部编版2020年高考数学一轮复习 第九单元 解三角形单元B卷 文

小题必刷卷(十三)1.B[解析] 设事件A为只用现金支付,事件B为只用非现金支付,事件C为既用现金支付也用非现金支付.由题知P(A)=0.45,P(C)=0.15,P(A)+P(B)+P(C)=0.45+P(B)+0.15=1,所以P(B)=0.4.2.A[解析] 甲不输的概率P=+=.3.D[解析] 设2名男同学分别为A1,A2,3名女同学分别为B1,B2,B3.从中选2人有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10种结果,选中的2人都是女同学的有(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共3种结果,所以所求概率P==0.3,故选D.4.D[解析] 将第一次抽取的卡片上的数记为a,第二次抽取的卡片上的数记为b,先后两次抽取的卡片上的数记为(a,b),则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),( 4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种抽取方法,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种,所以所求概率P==.5.C[解析] 从5支不同颜色的彩笔中任取2支的取法有10种,取到红色彩笔的取法有4种,故所求概率P==.6.C[解析] 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花在一个花坛的种法有2种,故所求概率P==.7.C[解析] 由古典概型公式得所求概率P==.8.C[解析] 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种取法,其中只有(3,4,5)是一组勾股数,所以构成勾股数的概率为.9.[解析] 本题为古典概型,基本事件共有36个,点数之和大于等于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4),共计6个基本事件,故点数之和小于10的有30个基本事件,所求概率为.10.[解析] 2本数学书记为数1,数2,3本书共有(数1数2语),(数1语数2),(数2数1语),(数2语数1),(语数1数2),(语数2数1)6种不同的排法,其中2本数学书相邻的排法有4种,对应的概率为P==.11.A [解析] 设AB=a ,AC=b ,BC=c ,则a 2+b 2=c 2.记△ABC 的面积为S 1,黑色部分的面积为S 2,则S 2=π + π +ab-π =π(a 2+b 2-c 2)+ ab=ab=S 1.根据几何概型的概率计算公式可知p 1=p 2.12.B [解析] 由于圆中黑色部分和白色部分关于正方形的中心(即圆心)对称,所以圆中黑色部分的面积为圆的面积的一半.不妨设正方形的边长为2,则所求的概率P== .13.C [解析] 由题意可知(x i ,y i )(i=1,2,…,n )在如图所示的正方形中,两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中.由几何概型概率计算公式知=,∴π=.14.[解析] 令6+x-x 2≥0,解得-2≤x ≤3,即定义域D=[-2,3],在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率P=-(- -(- =. 15.[解析] 若直线与圆相交,则<3,解得- <k<.由几何概型公式得P=- - -(- =.16.D [解析] 设“任取2个球,得到i 个白球”为事件A i (i=0,1,2).在A 中,“至少有1个白球”为事件A 1∪A 2,“都是白球”为事件A 2,不互斥,从而不对立;在B 中,“至少有1个白球”为事件A 1∪A 2,“至少有1个红球”为事件A 1∪A 0,不互斥,从而不对立;在C 中,“恰好有1个白球”为事件A 1,“恰好有2个白球”为事件A 2,互斥但不对立;在D 中,“至少有1个白球”为事件A 1∪A 2,“都是红球”为事件A 0,互斥且对立.故选D .17.C [解析] 由题意得试验的所有基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,故所求的概率为.18.B [解析] 甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影” 三个社团中选取一个社团加入,共有3×3=9(种)不同的结果,这两名同学加入同一个社团的结果有3种,则这两名同学加入同一个社团的概率是 =.故选B .19.B[解析] 由题意,甲同学选的两种热菜有3种情况,乙同学选的两种热菜有3种情况,所以甲、乙两名同学各自所选的两种热菜共有3×3=9(种)情况,其中甲、乙两名同学各自所选的两种热菜相同共有3种情况,故甲、乙两名同学各自所选的两种热菜相同的概率为P==,故选B.20.B[解析] 设两枚骰子向上的点数分别为X,Y,则符合X+Y为奇数的基本事件有18个,其中符合X+Y=9的基本事件有4个,故所求概率为=.21.C[解析] “未来三天恰有一天下雨”就是一组随机数的三个数字中只有一个数字属于集合{1,2,3,4},这20组数据中有925,458,683,257,027,488,730,537这8组符合题意,则所求概率为=0.4,故选C.22.B[解析] 设装饰狗的面积为S mm2,由随机模拟试验得落在装饰狗身体上的频率为,由几何概型的概率计算公式得落在装饰狗身体上的概率为,由频率估计概率得=,解得S=,故选B.23.D[解析] △ABC的面积为×4=,△ABC内切圆的半径为,则内切圆的面积为π×=,则所求概率为=,故选D.24.B[解析] 由题意可知,当PO=时,正方形A1B1C1D1内点P的轨迹为圆,圆的半径R=(-=1,如图所示,正方形A1B1C1D1内满足题意的点构成图中的阴影部分,由几何概型概率计算公式可得,所求概率P=1-=1-.25.C[解析] 正方形的面积为82,正方形的内切圆半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为π×42-π×22-4×π×12=8π,所以黑色区域的面积为82-8π,在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率P=-=1-,故选C.26.0.44[解析] 用(x,y)表示两位教师的批改成绩,则(x,y)的所有可能情况为10×10=100(种).当x=50时,y可取50,51,52,共3种可能;当x=51时,y可取50,51,52,53,共4种可能;当x=52,53,54,55,56,57时,y的取法各有5种,共30种可能;当x=58时,y可取56,57,58,59,共4种可能;当x=59时,y可取57,58,59,共3种可能.综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2 的情况有44种,由古典概型概率公式可得所求概率P==0.44.27.[解析] 记“剪得两段的长度都不小于1 m”为事件A.由已知得只有在中间1 m的绳子上剪断,才能使得剪得两段的长度都不小于1 m,则事件A发生的概率P(A)=.28.[解析] 如图所示,x轴表示快递员到小李家的时间,y轴表示小李到家的时间,由题意可得所有基本事件构成的平面区域为{(x,y)|5≤x≤6,5.5≤y≤6},设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A,则事件A包含的基本事件构成的平面区域为{(x,y)|5≤x≤6,5.5≤y≤6,x<y},如图中阴影部分所示的梯形.结合几何概型概率公式可得小李需要去快递柜收取商品的概率P==.。

第九单元 解三角形注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC △中，下列等式总能成立的是（ ）． A ．cos cos a C c A = B ．sin sin b C c A = C ．sin sin a C c A =D ．sin sin ab C bc B =2．在ABC △中，“21sin =A ”是“30A =︒”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，若60A =︒，3=BC ，2=AC ，则角B 的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．135︒D ．45︒或135︒4．在ABC △中，3BC =，4CA =，且BC CA ⋅=-ABC △的面积是（ ） A ．6B．C ．3D5．在ABC △中，π3A =，3BC =，则ABC △的周长为（ ）A．π33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B．π36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．π6sin 33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．π6sin 36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，S 为三角形的面积，已知22()S a b c =--，则cos A =（ ）A ．817B ．1517C ．1315D ．13177．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为（ ） A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时8．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．π(0,]6B ．π[,π)6C ．π(0,]3D ．π[,π)39．在ABC △中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则ABC △是（ ）． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形10．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人（ ） A ．不能做出这样的三角形B ．能做出一个锐角三角形C ．能做出一个直角三角形D ．能做出一个钝角三角形11．已知锐角A 是ABC △的一个内角，a ，b ，c 是三边，若221sin cos 2A A -=，则有（ ） A ．2b c a +>B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥12．在ABC △中，cos cos )4cos cos B B C C B C --=，且4=+AC AB ，则BC 的取值范围为（ ） A ．()4,2 B ．(]4,2 C ．[)4,2 D ．[]4,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知x 中，若120C =︒，则222sin sin sin sin sin C B A BA--= ．14．设12+a ，a ，12-a 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ．15．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C的对边，且满足cos2A ，3AB AC ⋅=，6b c +=，则a = ．16．在ABC △中，已知A B C >>且2A C =，A ，B ，C 所对的边为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等差数列且4b =，则a c -= ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）217．(10分)在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，21AB BC ⋅=-． （1）求ABC △的面积； （2）若7a =，求角C ．18．(12分)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距)13(5+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西30︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西30︒且与B 点相距20海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为710海里/小时，该求援船到达D 点需要多长时间？319．(12分)在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+- （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin =+C B ，试判断ABC △的形状．20．(12分)在ABC △中，设内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，向量14⎫=⎪⎪⎝⎭m ，(cos ,sin )A A =-n，+m n ． （1）判定ABC △的形状；（2）若2b =，a =，求ABC △的外接圆与内切圆的面积比．421．(12分)在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且ac a b C 53cos +=． （1）求A sin ，（2）若28=a ，10=b ，求BA 在BC 上的投影．22．(12分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45︒且与点A相距海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ090θ︒<<︒）且与点A相距其中C ．（1）求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明由．教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第九单元 解三角形一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C 【解析】由正弦定理CcA a sin sin =可得sin sin a C c A =，故选C ． 2．【答案】B 【解析】由1sin 2A =，且A 为ABC △为三角形的内角，∴30A =︒或150A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin AC A B BC ⋅==AC BC <，∴B A <，即60B <︒， ∴45B =︒，故选B ． 4．【答案】C【解析】设ACB θ∠=，∵cos(π)34cosBC CA BC CA θθ⋅=⋅-=-⨯=-cos θ=， ∵0πθ<<，∴1sin 2θ=，∴111sin 343222ABC S BC CA θ=⋅=⨯⨯⨯=△，故选C ． 5．【答案】D【解析】用特例法取90B ︒＝验证即可；或由正弦定理3ππ2πsin sin sin sin 333a b cB B++=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，可求得2π1sin sin 3sin sin 32a b c B B B B B ⎤⎫⎛⎫++=++-=+++⎪⎥ ⎪⎪⎝⎭⎦⎭ 3π3sin 6sin 326B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，故选D ． 6．【答案】B【解析】22222()2S a b c a b c bc =--=--+，又1sin 2S bc A =，∴2221sin 22bc A a b c bc =--+，由余弦定理知，2222cos b c a bc A +-=， ∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，即sin 4(1cos )A A =-，∴217cos 32cos 150A A -+=， 解得15cos 17A =或cos 1A =（舍去），故选B ．7．【答案】B【解析】设t 小时后，B 城市处于危险区内，则有余弦定理得：222(20)4022040cos4530t t +-⨯⨯︒≤．化简得：072842≤+-t t，∴2221=+t t ，4721=⋅t t ，从而121t t -=， 故选B ． 8．【答案】C【解析】∵222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，∴由正弦定理得，222a b c bc ≤+-，即222b c a bc +-≥，∴222122b c a bc +-≥，即1cos 2A ≥，∵A 是三角形的内角，∴π03A <≤，故选C ．9．【答案】D【解析】由余弦定理得22222222222()()()()222ab a c b ac a b c b c b c a ac ab bc+-+--+--=， ∴22222222222()()()()b a c b c a b c b c b c a c b bc+-+--+--=，整理得222a c b =+或c b =，故选D ． 10．【答案】D【解析】假设能做出ABC △，设ABC △的面积为S ，则三条高113，111，15对应的边分别为26a S =，22b S =，10c S =，由余弦定理得，222222(22)(10)(26)23cos 022*******b c a S S S A bc S S +-+-===-<⨯⨯，∴A ∠为钝角，故选D ．11．【答案】C【解析】∵221sin cos 2A A -=，∴1cos22A =-，又A 为锐角，∴π3A =，∴1cos 2A =， 由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴222222222244442336()3()()a b c bc b c bc b c bc b c b c b c =+-=++++-=++-≥+， 即2a b c ≥+，故选C ． 12．【答案】C 【解析】)cos cos 4cos cos B BC C B C --=3sin sin cos cos sin)cos cos 4cos cosB C B C B C B C B C ⇔++=)3cos()sin B C B C A A ⇔+=-+⇔=，∴3tan =A ，60A =︒，∴22222cos ()3163BC AB AC AB AC A AB AC AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=-⋅， ∵202AB AC AB AC +⎛⎫<⋅≤ ⎪⎝⎭，∴40≤⋅<AC AB ，∴1642<≤BC ，42<≤BC ，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】1【解析】∵120C =︒，∴222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，∴222222sin sin sin sin 1sin C B A B c b ab A a ----==．14．【答案】(2,8)【解析】∵210a ->，∴12a >，∴最大边为21a +，∴21a +对的角为钝角， ∴222(21)(21)02(21)a a a a a-+-+<-，解得80<<a ．又∵2121a a a -+>+，∴2a >， ∴28a <<． 15．【答案】【解析】∵cos 2A =，∴223cos 2cos 12125A A =-=⨯-=⎝⎭，∵3AB AC ⋅=， ∴cos 3bc A =，则5bc =，又6b c +=，∴15b c =⎧⎨=⎩或51b c =⎧⎨=⎩，故2222cos a b c bc A =+-325125205=+-⨯⨯=，∴a =16．【答案】85【解析】由sin sin a c A C =且2A C =得，2sin cos sin a c C C C =，∴cos 2a C c=，又222cos 2a b c C ab +-=，∴22222a a b c c ab +-=，又28a c b +==，解得4a c ==，或245a =，165c =，∵A B C >>，∴a c >， 故24168555a c -=-=．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）14；（2）45︒．【解析】（1）∵21AB BC ⋅=-，21BA BC ⋅=，cos BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅∴35ac =，∵1ABCS = （2）∵35ac =，7a =，∴5c =，由余弦定理得，2222cos32b a c ac B =+-=，∵c b <且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒． 18．【答案】1小时．【解析】由题意知45DAB ∠=︒，60DBA ∠=︒，∴75ADB ∠=︒． 在ADB △中，有sin 45sin 75BD AB =︒︒，∴sin 4510sin75ABBD ︒==︒，又120CBD ∠=︒，∴100CD =因为求援船的航行速度为710海里/小时，所以求援船到达D 点需要1小时． 19．【答案】）（1）60︒；（2）正三角形．【解析】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-，由正弦定理得c b c b c b a )2()2(22-+-=，即222a c b bc -+=，∴212cos 222=-+=bc a c b A ，∴60A =︒． （2）∵180A B C ++=︒，∴180120B C A +=︒-=︒． 由3sin sin =+C B ，得sin sin(120)B B +︒-∴3sin 120cos cos 120sin sin =-+B B B，∴3cos 23sin 23=+B B ，∴1cos 21sin 23=+B B ，即sin(30)1B +︒=，∵120B C +=︒，∴0120B ︒<<︒， ∴3030150B ︒<+︒<︒，∴3090B +︒=︒，∴60B =︒，∴60A B C ===︒， 所以ABC △为正三角形．20．【答案】（1）直角三角形；（2）3+【解析】（1）∵1cos ,sin 4A A ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭m n且+m n ，∴2213cos sin 44A A ⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即223113cos sin sin161624A A A A ++-+=11sin 22A A -=-， 即π1cos 62A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角，∴π2A =，故ABC △为直角三角形．（2）由（1）知222b c a +=，又2b =，a =，∴2c =，a =；∴ABC△外圆的半径12R a ==22b c ar +-==∴面积比为223)22(2222+=-=r R ． 21．【答案】（1）45；（2． 【解析】（1）∵3cos 5b c C a a =+，∴3cos 5a Cbc =+，由正弦定理得3sin cos sin sin 5A C B C =+，∴3sin cos sin()sin 5A C A C C =++，即3sin cos sin cos cos sin sin 5A C A C A C C =++，∴3cos sin sin 05A C C +=，∵(0,π)C ∈，sin 0C>，∴3cos 5A =-，∴4sin 5A =．（2）由正弦定理得Bb A a sin sin =，∴410sin sin b A B a ⨯=== ∵53cos -=A ，∴A 为钝角，∴B 为锐角，∴π4B =．∵ac a b C 53cos +=，由余弦定理得222325a b c b cab a a +-=+，把28=a ，10=b 代入，解得2=c ． 所以BA 在BC上的投影为cos cos BA B c B ==22．【答案】（1）(海里/小时)；（2）会，见解析．【解析】（1）如图，240=AB ，1310=AC ，其中BAC θ∠=，2626sin =θ， 由于090θ︒<<︒，所以cos θ=，由余弦定理得BC ==，3=海里/小时)． （2）如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ，在ABC △中，由余弦定理得，222222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠===⋅，从而sin ABC ∠=，在ABQ △中，由正弦定理得：sin sin 45AB ABC AQ ABC ∠=︒-∠（）， 由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15QE AE AQ =-=． 过点E 作BC EP ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt QPE △中，sin sin(45)157PE QE PQE QE ABC =⋅∠=⋅︒-∠==， 所以若该船不改变航行方向继续行驶，船会进入警戒水域．。

单元质检四 三角函数、解三角形(B )(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.为了得到函数y=sin (x +π3)的图象,只需把函数y=sin x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度,为得到函数y=sin (x +π3),只需把函数y=sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度,故选A .2.(2018福建厦门适应性考试)已知tan θ+1tan x =4,则cos 2(x +π4)=( )A.15B.14C.13D.12tan θ+1tan x=4,得sin x cos x +cos xsin x =4, 即sin 2x +cos 2x sin x cos x=4,∴sin θcos θ=14,∴cos 2(x +π4)=1+cos (2x +π2)2=1-sin2x2=1-2sin x cos x2=1-2×142=14.3.将函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移φ(0<x <π2)个单位后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π3,则φ=( )A.5π12B.π3C.π4D.π6,g(x)=sin(2x-2φ).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=π2+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-π2+2mπ(m∈Z),则x1-x2=π2-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).因为|x1-x2|min=π3,0<φ<π2,所以当k-m=0,即k=m时,有π2-φ=π3,解得φ=π6.故选D.4.(2018全国Ⅲ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为x2+x2-x24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6S=x2+x2-x24=12ab sin C,得c2=a2+b2-2ab sin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,∴sin C=cos C,即C=π4.5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cos C),则△ABC周长的取值范围是()A.(1,3]B.[2,4]C.(2,3]D.[3,5]ABC中,由余弦定理可得2cos C=x2+x2-x2xx.∵a=1,2cos C+c=2b,∴1+x2-x2x+c=2b,∴(b+c)2-1=3bc.∵bc≤(x+x2)2,∴(b+c)2-1≤3×(x+x2)2,即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.故a+b+c≤3.∵b+c>a=1,∴a+b+c>2.故△ABC的周长的取值范围是(2,3].6.已知f(x)=A sin(ωx+φ)(x>0,x>0,|x|<π2)满足f(x)=-f(x+π2),对任意的x都有f(x)≤f(π6)=2,则g(x)=A cos(ωx+φ)在区间[0,π2]上的最大值为()A.4B.√3C.1D.-2f(x)=-f(x+π2),知f(x+π)=-f(x+π2)=f(x),故f(x)的周期为π.所以2πx=π,解得ω=2.由对任意的x都有f(x)≤f(π6)=2知,当x=π6时,f(x)取最大值,且最大值为2.所以π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,且A=2,故φ=2kπ+π6,k∈Z.又因为|φ|<π2,所以φ=π6.所以g(x)=2cos(2x+π6).因为x∈[0,π2],所以2x+π6∈[π6,7π6].由余弦函数的图象知g(x)max=2cosπ6=√3,故选B.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为m.,设电视塔AB 高为x m,则在Rt △ABC 中,由∠ACB=45°得BC=x.在Rt △ADB 中,∠ADB=30°,则BD=√3x.在△BDC 中,由余弦定理得,BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos120°,即(√3x )2=x 2+402-2·x ·40·cos120°,解得x=40,所以电视塔高为40m .8.已知△ABC ,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD ,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .√104,取BC 中点E ,DC 中点F ,由题意知AE ⊥BC ,BF ⊥CD.在Rt △ABE 中,cos ∠ABE=xxxx=14,∴cos ∠DBC=-14,sin ∠DBC=√1-116=√154. ∴S △BCD =12×BD ×BC ×sin ∠DBC=√152. ∵cos ∠DBC=1-2sin 2∠DBF=-14,且∠DBF 为锐角, ∴sin ∠DBF=√104. 在Rt △BDF 中,cos ∠BDF=sin ∠DBF=√104. 综上可得,△BCD 的面积是√152,cos ∠BDC=√104. 三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知cos 2A-3cos(B+C )=1.(1)求角A 的大小;(2)若△ABC 的面积S=5√3,b=5,求sin B sin C 的值.由cos2A-3cos(B+C )=1,得2cos 2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 解得cos A=12(cos A=-2舍去). 因为0<A<π,所以A=π3.(2)由S=12bc sin A=√34bc=5√3,可得bc=20.由b=5,解得c=4.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=25+16-20=21, 故a=√21.由正弦定理,得sin B sin C=x x sin A ·x x sin A=xxx 2sin 2A=2021×34=57. 10.(15分)(2018山东济南二模)在△ABC 中,AC=BC=2,AB=2√3,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求BM 的长;(2)设D 是平面ABC 内一动点,且满足∠BDM=2π3,求BD+12MD 的取值范围.在△ABC 中,AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C ,代入数据得cos C=-12.∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CM=MA=12AC=1.在△CBM 中,由余弦定理知,BM 2=CM 2+CB 2-2CM ·CB ·cos C ,代入数据得BM=√7. (2)设∠DBM=θ,则∠DMB=π3-θ,θ∈(0,π3). 在△BDM 中,由正弦定理知xxsin (π3-x )=xx sin x =xxsin2π3=√7√3.∴BD=√7√3sin (π3-x ),MD=√7√3sin θ,∴BD+12MD=√7√3sin (π3-x )+√7√3sin θ=√7√3√3cos θ-sin θ+sin θ)=√7cos θ.又θ∈(0,π3),∴cos θ∈(12,1),∴BD+12MD 的取值范围为(√72,√7).11.(15分)已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(3,-√3),x ∈[0,π]. (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.因为a =(cos x ,sin x ),b =(3,-√3),a ∥b ,所以-√3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin 2x+cos 2x=1矛盾, 故cos x ≠0.于是tan x=-√33. 又x ∈[0,π],所以x=5π6.(2)f (x )=a ·b =(cos x ,sin x )·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos (x +π6).因为x ∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos (x +π6)≤√32. 于是,当x+π6=π6,即x=0时,f (x )取到最大值3; 当x+π6=π,即x=5π6时,f (x )取到最小值-2√3.。

第九章单元质量评估一、单项选择题（每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

若∠A ＝60°，c ＝2，b ＝1，则a ＝（ B ）A ．1B.错误! C ．2D ．3 解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×12＝3，从而a ＝错误!。

2．△ABC 中，a ＝2，∠A ＝30°，∠C ＝45°，则S △ABC ＝（ C ) A 。

错误! B ．2错误!C 。

错误!＋1 D.错误!（错误!＋1）解析:∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝105°，且sin105°＝sin75°＝sin(30°＋45°）＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝错误!.又由正弦定理：c ＝错误!＝错误!＝2错误!。

∴S △ABC ＝错误!ac sin B ＝1＋错误!。

3．在△ABC 中,已知三边a ，b ,c 满足a 2－2ab ＝c 2－b 2，则∠C 等于( A )A.错误! B 。

错误! C.错误! D 。

错误!解析：由已知得a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝错误!，故∠C ＝错误!.故选A.4．钝角三角形ABC 的面积是错误!,AB ＝1，BC ＝错误!,则AC ＝（ B )A．5 B。

错误!C．2 D．1解析：由题意可得错误!AB·BC·sin B＝错误!，又AB＝1，BC＝错误!，所以sin B＝错误!，所以∠B＝45°或∠B＝135°，当∠B＝45°时，由余弦定理可得AC＝错误!＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝错误!,易得∠A ＝90°，与已知条件“钝角三角形"矛盾,舍去．所以∠B＝135°.由余弦定理可得AC＝错误!＝错误!。