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在去营救的途中有1.41≈， 1.73)≈【解答】解：如图，作CE AB ⊥，由题意得：45ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒， 设AE x =海里，在Rt AEC ∆中，tan 60CE AE =︒=；在Rt BCE ∆中，BE CE =．1)AE BE x ∴+=+=， 解得：100x =． 2200AC x ==．在ACD ∆中，60DAC ∠=︒，75ADC ∠=︒，则45ACD ∠=︒． 过点D 作DF AC ⊥于点F ，设AF y =，则DF CF ==，200AC y ∴=+=，y=，解得：1)∴==≈海里，DF1)126.29>，126.29100所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．第12关 解直角三角形的应用（题册部分）【课后练1】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡比为41:3i =的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m【解答】解：水平距离为4m ，坡比为41:3i =， ∴铅直高度为3434m ⨯=． 根据勾股定理可得：5()m ．故选：A ．【课后练2】水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，60B ∠=︒，背水坡面CD 的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED ，CE 的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度．【解答】解：（1）分别过A 、D 作AF BC ⊥，DG BC ⊥，垂点分别为F 、G ，如图所示．在Rt ABF ∆中，16AB =米，60B ∠=︒，sin AFB AB=，∴在矩形AFGD 中，16AF ==（米)，DG =米 11822DCE S CE DG ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=（平方米）需要填方：150⨯=；（2）在直角三角形DGC 中，DC =24GC ∴=米， 32GE GC CE ∴=+=米，坡度:324i DG GE ===．【课后练3】如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30︒，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60︒，已知小敏同学身高()AB 为1.6m ，则这棵树的高度为( )（结果精确到0.1m 1.73)≈．A ．3.5mB ．3.6mC ．4.3mD ．5.1m【解答】解：设CD x =，在Rt ACD ∆中，CD x =，30CAD ∠=︒， 则tan30::CD AD x AD ︒==故AD ，在Rt CED ∆中，CD x =，60CED ∠=︒， 则tan60::CD ED x ED ︒==故ED x ，由题意得，4AD ED -=，解得：x =则这棵树的高度 1.6 5.1m =+≈． 故选：D ．【课后练4】如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60︒角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30︒，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．【解答】解：过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，30CAH ∠=︒， 1.5AB DH ∴==，6BD AH ==， 在Rt ACH ∆中，tan CHCAH AH∠=， tan CH AH CAH ∴=∠，tan 6tan306CH AH CAH ∴=∠=︒==)， 1.5DH =，1.5CD ∴=， 在Rt CDE ∆中，60CED ∠=︒，sin CDCED CE∠=，(4sin60CDCE ∴==︒（米)，答：拉线CE 的长为(4+米．【课后练5】某校数学兴趣小组假期实地测量南淝河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的南岸边点A 处，测得河的北岸边点C 在其东北方向，然后向南走20米到达点B 处，测得点C 在点B 的北偏东30︒方向上． （1）求ACB ∠的度数；（2）求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据： 1.41≈ 1.73)【解答】解：（1）如图，延长CA 于点D ，交直线CE 于点D ，则BD CD ⊥， 90CDB ∴∠=︒，根据题意可知：45ACD ∠=︒，30BCD ∠=︒， 15ACB CAD B ∴∠=∠-∠=︒；（2）45ACD ∠=︒，30BCD ∠=︒，20AB =， ∴在Rt ACD ∆中，AD CD =，在Rt CBD ∆中，tan BD ADBCD CD AD AB∠==+，20ADAD =+， 解得27()AD m ≈．答：这段河的宽度约为27米．【课后练6】很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了一个测速观察点，现测得测速点A 的西北方向有一辆小型轿车从B 处沿西向正东方向行驶，2秒钟后到达测速点A 北偏东60︒的方向上的C 处，如图．（1）求该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是多少千米/时（精确到1千米/时）？（参考数据： 1.4 1.7)≈（2）我国交通法规定：小轿车在高速路行驶，时速超过限定速度10%以上不到50%的处200元罚款，扣3分：时速超过限定速度50%以上不到70%的处1500元罚款，扣12分；时速超过限定时速70%以上的处1500元罚款，扣12分．若该高速路段限速120千米/时，你认为该小轿车驾驶员会受到怎样的处罚．【解答】解：（1）过A 作AD BC ⊥于D ，由题意得，40AD m =，45BAD ∠=︒，60CAD ∠=︒，40BD AD ∴==，CD ==40BC BD CD ∴=+=+∴197/km h ≈； （2）19712064%120-=，50%64%70%<<，∴处1500元罚款，扣12分．。