动量和冲量

2006年高考物理第一轮复习动量和冲量动量定理一第五章●考点目标定位●复习方略指南本章内容包括动量和冲量两个基本概念及动量定理和动量守恒定律两条基本规律.冲量是力对时间的累积，是过程量；动量是物体机械运动量的量度，是状态量.动量定理表明了力对时间的累积效应使物体的动量发生改变.物体在相互作用时物体间有动量的传递，但在系统外力的冲量为零时，物体系统的总动量将不改变，即动量守恒.动量守恒定律比牛顿运动定律的适用范围更广泛，是自然界普遍适用的基本规律之一.《考试大纲》对本章的要求很高，大都为Ⅱ级要求.本章内容是高考考查的重点之一.由于应用动量守恒定律解决的问题过程较复杂，又常常跟能量守恒综合考查，使得应用动量守恒定律求解的题目难度较大，加之动量定理、动量守恒定律都是矢量方程，这也给应用这些规律解决问题增加了难度.所以，本章也是高中物理复习的难点之一.本章知识可分两个单元组织复习：（Ⅰ）动量和冲量，动量定理.（Ⅱ）动量守恒定律.第Ⅰ单元动量和冲量·动量定理●知识梳理一、动量、冲量1.动量（1）定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量，p=mv，动量的单位：kg·m/s.（2）物体的动量表征物体的运动状态，其中的速度为瞬时速度，通常以地面为参考系.（3）动量是矢量，其方向与速度v的方向相同.两个物体的动量相同必须是大小相等，方向相同.（4）注意动量与动能的区别和联系：动量、动能和速度都是描述物体运动的状态量；动量是矢量，动能是标量；动量和动能的关系是：p2＝2mE k.2.动量的变化量（1）Δp=p t－p0.（2）动量的变化量是矢量，其方向与速度变化的方向相同，与合外力冲量的方向相同，跟动量的方向无关.（3）求动量变化量的方法：①Δp=p t－p0=mv2－mv1；②Δp=Ft.3.冲量（1）定义：力和力的作用时间的乘积，叫做该力的冲量，I=Ft，冲量的单位：N·s.（2）冲量是过程量，它表示力在一段时间内的累积作用效果.（3）冲量是矢量，其方向由力的方向决定.如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就与力的方向相同.（4）求冲量的方法：①I=Ft（适用于求恒力的冲量）；②I=Δp.二、动量定理（1）物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的增加量，这就是动量定理.表达式为：Ft ＝p p -'或Ft ＝mv v m -'（2）动量定理的研究对象是单个物体或可视为单个物体的系统.当研究对象为物体系时，物体系总动量的增量等于相应时间内物体系所受的合外力的冲量.所谓物体系总动量的增量是指系统内各物体的动量变化量的矢量和.所谓物体系所受的合外力的冲量是指系统内各物体所受的一切外力的冲量的矢量和，而不包括系统内部物体之间的相互作用力（内力）的冲量；这是因为内力总是成对出现的，而且它们的大小相等、方向相反，其矢量和总等于零.（3）动量定理公式中的F 是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力.它可以是恒力，也可以是变力.当合外力为变力时，F 应该是合外力对作用时间的平均值.说明：①在打击和碰撞问题中，物体之间的相互作用力的量值很大，变化很快，作用时间短，这种作用力通常叫冲力，冲力的本质是弹力.②当冲力比其他力大得多时，可以忽略其他力，把冲力作为公式中的F ，但是我们必须清楚这只是一种近似的处理方法.③从物理意义上讲，公式中的F 应该是合力，而不是冲力.（4）动量定理公式中的F Δt 是合外力的冲量，也可以是外力冲量的矢量和，是使研究对象动量发生变化的原因.在所研究的物理过程中，如果作用在研究对象上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先按矢量合成法则求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间；也可以先求每个外力在作用时间内的冲量，然后再按矢量合成法则求所有外力冲量的矢量和；如果作用在研究对象上的各个力的作用时间不相同，就只能求每个力在相应时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和.（5）动量定理中mv 2－mv 1是研究对象的动量增量，是过程终态动量与初态动量的差值（矢量减法）.式中“－”号是运算符号，与正方向的选取无关.（6）动量定理中的等号（=），表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等，方向一致，单位相同，但绝不能认为合外力的冲量就是动量的增量.合外力的冲量是引起研究对象的运动状态改变的外来因素，而动量的增量则是研究对象受外力冲量后所导致的必然结果.（7）F Δt =Δmv 是矢量式，在应用动量定理时，应该遵循矢量运算的平行四边形法则.也可以采用正交分解法，把矢量运算转化为标量运算.假设用F x （或F y ）表示合外力在x （或y ）轴上的分量，v x 0（或v y 0）和v x （或v y ）表示物体的初速度和末速度在x （或y ）轴上的分量，则F x Δt =mv x －mv x 0 F y Δt =mv y －m v y 0上述两式表明，合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量.在写动量定理的分量方程式时，对于已知量，凡是与坐标轴正方向同向者取正值，凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对未知量，一般先假设为正方向，若计算结果为正，说明实际方向与坐标轴正方向一致，若计算结果为负，说明实际方向与坐标轴正方向相反.（8）根据F ＝ma 得F ＝ma ＝m t v v ∆-'=tp p ∆-'即F ＝t p ∆∆. 这是牛顿第二定律的另一种表达形式：合外力F 等于物体动量的变化率t p ∆∆. 三、用动量定理解释现象用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小；另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小.分析问题时，要把哪个量变化搞清楚.●疑难突破1.Δp ＝p ′－p 指的是动量的变化量，不要理解为是动量，它的方向可以跟初动量的方向相同（同一直线，动量增大）；可以跟初动量的方向相反（同一直线，动量减小）；也可以跟初动量的方向成某一角度，但动量变化量（p ′－p ）的方向一定跟合外力的冲量的方向相同.2.（1）应用动量定理I =Δp 求变力的冲量：如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用Ft 求变力的冲量，而应求出该力作用下物体动量的变化Δp ，等效代换变力的冲量I .例如质量为m 的小球用长为r 的细绳的一端系住，在水平光滑的平面内绕细绳的另一端做匀速圆周运动，速率为v ，周期为T ，向心力F ＝m R v 2.在半个周期的冲量不等于m R v 2·2T ，因为向心力是个变力（方向时刻在变）.因为半个周期的始、末线速度方向相反，动量的变化量是2mv ，根据动量定理可知，向心力在半个周期的冲量大小也是2mv ，方向与半个周期的开始时刻线速度的方向相反.（2）应用Δp =F ·Δt 求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量的变化（Δp =p 2－p 1）需要应用矢量运算方法，比较麻烦，如果作用力是恒力，可以求出恒力的冲量等效代换动量的变化.如平抛运动中动量的变化问题.思考讨论以初速度v 0平抛出一个质量为m 的物体，求抛出后t 秒内物体的动量变化.答案：Δp =Ft =mgt ，方向竖直向下3.用动量定理解题的基本思路（1）明确研究对象和研究过程.研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统.系统内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的.研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段.（2）进行受力分析.只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力.所有外力之和为合外力.研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力.如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和.（3）规定正方向.由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负.（4）写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）.（5）根据动量定理列式求解.●典例剖析【例1】 “蹦极”是一项勇敢者的运动，如图5－1－1所示，某人用弹性橡皮绳拴住身体自高空P 处自由下落，在空中感受失重的滋味.若此人质量为60 kg ，橡皮绳长20 m ，人可看成质点，g 取10 m/s 2，求： P图5－1－1（1）此人从点P 处由静止下落至橡皮绳刚伸直（无伸长）时，人的动量为_______；（2）若橡皮绳可相当于一根劲度系数为100 N/m 的轻质弹簧，则此人从P 处下落到_______m 时具有最大速度；（3）若弹性橡皮绳的缓冲时间为3 s ，求橡皮绳受到的平均冲力的大小.剖析：（1）人从高空落下，先在重力作用下做自由落体运动，弹性橡皮绳拉直后除受到重力外还受到橡皮绳的弹力F 作用.他做自由落体运动的时间为t 1=g h 2=10202 s=2 s 他做自由落体运动的末速度为v =gt 1=20 m/s此时他的动量为p =mv =1 200 kg ·m/s.（2）当他到达平衡位置时，速度最大，则kx =mg解得平衡位置时橡皮绳伸长量为x =6 m ，他从P 处下落了26 m.（3）对人从开始下落到速度减为零的全过程，又由动量定理得mg （t 1+t 2）－Ft 2=0解得F =1 000 N根据牛顿第三定律得，橡皮绳受到的平均冲力大小为1 000 N.深化拓展参照本例试分析：（1）在“跳高”和“跳远”的比赛中，运动员为什么要落在沙坑中?（2）“跳伞”运动员着地时，为什么要有“团身”动作?（3）在球类项目的体育课上，传球和接球时为什么要有缓冲动作?答案：（1）（2）（3）中所列现象均是通过延长作用时间来减小相互作用力.说明：上面问题中通过延长动量变化时间减小作用力，通过计算可以看出这种缓冲作用的效果很明显.这也就是杂技演员、高空作业的工人、高速行驶的驾驶员和前排乘客要扣安全带的道理.【例2】 两物体质量之比为m 1∶m 2=4∶1，它们以一定的初速度沿水平面在摩擦力作用下做减速滑行到停下来的过程中（1）若两物体的初动量相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为_______；（2）若两物体的初动量相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为 _______；（3）若两物体的初速度相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为_______；（4）若两物体的初速度相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为 _______.剖析：（1）由动量定理得－F f t =0－p t =f F p 由于F f 和p 均相同，所以t 1∶t 2=1∶1.（2）由动量定理得－μmg ·t =0－p t =mgp μ 由于p 、μ均相同，所以t 与m 成反比，故t 1∶t 2=m 2∶m 1=1∶4.（3）由动量定理得－F f t =0－mv t =fF mv 由于F f 、v 均相同，所以t 与m 成正比，故t 1∶t 2=m 1∶m 2=4∶1.（4）由动量定理得－μmgt =0－mv t =gv μ 由于μ、v 均相同，所以t 1∶t 2=1∶1.说明：（1）对于这种涉及时间的动力学问题，利用动量定理分析往往比较方便，请同学们注意体会.（2）求解比例问题时，一般是推导出所求物理量与其他物理量的关系式，再求比例.求比例时，要特别注意表达式中哪些物理量是不变的，哪些物理量是变化的.【例3】 高压采煤水枪出水口的截面积为S ，水的射速为v ，射到煤层上后，水速度为零.若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力.剖析：从水枪中射出的水是连续的，这样对解题极为不便，为使连续的水像物体一样，我们可以取一小段时间的水进行研究.射到煤层上的水，在较短时间速度变为零，煤一定对水（水为研究对象）产生了力的作用，此力为变力，因此可以由动量定理来求出煤对水的平均作用力，即冲力，由牛顿第三定律就知道水对煤的作用力.由水流算出Δt 内水的质量，以Δt 时间内的水为研究对象，由动量定理列方程，求煤对水的力，再由牛顿第三定律求水对煤的力.设在Δt 时间内，从水枪射出的水的质量为Δm ，则Δm ＝ρSv Δt .以Δm 为研究对象，它在Δt 时间内动量变化为：Δp =Δm （0－v ）=－ρSv 2Δt设F N 为水对煤层的冲力，F N ′为煤层对水的反冲力，以F N ′的方向为正方向，根据动量定理（忽略水的重力）有：F N ′Δt =Δp ＝－ρv 2S Δt解得：F N ′=－ρSv 2根据牛顿第三定律知F N =－F N ′，所以F N =ρSv 2.说明：这是一类变质量（或连续流体）问题，对这类问题的处理，一般要选取一段时间的流体为研究对象，然后表示出所选研究对象的质量，分析它的受力及动量的变化，根据动量定理列方程求解.深化拓展国产水刀——超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm 厚的钢板、50 mm 厚的大理石等材料. 水刀就是将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm 的喷嘴中以800 m/s ～1 000 m/s 的速度射出的水射流.我们知道，任何材料承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度.设想有一水刀的水射流横截面积为S ，垂直入射的速度v ＝800 m/s ，水射流与材料接触后，速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ＝1×103 kg/m 3，则此水刀不能切割上述哪些材料？答案：以射到材料上的水量Δm 为研究对象，以其运动方向为正方向，由动量定理得： pS Δt ＝－ρSv Δt ·vp ＝－ρv 2＝－6.4×108 Pa由表中数据可知：不能切割C 、D.【例4】 如图5－1－2所示，P 为位于某一高度处的质量为m 的物块，B 为位于水平地面上的质量为M 的特殊长平板，m /M =1/10，平板与地面间的动摩擦因数为μ=2.00×10－2.在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用区域”，如图中画虚线的部分.当物块P 进入相互作用区时，B 便有竖直向上的恒力f 作用于P ，f =amg ，a =51，f 对P 的作用使P 刚好不与B 的上表面接触；在水平方向P 、B 之间没有相互作用力.已知物块P 开始自由落下的时刻，板B 向右的速度为v 0=10.0 m/s.P 从开始下落到刚到达相互作用区所经历的时间为T 0=2.00 s.设B 板足够长，保证物块P 总能落入B 板上方的相互作用区，取重力加速度g =9.80 m/s 2.问：当B 开始停止运动那一时刻，P 已经回到过初始位置几次?P相互作图5－1－2剖析：由于P 刚好不与B 的上表面接触，P 下落时先做自由落体运动，它进入相互作用区后做匀减速运动，速度减小到零再返回，返回时与下落时受力情况完全相同，所以，P 刚好能回到初始位置.P 从开始下落到返回原处的时间内，设恒力f 作用的时间为Δt ，则重力作用时间为：2T 0+Δt ，P 在该过程所受合外力总冲量为零，即f Δt －mg （2T 0+Δt ）=0由f =amg 得：Δt =0.08 s恒力f 作用的时间木板受摩擦力的大小为f '=μ（Mg +amg ）P 不在相互作用区的时间内木板受摩擦力的大小为f 0=μMg对木板应用动量定理f 0·2T 0+f '·Δt =M ·Δv即μMg ·2T 0+μ（Mg +amg ）·Δt =M ·Δv得：Δv =0.88 m/sn =vv ∆0=11.38，取整数为：N =11次. 说明：（1）分析该问题时要抓住过程周期性的特点.（2）注意物块P 从开始下落到返回原高度一周期内，物块P 在相互作用区的时间和不在相互作用区的时间内，B 板的受力情况不同，决定了它的运动的情况不同.●教师下载中心教学点睛1.由于《高考大纲》中对动量定理的要求不同，故在复习中应把握好要求的尺度，从近两年高考看，对动量定理的要求有所提高，在复习中要给予必要的重视.2.对动量和冲量，复习中要引导学生对其矢量性给予足够的重视，因为学生往往在这方面出错.3.应强调动量定理解题的关键是受力分析，应通过复习使学生明确什么类型的题目应用动量定理求解更方便.在［典例剖析］中，通过例1说明应用动量定理解释实际现象的方法.通过例2说明利用动量定理分析解答动力学问题的方法.通过例3说明用动量定理求变力的冲量的方法.通过例4说明应用动量定理求解综合问题的方法.拓展题例【例1】 从高为H 的平台上，同时水平抛出两个物体A 和B ，已知它们的质量m B =2m A ，抛出时的速度v A =2v B ，不计空气阻力，它们下落过程中动量变化量的大小分别为Δp A 和Δp B ，则A.Δp A =Δp BB.Δp A =2Δp BC.Δp B =4Δp AD.Δp B =2Δp A 解析：由t =gH 2知t A =t B ，由动量定理知Δp =mgt ，故Δp B =2Δp A . 答案：D【例2】 如下图所示，光子具有动量，每个光子的动量mv =h /λ（式中h 为普朗克常量，λ为光子的波长）.当光照射到物体表面上时，不论光被物体吸收还是被物体表面反射，光子的动量都会发生改变，因而对物体表面产生一种压力，称为光压.上图是列别捷夫设计的用来测量光压的仪器.图中两个圆片中，a 是涂黑的，而b 是光亮的.当光线照射到a 上时，可以认为光子全部被吸收，而当光线照射到b 上时，可以认为光子全部被反射.分别用光线照射在a 或b 上，由于光压的作用，都可以引起悬丝的旋转，旋转的角度可以借助于和悬丝一起旋转的小平面镜M 进行观察.（1）如果用一束强光同时照射a、b两个圆片，光线的入射方向跟圆片表面垂直，悬丝将向哪个方向偏转？为什么？（2）已知a、b两个圆片的半径都为r，两圆心间的距离是d.现用频率为ν的激光束同时照射a、b两个圆片，设入射光与圆面垂直，单位时间内垂直于光传播方向的单位面积上通过的光子个数为n，光速为c，求由于光压而产生的作用力分别为多大.解析：（1）a向外b向里转动（从上向下看逆时针转动）.对时间t内照到圆片上的光子用动量定理：Ft=ntSΔmv，照到a上的每个光子的动量变化是mv，而照到b上的每个光子的动量变化是2mv；因此光子对b的光压大.（2）分别对单位时间内照射到a、b上的光子用动量定理，有：F a=nπr2hν/c，F b=nπr22hν/c答案：（1）a向外b向里转动（从上向下看逆时针转动）（2） F a=nπr2hν/c F b=nπr22hν/c。