九年级数学上册 二次函数(篇)(Word版 含解析)
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九年级数学上册 二次函数（篇）（Word版 含解析）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝12x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（xB﹣xC），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝12x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），
抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，
故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），
S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（xB﹣xC）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；
（3）①当点Q在BC下方时，如图2，
延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，
∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB＝22(2)xx＝5x＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝12KQ•5x，
解得：KQ＝45x，
∴sin∠RBQ＝KQBQ＝455xx＝45，则tanRBH＝43，
在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4×43＝163，则点H（0，﹣163），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝43（x﹣4）②，
联立①②并解得：x＝4（舍去）或53，
当x＝53时，y＝﹣289，故点Q（53，﹣289）；
②当点Q在BC上方时，
同理可得：点Q的坐标为（﹣113，929）；
综上，点Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
2．如图，抛物线21yxaxa与x轴交于,AB两点(点A位于点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C．
1求点B的坐标．
2若ABC的面积为6．
①求这条抛物线相应的函数解析式．
②在拋物线上是否存在一点,P使得POBCBO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0）；（2）①223yxx；②存在，点P的坐标为
1133313,22或53715337,22．
【解析】
【分析】
（1）直接令0y，即可求出点B的坐标；
（2）①令x=0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到12(1−a)•(−a)＝6即可求a的值，即可得到解析式；
②当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y=3x，则直线与抛物线的交点为P；当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y=-3x，则直线与抛物线的交点为P；分别求出点P的坐标即可．
【详解】
解：1当0y时，210,xaxa
解得121,.xxa
点A位于点B的左侧，与y轴的负半轴交于点,C
0,a
点B坐标为1,0．
2①由1可得，点A的坐标为,0a，点C的坐标为0,,0,aa
1,ABaOCa
ABC的面积为6,
()116,2aa
123,4aa．
0,a
3a
223.yxx
②点B的坐标为1,0,点C的坐标为0,3，
设直线BC的解析式为3,ykx
则03,k
3k．
,POBCBO
当点P在x轴上方时，直线//OP直线,BC
直线OP的函数解析式3,yx为
则23,23,yxyxx
11113233132xy(舍去)，22113233132xy
点的P坐标为1133313,22；
当点P在x轴下方时，直线'OP与直线OP关于x轴对称，
则直线'OP的函数解析式为3,yx
则23,23,yxyxx
115372153372xy(舍去)，225372153372xy
点P'的坐标为53715337,22
综上可得，点P的坐标为1133313,22或53715337,22
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．
3．已知函数2266()22()xaxaxayxaxaxa（a为常数，此函数的图象为G）
（1）当a＝1时，
①直接写出图象G对应的函数表达式
②当y=-1时，求图象G上对应的点的坐标
（2）当xa时，图象G与坐标轴有两个交点，求a的取值范围
（3）当图象G上有三个点到x轴的距离为1时，直接写出a的取值范围
【答案】（1）①2266(1)22(1)xxxyxxx，②(1,1),(32,1),(32,1)；（2）0a或2635a；（3）314125a，1153a，1123a
【解析】
【分析】
（1）①将1a代入函数解析式中即可求出结论；
②分1x和1x两种情况，将y=-1分别代入求出x的值即可；
（2）根据a和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；
（3）先求出266yxaxa的对称轴为直线6321axa，顶点坐标为23,96aaa，222yxaxa的对称轴为直线221axa，顶点坐标为2,2aaa，然后根据a和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可．
【详解】
（1）①1a时，2266(1)22(1)xxxyxxx
②当1x时，
2661xx
2670xx
1232,32xx
当1x时，
2221xx
2230xx
121,3xx（舍）
∴坐标为(1,1),(32,1),(32,1)
（2）当0a时
266()yxaxaxa与y轴交点坐标(0,6)a，266yxaxa对称轴为直线6321axa，过点(1,1)
∴x＞a＞3a，此时图像G与坐标轴有两个交点（与x轴一个交点，与y轴一个交点）
当0a时，
266()yxaxaxa的图像与y轴无交点
顶点坐标为23,96aaa
当xa时，256yaa＞0①，且2960aa②时，此时图像G与x轴有两个交点
将①的两边同时除以a，解得65a；
将②的两边同时除以a，解得23a
∴2635a
即当2635a时，图像G与坐标轴有两个交点，
综上，0a或2635a
（3）266yxaxa的对称轴为直线6321axa，顶点坐标为23,96aaa
222yxaxa的对称轴为直线221axa，顶点坐标为2,2aaa
①当a＜0时，
222yxaxaxa中，当x=a时，y的最大值为22aa
由210a可得221aa，即此图象必有一个点到x轴的距离为1
而266yxaxaxa必过（1,1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1，此时x＞3a，y＞225666aaaaaa
当2221561aaaa时，222yxaxaxa与x轴只有一个交点，266yxaxaxa与x轴有两个交点
解得：314125a；
当2221561aaaa时，222yxaxaxa与x轴有两个交点，266yxaxaxa与x轴有一个交点
解得：314125a，与前提条件a＜0不符，故舍去；
②当a≥0时，
222yxaxaxa中，当x=a时，y的最大值为22aa，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1
而266yxaxaxa，此时当x=3a时，y的最小值为296aa，由2310a可得2961aa，即此图象必有一个点到x轴的距离为1
当222221561961961aaaaaaaa时，222yxaxaxa与x轴只有一个交点，266yxaxaxa与x轴有两个交点
