2021高考数学大一轮复习考点规范练17定积分与微积分基本定理理新人教A版
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考点规范练17 定积分与微积分基本定理
考点规范练A册第11页
基础巩固
1.若∫π20(sin x-acos x)dx=2,则实数a等于( )
A.-1 B.1 C.-√3 D.√3
答案:A
解析:∵∫π20(sinx-acosx)dx=(-cosx-asinx)|0π2=-a+1=2,∴a=-1.
2.若f(x)=x2+2∫10f(x)dx,则∫10f(x)dx=( )
A.-1 B.-13 C.13 D.1
答案:B
解析:设∫10f(x)dx=c,∴f(x)=x2+2c,
则∫10f(x)dx=13x3|01+2cx|01=13+2c=c⇒c=-13,故选B.
3.(2019河北张家口质检)如图,由曲线y=x2-4,直线x=0,x=4和x轴围成的封闭图形(阴影部分)的
面积是( )
A.∫40(x2-4)dx B.|∫40𝑥2-4)d𝑥|
C.∫40|x2-4|dx D.∫20(x2-4)dx+∫42(x2-4)dx
答案:C
解析:当0≤x≤2时,S1=∫20[0-(x2-4)]dx=∫20(4-x2)dx;当2≤x≤4时,S2=∫42(x2-4)dx.
故S=S1+S2=∫20(4-x2)dx+∫42(x2-4)dx=∫40|x2-4|dx.
2
4.由曲线f(x)=√𝑥与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为83,则m的值为( )
A.2 B.3 C.1 D.8
答案:A
解析:S=∫𝑥20(m-√𝑥)dx=(𝑥𝑥-23𝑥32)|0𝑥2=m3-23m3=83,解得m=2.
5.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则时间在区间[1,2]内此质点
的位移为( )
A.176 B.143 C.136 D.116
答案:A
解析:s=∫21(t2-t+2)dt=(13𝑥3-
12𝑥2+2𝑥)|12=17
6
.
6.由直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的图形的面积为( )
A.1 B.3 C.6 D.9
答案:D
解析:由{𝑥=2𝑥,𝑥=4-2𝑥2,得{𝑥=1,𝑥=2或{𝑥=-2,𝑥=-4,
故直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的封闭图形的面积为S=∫1-2(4-2x2-2x)dx=(4𝑥-23𝑥3-𝑥2)|-21=9.
7.设f(x)=∫𝑥0sin tdt,则f(
𝑥
(
π
2
))
的值等于( )
A.-1 B.1 C.-cos 1 D.1-cos 1
答案:D
解析:∵f(π2)=∫π20sintdt=(-cost)|0π2=1,
∴f(𝑥(π2))=f(1)=∫10sintdt=(-cost)|01=1-cos1.
8.设函数f(x)=xm+ax的导函数f'(x)=2x+1,则∫21f(-x)dx的值等于( )
A.56 B.12 C.23 D.16
答案:A
3
解析:因为f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,
于是∫21f(-x)dx=∫21(x2-x)dx=(13𝑥3-
12𝑥2)|12=5
6
.
9.∫10(ex+x)dx= .
答案:e-12
解析:∫10(ex+x)dx=(e𝑥+12𝑥2)|01=e+12-1=e
-
1
2
.
10.若函数f(x)在R上可导,f(x)=x3+x2f'(1),则∫20f(x)dx=.
答案:-4
解析:因为f(x)=x3+x2f'(1),
所以f'(x)=3x2+2xf'(1).
所以f'(1)=3+2f'(1),
解得f'(1)=-3.
所以f(x)=x3-3x2.
所以∫20f(x)dx=∫20(x3-3x2)dx=(𝑥44-𝑥3)|02=-4.
能力提升
11.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若∫20f(x)dx=2f(x0),x0>0,则x0=( )
A.2 B.√32 C.1 D.2√33
答案:D
解析:∵函数f(x)=ax2+b(a≠0),
∴∫20f(x)dx=(𝑥𝑥33+𝑥𝑥)|02=
8
3
a+2b
,
又∫20f(x)dx=2f(x0),∴83a+2b=2a𝑥02+2b.
又x0>0,∴
x0=
2√3
3
.
12.某物体在力F(x)={10,0≤𝑥≤2,3𝑥+4,𝑥>2(单位:N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4 m,则力
F(x)做的功为(
)
4
A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J
答案:B
解析:力F(x)所做的功为∫2010dx+∫42(3x+4)dx=20+26=46(J).
13.如图所示,曲线y=x2和直线x=0,x=1及y=14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A.23 B.13
C.12 D.14
答案:D
解析:由x2=14,得x=12或x=-12(舍),
则阴影部分的面积为S=∫120(14-𝑥2)dx+∫112(𝑥2-14)dx=(14𝑥-13𝑥3)|012+(13𝑥3-14𝑥)|
1
2
1
=14.
14.∫e11𝑥dx+∫2-2√4-𝑥2dx= .
答案:2π+1
解析:因为∫e11𝑥dx=lnx|e1=lne-ln1=1,
又∫2-2√4-𝑥2dx的几何意义表示为y=√4-𝑥2对应上半圆的面积,
即∫2-2√4-𝑥2dx=12×π×22=2π,
所以∫e11𝑥dx+∫2-2√4-𝑥2dx=2π+1.
15.欧阳修《卖油翁》中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而
钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为b∫π02sin xdx cm的
圆面,中间有边长为a=4π∫10√1-𝑥2dx的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油,则油滴(油滴大小忽
略不计)正好落入孔中的概率是 .
5
答案:14π
解析:因为直径为b=∫π02sinxdx=(-2cosx)|π0=4cm的圆中有边长为a=4π∫10√1-𝑥2d
x=
4
π
×
π4=1cm的正方形,由几何概型的概率公式,得“正好落入孔中”的概率为P=𝑥正方形𝑥圆=12π×22=1
4π
.
高考预测
16.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=√𝑥围成一个叶形图(阴影部
分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在
叶形图内部的概率是( )
A.12 B.16 C.14 D.13
答案:D
解析:依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于∫10(√𝑥-x2)dx=13,因此所
投的点落在叶形图内部的概率等于13,选D
.
