山西省大同市第一中学2014-2015学年高二数学3月月考试题 理

- 1 - 山西省大同市第一中学2014-2015学年高二数学3月月考试题 理

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．曲线2sinyx在点(0,0)处的切线与直线1xay垂直，则实数a的值为（ ）

A．2 B．2 C．12 D．12

2．下列求导结果正确的是（ ）

A．xx21)1(2 B．(cos30)sin30

C．xx21])2[ln( D．xx23)(3

3．函数33yxx的单调递减区间是()．

A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)

4．32(x)32fxx在区间[－1，1]上的最小值是( )．

A．1 B．－2 C．2 D．－1

5．已知函数xxxf12)(3，若)(xf在区间)1,2(mm上单调递减，则实数m的取值范围是

A．11m B．11m C．11m D．11m

6．已知函数2(x)faxc，且f '(1)＝2，则a的值为( ) ．

A．1 B．2 C．－1 D．0

7． 已知P, Q为抛物线22xy上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )

A. 1 B. 3 C. 4 D. 8

8． 已知3269,xxxabcabc且f(a)=f(b)=f(c)=0，现给出如下结论：

①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.

其中正确结论的序号是( )

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

9. 若)(xf的定义域为，2)(xf恒成立，2)1(f，则42)(xxf解集为（ ）

A．(1,1) B．(1)， C．(,1) D．(,)

10．已知直线1ykx与曲线3yxaxb相切于点(1，3)，则b的值为( )．

A．3 B．－3 C． 5 D．－5

- 2 - 11. 设函数()xfxxe，则（ ）

A. 1x为()fx的极大值点 B.1x为()fx的极小值点

C. 1x为()fx的极大值点 D. 1x为()fx的极小值点[学

12. 已知函数33yxxc的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )

A. -2或2 B. -9或3 C. -1或1 D. -3或1

二、填空题（每小题3分，共16分）

13．一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1，1.1]内的平均速度为 m/s，

在t＝1时的瞬时速度为 m/s．

14．函数y＝x3＋ax2＋x在R上是增函数，则a的取值范围是 ．

15．如图，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程

是y＝－x＋8，则f(5)＋f '(5)= ．

16．已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′(π3)＋sin x，

则f′(π3)＝________.

三、解答题

17．(8分) 已知曲线313yx,

(1) 求曲线在点P(2,f(2))处的切线方程;

(2) 求曲线过点P(2,83)的切线方程。

18．(10分) 已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.

(1) 求a的值；

(2) 求函数f(x)的单调区间与极值．

19． (10分) 设函数2()lnfxaxx.

（1）求()fx的单调区间；

（2）设函数()(21)gxax，若当(1,)x时，()()fxgx恒成立，求a的取值范围.

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20． (10分) 已知函数f(x)＝ln x＋2ax，a∈R.

(1) 若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2) 若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

21．32(x)x1,,faxxaR已知函数

(1) 讨论函数(x)f的单调区间；

（2）设函数(x)f在区间21(,)33内是减函数，求a的取值范围。

- 4 - 数学(理科) 参考答案

三、解答题

17.解：设过点P(2,83)的直线与曲线相切，切点坐标为3001(x,)3x，

所以切线的斜率为'200f(x)x

所以切线方程为320001x(xx)3yx，

因为切线过点P(2,83)，

所以3200081(2)33xxx，

解得0021xx或

当02x时，切线方程为12-3y-16=0x

当01x时，切线方程为3y-3x-2=0

所以，所求切线方程为12-3y-16=0 3y-3x-2=0x或

18．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.

(2) 由(1)知f(x)＝x4＋54x－ln x－32，

则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.

因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．

当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故 f(x)在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.

- 5 - 19.解： ：（1）解：因为2()lnfxaxx，其中0x． 所以221()axfxx， 2分

当0a≥时，()0fx，所以()fx在(0,)上是增函数 4分

当0a时，令()0fx，得12xa

所以()fx在1(0,)2a上是增函数，在1(,)2a上是减函数. 6分

（2）解：令()()()hxfxgx，则2()(21)lnhxaxaxx，

根据题意，当(1,)x时，()0hx恒成立. 8分

所以1(1)(21)'()2(21)xaxhxaxaxx

（1）当102a时，1(,)2xa时，'()0hx恒成立.

所以()hx在1(,)2a上是增函数，且1()((),)2hxha，所以不符题意 10分

（2）当12a≥时，(1,)x时，'()0hx恒成立.

所以()hx在(1,)上是增函数，且()((1),)hxh，所以不符题意 12分

（3）当0a≤时，(1,)x时，恒有()0hx，故()hx在(1,)上是减函数，

于是“()0hx对任意(1,)x都成立”的充要条件是(1)0h≤，

即(21)0aa≤，解得1a≥，故10a≤≤.

综上所述，a的取值范围是[1,0]. 15分

20.解 (1)∵f(x)＝ln x＋2ax，∴f′(x)＝1x－2ax2.

∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，

∴f′(x)＝1x－2ax2≥0在[2，＋∞)上恒成立，

- 6 - 即a≤x2在[2，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝x2，则a≤*g(x)+min，x∈[2，＋∞)，

∵g(x)＝x2在[2，＋∞)上是增函数，

∴[g(x)]min＝g(2)＝1.

∴a≤1.所以实数a的取值范围为(－∞，1]．

(2)由(1)得f′(x)＝x－2ax2，x∈ [1，e]．

①若2a<1，则x－2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，

此时f(x)在[1，e]上是增函数．

所以[f(x)]min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝32(舍去)．

②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.

当1

所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a0，所以f(x)在(2a，e)上是增函数．

所以[f(x)]min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，

解得a＝e22(舍去)．

③若2a>e，则x－2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数．

所以[f(x)]min＝f(e)＝1＋2ae＝3，得a＝e.适合题意．

综上a＝e.

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