排列组合：多面手问题,组数字问题

一排列组合不同问题解法1．相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有[ ]A．60种 B．48种 C．36种D．24种2．相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]A．1440 B．3600C．4820 D．48003．定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]A．24种B．60种C．90种D．120种4．标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]A．6种B．9种C．11种D．23种5．有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.6．多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[ ] A．210个B．300个C．464个D．600个【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？7．交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B) 【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？8．定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．9．多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]10．“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有[ ]A．140种B．80种C．70种D．35种11．选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种12．部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ]13 平均分组问题:例一 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。

简单的排列组合问题解决排列组合是组合数学中的一个重要分支，涉及到对对象的不同排列或组合情况进行计算和分析。

在实际生活和问题求解中，经常会遇到排列和组合的情况，掌握排列组合的基本原理和应用方法对解决问题具有重要意义。

本文将介绍一些简单的排列组合问题及其解决方法。

一、排列组合的基本概念1. 排列（Permutation）排列是指从一组对象中，按照一定的顺序，选取若干个对象组成一个序列。

对于一个由n个不同对象组成的集合，从中选择m个对象进行排列，可以通过以下公式计算排列数：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从n到1的连乘。

排列数P(n,m)表示从n个对象中选取m个对象进行排列的情况数。

2. 组合（Combination）组合是指从一组对象中，不考虑顺序，选取若干个对象组成一个组合。

对于一个由n个不同对象组成的集合，从中选择m个对象进行组合，可以通过以下公式计算组合数：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)组合数C(n,m)表示从n个对象中选取m个对象进行组合的情况数。

二、排列组合问题的解决方法1. 排列问题的解决方法排列问题可以通过以下步骤进行解决：Step 1: 确定问题中的条件和要求，明确需要计算的排列数。

Step 2: 将问题转化为数学表达式，应用排列数的计算公式进行计算。

Step 3: 计算并得出最终结果。

例如，有5个人要站成一排，求可能的站队方式。

根据排列的定义，此问题可以表示为计算5个不同对象的全排列，即P(5,5)。

根据排列数的计算公式，有：P(5,5) = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120所以，可能的站队方式有120种。

2. 组合问题的解决方法组合问题可以通过以下步骤进行解决：Step 1: 确定问题中的条件和要求，明确需要计算的组合数。

Step 2: 将问题转化为数学表达式，应用组合数的计算公式进行计算。

Step 3: 计算并得出最终结果。

排列组合问题的20 种解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

复习巩固分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有类办法，在第 1 类办法中有种不同的方法，在第 2 类办法中有种不同的方法，，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第 1 步有种不同的方法，做第 2 步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 , 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求 , 再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.再解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样,思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1。

进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2。

掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

复习巩固1。

分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事,需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法,3。

分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1。

认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类. 3。

确定每一步或每一类是排列问题（有序)还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一。

特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。

先排末位共有13C ，然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A ,由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻， 共有多少种不同的排法。