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高中数学：第二章24-242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

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第二章 平面向量

2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、
模、夹角

[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝35，
则b＝( )
A．(－3，6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6，3)
解析：由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ＜0)，
由于|b|＝35，所以|b|＝λ2＋（－2λ）2＝5λ2＝35，所以λ
＝－3，所以b＝(－3，6)．
★答案★：A
2．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－
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2b|＝( )
A．1 B．3 C．4 D．5
解析：因为a＝(x，y)，b＝(－1，2)，
所以a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，

所以x－1＝1，y＋2＝3，解得x＝2，y＝1，
所以a＝(2，1)，
所以a－2b＝(4，－3)，所以|a－2b|＝42＋（－3）2＝5.
★答案★：D
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a·c
＝0，b∥c，则|a＋b|＝( )
A.5 B.10 C．25 D．10

解析：由a·c＝0，b∥c⇒2x－4＝0，2y＋4＝0⇒x＝2，y＝－2.
所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．
所以|a＋b|＝10，故选B.
★答案★：B
4．若a＝(2，1)，b＝(3，4)，则向量a在向量b方向上的射影
的数量为( )
A．25 B．2 C.5 D．10

解析：设a，b的夹角为θ，则|a|cos θ＝|a|·a·b|a||b|＝a·b|b|＝
2×3＋1×4
5
＝2.

★答案★：B
5．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋
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b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6 C．6 D．8
解析：法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m
－2)．
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，
解得m＝8.
法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋
32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.
★答案★：D
二、填空题
6．(2016·北京卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b
夹角的大小为________．
解析：由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2，
a·b＝1×3＋3×1＝23.

设a与b的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.
★答案★：π6
7．若|a|＝2，b＝(2，2)，a·(b－a)＋2＝0，则向量a与b的夹
角为________．
解析：因为b＝(2，2)，所以|b|＝2.
因为|a|＝2，a·(b－a)＋2＝0，
所以a·b－a2＝a·b－22＝－2，
所以a·b＝2.
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设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝22×2＝12，又θ∈[0，π]，

所以向量a与b的夹角为π3.
★答案★：π3
8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ
的取值范围是__________________．
解析：由于a与b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a与b不共线同向．

由a·b>0⇒－3λ＋10>0，解得λ<103.
当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，
因此λ的取值范围是λ<103且λ≠－65.
★答案★：λλ<103且λ≠－65
三、解答题
9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解：(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝42＋32＝5，
|b|＝（－1）2＋22＝5，

所以cos θ＝a·b|a||b|＝255＝2525.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，
2a＋b＝(7，8)，
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又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.
10．设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，
(1)试求向量2AB→＋AC→的模；
(2)若向量AB→与AC→的夹角为θ，求cos θ；
(3)求向量AB→在AC→上的投影．
解：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，

所以AB→＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
AC→＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)，
所以2AB→＋AC→＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)，
所以|2AB→＋AC→|＝ （－1）2＋72＝52.
(2)由(1)知AB→＝(－1，1)，AC→＝(1，5)，
所以cos θ＝（－1，1）·（1，5）（－1）2＋12×12＋52＝21313.

(3)由(2)知向量AB→与AC→的夹角的余弦为cos θ＝21313，且|AB→|＝
2.
所以向量AB→在AC→上的投影为|AB→|cos θ＝2×21313＝
226
13
.

B级 能力提升
1．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、
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B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确

解析：AC→＝(－1，－3)，AB→＝(3，－1)．
因为AC→·AB→＝－3＋3＝0，
所以AC⊥AB.

又因为|AC→|＝10，|AB→|＝10，
所以AC＝AB.
所以△ABC为等腰直角三角形．
★答案★：C

2．设向量a＝(1，3)，b＝(m，3)，且a，b的夹角为π3，则
实数m＝________．
解析：因为a＝(1，3)，b＝(m，3)．
所以|a|＝1＋3＝2，|b|＝m2＋3，
a·b＝m＋3.

又a，b的夹角为π3，
所以m＋3＝2m2＋3×12，
解得m＝－1.
★答案★：－1
3．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．
(1)求|a＋b|的值；
(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值；
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(3)若向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．
解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以a＋b＝(3，4)，
则|a＋b|＝5.
(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；
因为向量k a＋b与a＋2b平行，

所以8(2k＋1)＝16，则k＝12.
(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；
因为向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，

所以4（2k＋1）＋32>0，k≠12，
解得k>－92或k≠12.

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件

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积极 主动
以终 为始
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不断 更新
栏目 导引
高效学习模型
第二章 平面向量
高效学习模型-学习的完整过程
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资料
筛选
认知
栏目 导引
第二章 平面向量
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
拓展
栏目 导引
第二章 平面向量
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
5t－452＋459. ∴当 t＝45时，|a＋tb|取得最小值75 5.
栏目 导引
第二章 平面向量
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第二章 平面向量
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
第二章 平面向量
精彩推荐典例展示
名师解题 平面向量坐标表示的综合应用 例4 已知向量 a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，
b＝(cos(π2－θ)，sin(π2－θ))， (1)求证：a⊥b； (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t，使 x＝a＋(t2＋3)b， y＝－ka＋tb 满足 x⊥y，试求此时k＋t t2的最小值．
第二章 平面向量
方法感悟
1．由于两个非零向量 a、b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所以 用 cos θ＝|aa|·|bb|来判断，可将 θ 分为五种情况：cos θ＝1，θ＝0°； cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ＜0 且 cos θ≠ －1，θ 为钝角；cos θ＞0 且 cos θ≠1，θ 为锐角． 2．已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质， 可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有 关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4


状元随笔 对数量积的坐标表示的理解
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； (2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的 坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强； (3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的 坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用 中将体现更多．
解析：由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得 x＝ －1.
答案：A
4．已知 a＝(1， 3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
解析：因为 a＋b＝(－1, 3)，所以|a＋b|＝ －12＋ 32＝2. 答案：2
类型一 数量积的坐标运算
例 1 (1)设向量 a＝(1，－2)，向量 b＝(－3,4)，向量 c＝(3,2)，
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，
∴λ＝－1.
方法二 ∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，即 λa2＝2a·b，
∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即 2λ＝－2，∴λ＝－1.
【答案】 (1)C (2)－1
(1)先求→a ·→b ，再由已知求→c ·→a 最后利用 cosθ＝|→→aa |·|→→cc |，求夹 角．(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参 数的方程，求解即可．
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于它们对__应__坐__标__的__乘___积__ 的和，即 a·b＝_x_1x_2_＋__y_1_y2_
两个向量垂直 a⊥b⇔_x_1x_2_＋__y_1_y2_＝__0_
高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件

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cos a b
ab
x1 x2 y1 y2
x12 y12
第十页，共14页。
x22 y22
理论(lǐlùn)
例迁移1 已知向量(xiàngliàng)a＝(4，3),b
＝(－1，2),
求:
(1) a·b；
(2) (a＋2b)·(a－b)；
(3) |a|2－4a·b.
(1) 2；（2）17；（3）－3.
第十三页，共14页。
小结
(作1xa.i业aǎ⊥∥ojbibé)
x1 y2
x1 x2
x2 y1 0
y1 y2
0
二者有着
本质区别.
2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝角 (dùnjiǎo)），则a·b＞0（＜0），反之 不3.向成量立的. 坐标运算沟通了向量与解析几何 的内在联系，解析几何中与角度、距离、 平行(píngxíng)、垂直有关的问题，可 以考虑用向量方法来解决.
思考(sīkǎo)2：对于上述向量i、j，则i2， j2，i·j分别等于什么？
i2=1，j2=1，i·j=0.
第六页，共14页。
思考3：根据数量积的运算性质，a·b等 于(děngyú)什么？
a·b＝x1x2＋y1y2
思考4：若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积 的坐标(zuòbiāo)表示.你能用文字描述这一 结论吗？
cosθ≈－0.03，θ≈92°.
第十二页，共14页。
例4 已知向量(xiàngliàng)a＝(λ，
－2)，b＝(－3，5)，若向量
(xiàngliàng)a 与b的夹角为钝角，求λ
的取值范(围.130
,
高一数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

高一数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 3．练习： （1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：《习案》作业二十四。