北师大版八年级上册数学期末复习(全册知识点梳理及常考题型巩固练习)(基础版)(家教、补习)
- 格式：doc
- 大小：17.40 MB
- 文档页数：569
精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 北师大版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
勾股定理（基础）
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为ab，，斜边长为c，那么222abc．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
222acb，222bca， 222cabab．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用
，所以．
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）若a＝5，b＝12，求c；
（2）若c＝26，b＝24，求a．
【思路点拨】利用勾股定理222abc来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，222abc，a＝5，b＝12，
所以2222251225144169cab．所以c＝13．
（2）因为△ABC中，∠C＝90°，222abc，c＝26，b＝24，
所以222222624676576100acb．所以a＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．
举一反三：
【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）已知b＝6，c＝10，求a；
（2）已知:3:5ac，b＝32，求a、c．
【答案】
解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，
∴ 2222210664acb，
∴ a＝8．
（2）设3ak，5ck，
∵ ∠C＝90°，b＝32，
∴ 222abc． 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 即222(3)32(5)kk．
解得k＝8．
∴ 33824ak，55840ck．
类型二、与勾股定理有关的证明
2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×，
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到
，
整理，得 ，
所以 ．
【答案与解析】
证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，
∴c2=4×ab+（b﹣a）2，
整理，得
2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．
【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
举一反三： 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（ ）
A．AC2 B．BD2 C．BC2 D．DE2
【答案】连接AD构造直角三角形，得
，选A．
类型三、与勾股定理有关的线段长
3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D；
【解析】
解：设AB＝x，则AF＝x，
∵ △ABE折叠后的图形为△AFE， ∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，
EC＝BC－BE＝8－3＝5，
在Rt△EFC中，
由勾股定理解得FC＝4，
在Rt△ABC中，22284xx，解得6x．
【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．
类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．6 B．5 C．11 D．16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积．
【答案】D
【解析】 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
∵ABCCDEACBDECACCE
∴△ABC≌△CDE
∴BC=DE
∵222ABBCAC
∴222ABDEAC
∴b的面积为5+11=16，故选D．
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（ ）
A.25 B.31 C.32 D.40
【答案】解：如图，由题意得：
AB2=S1+S2=13，
AC2=S3+S4=18，
∴BC2=AB2+AC2=31，
∴S=BC2=31，
故选B．
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高． 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用
【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【答案与解析】
解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得：
x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，
解得：x=7.5，
竹竿高=7.5+1=8.5（尺）
答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．
【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，
∴ 22222512169ABBCAC．
∴ 13AB(m)．
∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m)．
∴ 旗杆折断前的高度为18m．
北师大版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1. 下列说法正确的是（ ）
A．数轴上任一点表示唯一的有理数
B．数轴上任一点表示唯一的无理数
C．两个无理数之和一定是无理数 精品文档 用心整理
资料来源于网络 仅供免费交流使用 D．数轴上任意两点之间都有无数个点
2．下列说法中，正确的是（ ）．
A．0.4的算术平方根是0.2 B．16的平方根是4
C．的立方根是4 D． 的立方根是
3.（2015•八步区一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．=﹣3
C．（）2=3 D．+=
4.
3387a，则a的值是（ ）
A. 87 B. 87 C. 87 D. 512343
5. 若式子3112xx有意义,则x的取值范围是 ( ).
A.21x B. 1x C.121x D. 以上答案都不对.
6. 下列说法中错误的是（ ）
A.3a中的a可以是正数、负数或零. B.a中的a不可能是负数.
C. 数a的平方根有两个.
D.数a的立方根有一个.
7. 数轴上A，B两点表示实数a，b，则下列选择正确的是（ ）
A.0ba B. 0ab C.0ab D.||||0ab
8.（2016•河北）关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数
B．面积为12的正方形边长是
C．=2
D．在数轴上可以找到表示的点
二.填空题
9. 若2005的整数部分是a，则其小数部分用a表示为 ．
10．当x 时，32x有意义.
11.（2015•庆阳）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 ．
12. 已知最简二次根式43abb+1与2a-b+6是同类二次根式，则ab的值为___________.
