冲量矩和角动量

动量矩

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动量矩又称角动量。

中文名

动量矩

外文名

moment of momentum

动力学普遍定理之一，它给出质点系的动量矩与质点系受机械作用的冲量矩之间的关系。动量矩定理有微分形式和积分形式两种。

描述物体转动状态的量，又称角动量。一个质量为m、速度为v、矢径为r的质点对r的原点的动量矩为L=r×mv。动量矩是个矢量，它在某一轴上的投影就是对该轴的动量矩。对轴的动量矩是个标量。质点系或刚体对某点（或某轴）的动量矩等于其中所有质点的动量对该点（或该轴）之矩的矢量和（或代数和〉。常用的动量矩单位有

、

等。

平动的刚体，由于它的各点的速度都相同（见刚体的平动），所以它对某点的动量矩等于刚体质心以该点为原点的矢径与刚体动量的矢量积。一个作半径r的匀速圆周运动的质点绕圆心O转动的角速度为），则质点对O的动量矩即质点的角动量为

，其中I 为质点对圆心的转动惯量。绕定轴转动的刚体对定轴的动量矩即刚体的角动量，其中I为刚体对该轴的转动惯量，为刚体绕该轴转动的角速度。

绕定轴转动的刚体，其角动量变化率等于作用在刚体上所有外力对该轴之矩的代数和（见刚体动力学）。若刚体不受外力矩作用，它的角动量不变（见动量矩守恒）。

1力矩

表述 由点到力的作用点的矢径 r与力F的矢量积称为力 F对点0的力矩，即

注释：

⑴ 力矩是描述物体间相互作用的物理量. 力矩

不仅与力的大小有关，而且与力的方向及作用点的 相对位置有关，相同的力，若作用点不同，产生的 力矩也不同，所以，提到力矩时，必须指明是相对 哪个点而言的.

⑵力矩是矢量，其大小为 M = Frsin =Fd，式中，［为r与力F方向 间（小于180°）的夹角，d到点O力矢量的延长线 的距离，称作力臂，显然，若力的作用线通过参考点， 力臂为零，则力矩为零.

⑶力矩的方向由右手旋法则确定， 即将右手的四

个手指由矢量r沿小于180°转至力F的方向，此时伸出的指向，即是力矩的方向，如图

1.2.1所示，力矩 M垂直于r和F构成的平面。

2、冲量矩和角动量（动量矩）

冲量矩 力对某定点的力矩 M与力矩作用的微小时间间隔 dt的乘积，称为力矩 M在

时间dt内的冲量矩，而在t［到t?的一段时间内的冲量矩是 ,2 Mdt .

1

角动量 质点对某点的位矢 r与质点在相应位置的动量 mv的矢量积，称作质点对该

定点的动量矩，即: L =r p

是质点运动状态的函数, 第七讲角动量及其守恒

注释

⑴冲量矩是矢量，反映的是力 对绕定点转动的时间积累作

用，是一个和过程有关的量.

⑵ 角动量是矢量，其大小为 丨=rmvsi，式中二为r和 mv方向间（小于180° ）的夹角，其方向垂直于由r和mv构成的 平面，由右手法则确定，如图所示。

⑶角动量是描述质点绕定点的运动， 是状态量.提到动量矩，

应指出是相对哪个定点而言的.

⑷ 动量和角动量概念的对比. 动量和角动量都是矢量， 又都 但二者又有区别：从定义看，前者只是速度的函数，而后者除了与

运动速度有关以外， 还与质点对给定点的矢径有关. 以匀速圆周运动为例， 运动过程中动量 不守恒，图 而对圆心的角动量却是守恒的. 3、角动量定理

1. 简述角动量守恒的内容、适用范围并举例说明。

角动量定理是：外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量的增量。当刚体受到的合外力矩为0 时，刚体的角动量守恒。适用于惯性系。

如：滑冰运动员伸开手臂则转速变慢，收缩手臂则转速变快。

2. 旋转矢量法：

设有一长度为A的旋转矢量 以O为原点，以角速度 逆时针旋转，在t=0时刻，OM矢量和OX轴的夹角为 ，在任意时刻t矢量OM和OX轴的夹角为 ，矢量OM的端点在X轴上的投影点的位移为 。矢量OM匀速转动时，其端点在OX

轴上的投影点的运动就是简谐振动。通过简谐振动的矢量图可以把描述简谐振动的振幅、圆频率、初相位、相位等物理量非常形象的表示出来。

3简述机械波的产生条件，以弦上横波为例画图说明机械波的传播过程。

产生条件：1）波源：即做机械振动的物体；2）媒质：能够传播机械振动的物质。

媒质中的质元不发生传播 ，“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动，某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现---波是振动状态的传播 ，同相点----质元的振动状态相同。

JJ0MO00t)cos()(tAtx

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第5章 刚体力学

5.1 本章要求：

1、通过质点在平面内的运动情况理解角动量、动量矩和角动量守恒定律,了解转动惯量的概念；

2、理解刚体的定轴转动的转动定律和刚体在定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律；

3、能应用角动量定理和角动量守恒定律解简单的刚体运动的力学问题。

5.2 内容提要

1、质点的角动量

vrmPrL；

2、质点的角动量定理

作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。

积分形式

000LLLddtMLLtt ，

微分形式

dtLdM外

3、角动量守恒定律

如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。则

0dtLd，

iiLL = 常矢量

4、刚体

物体内任意两点间的距离在外力作用下始终保持不变，从而其大小和形状都保持不变的物体，称为刚体。刚体也是物体的一种理想模型。

5、平动

刚体运动时，连接刚体中任意两点的直线始终保持它的方位不变。这种运动称为刚体的平动或平移。

6、转动

刚体运动时，如果刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动；这一直线称为转轴。如果转轴相对于所取的参考系是固定不动的，就称为定轴转动。如果转轴上一点静止于参考系，而转动的方位在变动，这种转动称为定点转动。

刚体的一般运动，可以看作平动和转动所合成。

7、质心

质心是与质点系的质量分布有关的一个代表点,它的位置在平均意义上代表着质点分布的中心。

对于有许多质点组成的系统，如果用im和ir表示第i个质点的质量和位矢，

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用cr表示质心的位矢，则有

Mrmriiic，

式中iimM为质点系的总质量。

质心位置的坐标为：

MzmzMymyMxmxiiiciiiciiic,,。

对于质量连续性分布的物体，质心的位矢为