数列综合复习(通项与求和)

式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。
③ 然后两式相减： Sn 1 21 2 22 23
2n
2n 1 2n 1 除了首项与末项， 中
间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出
Sn 即可
Sn 1 21 2 22 23
2n 2n 1 2n 1
4 2n 1 1 22
21
2n 1 2n 1
3 2n 2n 1 6
a1 b1 2, a 4 b4 27, S4 b4 10
（1）求数列 an 与 bn 的通项公式
（2）记 Tn anb1 an 1b2
a1bn , n N * ，求证： Tn 12
2an 10bn
解：（ 1）设 an 的公差为 d ， bn 的公比为 q
则 a4 b4 27 a1 3d b1q 3 27
n
解：（ 1） a n 1 an 3 4
n1
an an 1 3 4 an 1 an 2 3 4 n 2
a2 a1 3 4
an a1 3 4 3 42 an 4n 2
3 4n 1
12 4n 1 1 41
4n 4
（2）思路：由（ 1）可得： bn n 4n 2 ，尽管整个通项公式不符合任何一种求和特征，
an an 1 1 可得： an 2 an 1 ， an 为周期是 3 的数列， 所以求和时可先求出一个周期中项
的和，再看 S2015 中含多少周期即可。
解： an 1an an 1 an 1 a n an 1 ①
an an +1 an 2 an an +1 an 2 ②
① ②得：
an an 1 an 2 an 1 an 2 an 1
微专题 54 数列求和问题

⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。

当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。

（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。

2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。

（3） 解析法：用通项公式表示。

（4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。

专题数列通项与求和问题【自主热身，归纳提炼】、等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则.【答案】【解析】由于，故，而，故，则.、对于数列{}，定义数列{}满足＝＋－(∈*)，且＋－＝(∈*)，＝，＝－，则＝.【答案】【解析】：因为＝－＝－－＝－，所以＝－＝－＝－，所以＝－＝－＝－，三式相加可得－＝－，所以＝＋＝.、设公比不为的等比数列{}满足＝－，且，，成等差数列，则数列{}的前项和为．【答案】：解后反思本题主要考查等差中项和等比中项的性质及应用，体现了等差数列和等比数列的基本量的计算问题中的方程思想，等比数列的求和要注意公比是否为.、已知等比数列{}的前项和为，若＝＋，＝＋，则公比的值为．【答案】：.当＝时，显然不满足题意；当≠时，(\\((－－)＝＋，,(－－)＝＋，))整理得(\\(－＝，＋－＝，))解得＝.、记公比为正数的等比数列{}的前项和为.若＝，－＝，则的值为．【答案】：【解析】：设公比为，且＞，又＝，则＝－.由－＝，得(＋)＝，所以＝，所以＝＝.解后反思利用＝(＋)，可加快计算速度，甚至可以心算．、设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为．【答案】：、已知数列{}满足＝－，>，＋－＝(∈*)，若数列{－}单调递减，数列{}单调递增，则数列{}的通项公式为＝.【答案】【解析】：因为＋－＝，所以当＝时，－＝.由>，＝－得＝.当＝时，－＝，得＝－或＝.因为{－}单调递减，所以＝－.当＝时，－＝，得＝或＝－.因为{}单调递增，所以＝.同理得＝－，＝.因为{－}单调递减，＝－<，所以－<.同理>.所以当为奇数时(≥)，有－－＝－－，－－－＝－.两式相加得－－＝－－.那么－＝－；－＝－；…；－－＝－－.以上各式相加得－＝－(＋＋＋…＋－)．所以＝－＝－.同理，当为偶数时，＝.所以＝(\\(－(＋)，为奇数，,(－)，为偶数.))也可以写成＝.【问题探究，变式训练】例、已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列，且＝＝，＋＝，＋＝.() 求数列{}和{}的通项公式；() 记＝，∈*，求数列{}的前项和．【解析】： () 设等差数列{}的公差为，等比数列{}的公比为.由＝＝，得＝＋，＝，＝＋.(分)。

求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。

解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。

)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。