2016届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学(文)试题

2016年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）理科一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是A. B. C. D.3. 如图所示的程序运行后输出的结果是x=3y=7IF x<0 THENx=y+5ELSEx=y-2y=y+1ENDIFPRINT x-yENDA. B. C. D.4. 如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于，那么A. B. C. D.5. “吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于年月日规定室内场所禁止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄分别为岁、岁、岁和岁者，其得肺癌的相对危险度依次为，，，；每天吸烟支数分别为，，者，其得肺癌的相对危险度分别为，和．用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是A. B. C. D.6. 哈尔滨文化公园的摩天轮始建于年月日，年月日竣工，是当时中国第一高的巨型摩天轮．其旋转半径为米，最高点距地面米，运行一周大约分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时他距地面大约为米．A. B. C. D.7. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，如图，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天?A. B. C. D.8. 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则A. B. C. D.9. 如图是某一几何体的三视图，则该几何体的体积是A. B. C. D.10. 已知点在的图象上，若满足时的最小值为，则的取值范围是A. B. C. D.11. 已知点是的外心，，，则的取值范围是A. B. C. D.12. 已知函数在上可导，且，则与的大小关系为A. B.C. D. 以上答案都不对二、填空题（共4小题；共20分）13. 二项式的展开式中常数项为．14. 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是．15. 若函数（为自然常数）的图象上存在点满足约束条件则实数的取值范围是．16. 一个棱长为的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求的值；（2）若角是钝角，且，求的取值范围．18. 近两年双网购受到广大市民的热捧．某网站为了答谢老顾客，在双当天零点整，每个金冠买家都可以免费抽取元或者元代金券一张，中奖率分别是和．每人限抽一次，中奖．小张、小王、小李、小赵个金冠买家约定零点整抽奖．（1）试求这人中恰有人抽到元代金券的概率；（2）这人中抽到元、元代金券的人数分别用，表示，记，求随机变量的分布列与数学期望．19. 如图，已知多面体中，为菱形，，平面，，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．20. 椭圆：的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于．直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于，两点，交于，两点．（1）求的标准方程；（2）求四边形的面积的最大值．21. 已知函数（为自然对数的底数）．（1）求函数的最大值；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.22. 如图，已知线段为的直径，为的切线，切点为，为上一点，且．（1）求证：为的切线；（2）若的半径为，，求的长．23. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（是参数），圆的参数方程为（是参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆，圆的极坐标方程；（2）射线同时与圆交于，两点，与圆交于，两点，求的最大值．24. 已知函数，函数，其中为实数．（1），，且是的子集，求的取值范围；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. A2. D 【解析】由题意得，，所以，故其在复平面内对应的点是．3. B 【解析】模拟程序语言的运行过程，如下；，，不成立，，，．4. C 【解析】由题意得，，，，所以所有数之和为，．5. D【解析】分析题意可知，和呈负相关的关系，与呈正相关的关系，所以．6. B 【解析】由题意得，最低点距离地面（米），又，即分钟时离地面高度约为（米）．7. B 【解析】由题意得，孩子出生的天数为七进制下的，将其转化为十进制为＝．8. A 【解析】由题意得，，为椭圆的两个焦点，所以，所以．9. B 【解析】如图所示，该几何体为长方体截去几何体所得，根据对称性可知，所求体积为．10. C【解析】由题意得，，所以，所以，．11. D 【解析】设，，分别为角，，的对边，由正弦定理（为的外接圆半径），得，，所以所以当时，有最大值，当时，有最小值，即的取值范围是．12. B 【解析】求积分可得出，，故，令，可得，所以．第二部分13.【解析】，令，得，所以常数项为．14. 丙【解析】分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙．15.【解析】画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示．当的图象与直线相切时，令得，故切点为，此时；当的图象经过点时，，．故实数的取值范围是．16.【解析】分析题意可知，当大正四面体的内切球的半径与所求小正四面体的外接球的半径相等时，所求小正四面体的棱长最大，设所求小正四面体的棱长为，则，．第三部分17. （1）由正弦定理及已知得，，所以，所以．因为，所以，所以．（2），所以因为，所以，所以由得的取值范围是．18. （1）设“这人中恰有人抽到元代金券”为事件，其中，则．（2）易知可取，，，，的分布列为．19. （1）连接交于，则，又平面，平面，则．又，则平面，又平面，则．又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）以为空间直角坐标系的原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，．所以，，所以，所以．求得平面的一个法向量为，求得平面的一个法向量为．设所求二面角为，则有．又因为所求二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为．20. （1）由题意得，所以．因为，所以，所以，所以的标准方程为．（2）①当直线，的斜率均存在时，设：，则：．由得，设，两点的坐标分别为，，则所以．圆心到直线：的距离，由，得．，因为，所以四边形．整理得，四边形因为，所以四边形．②当直线的斜率为时，．，四边形③当直线的斜率不存在时，．，，所以四边形综上，四边形的面积的最大值为．21. （1）函数的定义域为，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．因此，在处取得极大值，也是最大值，最大值为（2）由题意，存在，，使得成立，即，因为，，所以，①当时，，在上单调递减，所以，即，适合题意．②当时，，在上单调递增，所以，即，适合题意．③当时，若，，在上单调递减；若，，在上单调递增；所以，即，（*）由（1）知，函数在上单调递减，故，而，所以不等式（*）无解．综上所述，的取值范围为或．22. （1）连接，则，如图，又，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以为的切线．（2）连接，则为直角三角形，如图，所以，所以，又，所以．23. （1）圆，圆，故圆，圆．（2）当时，的极坐标为，的极坐标为，所以，所以，因为，所以当，即时，取得最大值．24. （1），．因为是的子集，所以所以．（2）因为当且仅当时等号成立，所以，解得．第11页（共11 页）。

东北三省三校2017届高三数学第一次联合模拟考试试题文（扫描版）东北师大附中三省三校联考一模数学（文科）答案第Ⅰ卷一、选择题：1——6 ACAABD 7——12 BCADAB13． 8 14． 1415． 212- 16． 22n n n a +=17．解：（Ⅰ）sin()sin A B C A B C π++=∴+=Q sin sinBsin a c A a b C-+∴=- ——1分 由正弦定理得a c a ba b c-+=-， ——2分 即222b a c ac =+- ——4分 结合余弦定理，有1cos ,(0,)2B B π=∈，3B π∴=． ——6分 （Ⅱ）法一：223sin3b R b π==⇒= ——8分所以，22232cos23b ac ac ac ac ac π==+-≥-=（当且仅当a c =时取等）——10分 所以133sin 234S ac π=≤ ——12分 （Ⅱ）1332sin 2sin 2sin 3sin sin()2443S ac B ac A C A A π===⨯⨯=-， 23133sin (cos sin )(3sin cos sin )222A A A A A A =+=+ 331133(sin 2cos 2)sin(2)2222264A A A π=-+=-+．——10分 270,23666A A ππππ<<∴-<-<Q ， 2,62A ππ∴-=即3A π=时，S 取到最大值334． ——12分 18．解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n 个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x 人．由题意n 30090019260120+=+，得60=n ．则4543==n x 人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取． ——4分（Ⅱ）设所选的人中，有m 人年龄在30岁以下．则632140280280m==+，4=∴m ．1AA1C1BBCDE 即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作214321,,,,,B B A A A A ．——6分 则从中任取2人的所有基本事件为）（）（）（）（）（2111413121,,,,,,,,,B A B A A A A A A A ）（）（）（）（22124232,,,,,,,B A B A A A A A ),(,,,,,,,,,,212414231343B B B A B A B A B A A A ）（）（）（）（）（．共15个 ——8分其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是）（）（2111,,,B A B A ）（）（2212,,,B A B A ),(,,,,,,,,2124142313B B B A B A B A B A ）（）（）（）（． ——10分 所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为53159=．——12分 19．（Ⅰ）证明：ABC ∆Q 为正三角形，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥，BD ∴⊥面11ACC A ，从而BD DE ⊥． ——2分 连接1EC ，Q 14AA AE =，12AB AA ==，2111595,,2,5242EA ED EC C D ∴===+==，则222111,EC ED C D ED C D=+∴⊥， ——4分又1C D BD D =I ∴DE ⊥平面1BDC . ——6分 （Ⅱ）Q12AA AE=，∴112,5ED C D C E ===，132C DE S ∆∴=，——8分由（Ⅰ）知BD ⊥面11ACC A ，所以BD 为三棱锥1B C DE -的高 ——10分 所以111113333322C EBD B C DE C DE V V S BD --∆==⋅=⨯⨯=. ——12分20．解：（Ⅰ）由题意，max 11,()22322PAB c e S ab ab a ∆===⨯==，且222a b c =+. 解得1,3,2===c b a .∴椭圆的标准方程为13422=+y x . ——4分（Ⅱ）假设存在定点)0,(m D ，使得向量DN DM ⋅为定值n .①当直线l 的斜率不为0时，椭圆C 左焦点)0,1(1-F ，设直线l 的方程为1-=ty x .联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422ty x y x ，消去x ，得096)43(22=--+ty y t . 设),(),,(2211y x N y x M ，则439,436221221+-=+=+t y y t t y y . ——6分 ),(),,(2211y m x DN y m x DM -=-=.21221212121)())((y y m x x m x x y y m x m x DN DM +++-=+--=⋅2122121)2)(()1)(1(y y m y y t m ty ty ++-+---=221212)1()()1()1(++++-+=m y y t m y y t22222222)1(439)156()1(43)1(643)1(9+++---=++++-++-=m t t m m t m t t t . ——8分 若DN DM ⋅为定值n ，则493156-=--m ，即811-=m ，此时64135-=n . ——10分 ②当直线l 的斜率为0时，6413582785),0,811(),02(),02(-=⨯-=⋅--DN DM D B A ，，，亦符合题意； ——11分∴存在点)0,811(-D ，使得向量DN DM ⋅为定值64135-=n . ——12分 21．解：（Ⅰ）)0(2222)(2>+-=-+='x xax x a x x x f ——1分 .令22)(2+-=ax x x h ，162-=∆a① 当0≤a 时，0≥-ax ，0)()(>='∴xx h x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；——2分② 当40≤<a 时，0162≤-=∆a ，所以0)(≥x h ，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ——3分 ③ 当4>a 时，0162>-=∆a ，令0)(=x h ，得221216160,044a a a a x x --+-=>=>， '12'12()0(0,)(,)()0(,)f x x x x f x x x x >⇒∈+∞<⇒∈U所以，()f x 在()10,x 和()2x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减 综上，1o当1a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；2o 当1>a 时，()f x 在()10,x 和()2x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减 ——6分（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)0,2[-∈a 时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是a f -=3)1(，对任意的)0,2[-∈a ，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式23)()1(220++>++a a x f a me a 成立， 即对任意的)0,2[-∈a ，23)()1(22max 0++>++a a x f a me a 都成立.即对任意的)0,2[-∈a ，不等式014)1(22>+--+a a a me a 都成立.记14)1(2)(2+--+=a a a me a h a，则)1)(2(242)2(2)(-+=--+='aame a a a me a h . 8分)1,1[),0,2[2e e a a ∈∴-∈Θ，且20a +≥. ①当1≤m 时，10,()0ame h a '-<∴≤，即)0,2[-∈a 时，)(a h 单调递减.0)(>∴a h ，只需0)0(≥h ，解得21-≥m ，1[,1]2m ∴∈-. ——9分②当1>m 时，令0)(='a h 得2-=a 或m a ln -=，因为)0,2[-∈a ，所以0)2(2≥+a .（ⅰ）当21m e <<时，)0,2[ln -∈-m ，当(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <； 当(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，03ln 2ln )ln ()(2min >++-=-=∴m m m h a h ，解得),1(3e em ∈ ，2(1,)m e ∴∈. ——10分（ⅱ）当2m e ≥时，因为20a -≤<，所以211a e e≤<，所以1a me ≥，所以'()0h a ≥，则)(a h 在[2,0)-上单调递增，得025)2(2>-=--me h ，即252e m <.225[,)2e m e ∴∈.——11分 综上，m 的取值范围是)25,21[2e -. ——12分 22．选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）直线1C ： 2sin 3cos ()3R πρθρθθρ=-⇒=∈ ——3分 曲线2C 的普通方程为22(3)(2)1x y +++=. ——5分 （Ⅱ）3C : )(3R ∈=ρπθ，即3y x =. ——6分圆2C 的圆心到直线3C 的距离32122d -+==. ——9分 所以212134AB =-=. ——10分 23．选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ——3分当且仅当b x a ≤≤-时，等号成立，所以()f x 的最小值为4=+b a . ——5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知4=+b a ，由柯西不等式得22211()(49)(23)164923a ba b ++≥⨯+⨯=. ——7分即221116()4913a b +≥，当且仅当331221b a=，即1336,1316==b a 时，等号成立. 所以，229141b a +的最小值为1613． ——10分另法：因为4=+b a ，所以4b a =-，则2222211(4)133264(04)494936a a a a a b a --++=+=<< ——7分当1613a =时，229141b a +取最小值，最小值为1613． ——10分。

哈尔滨师大附中 2016年高三第一次联合模拟考试语文试卷本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分，其中第I卷第三、四题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，在答题卡上把所选题目对应的题号标明。

第I卷（阅读题，共70分）甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1 ~ 3题。

宗教是异常复杂的现象，宗教艺术也是这样。

中国古代留传下来的主要是佛教石窟艺术。

佛教在中国广泛传播流行，并成为门阀地主阶级的意识形态，在整个社会占据统治地位，是在频繁战乱的南北朝。

北魏与南梁先后正式宣布它为国教，是这种统治的法律标志。

佛教历经隋唐，达到极盛时期．产生出中国的禅宗教派而走向衰亡，它的石窟艺术也随着这种时代的变迁而发展变化。

印度佛教中尸毗王割肉贸鸽、摩诃王子舍身饲虎等故事大量出现在敦煌北魏洞窟的壁画中。

画面企图在肉体的极端痛苦中，突出心灵的平静和崇高。

连所谓王子、国王都如此“自我牺牲”，那就不必说一般的老百姓了，这是统治者的自我慰安和欺骗，又是他们撒向人间的鸦片和麻药。

这是一种地道的反理性的宗教迷狂，其艺术风格是激昂、狂热、紧张、粗犷的，构成了北魏壁画的基本美学特征。

黑格尔曾说，把苦痛和对于苦痛的意识和感觉当作真正的目的，在苦痛中愈意识到所舍弃的东西的价值和自己对它们的喜爱，愈长久不息地观看自己的这种舍弃，便愈发愿意感受到把这种考验强加给自己身上的心灵的丰富。

黑格尔的论述完全适合这里。

2016年东北三省三校高三第一次联合模拟(理)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．若集合[2,3]A =，2{|56}B x x x =-+，则A B =IA ．{2,3}B ．∅C ．2D ．[2,3] 2．若复数z 满足z i = 1 ＋ i ，则z 的共轭复数是 A ． 1 i -- B ．1 i + C ． 1 i -+ D ．1 i -3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是A ．1100B ．100C ．10D ．1 4．已知向量a ，b 满足(1,3)+=-a b ，(3,7)-=a b ，⋅=a bA ．－12B ．－20C ．12D ．20 5．若函数22,0,()24,0,x x x f x x +≤⎧=⎨->⎩则((1))f f 的值为A ．－10B ．10C ．－2D ．26．设,a b R ∈，若:p a b <，11:0q b a<<，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则πcos 22α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于A ．45-B ．45C ．35-D ．358．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A ．33341296433C C C A A B ．33341296C C C 3C ．3333129644C C C 4AD ．33331296C C C 4x 165 160 175155170 y585262 4360根据上表可得回归直线方程为，则A ．－96．8 B ．96．8 C ．－104．4D ．104．410．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．73B ．172 C ．13 D 17310+ 11．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||FQ QN =，则双曲线C 的离心率为 A 3B ．2C 5D 612．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象为一条连续不断的曲线，(1)(1)f x f x +=-，(1)f a =，且当0 < x < 1时，()f x 的导函数()f x '满足：()()f x f x '<，则()f x 在[2015,2016]上的最大值为 A ．a B ．0 C ．－a D ．2016二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．若实数x ，y 满足10,0,0x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．14．已知三棱锥P －ABC 中，若P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P －ABC 的内切球半径为__________．15．已知圆22(1)4x y ++=与抛物线2(0)y mx m =≠的准线交于A 、B 两点，且||23AB =则m 的值为__________．16．已知ΔABC 满足π3A =，()0AB AC BC +⋅=u u u r u u u r u u u r ，点M 在ΔABC 外，且MB = 2MC = 2，则MA 的取值范围是__________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足132a =，且131n n a a +=-，12n n b a =-． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若不等式111n n b m b ++≤-对*n ∀∈N 恒成立，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）在某批次的某种日光灯管中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下．根据寿命将灯管分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯管是优等品，寿命小于300天的灯管是次品，其余的灯管是正品．（1）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；（2）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X 的分布列和数学期望．如图，菱形ABCD中，∠ABC= 60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2．（1）求证：BD⊥平面ACFE；（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度．20．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>3，且点22,在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l经过点(1,0)P，且与椭圆C有两个交点A、B，是否存在直线l0：x= x0（其中x0 > 2），使得A，B到l0的距离dA、dB满足||||ABd PAd PB=恒成立？若存在，求x0的值；若不存在，请说明理由．已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1y bx =+． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x > 0时，e (1e)ln 10x x x x +---≥请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，多答按所答第一题评分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，EF 是⊙O 的直径，AB ∥EF ，点M 在EF 上，AM 、BM 分别交⊙O 于点C 、D ．设⊙O 的半径是r ，OM = m ．（1）证明：22222()AM BM r m +=+； （2）若r = 3m ，求AM BMCM DM+的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y = 8，圆C 的参数方程是2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线OM ：θ = α，其中π02α<<与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：π2θα=+与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求||||||||OP OQ OM ON ⋅的最大值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|3|f x m x =--，不等式()2f x >的解集为(2,4)． （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式||()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案（注：题∵，∴选项也不正确，此题无答案．建议：任意选项均可给分）13．21415．816．[1,3]17．（1）【证明】113133222n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭Q ， 12111=-=a b ，31=∴+n n b b ， ∴数列{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列．（2）【解】由（1）知，13-=n n b ，由111n n b m b ++≤-得13131n n m -+≤-，即()143331nm +≤-． 设()143331=+-n n c ，∴数列{}n c 为减数列，()1max 1==n c c ，1∴≥m ． 18．【解】（1）平均数为500.051500.12500.153500.34500.155500.26500.05370⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）X 的所有取值为0,1,2,3,4．由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为0.200.050.25+=，且1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4413()(0,1,2,3,4)44-⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k kkP X k C k ， 所以044181(0)C (1)4256P X ==⨯-=，1341110827(1)C (1)4425664P X ==⨯⨯-==， 2224115427(2)C ()(1)44256128P X ==⨯-==， 331411123(3)C ()(1)4425664P X ==⨯-==， 4404111(4)C ()(1)44256P X ==⨯-=．P 812562764271283641256所以X的数学期望1()414E X=⨯=．19．（1）【证明】Q四边形ABCD是菱形，BD AC∴⊥．⊥Q AE平面ABCD,BD⊂平面ABCDBD AE∴⊥．⋂=Q AC AE A,BD∴⊥平面ACFE．（2）【解】如图以O为原点，,OA OB为,x y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系．则(0,3,0),(0,3,0),(1,0,2),(1,0,)(0)B D E F a a-->，(1,0,)=-uuu rOF a．设平面EDB的法向量为(,,)=rn x y z，则有⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u rr uu u rn OBn OE，即3020yx z⎧=⎪⎨+=⎪⎩令1z=，(2,0,1)=-rn．由题意o2|||2|2sin45|cos,|2||||15⋅+=<>===+uu u r ruu u r ruu u r rOF n aOF nOF n a，解得3a=或13-．由0>a，得3=a．20．【解】（1）由题意得22222,31221.a b ccaa b⎧⎪⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩解得2.1,3.abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以C的方程为2214xy+=．（2）存在0x．当04x=时符合题意．当直线l斜率不存在时，0x可以为任意值．设直线l的方程为(1)y k x=-,点A,B满足22(1),1.4y k xxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩所以Ax,Bx满足2224(1)4x k x+-=,即2222(41)8440k x k x k+-+-=．所以22222222(8)4(41)(44)0,8,4144.41A BA Bk k kkx xkkx xk⎧⎪∆=-++>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩不妨设1Ax>>Bx，因为||||A Bd PB d PA⋅-⋅=2001[|||1||||1|]A B B Ak x x x x x x+-⋅---⋅-2001[2(1)()2]0A B A Bk x x x x x x=+-+++=从而220228(1)8(1)204141x k kxk k+--+=++．整理得280x-=，即4x=．综上，4=x时符合题意．21．【解】（1）'()2xf x e ax=-，由题设得，'(1)2f e a b=-=，(1)1f e a b=-=+，解得1,2a b e==-．（2）方法一：由（Ⅰ）知，[]2(),'()21210,0,1x xf x e x f x e x x x x x=-∴=-≥+-=-≥∈，故()f x在[]0,1上单调递增，所以，max()(1)1f x f e==-．方法二：由（Ⅰ）知，2(),'()2,''()2x x xf x e x f x e x f x e=-∴=-=-，'()f x∴在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，所以，'()'(ln2)22ln20f x f≥=->，所以，()f x在[]0,1上单调递增，所以，max()(1)1f x f e==-． (7)（3）因为(0)1f=，又由（2）知，()f x过点(1,1)e-，且()y f x=在1x=处的切线方程为(2)1y e x=-+，故可猜测：当0,1x x>≠时，()f x的图象恒在切线(2)1y e x=-+的上方．下证：当0x>时，()(2)1f x e x≥-+．设()()(2)1,0g x f x e x x=--->，则'()2(2),''()2x xg x e x e g x e=---=-，由（2）知，'()g x在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln21,'(ln2)0g e g g=->=<<∴<，所以，存在()0,1x∈，使得'()0g x=，所以，当()()0,1,x x∈+∞U时，'()0g x>；当(,1)x x∈，'()0g x<，故()g x在()00,x上单调递增，在(),1x上单调递减，在()1,+∞上单调递增．又2(0)(1)0,()(2)10xg g g x e x e x==∴=----≥，当且仅当1x=时取等号．故(2)1,0xe e xx xx+--≥>．由（2）知，1xe x≥+，故ln(1),1lnx x x x≥+∴-≥，当且仅当1x=时取等号．所以，(2)1ln 1x e e x x x x+--≥≥+．即(2)1ln 1x e e x x x+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+，即(1)ln 10x e e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立．22．【解】（1）作'AA EF ⊥交EF 于点'A ，作'BB EF ⊥交EF 于点'B ． 因为''A M OA OM =-，''B M OB OM =+， 所以2222''2'2A M B M OA OM +=+．从而222222''''AM BM AA A M BB B M +=+++2222('')AA OA OM =++． 故22222()AM BM r m +=+．（2）因为EM r m =-，FM r m =+，所以22AM CM BM DM EM FM r m ⋅=⋅=⋅=-．因为2222AM BM AM BM AM BM CM DM AM CM BM DM EM FM ++=+=⋅⋅⋅， 所以22222()AM BM r m CM DM r m++=-． 又因为3r m =，所以52AM BM CM DM +=．23．【解】（1）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ． 圆C 的普通方程分别是22(2)4x y +-=， 所以圆C 的极坐标方程分别是θρsin 4=． （2）依题意得，点M P ,的极坐标分别为⎩⎨⎧==,,sin 4αθαρ和⎩⎨⎧==.,8sin αθαρ 所以αsin 4||=OP ，αsin 8||=OM ，从而2||4sin sin 8||2sin OP OM ααα==． 同理，2sin ()||2||2OQ ON πα+=． 所以||||||||OP OQ OM ON ⋅222sin ()sin sin (2)22216πααα+=⋅=， 故当4πα=时，||||||||OP OQ OM ON ⋅的值最大，该最大值是161． 24．【解】（1）由已知得32x m -<-，得51m x m -<<+，即3m =． （2）()x a f x -≥得33x x a -+-≥恒成立，33()3x x a x x a a -+-≥---=-Q （当且仅当(3)()0--≤x x a 时取到等号）， 33∴-≥a 解得6a ≥或0a ≤，故a 的取值范围为 0a ≤或6a ≥．。