证明线段之间数量关系的技巧
证明两线段相等
★1.两全等三角形中对应边相等。
★2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形三线合一。
★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。
6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
2.*证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧
证明两条直线互相垂直
★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
★8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
★11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
★4.三角形的中位线平行于第三边。
★5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
★7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
例1.如图3
所示，设BP 、CQ 是?A B C
的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。求证：KH ∥BC
例2.已知：如图6所示在?A B C 中，∠=?
B 60，∠BA
C 、∠BCA 的角平分线A
D 、C
E 相交于O 。
求证：AC ＝AE ＋CD
例3.已知?A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。
求证：EC ＝ED
例4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF=BF ；
（2）若AD=2，⊙O 的半径为3，求BC 的长
A
B
C M
N
Q P
K
H 图3
图6
B
C
A E D
F
O
14
23
5
6
E B
D
F
A
C 图8
1. 已知：如图11所示，?A B C 中，∠=?C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有A C A D C E
==。求证：DE CD =1
2
2.已知：如图12所示，在?A B C 中，∠=∠A B
2，CD 是∠C 的平分线。 求证：BC ＝AC ＋AD
3.已知：如图13所示，过?A B C 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂 线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。
求证：MP ＝MQ
4.(2009年潍坊)如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD 、DC ． （1）求证：BD=DC=DI ；
（2）若圆O 的半径为10cm ，∠BAC=120°，求△BDC 的面积．
C
图11
A
B
D E
A
C
B
D
图12
B
P
M Q C
A
图13
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分 一、证明线段或角的倍分 1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍 2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问 题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。 3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添。 4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与 被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例 4、例 5、例6。 例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和 AC 为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD / BAC+ / ACN=180 证明：延长AD 至N 使AD=DN 则ABNC 是平行四边形 CN=AB=FA AC=AH 又/ FAH+ / BAC=180 ???△ FAHY NCA ??? FH=AN 例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C , AD 是高，M 是BC 边上的中点。 $ ???
1 求证：DM=2 AB / 2=Z B ???/ 2=2Z 1 ???/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND ? DM=2 A B 1 贝J BFAC ??? BF=AE ???△ AEC 心 BFD ?DF 二CE 二 CD=2CE 作业: 1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1 线交AC 于F ,求证：AF=2 FC 2、AB 和AC 分别切? O 于B 和C, BD 是直径。求证/ BAC 二Z CBD 3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。求证：BD=2CE 例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E , 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 贝J MN // AC / 1 = / C ??? DM=DN 例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是 AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。求证：CD=2CE 证明：过B 作CD 的中线BF V AB=AC , E 是AB 的中点 又 DB=AC
G F E C D B A G N M F E D C B A 利用相似三角形证明线段相等 【例7】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。求证：EG GF =。 证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b =，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a = 过C 点作MN ∥EF ，我们先来证明MC=CN ，利用△BEF 和△DEF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC BM DN CN EF BE DF EF === ，由此得MC=CN ， 再利用△A EG 和△A GFF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC AM AN CN EG AE AF GF === ，故EG GF =得证 关键词：A 字型平行线比例关系 构造比例 关系证线段相等 预备知识：在做下一题之前，先证明一条角平分线定理： 在ABC ?中，AD 是BAC ∠的角平分线，则DB AB DC AC = 【例8】在ABC ?中，90C ∠=?，A ∠的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的平行线交BC 于F 。求证：BF EC =。 分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得： EC AC EB AB = 和 DH AH DC AC =，而根据射影定理有2AC AH AB =，即AH AC AC AB = 故EC DH EB DC =利用合比定理得：EC DH CB CH = 另一方面，根据平行线比例关系得： BF DH CB CH =；故BF EC = 关键词：角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题 如图，在ABC ?中，90A ∠=?，分别以AB AC 、为边向形外作正方形ABDE ACFG 、， 设CD 交AB 于N ，BF 交AC 于M ，求证：AM AN =。 17. （本题10分） 如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。过点D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于点P,求证： （1）CD 是⊙O 的切线；（2）点P 平分线段DE H F E D C B A
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，。 求证：FD⊥ED 三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、
2021年中考数学热点专题复习：证明线段相等的一些常见方法 证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础. 问题 如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=?，45ABC ABD ∠=∠=?，求证：CD AB = 方法1 如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ??? 于是有CE CF AF AE ==，. 45ABC ABD ∠=∠=? CE CF AF AE ∴==， 得AB CD = 方法2 如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得 30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=?， 75AMC CAM ∠=∠=? AC CM ∴= ABC CDM ∴???，于是有AB CD = 方法3 如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点. 10545ACB ABC ∠=?∠=?， 30BAC ∴∠=? 10545BAD ADC ∠=?∠=?， 7560DAC ACD ∴∠=?∠=?， 30CAE ∴∠=? 75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=?=， 故由ABE CDA ???，得AB CD =
方法4 如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ， 则有ABC ANC ??? 45N D ∴∠=∠=? DE AE EN EC ∴==， DC AN AB ∴== 方法5 如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG , 则有ADC AGC ??? 45G D ∴∠=∠=? AH HG GH BH ∴==， DC CG AB ∴== 实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴. 方法6 如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有 PAC BCA ??? 得AB CP CD ==
中考数学复习知识点专题讲解 线段和差倍分问题的求解策略 在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题．本文举例说明几种常见的求解策略． 一、利用全等形或相似形 对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的． 例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连CF． (1)求证：BF＝2AE； (2)若CD，求AD的长． 分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC．
(2)略． 例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F． (1)求证：△AEB∽△OFC； (2)AD＝2OF．
二、取长补短法 对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）． 例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM ⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM． 证明（延长法） 延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连 BN，则由AB＝BD，得 ∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN， 又CN＝CM，BC为公共边，
例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 解(1)略；(2)证法1（截取法） 如图4，连BD交AC于点O，分别证明AO＝DF，OM＝ME即可． 证法2（延长法） 如图5，延长DF至点N，使FN＝ME，只要证AM＝DN即可．
证明线段相等的方法 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等。 ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 ③角平分线上任一点到角两边的距离相等。 ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。 （二）三角形中： ①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 ③任意三角形的内心到三边的距离相等。 ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 ⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。 ⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。 ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。 ⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。 （三）四边形中： ①平行四边形对边相等，对角线相互平分。 ②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 ③菱形中四边相等。 ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。 ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。 （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等。且边长a n= 2Rsin (180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距r n) 相等。 且r n= Rcos (180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。 ②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。 ③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。 ④自圆外一点所作圆的两切线长相等。 ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。 ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。 ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。 ⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。 （六）全等形中：
证明线段相等的一些常见方法 证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法. 问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=?，45ABC ABD ∠=∠=?，求证：CD AB = 方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ???于是有CE CF AF AE ==，. 45ABC ABD ∠=∠=? CE CF AF AE ∴==，得AB CD =方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得 30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=?， 75AMC CAM ∠=∠=? AC CM ∴=ABC CDM ∴???，于是有AB CD =方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点. 10545ACB ABC ∠=?∠=? ，30BAC ∴∠=? 10545BAD ADC ∠=?∠=? ，7560DAC ACD ∴∠=?∠=? ，30CAE ∴∠=?75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=?=，故由ABE CDA ???，得AB CD =
方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC ???45N D ∴∠=∠=? DE AE EN EC ∴==，DC AN AB ∴== 方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC ???45G D ∴∠=∠=? AH HG GH BH ∴==，DC CG AB ∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有 PAC BCA ???得AB CP CD ==
利用三角形全等证明线段和差倍分问题 1. 已知：D 是AB 中点，∠ ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证： AC=AB+BD 3. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B
4·如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 5·已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE
6．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于 D ．求证：AD +BC =AB ． 7．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于 过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． 8·在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. P E D C B A F E D C B A
9·如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD 相等吗？请说明理由 10·如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E． （1）若BD平分∠ABC，求证CE=1 2 BD； （2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 E D C B
平面几何中线段相等的证明几种方法 平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、利用全等三角形的性质证明线段相等 这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。 ［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。 证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形 ∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60° ∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120° ∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120° ∴AC=CD，CE=CB ∴△ACE≌△DCB（SAS） ∴AE=DB ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。 证明：过点E作EG//AF交BC于点G ∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD
∵AB=AC ∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE ∵BE=CF，∴GE=CF 在△EGD和△FCD中， ∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF ∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD 二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等 如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。 ［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。 求证：AF=EF。 证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。 ∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD ∴△ADC≌△GDB ∴AC=GB，∠FAE=∠BGE ∵BE=AC ∴BE=BG，∠BGE=∠BEG ∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF ∴AE=EF ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
证明线段相等的技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
证明线段相等的技巧 要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况： （1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。 一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。 例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。 二、如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边。 例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况 一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。
例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。 例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。 分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一 三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然 在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法 作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就 应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边 形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使 DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 怎样证明线段的和差倍分问题 怎样证明线段的倍分问题 【典型例题】 常规题型1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 常规题型2、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120A ，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：CM=2BM ． 能力挑战1、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 =，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 能力挑战2、已知：如图所示，在ABC ?中，BD 是AC 边上的中线，BH 平分BH AF CBD ⊥∠,，分别交BD 、BH 、BC 于E 、G 、F ．求证：2DE=CF ． A D P C B Q M A D B A M N B C A E G B D H
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 【经典练习】 1、如图所示，已知ABC ?中，21∠=∠，AD=DB ，AC DC ⊥．求证：AB AC 2 1 = ． 2、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． 3、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120BAC ，D 是BC 的中点，AB DE ⊥于E ．求证：EB=3EA ． 4、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120BAC ，P 是BC 上一点，且?=∠90BAP ．求证：PB=2PC ． 5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． A B E D E CE A D E B C A D E B A P B C A D B C 1 2
证明线段比例式或等积式的方法 （一）比例的性质定理： （二）平行线中的比例线段： ①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。 ②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图 3、4）。 ③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。 （三）三角形中比例线段： ①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。 ②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 ④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC ⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积
的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA （四）圆中的比例线段： 圆幂定理： ①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8） ②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。 （五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。
线段的和差倍分问题的证明 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 2 1AB 对应练习 1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 2、如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2 1 =． 3、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 = ，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 4、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． Q A D P C B E M A D B A B E D C A
5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。 例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。 对应练习 1、如图所示，已知ABC ?中，?=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ． A D E B C A O E B C D
初中阶段证明线段相等的方法 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等. ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等. ③角平分线上任一点到角两边的距离相等. ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等(图1）. （二）三角形中： ①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等. ③任意三角形的内心到三边的距离相等. ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边. ⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半. ⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形. ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边(图2）. ⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等(图3）. （三）四边形中： ①平行四边形对边相等,对角线相互平分.
②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等. ③菱形中四边相等. ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等. ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰(图4）. （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等.且边长an = 2Rsin (180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距rn ) 相等. 且rn = Rcos (180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等. ②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等. ③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分. ④自圆外一点所作圆的两切线长相等. ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等. ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）. ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）. ⑧两同心圆中,内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都
如何证明线段相等或成倍数关系 一 【典型例题】 （一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。 例1. 已知：四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD 。 求证：OA ＝OB 2. △ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 交 BC 于F 。 求证：DF ＝ EF 例 3. 已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上 的点，且AE ＝CF 。 求证：DE ＝BF 例5. 已知：在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB ＝8，DE ＝3，求BE 两点间的距离。
6. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。 （二）线段倍、倍或、倍的关系：24121 4 这部分证明中常用到的定理有： （1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。 （2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）中位线定理。 下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。 例1. 已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，CE ⊥AB ，BF ⊥AC 。 求证：EM ＝FM 例2. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的高。 求证：BD AB 14 例3. 已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 是△ABC 的中位线，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，连接CD 。
利用相似三角形证明线段相等 【例7】已知，如图，四边形 ABCD ，两组对边延长后交于 E 、F ,对角线BD II EF , AC 的 延长线交EF 于 G 。求证： 预备知识：在做下一题之前，先证明一条 角平分线定理： 在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，贝U _DB DC AC 【例8】在 ABC 中，C 90 , A 的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的 平行线交 BC 于F 。求证：BF EC 。 分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得： EC EB AC 和 AB DH AH ，而根据射影定理有 AC 2 AH gAB ，即 AH AC DC AC AC AB 故EC DH 利用合比定理得： EC DH EB DC CB CH 另一方面，根据平行线比例关系得： BF DH . 故BF EC CB CH 关键词 :角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题 如图，在 ABC 中，A 90，分别以AB 、AC 为边向形外作正方形 ABDE 、ACFG ，设CD 交AB 于N , BF 交 AC 于M ，求证：AM AN 。 17.(本题10分) 如图，已知 AB 是O O 的直径，BC 是O O 的切线，B 为切点，0C 平行于弦 AD ,连接 CD 过点D 作DEI AB 于E ,交AC 于点P,求证： (1) CD 是O O 的切线；(2 )点P 平分线段DE EG GF 。 证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系: --，①若x y ，则a b ;②若a b , a b 则x y ;③若y b ，则x a 过C 点作MIN/ EF ,我们先来证明 MC=CN 利用△ BEF 和厶DEF 形成的A MC 弛竺空，由此得MC =CN EF BE DF EF A 字型平行线比例关系得： 字型平行线比例关系得: 再利用△ A EG 和厶A GFF 形成的 MC AM AN CN ，故EG AE AF GF A 字型平行线比例关系 EG 关键词: GF 得证 构造比例关系证线段相等
四、利用全等三角形证线段之间的和差 倍分问题 证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下： (1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。 (2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。 (3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。 后两种方法，就是通常所说的截长补短。 例1. 已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF 分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。（证明略） 例2. 已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC 证明：在EA上截取EF=BE，连结CF ∵CE⊥AB于E（已知） ∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等） ∴∠1=∠B（等边对等角） ∵∠1+∠2=180°（平角定义） ∠B+∠D=180°（已知）
∴∠2=∠D（等角的补角相等） （再往下证明略） 3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。 分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN来实现(如图4)；而本题给出的已知条件不能证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN，所以不适用于用截长法来证明。 “补短法”是将两条短线段中的任意一条NC（或BM）延长，比如延长NC到E，使CE=BM.(或延长MB到H,使BH=NC),再证明MN=NE(或证明MN=MH),从而得到MN=BM ＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△DBM≌△DCE和△MDN≌△EDN来实现。(如图3)；或者如图0通过证明△DBH≌△DCN和△MDH≌△MDN来实现。
O E D C B A 圆中证明线段相等和相似 1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝25，AC ＝7. (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=600，D 、E 分别为AB 和AC 的中点，连结DE ． （1）求证：BC ＝DE ； ^ （2）若tan ∠ADE ＝1 2 ，求sin ∠AED 的值． 3.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 在AC 上，∠ABD=45°． （1）如图1，BD 交AC 于E ，连CD ，若AB=BD ，求证2CD DE ； 、 （2）如图2，连AD 、CD ，已知tan ∠CAD=1 5 ，求sin ∠BDC 的值． { 4.如图，已知⊙O 的半径为5，⊙P 与⊙O 外切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，tan ∠OAB= ． 【 ~ A B C D O 图2 A B C D E O 图1
（1）求AB的长； （2）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径． 5.如图1，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2． （1）求BC的长度； （2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度． ~ 6.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若PC=2，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长． 7.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC； （2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=，求tanA的值． ~
证明线段相等的技巧 要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况： （1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。 一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。 例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。 二、如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边。 例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况 一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。
例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。 例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。 分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三 角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两 个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由 于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到 面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然 结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。 延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。
2021年中考数学热点专题复习：例析线段和差倍分问题的求解策略在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题． 一、利用全等形或相似形 对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的．例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD ＝45°，AD与BE交于点F，连CF． (1)求证：BF＝2AE； (2)若CD＝2，求AD的长． 分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC． (2)略． 例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F． (1)求证：△AEB∽△OFC； (2)AD＝2OF．
二、取长补短法 对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）． 例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM． 证明（延长法） 延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连BN，则由AB＝BD，得 ∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN， 又CN＝CM，BC为公共边， 例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME．
与线段的和差倍分有关问题的处理 1. 如图，已知⊿ABC 中，0 90BAC ∠=，AB=AC ，点P 为BC 边上一动点（BP 3. 如图，正方形ABGE （四边相等，四个角都等于0 90）中，点D 在EG 上，点C 在BG 上，且045DAC ∠=，求证：CD=DE+CB. 一道老题. 4. 如图，在上题中，若点D 在EG 的延长线上，点C 在GB 的延长线上，其余条件不变. 求证：DE=BC+CD. G E A B D 先证明三角形BAC 全等于EA*,然后证明绿蓝两个图形全等,做等边转化. C G E D 5.如图，AB=AE ，AB⊥AE ，AD=AC ，AD⊥AC ，点M为BC的中点，求证：DE=2AM. M D E B A C 1.倍长中线是这道题的第一难点.辅助线做出来就做出了一大半. 2.证明角CAN和角EAD相等是本题的第二关键,在于角BAC和角AED+角ADE的相等转化到三角形ANC当中,做等量代换. 6.如图，AD是⊿ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB ，∠BAC=∠BCA，求 证：AE=2AD. 一. 倍长中线的使用,作AD等长的线段DE. 二. 证明蓝绿两三角形全等. A C
相关主题
文本预览