2011高考数学一轮复习精品题集之解三角形

高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

正弦
sin2α＝__2_s_i_n_α_c_o_sα___
ห้องสมุดไป่ตู้余弦
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝ 1－2sin2α
正切 3.降次公式
tan2α＝
2 tan 1 tan2
简写形式 S2α C2α
T2α
cos2α＝1＋c2os2α；sin2α＝1－c2os2α.
4．辅助角公式


π 2
,，π2
则选正弦函数.
【互动探究】
2．已知 α，β 为锐角，且 cosα＝
110，cosβ＝
1 ，为了求 5
α＋β的值，要先求 sin(α＋β) 或 cos(α＋β)，你认为选
3π
__c_o_s(_α_＋__β_)___更好．最后求得α＋β＝______4_.
难点突破 ⊙三角函数公式的综合应用
asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)． 其中 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2， tanφ＝ba，角 φ 称为辅助角．
1．下列各式的值为14的是( D )
A．2cos21π2－1
B．1－2sin275°
C．1－2tatann2222.25.°5°
D．sin15°cos15°
三角函数 正弦 余弦
正切
两角差
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan(α－β)＝
tanα－tanβ 1＋tanαtanβ
简写形式 Sα＋β Cα＋β
Tα＋β
简写形式 Sα－β Cα－β Tα－β
2．二倍角的三角函数
三角函数

sin cos − cos sin = 0，即sin − = 0.因为B, ∈ 0, π ，所以 = .故
△ 为等腰三角形.故选B.
【点拨】利用三角恒等变换判断三角形的形状，主要是考虑三角形内角和为180∘ ，
结合诱导公式与和、差、倍角公式进行推断.
变式4 在△ 中，若sin − = sin ，则△ 是(
又sin =
10
= − ，所以cos
10
5
2 5
，所以cos =
.
5
5
− =
所以sin = sin [ − − ]
= sin cos − − cos sin −
=
5
3 10
×
5
10
π
4
−
2 5
×
5
所以 = .故选C.
−
10
10
=
2
.
2
3 10
.
10
= + − = − + 等.②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的
目的，其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.③变式，根据式子的结构特征进行变形，
使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其方法通常有“常值代换”（如1 =
π
tan ,
4
1 = sin 2 + cos 2 )“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.其中角
+ =
4
− .
5
3
5
于是sin = sin [ + − ] = sin + cos − cos( + )sin = ×

3
3
tan
(2)(2024·四川绵阳诊断测试)已知
4
A.±
5
3
B.5
3
解析 由 tan α=4,α∈[0,π],知
16
2
于是 cos α= .
25
4
又 cos α>0,所以 cos α= .
5
3
tan α=4,α∈[0,π],则 cos α 的值为(
4
4
C.
D.5
5
π
α∈(0,2),sin
3
α=4cos
______
-tan α
______
sin α
______
-cos α
-tanα
______
______
cos α
cos α
______
______
sin α
-sin α
—
—
函数名改变,符号看象限
微思考诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.如何理解这里的
“奇”“偶”“变”“不变”?
提示
π
“奇”“偶”指的是“k· +α(k∈Z)”中的
考向1 “知一求二”问题
例 1(1)(2024·河北石家庄模拟)已知 α 是第二象限角,若 sin
α=( B )
A.√2
B.-√2
√2
C.
2
√6
α= 3 ,则
√2
D.2
解析 ∵α 是第二象限角,
6
sin
√6 2 √3
2
∴cos α=- 1-sin =- 1-( 3 ) =- 3 ,故 tan α=cos = 3 =-√2.
联立①②,得 sin

变式2 （2022年全国乙卷）记的内角,,的对边分别为,, ，已知 .
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.

课堂互动讲练
考点三 测量角度
测量角度问题也就是通过解三角 形求角问题， 形求角问题，求角问题可以转化为求 该角的函数值； 该角的函数值；如果是用余弦定理求 得该角的余弦，该角容易确定， 得该角的余弦，该角容易确定，如果 用正弦定理求得该角的正弦， 用正弦定理求得该角的正弦，就需要 讨论解的情况了． 讨论解的情况了．
课堂互动讲练
结合题意 思路点拨】 【思路点拨】 画出图形 在底面三角形 中借助余弦定 理列方程 用山高h表示 用山高 表示 底面三角形未 知边长度
解方程 求出高h 求出高
课堂互动讲练
【解】 画出示意图
课堂互动练
设山高 PQ＝h，则△APQ、△ BPQ 均 ＝ ， 、 为直角三角形， 为直角三角形， 在图① 在图 ①中 ， PAQ＝30°， PBQ＝45°. ∠ ＝ ， ∠ ＝ 1 ∴AQ ＝ PQ ＝ 3 h ， BQ ＝ tan30° 1 PQ ＝ h. tan45° 在图② 在图 ②中，∠ AQB＝57°＋78°＝ 135°， ＝ ＋ ＝ ， AB＝ 2500， ＝ ，
三基能力强化
1．两座灯塔A和B与海岸观察站 ．两座灯塔 和 与海岸观察站 C的距离相等，灯塔 在观察站北偏东 的距离相等， 的距离相等 灯塔A在观察站北偏东 40°，灯塔 在观察站南偏东 °， 在观察站南偏东60° ° 灯塔B在观察站南偏东 则灯塔A在灯塔 的( 则灯塔 在灯塔B的 ) 在灯塔 A．北偏东 ° ．北偏东10° B．北偏西 ° ．北偏西10° C．南偏东 ° ．南偏东10° D．南偏西 ° ．南偏西10° 答案：B 答案：
速度追截走私船．此时， 速度追截走私船．此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从 处向北偏东 ° 的速度从B处向北偏东 的速度从 处向北偏东30° 方向逃窜， 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最 快追上走私船？ 快追上走私船？

高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。

,

= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2


a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;

2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,

2
即 cos A-cos A+=0,





sin B=2× = ,


2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,


2

2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+




综上,b= ,c=
+

.

或 c=
-

(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×

=



=


.


- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.








解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=

2sin Acos A=2×


(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形

1
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4

外,再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理,把该量转化为关于某
个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件
的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
[针对训练] (2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边
分别为a,b,c,已知acos B+b·cos A=2ccos C.

-
-
=
=

=


+
+ ( -) +- - +
=

2

=4cos B+ -5≥2
=

·



-5


的最小值.
解:(2)由(1)得 cos(A+B)=sin B,

所以 sin[ -(A+B)]=sin B,


且 0<A+B<,



所以 0<B<,0<-(A+B)<,


所以-(A+B)=B,解得 A=-2B,
由正弦定理得
+

=
+
( -)+
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
以多个三角形为载体的解三角形问题
[例1] (2024·江苏南通质量监测)在△ABC中,点D在边BC上,AB=3,
AC=2.
(1)若AD是∠BAC的平分线,求BD∶DC;
解:(1)法一 因为点D在边BC上,AB=3,AC=2,
所以在△ABD和△ACD中,由正弦定理,得

（1） = sin 在 0, π 上单调递增.
( ×)
（2）常数函数 = 是周期函数，它没有最小正周期.
( √ )
（3） = sin 是偶函数. ( √ )
（4）已知 = sin + 1， ∈ ，则的最大值为 + 1.
（5） = tan 的对称中心是 π, 0 ∈ .
所以函数的定义域为[−4, −π] ∪ [0, π].故选D.
)
D.[−4, −π] ∪ [0, π]
√
（2）【多选题】下列函数中，最大值满足 ≥ 1的是(
A. = 2sin 2 − 1
√
)
B. = 2sin − cos
√
C. = −sin2 + 4sin − 3
D. = cos tan
（3）若是函数 的一个周期，则( ∈ 且 ≠ 0)也是 的周期.
（4）周期函数的定义域是无限集.
2.关于奇偶性的常用结论
π
2
（1） = sin + ≠ 0 ,则 为偶函数⇔ = + π ∈ .
（2） = sin + ≠ 0 ,则 为奇函数⇔ = π ∈ .
该函数的最小正周期为 =
2π
2
.
=π .
（3）由图象变换规则，知 = sin −
1
2
π
3
周期的一半，即 = × 2π = π .
π
3
的最小正周期是 = sin −
π
3
的最小正
【点拨】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义.②利用公式
= sin + 和 = cos + 的最小正周期为

数学讲义之三角函数、解三角形【主干内容】1 1 21. 弧长公式：l I |r. 扇形面积公式：s扇形尹| r22. 三角函数的定义域：4. 同角三角函数的基本关系式：si^ tan sin2cos21cosk5. 诱导公式：把亍的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。

重要公式：cos（） cos cos sin sin6•三角函数图象的作法：描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线）三点二线作图法（正切曲线）【注意！！！】本专题主要思想方法1. 等价变换。

熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；2. 数形结合。

充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3. 分类讨论。

【题型分类】题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。

〖例1〗（10全国卷I文）cos300A.31-C1n .3B.— D. 2222C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】cos300cos36601cos602〖例2〗（10全国卷n文）已知sin2，则cos(x 2 )3A. JB.1C.1D V5D.3993【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式，•••SINA=2/3 , cos( 2 )cos2(12sin 2) -9〖例3〗（10福建文）计算12sin 22.5的结果等于（）A.-B.豆C.D.迈2232【答案】B2故选B.【解原式=cos 45 - 51例4〗（10浙江文）函数f（x） sin2（2x -）的最小正周期是 ___________4最小正周期为2，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。

题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。

是（）D解析：对解析式进行降幕扩角，转化为f x】cos 4x —1，可知其2 2 21例1〗（10重庆文）下列函数中，周期为，且在［壬，？］上为减函数的是A. y sin(2x -)B. y cos(2x )C. y sin(x 【答案】AD.cos(x —)1例2〗（09浙江文）已知 a 是实数，则函数 f （x ） 1 a sin ax 的图象不可能1例3〗为得到y sin2x 的图象A.向左平移丸个长度单位12C.向左平移4个长度单位6分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决.B .向右平移个长度单位12D.向右平移士个长度单位6n解析：函数 y cos 2x sin 2x — —33 2sin 2xsin2 x512故要将函数y sin2x的图象向左平移丸个长度单位，选择答案A.121例4〗(10江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,y sin(x ), y sin(x )各自作出三个函数y sin2x,63的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是 【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质•【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择 Co2最小正周期为 -.3(I)求 的最小正周期.〖例6〗(11浙江文)已知函数 f(x) As in (§x ) , x R , A 0 ,0 -. y f (x)的部分图像，如图所示， P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1, A).(I)求f (x)的最小正周期及 (n)若点R 的坐标为(1,0),1例5〗(09重庆文)设函数f(x )2 2(sin x cos x) 2cos x( 0)的(n)若函数y g(x)的图像是由y f(x)的图像向右平移三个单位长度得到，求y g(x)的单调增区间.解：(I)2 2依题意得————，故2 3的最小正周期为由2k 2 解得三k3依题意得：5w 3x w 2k24 2 w x w k 4 3-(kZ) 寻(kZ)\故y g(x)的单调增区间为:拿的值；PRQ —，求A 的值.题型三：三角函数的最值： 最值是三角函数最为重要的内容之一， 其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问 题。

2
最值问题常用二次函数或基本不等式.关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧
度制两种形式，一般使用弧度制.
变式2 已知一扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为，若 =
π
，
3
= 10 cm，求：
（1）扇形的面积；
（2）扇形的弧长及该弧所在弓形（由弦及其所对的弧组成的图形）的面积.
解：（1）由已知，得扇形 =
（2）三角函数的定义域和函数值在各象限的符号.
三角函数
定义域（弧度制下）
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
符号
符号
符号
符号
-
-
-
-
4.特殊角的三角函数值
0
0
1
1
0
0
1
不存在
0
0
0
0
1
不存在
0
常用结论
1.角的集合
（1）象限角的集合.
象限角
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
角的集合表示
（2）非象限角（轴线角）的集合.
3
3
3
3
解：如图，在坐标系中画出直线 =
在[0,2π)内，终边在直线 =
满足条件的角有两个，即−
{−
π
3，可以发现它与轴的夹角是 .
3
π 4π
3上的角有两个，即 ， .在[−2π, 0)内
3
3
2π
5π
，− .故满足条件的角
3
3
5π
2π π 4π
5π
2π π 4π
，− ， ， }.故填{− ，− ， ， }.
周率日为背景，通过给出中外为求得圆周率而采用的经典“割圆术”思想，

• 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． • (1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立√．( ) • (2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等×．( ) • (3)已知两边及其夹角求第三边，用余弦定理√．( ) • (4)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元×素．( )
• (5)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B．√ ( )
知 A 为钝角，所以 cos B＝ 1－sin2B＝255.于是 sin 2B＝2sin Bcos B＝54，cos 2B＝1
－2sin2B＝35，故
sin(2B－A)＝sin
2Bcos
A－cos
2Bsin
A＝54×－
55－35×2
5
5＝－2
5
5 .
二 利用正、余弦定理判断三角形的形状
形式
asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
a2＋b2－c2
asin
C＝csin
A，sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R
cos C＝_____2_a_b_____
• 2．在△ABC中，已知a，b和A，解三角形时解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 a<bsin A a＝bsin A bsin A<a<b a≥b
(1)求 cos A 的值； (2)求 sin(2B－A)的值．
解析 (1)由 asin A＝4bsin B 及sina A＝sinb B，得 a＝2b.由 ac＝ 5(a2－b2－c2)及余
－5
弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝
5 ac
ac ＝－

第五单元 解三角形（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，，，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 6sin12036sin sin45a B b A ⋅⨯︒===︒D ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222a b c ab +-=，则C =（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故得到2221cos 222b ac ab C ab ab +-===， 故角π3C =，故答案为B ．3．在ABC V 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（ ） A ．63 B ．212C ．28D ．12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos 22737a b c C ab +-+-===-⨯⨯， 所以243sin 1sin C A -，所以1143sin 736322S ab C ==⨯⨯=． 故选A ．方法二：海伦-秦九韶公式()()()S p p a p b p c =---92a b cp ++==， 所以9(97)(93)(98)=63S =⨯-⨯-⨯-，故选A ．4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC V 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为()0,πA ∈，故sin 0A >，故sin 1A =，所以π2A =，ABC V 为直角三角形， 故选B ．5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ） A．B ．(3，5) C．)D．)【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a aa a ⎧+->⎪⎪⎪+-⎪>⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎪⎩A ． 6．在ABC V 中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ） A．2BC．D．【答案】D【解析】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C ，在ABC V 中，由正弦定理可得sin sin AB ACC B==，据此可得AB =D ．7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，m CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为（ ）A ．302mB ．203mC ．60 mD ．20 m【答案】D【解析】15BCD ∠=︒Q ，45BDC ∠=︒，120CBD \??， 由正弦定理得302sin 45BC =，302sin 45203BC °\==， 3tan3020320AB BC 状=\=?，故选D ．8．在ABC △中，1AB =，3AC =，2BC =，D 为ABC △所在平面内一点，且2BD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABC △的面积为（ ） A ．23 B ．3C ．3 D ．33【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知π6BCA ∠=，则π3BCD ∠=，则3sin BCD ∠=， 所以113si 3n 23223BCD S BC DC BCD =⨯⨯⨯∠⨯⨯==⨯△，故选D ．9．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为（ ） A ．等边三角形B ．有一个内角为30︒的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知sin cos cos A B Ca b c==，又sin cos cos A B Ca b c==，所以cos sin B B =，cos sin C C =，有tan tan 1B C ==． 所以45B C ==︒．所以180454590A =︒-︒-︒=︒． 所以ABC △为等腰直角三角形．故选C ．10．在ABC △中，已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC △有两组解，则x 的取值范围是（ ） A ．432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．432,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．432,3⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<．故选A ． 11．在ABC △中，3AC =，向量AB u u u r在AC u u u r 上的投影的数量为2-，3ABC S =△，则BC =（ ）A ．5B ．27C ．29D ．42【答案】C【解析】∵向量AB u u u r 在AC u u u r 上的投影的数量为2-，∴cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABCS =△，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ，∴||sin 2AB A =u u u r ．②由①②得tan 1A =-，∵A 为ABC △的内角，∴3π4A =，∴2223πsin 4AB ==u u u r ． 在ABC △中，由余弦定理得 222223π22cos(22)322232942BC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴29BC =．故选C ． 12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，ππ02230π2202πB B B ⎧<<⎪⎪⎪∴<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，π,32πB ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos 22sin cos cos 2sin 243π342x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 2π6f B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2π2π3B <<，6π5π226πB ∴<-<，所以()112f B <<．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知60B =︒，3b =，6c =A =________． 【答案】75︒ 【解析】由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 6sin 602sin c B C b ︒=== 又c b <，则C B <，45C ∴=︒，18075A B C ∴=︒--=︒， 本题正确结果75︒．14．已知ABC △的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____． 【答案】π2【解析】由正弦定理得sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B =，cos 0C ∴>，π0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又a b >，A B ∴>，π0,2B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由cos sin C B =，得πsin sin 2C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2C B ∴-=，即2πB C +=，()ππ2A B C ∴=-+=，本题正确结果π2．15．如图，一栋建筑物AB 高()30103-m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．【答案】60【解析】由题意可知：45CAM ∠=︒，105AMC ∠=︒，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=︒． 在ABM Rt △中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=︒． 在ACM △中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin30sin15sin30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅︒⋅︒=⇒==∠∠︒︒⋅︒，在DCM Rt △中，sin 45sin sin60sin6060sin15sin30CD AB CMD CD CM CM ⋅︒∠=⇒=⋅︒=⋅︒=︒⋅︒． 16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin (2)tan b C a b B =+，23c = 则ABC △面积的最大值为______． 【答案】3【解析】()()sin 2sin 2tan 2sin sin 2sin sin cos Bb C a b B B C A B B=+⇒=+⋅()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A B B C B B C B C B ⇒=+=++=++1cos 22π3C C ⇒==⇒-，由余弦定理可知222222cos 12c a b ab C a b ab =+-=++=， 222a b ab +≥Q ，1223ab ab ab ∴≥+=4ab ⇒≤，当且仅当a b =时取等号，max 113sin 43222S ab C ∴==⨯⨯=，本题正确结果3． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，π4B =，2b =，（1）求a 的值； （2）求sin C ．【答案】（1）85a =；（2）7210．【解析】（1）因为3cos 5A =，π4B =，2b =，所以4sin 5A =，2sin 2B =，由正弦定理可得24sin sin 252a b a A B =⇒=，85a ∴=． （2）[]sin sin π()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ 423272525210=⋅+⋅=． 18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值； （2）若，且，求的面积．【答案】（1）52；（2）3257． 【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以2cos 3B =， 又，所以25sin 1cos 3B B =-=，sin 5tan cos 2B B B ==． （2）在中，由余弦定理可得2224323b ac ac =+-=，又，所以有2967c =，所以的面积为21965325sin sin 27S ac B c B ===⨯=． 19．（12分）如图：在平面四边形ABCD 中，已知πB D ∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =．（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）π3D =；（2） 【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-．在ABC △中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -． ∴9898cos 3430cos D B -=-，∵πB D +=，∴cos cos(π)cos B D D =-=-， ∴9898cos 3430cos D D -=+，∴1cos 2D =，∴π3D =． （2）由（1）得2ππ3π3B =-=， ∴11sin sin 22ABCD ACD ABCS S S AD CD D AB BC B =+=⋅+⋅11775322=⨯⨯+⨯⨯=20．（12分）已知向量()sin ,cos x x =a ，),cosx x =b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在ABC △中，BC sin 3sin B C =，若()1f A =，求ABC △的周长．【答案】（1）π；（2）4+【解析】（1）()211cos cos cos222f x x x x x x =+=++， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）由题意可得1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<，所以π5π266A +=，故π3A =． 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-， 所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =． 所以3b =，ABC △的周长为47+．21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2(62)CD =+，22BC =，BF BC <，梯形ABCD 的高为31+，E 是CD 的中点，分别以C ，D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于F ，G 两点．（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积． 【答案】（1）45BFC ∠=︒；（2）2(31)S Ω=． 【解析】（1）设梯形ABCD 的高为h ， 因为3162sin 22h BCD BC ++∠===，180BCD CBF ∠+∠=︒， 所以()62sin sin 180sin CBF BCD BCD +∠=︒-∠=∠= 在CBF △中，由正弦定理，得sin sin CF BCCBF BFC =∠∠622262++ 解得2sin BFC ∠=又()0,180BFC ∠∈︒︒，且CF BC >，所以45BFC ∠=︒．（2）由（1）得45ECF BFC ∠=∠=︒．在BCF △中，由余弦定理推论，得222cos 2BF FC BC BFC BF FC +-∠=⨯，即22(31)430BF BF -+，解得2BF =，23BF =（舍去）． 因为112sin 2(62)3122CBF DAG S S BF FC BFC ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△， 所以2(31)CBF DAG S S S Ω=+=△△．22．（12分）如图，在平面四边形中，14AB =，3cos 5A =，5cos 13ABD ∠=．（1）求对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD △面积的最大值． 【答案】（1）13BD =；（2）1698． 【解析】（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=， 由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠，即sin 13sin AB ABD ADB⋅==∠． （2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-⋅⋅==，则2261616955BC DC BC DC BC DC =++⋅⋅≥⋅⋅，即516916BC DC ⋅≤⨯，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⋅⋅⋅≤⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，当且仅当135BC DC ==第五单元 解三角形（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC △中，若2BC =，2AC =，45B =︒，则角A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】由正弦定理可得sin sin BC AC A B ==1sin 2A =， 因BC AC <，所以45AB <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，故选A ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =2，b =3，c =4，则cos C =（ ） A ．14-B ．14 C ．23-D ．23【答案】A【解析】a =2，b =3，c =4，根据余弦定理得到22294161cos 2124b ac C ab +-+-===-， 故答案为A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，4b =，120A =︒， 则△ABC 的面积为（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】D【解析】因为a =，4b =，120A =︒，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =，所以△ABC 的面积为1sin 2bc A =．故选D ．4．△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】△ABC 中，60B =︒，2b ac =，()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．故答案为D ．5．钝角△ABC 中，若1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是（ ）A ．)B ．()2,3C ．)D ．【答案】A【解析】因为钝角△ABC ，所以222cos 02a b c C ab +-=<，2140c \+-<，c >，又因为3c a b <+=，3c <<，故选A ．6．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，AD =6AC =，4DC =，则AB 的长为（ ）A．2 B ．36 C ．33 D ．32【答案】B【解析】由余弦定理可得22246(27)1cos 2C +-==，60C \=?，sin sin AB AC C BQ =，得到36sin 236sin 2C AC AB B ××===，故选B ． 7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度是（ ）A ．()24031m B ．()18021m C ．()3031mD ．)12031m【答案】D【解析】由题意可知：105ABC ∠=︒，45BAC ∠=︒，),2(m A ，6060120sin sin30AC C ∴===︒，由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC =∠∠，得()sin 120sin 4560212031sin sin105AC BAC BC ABC ∠︒===∠︒，即河流的宽度)12031m ，本题正确选项D ．8．已知ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，则角A 的大小为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30︒ D ．150︒【答案】D【解析】cos AB AC c b A ⋅=⋅u u u r u u u r Q ，又ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，13sin cos 2S bc A b c A ∴==⋅，则3tan A =，又(0,π)A ∈，150A ∴=︒，故选D ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin 2sin a C A =，22()6a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为（ ）A B C ．12D ．1【答案】A【解析】2sin 2sin a C A =Q ，22a c a ∴=，2ac =，因为22()6a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC △=，故选A ．10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，π4B =，AD =2BD =，则b =（ ）A ．BC ．3D 【答案】A【解析】因为AD =2BD =，π4B =，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，2sin sin 4BAD =∠，解得1sin 2BAD ∠=， 又由π0,2BAD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π6BAD ∠=，则π3BAC ∠=，所以ππ5ππ3412C =--=，又因为5π12ADC B BAD ∠=+∠=，所以ADC △为等腰三角形，所以b AD ==，故选A ． 11．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，2a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．(0,6)B ．(2⎤⎦C ．(4,6]D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】根据三角形正弦定理得到sin sin sin a b c A B C ===变形得到sin ,sin ,2sin sin 3333b Bc C l B C ===++，因为2π3B C +=， 2π2sin sin π223sin 2cos 24sin 3633l B B B B B ⎛⎫⎛⎫∴=++-=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2ππ5ππ10,π,,sin ,1366662B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈+∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，(]4,6l ∴∈，故答案为C ．12．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()22,62++C ．()2,62+D ．()62,62-+【答案】D 【解析】由题意，平面四边形ABCD 中，延长BA 、CD 交于点E ， ∵∠B ＝∠C ＝75°，∴△EBC 为等腰三角形，∠E ＝30°， 若点A 与点E 重合或在点E 右方，则不存在四边形ABCD ， 当点A 与点E 重合时，根据正弦定理sin sin AB BCECB BEC=∠∠，算得62AB =，∴62AB <，若点D 与点C 重合或在点C 下方，则不存在四边形ABCD ， 当点D 与点C 重合时∠ACB ＝30°， 根据正弦定理sin sin AB BCACB BAC=∠∠，算得62AB =，∴62AB >，综上所述，AB 6262AB <．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角C 等于60︒，若4,2a b ==，则c 的长为_______． 【答案】23【解析】因为角C 等于60︒，4,2a b ==，所以由余弦定理可得22212cos60164242122c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯=， 所以23c =，故答案为23． 14．在ABC △中，π3A =，1b =，3a =，则ABC △的面积为______． 【答案】3 【解析】π3A =Q ，1b =，3a =， ∴由正弦定理可得31sin 3B =，解得1sin 2B =，b a <Q ，B A ∴<，π6B ∴=，可得ππ2C A B =--=， 11π3sin 31sin 222ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△，本题正确结果3． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为______．【答案】【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC =15°， 由正弦定理得(80sin1504062sin1562AC ︒==︒-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC =30°， 由正弦定理，sin sin CD BCCBD BDC=∠∠， 所以()sin 80sin15160sin1540621sin 2CD BDC BC CBD⋅∠⨯︒===︒=-∠，△ABC 中，由余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB +=∠-⋅⋅()()()()1160084316008432160062622=++-+⨯+⨯-⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯，解得805AB =， 则两目标A ，B 间的距离为，故答案为．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为_______． 【答案】3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C +=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+-，即222a b c ab +-=，所以2222()3c a b ab a b ab =+-=+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当32a b ==时取等号，所以27304ab -≤-<，所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC V 中，45,10B AC ∠=︒=25cos C =． （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长． 【答案】（1）32；（2）13．【解析】（1）(0,π)C ∈Q ，25sin 1cos C C ∴=-=， 310sin sin(π)sin cos cos sin A B C B C B C =--=⋅+⋅=， 由正弦定理可知中：sin 32sin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒==． （2）由余弦定理可知： 22252cos 10182103225AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，D 是AB 的中点， 故1BD =，在CBD △中，由余弦定理可知：2222cos 1812321132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=． 18．（12分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 2sin sin B A C =． （1）若2a b ==，求cos B ；（2）若90B ∠=︒且2a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）14；（2）2． 【解析】2sin 2sin sin B A C =Q ，由正弦定理可得22b ac =，（1）21a b c ==∴=Q ，，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，可得1cos 4B =．（2）90B ∠=︒Q ，由勾股定理可得22222()02b a c ac a c a c =+=⇒-=⇒==，1122222ABC S ac ∴==⋅⋅=△．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（1）求sin ABD ∠的值；（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长． 【答案】（1）6；（2）1BC =． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠．因为60,3,6A AD BD ∠=︒==，所以36sin sin sin 606AD ABD A BD ∠=⨯∠=⨯︒=． （2）由（1）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==，所以264626BC BC =+-⨯⨯， 即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =．20．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC V 内角A ，B ，C 的对边．角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列．（1）求sin sin A C 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长． 【答案】（1）3sin sin 4A C?；（2）ABC V 的周长为32． 【解析】（1）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，即60B =︒，sin ,sin sin A B C Q ，成等比数列，2233sin sin sin 4A CB 骣琪\?==琪桫． （2）由（1）可知2sin sin sin A C B ?，即2ac b =， 由余弦定理可得2222cos60b a c ac =+-?， 化简得2()0a c -=，即2a c ==，2b ac ==， 32a b c \++=，因此ABC V 的周长为32．21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为28π3万平方米，求的值．【答案】（1）；（2）12或17． 【解析】（1）∵πcos cos ADC ABC ADC θ∠+∠=∠=-，， 在和中分别使用余弦定理得：，得1cos 7θ=， ∴43sin sin 7ADC θ∠==， ∴四边形的面积()1sin 2ABC ADC S S S BA BC DA DC θ=+=⋅+⋅△△ ()14326448327=⨯+⨯⨯=． （2）∵圆形广场的面积为28π3，∴圆形广场的半径2213R =，在中由正弦定理知：4212sin sin 3AC R θθ==， 在中由余弦定理知：，∴2421sin 4024cos θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，化简得，解得1cos 2θ=或1cos 7θ=． 22．（12分）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<，3b ，22ac +-1sin sin tan 12A CB =． （1）求内角B 的大小；（2）求(2)(2)a c b a c b +++-的最大值．【答案】（1）π6B =（2【解析】（1）b =Q 221sin sin tan 12a c A C B +-=，222sin sin tan a c A C B b ∴+-=，即222sin sin tan a c b A C B +-=，由余弦定理得2cos sin sin tan ac B A C B =，2tan sin sin cos ac B A C B∴=，由正弦定理得222tan cos sin b BBB =，即222cos sin tan b B B B =，231cos sin 6B B ∴=，231sin 6sin B B ∴-=，即326sin sin 10B B +-=， 变形得2(2sin 1)(3sin 2sin 1)0B B B -++=，解得1sin 2B =， π02B <<Q ，∴π6B =．（2）b =Q π6B =，∴由余弦定理得22π12cos 612a c ac +-=，化简得22112a c +=，21()(212a c ac ∴+-+=，2()4a c ac +≤Q ，(2ac ∴-≥，2()(2a c ac ∴+-，112≤，2()a c ∴+，22(2)(2)()4a c b a c b a c b ∴+++-=+-≤a c =时等号成立，∴(2)(2)a c b a c b +++-。