基于线性规划思想解决非线性规划问题的研究

1. 非线性规划

我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。

非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。

非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。

非线性规划举例

[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。假设该商店啤酒的年销售量为A箱,每箱啤酒的平均库存成本为H元,每次订货成本都为F元。如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。

我们以Q表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为QAF。由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2QH,年库存成本可以表示为:

非线性规划知识点讲解总结

1. 非线性规划的基本概念

非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：

\[\min f(x)\]

\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]

\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]

其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。

2. 非线性规划的解决方法

非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。

（1）梯度方法

梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。

（2）牛顿方法

牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。

（3）拟牛顿方法

拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。

3. 非线性规划的应用

非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。

（1）生产优化 在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。

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非线性规划

什么是非线性规划？

非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。

非线性规划的数学表达式

一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：

minimize f(x)

subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., m

h_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., p

x ∈ R^n

其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。

非线性规划的解法

由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。以下列举了几种常用的非线性规划求解方法： 未知驱动探索，专注成就专业

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1. 数值方法

数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

2. 优化软件

优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。

3. 线性化方法

线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。

4. 分类方法

分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。

以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。 未知驱动探索，专注成就专业

２００２年第７期　中学数学　

非线胜规划【ｌ】硇“线胜规划”　

０４６０１１　山西省晋东南师专附中　金　良０４６０００　山西省长治市第五中学　岳剑兰　

高中数学新教材（试验本）在《直线和圆　

的方程》一章中讲了“线性规划”．线性规划是　

数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较　

广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设　

计、经济管理、生产实践等许多方面的实际问　

题．教学中人们普遍注意到了：通过线性规划　

使学生进一步了解数学在解决实际问题中的　

作用；也培养了学生应用数学的意识和解决　

实际问题的能力．但很容易头痛医头，脚痛医　

脚，就事论事；很容易忽视启发学生体会和领　

会其中的数学思想和方法，浅尝辄止；因而错　

过了提高学生的综合素质与能力和培养学生　

知识的横纵联系、交叉、融合、渗透的习惯的　

机会．本文试图通过挖掘线性规划的来龙去　

脉，呈现它深邃的内涵以及这种数学思想所　

折射出的解题方法，希望能助您一臂之力．　

从代数角度考虑：线性规划实际上是求　

二元函数的最值；从几何角度考虑：线性规划　

实际上是当“目标函数”连续扫过“可行域”时　

的两个极端状态下目标函数的取值；从数学　

思想上考虑：线性规划是“数形结合”；从源头　

上考虑：线性规划实际上是二元一次不等式　

表示的平面区域在直线的一侧的符号的一致　

性的体现．知识的这些发生、发展过程就意味　

着生动活泼的解题方法，这是学生所欠缺的，　

也是教学的一个不易引起重视的薄弱环节．　

下面几个浅例，正是基于这样一种认识和感　

受而发掘的，切盼读者能发扬光大．　

例１　△　ＢＣ中，Ａ（３，４），Ｂ（６，０），　

Ｃ（一５，一２），求　平分线　７１所在直线的　方程．　

分析　本题的解法众多，用角平分线的　

性质结合定比分点以及有向角来求解都不困　

难，但波澜不惊，缺少火花，缺少激情，很难使　

学生产生共鸣，留下深刻的印象．而从线性规　

划的源头考虑，用线性规划的思想来求解，可　

以说是出奇制胜，充分体现了数学知识的互