科学计算软件在线性代数课程中的应用

第３２卷　２０１２链　第５期　

９月　高师理科学刊　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　ＣｏＨｅｇｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ＶｏＩ．３２　Ｎｏ．５　

Ｓｅｐ．２０１２　

文章编号：１００７—９８３　１（２０１２）０５～００９２—０５　

科学计算软件在线性代数课程中的应用　

肖启华，张丽蕊　

（上海海洋大学信息学院，上海２０１３０６）　

摘要：运用Ｍａｔｌａｂ编程实现了含一个参数的恰定非齐次线性方程组有解的判定，该程序比较智能，　

用户只需要根据提示输入线性方程组的系数矩阵和常数项向量，进行少量的选择就能得到方程组　

有解的判定．文中例子体现了软件编程在大学数学基础课程上的应用，这些应用可以提高学生学　

习基础课程的兴趣，能加强学生使用软件编程的能力．　

关键词：Ｍａｔｌａｂ软件；参数；非齐次线性方程组；解　

中图分类号：０１５１　文献标识码：Ａ　ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１２．０５．０２８　

Ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ａｌｇｅｂｒａ　ｃｏｕｒｓｅ　

ＸＩＡＯ　Ｑｉ－ｈｕａ，ＺＨＡＮＧ　Ｌｉ－ｒｕｉ　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｏｃｅａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０１３０６，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｏｆ　Ｍａｔｌａｂ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ａ　ｐｒｏｇｒａｍ　ｗａｓ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｔｈｅ　ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ　

ｓｅｔ　ｎｏｎ—ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ａ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒａｍ　ｉｓ　ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ，ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｇｒａｍ，ｕｓｅｒｓ　

ｏｎｌｙ　ｎｅｅｄ　ｔｏ　ｐｒｏｍｐｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｖｅｃｔｏｒ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｍａｌｌ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　

ｐａｒｔｉｃｉｐａｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｔｈｅ　ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｓｈｏｗｓ　ｓｏｍｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　

ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｃｏｕｒｓｅｓ，ｔｈｏｓｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　

ｉｎｔｅｒｅｓｔ　ｉｎ　ｂａｓｉｃ　ｃｏｕｒｓｅｓ，ｅｎｈａｎｃｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｃａｐａｃｉｔｙ，　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｌａｂ；ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ；ｎｏｎ—ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｓｏｌｕｔｉｏｎ　

信息时代给我们提供了许多学习工具，Ｍａｔｌａｂ是美国ＭａｔｈＷｏｒｋｓ公司出品的商业科学计算软件，该软　

件在矩阵运算方面有巨大的应用，而且为用户提供了一个人机交互的数学系统环境，是大学数学课程辅助　

教学的有益工具　．　

线性代数是一门基础课，而线性方程组解的理论是线性代数的主要内容之一，用Ｍａｔｌａｂ求解不含参数　

的线性方程组比较方便　，但对于含参数的线性方程组，Ｍａｔｌａｂ没有直接判断其解的情况的命令和函数．本　

文在Ｍａｔｌａｂ语言环境下，编写了含一个参数的恰定非齐次线性方程组有解的判定程序．该程序比较智能：　

在参数出现在系数矩阵中的情况下，用户只需要根据程序提示输人方程组的系数矩阵和常数项就能得到方　

程组有解的判定；在当参数只出现在常数项中的情况下，用户只要根据程序提示输人方程组的系数矩阵和　

常数项，选择系数矩阵的最高阶非零子式的行就能得到方程组有解的判定．当方程组有解的情况下，程序　

会给出方程组增广矩阵的行最简型，从而让用户可以迅速地写出原方程组的通解．　

收稿日期：２０１２－０５—２０　基金项目：上海海洋大学首届人才计划——海燕计划（Ｂ一５００３—１１—００５６）　作者简介：肖启华（１９７６一），女，湖南汉寿人，讲师，硕士，从事代数教学、金融数学研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｑｋｘｉａｏ＠ｓｈｏｕ．ｅｄｕ．

ａｎ　第５期　肖启华，等：科学计算软件在线性代数课程中的应用　

１非齐次线性方程组解的判定理论　

１．１　恰定非齐次线性方程组定义　

形如　

ａｌｌ　１＋ａ１２ｘ２．４－…＋ａｌｎ　ｎ＝ｂ１　

ｎ２１　１＋ａ２２ｘ２＋…＋ｎ２一　ｎ＝ｂ２　（１）　

ａｎｌＸ１＋ａｎ２Ｘ２＋…－４－ａｎｎ　ｎ＝ｂ　

（其中：ｂ　（１≤ｉ≤ｎ）不全为零）的方程组称为恰定非齐次线性方程组．　

方程组（１）的矩阵形式为　

Ａ　Ｘ＝Ｂ　（２）　

其中：Ａ　为ｎ阶方阵，称为方程组的系数矩阵；Ｂ为方程组的常数项构成的　元列向量；ｘ为方程组的　

未知数组成的ｎ元列向量．　

方程组（１）的向量形式为　

１ｃｚ１＋　２‘　２＋…＋　ｎ　ｎ＝Ｂ　

其中：　，　２，…，　为方程组系数矩阵Ａ　的列向量，即Ａ　＝（ｏｃ　，以２，　

１．２非齐次线性方程组有解的判定　

利用矩阵的秩，容易判断方程组解的存在情况．　

定理１【５Ｊ　元非齐次线性方程组（２）有解的充分必要条件是系数矩阵Ａ的秩等于增广矩阵　

Ａ＝（Ａ，曰）的秩．有解时，若Ａ的秩等于ｎ，则方程组有唯一解；若Ａ的秩小于ｎ，则方程组有无数个解．　

定理２ｔ　””方程组（３）有解当且仅当向量　可由向量　，　，…，　线性表示．　

２含一个参数的恰定非齐次线性方程组有解判定的Ｍａｔｌａｂ方法　

２．１　系数矩阵中含参数的非齐次－Ｉ合定线性方程组解的判定　

对于系数中含参数的恰定非齐次线性方程组，根据克拉默法则：当系数矩阵的行列式不为零时方程组　

有唯一解；当系数矩阵的行列式为零时，方程组可能有无数个解，可能没有解，解的情况可以由定理１判　

定．因此，讨论此类方程组当参数取何值时有解，可以直接从令方程组系数矩阵的行列式为零开始．　

求解思路与Ｍａｔｌａｂ　程序：　

程序命名为Ｅｘａｍｐｌｅ１（程序通过了Ｍａｔｌａｂ检验）：　

提示参数使用的字母、输入方程组系数矩阵与常数项向量，生成方程组增广矩阵．　

ｓｙｍｓ　ａ　Ｂ＝ｉｎｐｕｔ（常数项向量Ｂ＝’）；％提示输入方程组常数项　ｉｎｐｕｔ（渗数请用字母ａ表示’）；　矩阵　

Ａ＝ｉｎｐｕｔ（’系数矩阵Ａ＝’）；　％提示输入方程组系数矩　ｎ＝ｌｅｎｇｔｈ（Ｂ）；　％ｎ为方程组中未知数个数　

阵　Ａｂａ＝［Ａ，Ｂ】；　％生成方程组的增广矩阵　运用克拉默法则，以系数矩阵行列式不为零为条件，求方程组有唯一解时参数的值以及解．　

Ｆ＝ｓｏｌｖｅ（ｄｅｔ（Ａ））；　％将系数矩阵Ａ的行列式的参数　ｅｎｄ　

值放入向量Ｆ中　％以下代码为求参数取值为使ＩＡＩ＝０的参数值时方程　

％以下代码为提取使得ＩＡＩ＝０的不同的参数值　的解　

ｉ＝ｌｅｎｇｔｈ（Ｆ）；　Ｆ＝ｄｏｕｂｌｅ（Ｆ）；　

ｗｈｉｌｅ　ｉ＞０　ｆｐｒｉｎｆｆ（’ｗｈｅｎ　ａ　ｉｓ　ｎｏｔ％ｄ．ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｈａｓ　

ｆｏｒｊ＝ｌ：ｉ－１　ｕｎｉｑｕｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｋｎ’，Ｆ）　ｉｆ　Ｆ（ｉ）＝＝Ｆ（ｊ）　ｆｐｒｉｎｆｆ（’ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｓ’１　

Ｆ（ｉ）＝口；　ｆｏｒｉ＝Ｉ：ｎ　

ｂｒｅａｋ　Ｃ＝Ａ；　

ｅｎｄ　Ｃ（：，ｉ）＝Ｂ；　ｅｎｄ　Ｘ（ｉ）－ｆａｃｔｏｒ（ｄｅｔ（Ｃ））／ｆａｃｔｏｒ（ｄｅｔ（Ａ））；　％Ｘ为根据克拉　

ｉ＝ｉ一１；　默法则求出的方程组的解　、　－　３　／●＼　，　２　ｌ　，　＝　●，　＼，　

ａ　高师理科学刊　第３２卷　

ｅｎｄ　Ｘ　当参数使得系数矩阵行列式为零时，利用定理１，以系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为条件，求方程　

组有无穷解时参数的值并输出此时方程组增广矩阵的行最简形；以系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩为条　

件，求方程组无解时参数的值．　

ｆｏｒ　ｉ＝１：ｌｅｎｇｔｈ（Ｆ）　ｅｌｓｅ　

ｉｆ　ｒａｎｋ（ｓｕｂｓ（Ａｂａ，ａ，Ｆ（ｉ）））＝＝ｒａｎｋ（ｓｕｂｓ（Ａ，ａ，Ｆ（ｉ）））　

＆ｒａｎｋ（ｓｕｂｓ（Ａ，ａ，Ｆ（ｉ）））＜ｎ　ｆｐｒｉｎｔｆ（’ｗｈｅｎ　ａ＝％ｄ，ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｈａｖｅ　

ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｍａｎｙ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ！Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｒｏｗ　ｅｃｈｅｌｏｎ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　

ａｕｇｍｅｎｔｅｄｍａｔｒｉｘＡｂａｉｓ：ｋｎ’，Ｆ（ｉ）），　ｆｐｒｉｎｔｆ（’ｗｈｅｎ　ａ＝％ｄ，ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｈａｖｅ　ｎｏ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ！Ｂｅｃａｕｓｅ　ｔｈｅ　ｒａｎｋ　ｏｆ　Ａ　ｉｓ％ｄ．ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒａｎｋ　ｏｆ　

ａｕｇｍｅｎｔｅｄ　ｍａｔｒｉｘ　Ａｂａ　ｉｓ％ｄ．＼ｎ’，Ｆ（ｉ），ｒａｎｋ（ｓｕｂｓ（Ａ，ａ，Ｆ（ｉ））），　

ｒａｎｋ（ｓｕｂｓ（Ａｂａ，ａ，Ｆ（ｉ））））　

ｅｎｄ　

ｒｒｅｆ（ｓｕｂｓ（Ａｂａ，ａ，　Ｉ１）））　ｅｎｄ　ｆａｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝ａ一３　例１讨论方程组｛　＋ａｘ：＋ｘ，＝－２，当ａ取什么值的时候有解，并求其解．　

１　１＋　２＋ａｘ３＝一２　

解运行Ｍａｔｌｌａｂ程序如下：　

＞＞Ｅｘａｍｐｌｅ１　参数请用字母ａ表示　

系数矩阵Ａ＝【ａ　１　１；１　ａ　１；１　１　ａ］　

常数项向量Ｂ＝［ａ－３；－２；－２］　

ｗｈｅｎ　ａｉｓｎｏｔ－２，ｔｈｅｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｈａｓｕｎｉｑｕｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；　

ｗｈｅｎ　ａ　ｉｓ　ｎｏｔ　１，ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｈａｓ　ｕｎｉｑｕｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；　

ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｓ　Ｘ＝【（ａ－１）／（ａ＋２），　－３／（ａ＋２），　－３／（ａ＋２）］　

ｗｈｅｎ　ａ＝一２．ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｈａｖｅ　ｎｏ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ！Ｂｅｃａｕｓｅ　ｔｈｅ　ｒａｎｋ　ｏｆ　Ａ　ｉｓ　２　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒａｎｋ　ｏｆ　ａｕｇｍｅｎｔｅｄ　ｍａｔｒｉｘ　Ａｂａ　ｉｓ　３．　ｗｈｅｎ　ａ＝ｌ，ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｈａｖｅ　ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｍａｎｙ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ！　Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｒｏｗ　ｅｃｈｅｌｏｎ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ａｕｇｍｅｎｔｅｄ　ｍａｔｒｉｘＡｂａ　ｉｓ：　

ａｒｔｓ：１　１　１　—２　

０　０　０　０　

Ｏ　０　０　０．　

由Ｍａｔｌａｂ解答可得：　

①当以≠一２，１时，原线性方程组有唯一解　＝（詈曼，　，　］　．　

②当ａ＝１时，原线性方程组有无数个解；且由Ｍａｔｌａｂ给出的当ａ＝１时增广矩阵的行最简型可知，此　

时方程组的通解为，７０＋ｋｌｒ／ｌ＋＋足２ｒ／２，其中：ｋ１，ｋ２为任意常数；ｒ／ｏ＝（－２，０，０）　；ｒ／ｌ＝（１，１，０）　；　

，７２＝（１，０，１）　．　

２－２参数只出现在常数项中的恰定非齐次线性方程组解的判定　

参数只出现在常数项中的恰定非齐次线性方程组，因为其系数矩阵中不含参数，故系数矩阵的秩是固