线性规划的整数解和非线性规划问题

线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用, 它的研究和发展一直得到广泛的关注. 最优化的研究包含理论、方法和应用.最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和一般复杂性等.而最优化方法研究包括构造新算法、证明解的收敛性、算法的比较和复杂性等.最优化的应用研究则包括算法的实现、算法的程序、软件包及商业化、在实际问题的应用. 这里简介一下线性和非线性最优化理论、方法及应用研究的发展状况.1. 线性最优化线性最优化, 又称线性规划, 是运筹学中应用最广泛的一个分支.这是因为自然科学和社会科学中许多问题都可以近似地化成线性规划问题. 线性规划理论和算法的研究及发展共经历了三个高潮, 每个高潮都引起了社会的极大关注. 线性规划研究的第一高潮是著名的单纯形法的研究. 这一方法是Dantzig在1947年提出的,它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划达三十多年. 随着60年代发展起来的计算复杂性理论的研究, 单纯形法在七十年代末受到了挑战. 1979年前苏联数学家Khachiyan提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法--椭球法, 曾成为轰动一时的新闻, 并掀起了研究线性规划的第二个高潮. 但遗憾的是广泛的数值试验表明, 椭球算法的计算比单纯形方法差.1984年Karmarkar提出了求解线性规划的另一个多项式时间算法. 这个算法从理论和数值上都优于椭球法,因而引起学术界的极大关注, 并由此掀起了研究线性规划的第三个高潮. 从那以后, 许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法. 目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯形法.线性规划的软件, 特别是由单纯形法所形成的软件比较成熟和完善.这些软件不仅可以解一般线性规划问题, 而且可以解整数线性规划问题、进行灵敏度分析, 同时可以解具有稀疏结构的大规模问题.CPLEX是Bi xby基于单纯形法研制的解线性和整数规划的软件, CPLEX的网址是/. 此外,这个软件也可以用来解凸二次规划问题, 且特别适合解大规模问题. PROC LP是SAS软件公司研制的SAS商业软件中OR模块的一个程序.这个程序是根据两阶段单纯形法研制的,可以用来解线性和整数规划问题并可进行灵敏度分析, 是一个比较完善的程序.用户可以根据需要选择不同的参数来满足不同的要求。

第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。

若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。

整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。

对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。

2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。

2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。

②整数规划无可行解。

例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。

例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。

（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。

这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。

j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。

在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。

引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。

拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。

规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。

数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。

若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。

⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。

⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。

整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。

逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。

Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。

for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。

线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。

线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。

本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。

一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。

它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。

单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。

2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。

3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。

首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。

通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。

4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。

单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。

但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。

二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。

与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。

内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。

首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。

每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。

内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。

此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。

三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。

线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。

通常代特殊点（0，0）。

（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

运筹学中的线性规划与整数规划算法运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它集合了数学、计算机科学和经济学等多个学科的理论和方法。

其中，线性规划和整数规划是运筹学中最常用的一类问题求解方法。

本文将重点讨论运筹学中的线性规划和整数规划算法。

线性规划是一种通过线性数学模型来实现决策优化的方法。

在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性关系。

目标函数表示要优化的目标，约束条件则限制了决策变量的取值范围。

线性规划的基本思想是通过调整决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值。

线性规划的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。

单纯形法是一种通过在顶点间移动来寻找最优解的方法。

它从一个可行解开始，然后通过交替移动到相邻的顶点来逐步优化目标函数值。

而内点法则是一种通过将目标函数与约束条件转化为一组等价的非线性方程组，通过迭代方法逼近最优解的方法。

内点法相对于单纯形法而言，在求解大规模问题时速度更快。

整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。

整数规划问题更接近实际问题，因为很多情况下我们只能从离散的选择中进行决策。

然而，整数规划的求解难度要远远高于线性规划。

因为整数规划问题的解空间是离散的，不再是连续的顶点，这导致了求解整数规划的困难。

为了解决整数规划问题，提出了许多算法，其中最著名的是分支定界法和割平面法。

分支定界法是一种通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题来求解的方法。

它通过将整数规划问题不断分解为子问题，并利用线性规划的求解方法求解子问题。

割平面法则是一种在单纯形法的基础上引入额外的不等式约束来加强整数规划问题的求解方法。

割平面法通过将不等式约束添加到线性规划模型中，逐步缩小解空间，最终找到整数规划问题的最优解。

除了分支定界法和割平面法之外，还有一些其他的整数规划求解方法，如启发式算法和元启发式算法。

启发式算法是一种基于经验和启发知识的求解方法，它通过模拟生物进化、社会行为等过程来搜索整数规划问题的解。

数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。

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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。

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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。

n个人指派n项工作的问题。

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４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。

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５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。

把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。

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6.动态规划
运筹学的一个分支。

求解决策过程最优化的过程。

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二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。

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三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。

传送门。

线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍线性规划的相关知识点。

一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。

目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。

1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。

1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。

二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。

2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。

2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。

三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。

3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。

对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。

3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。

整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。

四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。

4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。

4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。

五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。

对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。

线性规划知识点一、概述线性规划是数学规划的一种重要方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

通常用字母 Z 表示。

2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一组线性不等式或者等式，称为约束条件。

通常用字母 Ai 表示。

3. 变量：线性规划的问题中，需要确定的变量称为决策变量。

通常用字母 Xi表示。

三、标准形式线性规划问题通常可以转化为标准形式，以便于求解。

标准形式的线性规划问题包括以下要素：1. 目标函数：目标函数是一个线性函数，需要最大化或者最小化。

2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或者等式。

3. 变量的非负性：变量需要满足非负性约束，即变量的取值不能为负数。

四、线性规划求解方法线性规划问题可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的位置。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。

它通过迭代计算，逐步接近最优解。

3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。

整数规划问题相对于线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。

五、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1. 生产计划：线性规划可以匡助确定最优的生产计划，使得生产成本最低或者产量最高。

2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径问题，以降低运输成本。

3. 金融投资：线性规划可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。

4. 资源分配：线性规划可以匡助确定资源的最优分配方案，以满足需求并最大化效益。

5. 排产问题：线性规划可以用于解决生产设备的排产问题，以最大化生产效率。

六、线性规划的局限性尽管线性规划具有广泛的应用领域，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性关系。

数学模型的优化方法数学模型是指用数学表达语言对实际问题进行抽象和描述的工具。

通过数学模型，我们可以对问题进行量化分析，提出合理的决策和解决方案。

然而，在实际应用中，数学模型常常存在着复杂的约束条件和多个决策变量，因此需要采用优化方法对数学模型进行求解，以得到最优的决策结果。

本文将介绍几种常见的数学模型的优化方法。

I. 线性规划线性规划是一种常见的数学模型优化方法，适用于目标函数和约束条件均为线性的情况。

线性规划试图寻找一个线性模型，使目标函数达到最大或最小值。

线性规划问题可以表达为以下形式：$\max\limits_{x}\ \mathbf{c}^T\mathbf{x}$$s.t.$$\begin{align*}\mathbf{A}\mathbf{x} & \leq \mathbf{b} \\\mathbf{x} & \geq \mathbf{0}\end{align*}$其中，$\mathbf{c}$为目标函数的系数向量，$\mathbf{A}$为约束条件的系数矩阵，$\mathbf{b}$为约束条件的右侧常数向量，$\mathbf{x}$为决策变量向量。

II. 非线性规划非线性规划是一类目标函数和约束条件均为非线性的优化问题。

非线性规划相比线性规划更具挑战性，但在实际中有广泛应用。

非线性规划问题可以表达为以下形式：$\max\limits_{x}\ f(\mathbf{x})$$s.t.$$\begin{align*}g_{i}(\mathbf{x})&\leq 0, \ i = 1,2,\ldots,m \\h_{j}(\mathbf{x})&= 0, \ j = 1,2,\ldots,p\end{align*}$其中，$f(\mathbf{x})$为目标函数，$g_{i}(\mathbf{x})$为不等式约束条件，$h_{j}(\mathbf{x})$为等式约束条件，$\mathbf{x}$为决策变量向量。

线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它的目标是找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。

线性规划广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域，可以帮助优化资源分配和决策制定。

二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量表示需要优化的决策变量，可以是实数或非负数。

2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。

3. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，这些等式或不等式称为约束条件。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。

三、标准形式线性规划问题可以通过标准形式来表示，其形式如下：最小化：C^T * X约束条件：A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的常数向量。

四、常见解法1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，并找到最优解所在的顶点。

2. 单纯形法：适用于高维的线性规划问题，通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。

3. 整数线性规划：当变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解，如分支定界法、割平面法等。

五、常见应用1. 生产计划：线性规划可以帮助确定最佳的生产计划，以最大化产量或最小化成本。

2. 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如确定最佳的运输路径和运输量，以最小化总运输成本。

3. 资源分配：线性规划可以优化资源的分配，如确定最佳的人力、物力和财力分配方案。

4. 投资组合：线性规划可以帮助确定最佳的投资组合，以最大化收益或最小化风险。

六、注意事项1. 线性假设：线性规划只适用于目标函数和约束条件均为线性的问题，不适用于非线性问题。

2. 敏感性分析：线性规划的解对目标函数系数和约束条件右端常数的变化具有一定的敏感性，需要进行敏感性分析。