能量法习题课

三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)

2
T
扭转变形：
T

L
T

一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理

和精度，进一步拓展其应用领域。
02
展望二
随着新材料和新技术的涌现，对材料变形行为的认知需求将更加迫切。
能量法作为一种有效的研究手段，未来将在新材料的设计、开发和优化
中发挥重要作用。
03
展望三
随着多学科交叉研究的深入，能量法将与其他学科领域的方法和技术相
结合，形成更为综合和系统的研究方法。这将有助于解决复杂工程问题，
对于复杂的变形问题，可 能需要采用迭代法求解， 逐步逼近最终结果。
数值解法
对于无法得到解析解的问 题，可以采用数值解法， 如有限元法、有限差分法 等。
结果分析
结果验证
将求解得到的变形结果与实际情 况进行比较，验证结果的准确性
和可靠性。
结果优化
根据实际需求和问题特点，对求解 得到的变形结果进行优化，提高其 合理性和实用性。
05
结论与展望
结论
结论一
能量法在求解变形问题中具有显著的优势。通过将复杂的物理过程转化为数学表达，能量 法能够更精确地描述变形过程中的力学行为，为工程设计和科学研究提供了有力的工具。
结论二
在变形过程中，能量的变化与材料的性质、应力和应变状态密切相关。通过分析能量的变 化，可以深入了解材料的力学性能和变形机制，为材料科学和工程领域的研究提供新的视 角。
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总结词：建筑工程
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详细描述：在建筑工程中，利用能量法可以分析建筑结构的变形和稳定性，确保建筑的安全性和稳定性。
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总结词：机械工程
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详细描述：在机械工程中，利用能量法可以分析机械零件 的变形和应力分布，为机械零件的设计和优化提供依据。

广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
7
第十二章 能量法(一）
例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧
横截面相对转角 对应的广义力。
q
F
A
B
l
A
B
C
(a)
(b)
l
相应广义位移：面积
MM
对应广义力：一对力偶 M
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第十二章 能量法(一）
➢ 克拉比隆定理：(线弹性体上作用有多个广义力的情况)
引言
弹性体的能量原理
在外载荷作用下， 构件发生变形
载荷在相应位移上做功 构件因变形储存了能量
F
F
能量守恒
从零开始， 缓慢加载
忽略动能与 热能的损失
V W
能量原理：是固体力学的重要原理
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第十二章 能量法(一）
§12-1 外力功与应变能的一般表达式
一、计算外力功的基本公式
刚体 线性弹簧
W F
V
M2( x )y2
2EI
2 z
dxdydz
1 2
M 2(x ) dx
l EIz
非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能
Vε =
M
2 y
(x)dx
l 2EI y
M
2 z
(x)dx
l 2EIz
注：忽略了弯曲剪力的应变能
l
C
z
F y
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第十二章 能量法(一）
利用功能原理计算应变能
•单向拉压
dVε
dW
FN (x)dδ 2
第十二章 能量法(一）
求节点A的铅垂位移 的两条研究途径
FN1 F sin（拉）, FN2 F tan（压）