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2010压轴题(四)

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2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(四)

23．(安徽省)如图，已知111ABCABC△∽△，相似比为k（k>1），且ABC△的三边长分别为a、b、c（a>b>c），111ABC△的三边长分别为1a、1b、1c.

（1）若c=a1，求证：a=kc；

[证]

（2）若c=a1，试给出符合条件的一对111ABCABC△和△，使得a、b、c和1a、1b、1c都是正整数，并加以说明；

[解]

（3）若b=a1，c=b1，是否存在111ABCABC△和△使得k=2？请说明理由.

[解]

解:（1）证：111ABCABC△∽△，且相似比为11(1).akkkakaa，，

又1.caakc， ······························································································· （3分）

（2）解：取111864432.abcabc，，，同时取，， ··················· （8分）

此时1111112abcABCABCabc，△∽△且1.ca ······································ （10分）

注：本题也是开放型的，只要给出的ABC△和111ABC△符合要求就相应赋分.

（3）解：不存在这样的ABC△和111ABC△.理由如下：

若2k，则111222.aabbcc，，

又1ba，1cb，

112244aabbc，

2.bc ··············································································································· （12分）

24bcccca，而bca， 第23题图 故不存在这样的ABC△和111ABC△，使得2.k ············································ （14分）

注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下2k的情况不可能即可.

24．（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．

（1）求折痕所在直线EF的解析式；

（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

解：

（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为1122()()BxyCxyBBAAEAEA，，，．过作交所在直线于点.

2360BEBEBEFBEF，，

6033BEAAEBA，，.

1102(02)AAByxyB与重合，在轴上．，即，.

[此时需说明11Bxyy，在轴上]. ························································································ 6分

设二次函数解析式为：2yaxbxc

抛物线经过33B，1、3E，1、0-2B，. 得到233127331cabcabc解得134332abc

2143233yxx该二次函数解析式. ···································································· 9分

（3）能，可以在直线EF上找到P点，连接BCEFPBP交于点，再连接.

由于BPBPPC，此时点到、B在一条直线上，故BPPCBPPC的和最小，

由于BC为定长，所以满足PBC周长最小. ····································································· 10分

设直线BC的解析式为：ykxb

2033bkb23:29BCyx直线的解析式为. ············································ 12分

182332119103411xyxPBCEFyyx又为直线和直线的交点，解得

18311P10点的坐标为，-11. ····················································································· 14分

[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]

26.( 重庆市綦江县) 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.

解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)

∴c=－6, 即y=ax2+bx－6

由061214422baab 解得：a=161 ,b=－41

∴该抛物线的解析式为y=161x2－41x－6 -----------------3分

方法二：∵A、B关于x=2对称

∴A（－8，0） 设y=a(x＋8)(x－12)

C在抛物线上 ∴－6=a×8×(－12) 即a=161

∴该抛物线的解析式为：y=161x2－41x－6 --------3分

（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,

在Rt△AOC中，AC=2268=10=AD

∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，-----------4分

由已知∠PDC=∠ACD

∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分

DB=AB－AD=20-10=10

∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=21AC=5 -----------------6分

AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5

∴t=5÷1=5(秒)

∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分

在Rt△BOC中, BC=22126=65 ∴CQ=35

∴点Q的运动速度为每秒553单位长度.------------------8分

（3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9 在Rt△PQH中，PQ=2239=310 --------------------9分

①当MP=MQ，即M为顶点，

设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：

bkb206 解得：36kb

∴y=3x-6

当x=1时，y=－3 ∴M1(1, －3) ------------------------10分

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.

设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：

42+y2=90 即y=±74

∴M2（1，74） M3（1，－74） -----------------------11分

③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.

过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)

设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：

(y＋3)2+52=90 即y=－3±65

∴M4(1, －3＋65) M5((1, －3－65) --------------------12分

综上所述：存在这样的五点：

M1(1, －3), M2（1，74）, M3（1，－74）, M4(1, －3＋65),

M5((1, －3－65).

25．（山东省滨州市 本题满分l0分）

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，3），以点C为顶点的抛物线cbxaxy2恰好经过x轴上A、B两点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?

解：①由抛物线的对称性可知AM=BM

在Rt△AOD和Rt△BMC中，

∵OD=MC，AD=BC，

∴△AOD≌△BMC．

∴OA=MB=MA．………………………………………l分

设菱形的边长为2m，

在Rt△AOD中，

222)2()3(mm

解得m=1．

∴DC=2，OA=1，OB=3．

∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，3）………………… 4分

②设抛物线的解析式为y=a（x—2）2+3

代入A点坐标可得a=—3

抛物线的解析式为y=—3（x—2）2+3……………………………………7分

③设抛物线的解析式为y=—3（x一2）2+k

代入D（0，3）可得k=53

所以平移后的抛物线的解析式为y=—3（x一2）2+53…………………………9分

平移了53一3=43个单位．…………………………………………………l0分

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压轴题

压轴题

2010-2011学年度初一年级数学期末复习压轴题精选

1．如图，△ADE和△ABC中∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，又有∠BAD=∠BCF．

（1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度数；

（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．

2．如图，AB//CD，BEFGD为折线，试证明：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G。

3．如图，已知直线 1l∥2l，且 3l 和1l、2l分别交于A、B 两点，点P在直线AB上．

（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说明理由；

（2）当点P在A、B两点间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3 之间的关系。（点P和A、B不重合，只要写出结论即可）

A

P

B 1l2l3l1

2 3 DC3-1BAOxyDC3-1BAOxyPDCBAOxy4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积ABDCS四边形

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使PABS＝ABDCS四边形，

若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．

(3)点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①DCPBOPCPO的值不变，②DCPCPOBOP的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．

已知方程组myxmyx317的解满足x为非正数，ｙ为负数.

（1）求ｍ的取值范围；

（2）化简：∣m－3∣－∣m＋2∣；

（3）在ｍ的取值范围内，当ｍ为何整数时，不等式2mx＋x＜2m＋1的解为x＞1。

2010年江苏高考数学压轴题留出的思维空间

2010年江苏高考数学压轴题留出的思维空间

２０１１年第１１期　数学数学　ｉｉ一３　

２０１０年江苏高考数学压轴题留出的思维空间　

２２６５００江苏省如皋市教师进修学校徐道　

２０１０年江苏高考数学试卷最后一题是：　

已知△ＡＢＣ的三边长为有理数：　

（１）求证ＣＯＳ　Ａ是有理数；　

（２）对任意正整数礼，求证ＣＯＳ　ｎＡ也是有理　

数．　

这无疑是一道不落俗套、富有创意、难易适　宜、且有利于高校选拔理科人材的好题．笔者　同时认为，这道题留给从事中学数学教学的教师　

（尤其是高三数学教师）的思维空间也相当大，从　中可引出一些相当有趣的问题．　

这道题的第（２）题实质就是要考生证明如下　

结论：　结论１若　是三角形的一个内角，且ＣＯＳ　Ａ　是有理数，则对任意正整数ｎ，ｃｏｓ　ｎＡ都是有理　

数．　

注：本文中，　均表示三角形的一个内角．　

由此结论自然可以引出如下问题：　

问题１　ｓｉｎ　Ａ可为有理数吗？对任意正整　

数佗，ｓｉｎ　ｎＡ都是有理数吗？　显然，Ａ＝９０。时，ｓｉｎ　Ａ＝１，是有理数；也　

很容易得到：对任意正整数礼，ｓｉｎ　ｎＡ也是有理　

数．　

如果　≠９０。，问题１的结论又是什么呢？　

取Ａ＝３０。，ｓｉｎ　Ａ＝言，故Ａ≠９０。时，ｓｉｎ　也可能为有理数．但当Ａ＝３０。时，ｓｉｎ２Ａ＝　

Ｖ，不是有理数．于是我们得，ｓｉｎ　为有理数　

时，ｓｉｎ２Ａ可以不是有理数．　问题２由问题ｌ的讨论知，若ｓｉｎＡ为有理　

数，对任意正整数ｎ，ｓｉｎ　ｎＡ有可能不是有理数，　能否添上新的条件，使ｓｉｎ　ｎＡ一定是有理数呢？　

同样，若ｓｉｎ　Ａ为有理数，对任意正整数佗，ＣＯＳ　ｎＡ　

有可能不是有理数，能否添上新的条件，使　

ｃｏｓ　ｎＡ一定是有理数呢？　通过探索，有如下　结论２若ｓｉｎＡ为有理数，则ｎ取正奇数时　ｓｉｎ　ｎＡ必是有理数；ｎ取正偶数时ＣＯＳ　ｎＡ必是有　理数．　

证明：ｎ＝１时，结论显然成立。　

ｎ＝２时，ｃｏｓ　２Ａ：１—２　ｓｉｎ　Ａ为有理数，　结论成立．　

ｎ＝３时，　ｓｉｎ３Ａ＝ｓｉｎ２ＡＣＯＳＡ—Ｌ　ＣＯＳ２Ａ　ｓｉｎＡ　

中考数学压轴题评分标准(终审稿)

中考数学压轴题评分标准(终审稿)

中考数学压轴题评分标准

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2010 年全国各地中考数学压轴题

参考答案及评分标准（二）

2 2

149．解：（1）∵y＝mx －2mx－3m＝m(x－1) －4m

∴抛物线顶点M 的坐标为（1，－4m）··························································2 分

2 ∵抛物线y＝mx －2mx－3m（m＞0）与x 轴交于A、B 两点

2 ∴当y＝0 时，mx －2mx－3m＝0 y

2 ∵m＞0，∴x －2x－3＝0

解得x1＝－1，x2＝3

A O D B

x

∴A、B 两点的坐标为（－1，0）、（3，0）··················· 4 分

（2）当x＝0 时，y＝－3m，∴点C 的坐标为（0，－3m）

∴S△ABC＝ 1

2 ×|3－(－1)|×|3m|＝6|m|＝6m ············ 5 分 C N

M

过点M 作MD⊥x 轴于点D，则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m|＝4m

∴S△BCM＝S△BDM＋S 梯形 OCMD－S

△OBC

＝ 1

2 BD·DM＋ 1

2 (OC＋DM)·OD－ 1

2 OB·OC

＝ 1

2 ×2×4m＋ 1

2 (3m＋4m)×1－ 1

2 ×3×3m

＝3m ····································································································7 分

∴S△BCM :S△ABC＝1 :2 ·····················································································8 分

从简单情形开始——谈2010年江苏高考数学试题“压轴题”的解题策略

从简单情形开始——谈2010年江苏高考数学试题“压轴题”的解题策略

●　・　・　●　解题技巧与方法　嵇躲。　

梁惰璐霈媾　

谈２０１０年江苏高考数学试题“压轴题”的解题策略　

◎郝茹　（江苏省苏州中学２１５００７）　

２０１０年江苏高考数学试题中，在实际效果上起到了“区　分”和“压轴”的作用，一个是第１８题第（３）小题，一个是第　２０题第（１）（１１）、（２）小题．这样的题目，要让学生在考场　上、在平时都能迅速正确地解出，十分需要“从简单情形开　始”的明确意识．　先说第ｌ８题第（３）小题．目标：证直线ＭＮ必过　轴上　一定点．原题如下：　在平面直角坐标系ｘＯｙ中，　２　２　如图，已知椭圆等＋｝＝ｌ的左、　右顶点为Ａ，　，右焦点为　设过　点Ｔ（ｆ，ｍ）的直线　，阳与椭圆　分别交于点Ｍ（　ｌ，），１），Ｎ（　２，Ｙ２），其中ｍ＞０，Ｙｌ＞０，Ｙ２＜０．　（１）设动点Ｐ满足ｐＦ２一Ｐ　＝４，求点Ｐ的轨迹；　（２）设　。＝２，　：＝÷，求点Ｔ的坐标；　（３）设ｔ：９，求证：直线ＭＮ必过　轴上的一定点（其坐　标与ｍ无关）．　对于第（３）小题，只看目标，应考虑先写出直线ＭＮ的　方程，最好其中只含一个参数．本着“按序翻译，坚持一元”　的理念，比较容易算出：　（　４０ｍｍ　＂』￣，Ⅳ（　－２０ｍｍ　＇，『．￣　

为写直线ＭＮ的方程，需考虑直线ＭＮ的斜率是否存　在，从而自然展开讨论．常规的讨论顺序是：　当　，≠　时，直线ＭＮ方程为：　

＋　一　（　二　２Ｙ　２—０＋—ｍｚ　一　４０ｍ　２０ｍ　３（８０一ｍ　）３（ｍ　—２０）　８０十ｍ　２０＋ｍ　８０＋，ｎ　２Ｏ＋ｍ　令Ｙ＝０，解得　＝１（这显然运算量较大，计算中须有整　体思想，考场上计算压力大）．　此时直线ＭＮ必过点Ｄ（１，０）；　当　＝　时，直线ＭＮ的方程为　＝１，与　轴的交点　为Ｄ（１，０）．　所以直线ＭＮ必过　轴上的一定点Ｄ（１，０）．　换个角度，从“简单情形”开始考虑：　①　＝　时，易得ｍ＝２　Ｖｉ－６，直线ＭＮ的方程即ｚ＝１，　直线ＭＮ过　轴上定点（１，０）．　因已发现定点（１，０），这种情况下，知　≠　时，必有　ｋＭＤ＝　ⅣＤ．这只需要通过计算验证即可，大大降低了运算的　难度，也使运算目标十分明确．　②若　≠　２，则ｍ≠２　１０，直线ＭＤ的斜率　＝　二　８０　＋　ｍ＿２　＝　ｌ＝ｏｒｅ　，直线ⅣＤ的斜率　＝　２　０　＋ｍ２　＝