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数学实验课件--线性与非线性规划

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第13讲非线性规划PPT课件02

第13讲非线性规划PPT课件02

使用符号求解的程序如下 syms x x0=solve(x^3-x^2+2*x-3) %求函数零点的符号解 x0=vpa(x0,6) %化成小数格式的数据 也求得全部的零点 0.1378 1.5273i，1.2757。
求数值解的 Matlab 程序如下 y=@(x) x^3-x^2+2*x-3; x=fsolve(y,rand) %只能求给定初始值附近的一个零点
[x,fval]＝fminsearch(fun,x0,options)
例 3.4 求多元函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x
的极值。
解 编写 Matlab 程序如下 clc, clear f=@(x) x(1)^3-x(2)^3+3*x(1)^2+3*x(2)^2-9*x(1); % 定义匿名函数 g=@(x) -f(x); [xy1,z1]=fminunc(f, rand(2,1)) %求极小值点 [xy2,z2]=fminsearch(g,rand(2,1)); %求极大值点 xy2, z2=-z2
求得当 x1 0.5522, x2 1.2033, x3 0.9478时，最小 值 y 10.6511。
3.2 无约束问题的 Matlab 解法 3.2.1 无约束极值问题的符号解
例 3.3 求多元函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x
的极值。
解 先解方程组 fx(x, y) 3x2 6x 9 0 fy(x, y) 3 y2 6 y 0
2
2
1 21 , 1 21 。
2
2
求数值解的程序如下 f=@(x) [x(1)^2+x(1)-6; x(2)^2+x(1)-6]; xy=fsolve(f,rand(2,1)) %只能求给定初始值 附近的一组解

实验二、利用Lingo求解整数规划及非线性规划问题【优质PPT】

实验二、利用Lingo求解整数规划及非线性规划问题【优质PPT】

一、用Lingo 求解规划问题
例 1 用Lingo软件求解0-1规划问题
max z 2 x1 5 x2 3 x3 4 x4
4 x1 x2 x3 x4 0
2
x1
4
x2
2 x3
4 x4
1
x1
x2
x3
x4
1
x1 , x2 , x3 , x4 0 或 1
Lingo 程序:
max=2*x1+5*x2+3*x3+4*x4; -4*x1+x2+x3+x4>=0; -2*x1+4*x2+2*x3+4*x4>=1; x1+x2-x3+x4>=1; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);
例 4 求函数 zx22y22的最小值.
例 4 求函数 zx22y22的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
sets: endsets
人数 80 90 85
班次 4 5 6
时间段 18:00～22:00 22:00～02:00 02:00～06:00
人数 70 40 30
上机作业题
3、将机床用来加工产品 A，6 小时可加工 100 箱。若用机床加 工产品 B，5 小时可加工 100 箱。设产品 A 和产品 B 每箱占用生 产场地分别是 10 和 20 个体积单位，而生产场地（包括仓库） 允许 15000 个体积单位的存储量。机床每周加工时数不超过 60 小时。产品 A 生产 x1（百箱）的收益为(60 5x1)x1 元，产品 B 生

非线性规划ppt课件

非线性规划ppt课件

g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a

第4章非线性规划43PPT课件

第4章非线性规划43PPT课件

极值点。
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
定理4.3.2 （极值存在的充分条件） 设 f（X）是定义在n 维欧氏空间 E n 上的某一
开集R 上的实值函数，且 f（X）在R 上二次连续可 微，若存在 X * R , 使得 f (X*) 0,且 2 f ( X * )
出量为Q 。若产品价格为P =4，要素投入价格分别为
PK 4 , PL 3 , 试求该企业得到最大利润时要素投 投入水平。
解: 该企业的利润函数为 YP Q P K K P LL
11
12K3L24K3L
则有
11
m axY12K3L24K3L
6
由极值存在的必要条件
Y K
2 1
4K 3 L2
10
注1： 定理4.3.3 表明等式约束极值问题可以转化
为求拉格朗日函数 L( X , ) 的驻点，即满足
f (X) m ihi (X) 0
i1
hi (X) 0,i 1,2, ,m
的 X 和 。
（4.3.3）
11
例4.3.3 求解下列非线性规划问题
m inf(X)x12x1x2x2210x14x260
一邻域 N ( X ) 上可微，且矩阵 J ( X ) ( h 1 ( X ) , h 2 ( X ) ,, h m ( X ) ) n m （4.3.2）
的秩为 m，若 X 是最优解，则存在拉格朗日乘子
(1,2, , m ),使
m
XL (X , *) f(X ) i h i(X )0 i 1
s.t. h(X)x1x280 解：该问题为具有等式约束的非线性规划问题。

第一讲 线性规划与非线性规划

第一讲 线性规划与非线性规划

案例5 （合理下料问题）要用一批长度为7.4米的园钢做100 套钢架，每套钢架由2.9米、2.1米、1.5米的园钢各一根组 成，问：应如何下料才能使所用的原料最省？ 解：问题分析：一根长度为7.4米的园钢，要裁出2.9米、 2.1米、1.5米的料有多种裁法，如可裁出一根2.9米、二根 2.1米，也可裁出三根2.1米的。这样我们把所有裁法列举出 来，如下表所示：
季度 买进价（万元/万米3） 卖出价（万元/万米3） 预计销售量（万米3）
冬
春 夏 秋
410
430 460 450
425
440 465 455
1000
1400 2000 1600
由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为 使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，xij代 表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。
用线性规划方法解决问题一般按下列步骤进行 第一步：建立线性规划模型； 第二步：用单纯形算法进行求解； 第三步：对求解结果进行检验； 第四步：将求解结果形成优化方案，付诸实施；
线性规划模型一般包括三个要素：
（1）决策变量
（2）目标函数
（3）约束条件
线性规划的一般形式为： max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn
（1.1)
s.t
a11x 2 a12 x 2 a1n x n (, )b1 a x a x a x (, )b 22 2 2n n 2 21 2 a m1x 2 a m 2 x 2 a mn x n (, )b m x1 , x 2 , , x n 0

高教版数学建模与数学实验第3版第6讲_非线性规划.ppt

高教版数学建模与数学实验第3版第6讲_非线性规划.ppt
输出极值点 M文件 迭代的初值 变量上下限 参数说明
(6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法．默认 时: 若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置 为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函 数将选择大型算法．当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型 算法．
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1),设 X * D ,若存在 0 ,使得对一切
X D ,且 X X * ,都有 f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地,当X X* 时，若
f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最
1112x1 x22 2
0 0
x1 x2
c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];
Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
3．运算结果为：
步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j
=
k j
j = 1,L, n，返
回步骤(3)，重解当前的线性规划问题；
5)
判断精度：若
k j
j =1,L,n，则点 X k1为近似最优解；
否则，令
k 1 j
=
k j
j =1,L,n，k=k+1，返回步骤(2)． 返回

第13讲 非线性规划.ppt


6
信息与计算科学系
数学 建模
在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大 值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这 类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式
min f ( x)，
s.t. hj ( x) 0, j 1, , q, （3.1） gi ( x) 0, i 1, , p.
其中 x [x1, , xn]T 称为模型（3.1）的决策变量， f 称 为目标函数， gi (i 1, , p)和hj ( j 1, ,q)称为约束函 数。另外，gi ( x) 0 (i 1, , p)称为等式约束，hj ( x) 0
3
信息与计算科学系
数学 建模
例 3.1 （投资决策问题）某企业有n个项目可供选择
投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有
总资金 A元，投资于第i(i 1, ,n)个项目需花资金ai 元， 并预计可收益bi 元。试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为
xi
1, 决定投资第i个项目 ，i 1, , n，
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2;
x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
11
信息与计算科学系
数学 建模
（3）编写主程序文件如下 [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fu n2')
14
信息与计)是极小值点，对应的极小值 f (1,0) 5； 点(1,2)，( 3,0)不是极值点； 点( 3,2)是极大值点，对应的极大值 f ( 3,2) 31。

非线性规划的基本概念和基本原理优秀课件


解： a1150
5 2 260
2 6
5 2 2
A 2 6 0 800 A负定
2 0 4
17
❖ 例：判定正定性
5 2 2
A
2
6
0
2 0 4
0 1 1 B 1 0 3
1 3 0
解： b11 0
01 1 0
B不 定
10
18
❖ 作业： ❖ P200 4.4（1）
19
7.2 无约束问题的极值条件
gj(X) 0 (j=1,2….l) X En f(X) hi(X) gj(X) 为En上的实函数。 或
mifn(x) 1)( 目标函数 gj(x)0 ,j1,2,,l 2) (约束条件
6
二、基本概念
1、全局极值和局部极值来自f ( X )为目标函数，S 为可行域。若存在 X* S ，XS，都 有 f(X) f(X*)，则称 X * 为该问题的全局极小点，
则称X En 为（P）的一个可行解。 记（P）的所有可行解的集合为D， D称为（P）可行域。
9
定义 X*称为（P）的一个（整体）最优解，如 果X* D，满足
f(X) f(X*)， X D。
定义 X*称为（P）的一个（局部）最优解，如 果X* D，且存在一个X*的邻域 N(X* ,)= X En X- X* < , >0 满足
负定：特征值<0； Ai <0(i为奇）, Ai >0(i为偶）
半负定：特征值≤0； detA=0，Ai ≤0(i为奇）, Ai ≥0(i为偶）
不定：特征值有> 0及< 0；除了上述情况外即为不 定。
16
❖ 例：判定正定性
5 2 2

第三讲 线性规划与非线性规划

1 2
1
2 x 2
6 x 2
s.t.
1 1 0 0
1 x1 2 x 2 x1 x 2
2 2
2、 输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
1．先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);
2．再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon2(x) g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];
3. 主程序fxx.m为: x0=[3;2.5]; VLB=[0 0];VUB=[5 10]; [x,fval,exitflag,output] =fmincon('fun',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon2')
例 2
min z 6 x1 3 x 2 4 x 3 s .t . x 1 x 2 x 3 120 x1 30 0 x 2 50 x 3 20
min z ( 6
3
x1 4) x 2 x3

s .t .
(0
1
x1 0) x2 50 x 3 x1 1) x 2 120 x 3

1 2
2 x2
s.t.

非线性规划PPT演示文稿

正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问 题的求解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求 得一个最优解时，常常无法确定该解是否为全局最 优解。但是在某些情况下，可以保证所求得的解就 是全局最优解。下面7.2节、7.3节所介绍的边际收 益递减的二次规划和可分离规划就属于这种情况。
RUC, Information School, Ye Xiang
RUC, Information School, Ye Xiang
求总风险（方差）的一种简便方法
第7章 非线性规划
由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也 复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法
构造协方差矩阵（方差、协方差）
总风险（方差）=
❖
SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资
第7章 非线性规划
这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非 线性化。在这种情况下，成本是与投资有关 的风险，收益是投资组合的预期回报。
因此，该模型的一般表达形式为：
最小化 风险
约束条件 预期回报≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和预期收益 之间的平衡。
RUC, Information School, Ye Xiang
例7.1 给定一根长度为400米
的绳子，用来围成一块矩形菜 地，问长和宽各为多少，使菜 地的面积最大？ 解：这是一个小学数学问题， 现在把它当作一个规划问题来 求解。
RUC, Information School, Ye Xiang
7.1 非线性规划基本概念 第7章 非线性规划
(1) 决策变量
7.2.2 运用非线性规划优化 有价证券投资组合
第7章 非线性规划
投资组合优化，就是确定投资项目中的一 组最优投资比例。这里所说的“最优”，可 以是在一定风险水平下使得投资回报最大， 也可以是在一定的投资回报水平下使得风险 最小。
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• “optimize your PC”
3,300,000 优化你的PC
• “optimal choice”
25,800,000 最优选择10,900,000
• “optimal design”
77,300,000 优化设计 1,270,000
• “optimal health”
31,900,000 优化健康
4
5
0.03 0.05
建立数学模型
① 决策变量：在混合饲料中，每天所需第j种饲料的 磅数xj，j = 1，2，3，4，5；
② 约束条件： 蛋白质：0.30x1+2x2+x3+0.6x4+1.8x5≥70 矿物质：0.10x1+0.05x2+0.02x3+0.2x4+0.05x5≥3 维生素：0.05x1+0.1x2+0.02x3+0.2x4+0.08x5≥10 自然约束条件：xi≥0 ③ 确定目标：混合饲料的成本最低
减少 20%的工厂, 每年节约两亿美元. • 大阪的Hanshin高速的最优安排每年节约一千七百万人小
时.
为说明最优化 的价值,建立了专 门的网站,列举了 哪些公司的什么问 题,运用最优化方 法节约和增加了多 少金额.
有可选的行业, 考察的方面,受益 的方式,希望同学 们各选择其中的一 个,提一份报告,以 说明最优化的价值.
• Obviously, the highest type of efficiency is that which can utilize existing material to the best advantage. -Jawaharlal Nehru
• It is more probable that the average man could, with no injury to his health, increase his efficiency fifty percent.-Walter Scott
的。
一,优化问题的普遍性以及引例
2,一些成功的优化例子：
• “最优人员安排”为美国航空每年节约两千万美元. • “改进的出货流程”每年为Yellow Freight 公司节约一千七
百多万美元. • “改进的卡车分派”为 Reynolds 公司每年节约七百万美
元. • 最优全局供应链为数字设备行业节约超过三亿美元. • 重建的 North America Operations, Proctor and Gamble
• 非线性规划问题在实践中也是及其常见的. 标志着这一学科的产生的奠基性工作由美 国的数学家Tucker和Kuhn在1952年的一篇 文章.该文章给出了非线性规划问题的必要 条件和充分条件,后来成为Kuhn-Tucker条 件.这为非线性规划问题的求解算法的提出 提供了理论基础和算法的基本思路.
• 相关的规划问题,比如多目标规划,决策论等 等.
4
5
0.03 0.05
引例2:供应与选址
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位 置（用平面坐标a，b表示，距离单位：千米）及 水泥日用量d 吨由下表给出。目前有两个临时料场 位于A(5,1), B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场 到工地均有直线道路相连，（1）试制定每天的供 应计划，即从A、B 两料场分别向各工地运送多少 吨水泥，使总的吨千米数最小。
•
Aeqx =beq
•
lb ≤ x ≤ub
• Solve a linear programming problem
• where c, x, b, beq, lb, and ub are vectors and A and Aeq are matrices.
• 调用格式:x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)
二，优化问题的表述
• 决策变量和参数 我们称对应决策者可控的量称为决策变
量,决策变量的取值确定了系统的最终性能, 也是决策者采用决策的依据.在系统中还有 一些量,它不能由决策者所控制,而是由系统 所处的环境所决定,我们称之为参数.
二，优化问题的表述
• 约束条件 约束条件就是决策变量和参数之间
的关系. 约束集界定决策变量可以取某些 值而不能取其他的值.比如对应生产问题, 任何活动中,时间和物品不能为负数.当然, 也有一些优化问题不带约束条件,我们称 之为无约束优化问题.而在实际问题中,决 策变量带有约束是普遍的.
• “optimal experience” 32,400,000 最优经历
• “optimal investment” 8,320,000 优化投资 8,250,000
• “optimal system”
84,200,000optimal decision”
28,800,000 最优决策 2,890,000
• [x,fval,exitflag,output] = linprog(...)
• [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)
• 发现算法时非常年轻,以至 到日本时,人们以为”线性 规划之父”是个老人,而对 他无人问津.
Leonid Vitalyevich Kantorovich
• Kantorovich(1912-1986)苏 联人,著名数学家和经济学 家,教授,年仅18岁获博士 学位.因在经济学上提出稀 缺资源的最优配置获诺贝 尔奖.线性规划对偶理论的 提出者,数学规划的三大创 始人之一.
请同学翻译上面的句子，你喜欢那一句？你有什么好的 表述？
引例1,动物饲料配置问题
美国一家公司以专门饲养并出售一种实验用的 动物而闻名。这种动物的生长对饲料中的三种营养 成分特别敏感，即蛋白质、矿物质和维生素。
需 要
蛋白质：70克
的
营
矿物质：3克
养
量
维生素：9.1毫克
现有五种饲料，公司希望找出满足动物营养 需要使成本达到最低的混合饲料配置。
一,优化问题的普遍性以及引例
Google上相关搜索的结果：
Search phrase number of hits（英文）
短语
点击数（中文）
• “optimize the supply chain”1,160,000 优化供应链414,000
• “optimize (the) return” 2,490,000 优化回报 453,000
每一种饲料每磅所含的营养成分
饲料 1(x1) 2(x2) 3(x3) 4(x4) 5(x5) 需要量
饲料
成本(美元)
蛋白质(克)
矿物质(克)
0.30
0.10
2.00
0.05
1.00
0.02
0.60
0.20
1.80
0.05
70
3
每种饲料每磅的成本
1
2
3
0.02
0.07
0.04
维生素(毫克)
0.05 0.10 0.02 0.20 0.08 9.1
• 目的是什么? • 有哪些重要的因素? • 这些因素和你的目标之间有什么样的关系?
二，优化问题的表述
• 目标函数 对应决策者而言,对其有利的程度必须定量的测度, 在
商业应用中，有效性的测度经常是利润或者成本, 但对于 政府，更经常的使用投入产出率来测度.
表示有效性测度的经常称为目标函数.目标函数要表出 测度的有效性, 必须说明测度和导致测度改变的变量之间 的关系. 系统变量分为决策变量和参数.决策变量是指能由 决策者直接控制的变量. 而参数是指不能由决策者决定的 量.实际上，数学模型很少有能表达变量和有效性测度之 间的精确关系的. 实际上，运筹学分析者的任务就是找出 对测度有最重要影响的变量 然后找出这些变量和测度之间 的数学关系.这个数学关系也就是目标函数.
饲料 1(x1) 2(x2) 3(x3) 4(x4) 5(x5) 需要量
饲料
成本(美元)
蛋白质(克)
矿物质(克)
0.30
0.10
2.00
0.05
1.00
0.02
0.60
0.20
1.80
0.05
70
3
每种饲料每磅的成本
1
2
3
0.02
0.07
0.04
维生素(毫克)
0.05 0.10 0.02 0.20 0.08 9.1
a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25
b 1.25 0.75 4.75 5
6.5 7.75
d
3
5
4
7
6
11
二,优化问题建模的基本步骤介绍
在我们的生活中,始终有这样的问题:为 了一定的目的做一些事情,我们可能要考虑 有哪些重要的因素,这些因素和要完成的目 标之间有什么样的关系.也就是说,我们在做 一个决定时,会注意下面的三个要点:
四,线形规划问题的解法及举例
美国一家公司以专门饲养并出售一种实验用的 动物而闻名。这种动物的生长对饲料中的三种营养 成分特别敏感，即蛋白质、矿物质和维生素。
需 要
蛋白质：70克
的
营
矿物质：3克
养
量
维生素：9.1毫克
现有五种饲料，公司希望找出满足动物营养 需要使成本达到最低的混合饲料配置。
每一种饲料每磅所含的营养成分
还有如:优化产业结构 2,830,000
优化人员结构 3,110,000
同学们有没有发现,英文和中文短语间有很大的不同,原因可能是什么?
一,优化问题的普遍性以及引例
3,相关的几句格言：
• Waste neither time nor money, but make the best use of both. -- Benjamin Franklin