新课标(人教A版)二轮复习专题复习——排列组合(经典总结)

排列 组合1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．(2)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质 公式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！ (2)C mn ＝A m n A m m ＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0n ＝1. 性质(1)0！＝1；A nn ＝n ！.(2)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .排列组合的计算(1)解方程3A ＝4A ；(2)解方程C ＝C ＋C ＋C.名称定义 排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组(1)解方程：3A＝2A＋6A；(2)计算：C＋C＋C＋…＋C.排列应用题7位同学站成一排照相．(1)甲站在中间，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？用0,1,2,3,4,5组成无重复数字四位数（1）可以组成多少个四位数（2）可以组成多少个偶数（3）可以组成多少个比2000大的奇数（4)可以组成多少个百位比十位大的偶数1）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.(4)全体排成一行，男、女各不相邻.(5)全体排成一行，男生不能排在一起.(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.(2)(2014·某某质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!(3)(2013·某某卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．A．9 B．10 C．18 D．20组合为题课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两队长当选；(3)至少有1名队长当选；(4)至多有2名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．如4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B不全当选；(3)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任,班长必须由女生担任．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．A．60种 B．63种 C．65种 D．66种2）甲乙两人从4门课程中各选修2门（1）甲乙所选的课程中恰有1门课程相同（2）甲乙所选课程中至少有一门不同的选法有多少种3）四面体的顶点与各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法有4）同事4人各写一X贺卡，先集中在一起，然后每人从中拿一X别人送来的贺卡，则四X贺年卡不同的分配方式有排列、组合的综合应用问题4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？现有6本不同的书：(1)甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法？(2)分成三堆，每堆2本，有多少种分堆方法？(3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中，一人分4本，另两人每人分1本，有多少种不同的分配方法？教育局将11个夏令营指标分配给8所不同的学校，要求每校至少分到1个名额，共有多少种不同的分配结果(2012·某某卷改编)现有16X不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X．从中任取3X，要求这3X卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X，不同取法的种数为( )．A．232 B．256 C．472 D．484(1)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有______种．(2)甲乙两位兽医对动物园的三头老虎，两头狮子进行体检．若要求每位兽医至少检查两种动物各一头，则不同的体检任务分配方案有________种．（3）四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子，则恰有一个空盒子的方法有(4)要排一X有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不相邻，有种不同的排法。

在运用排列组合和二项式定理公式时，若对公式理解不透彻或记忆不准确，可能导致误用。例如，在 求解某些需要运用组合数性质（如互补性质、递推关系等）的问题时，若对性质理解不深入或运用不 熟练，则可能出现误用的情况。
公式适用条件不清
此外，若对排列组合和二项式定理公式的适用条件不清晰，也可能导致误用。例如，在求解某些需要 运用二项式定理展开式的问题时，若未注意到展开式的适用条件（如指数为正整数、变量可任意取值 等），则可能出现误用的情况。
结合其他知识点综合考察应对策略
与概率统计结合
在概率统计问题中，有时需要利用二项式定理来求解某些概率值或期望值等。这时可以结合概率统计的相关知识，利 用二项式定理进行求解。
与数列结合
数列与二项式定理之间有着密切的联系。在解决某些数列问题时，可以利用二项式定理来求解数列的通项公式或求和 公式等。
与不等式结合
在某些不等式问题中，可以利用二项式定理来证明某些不等式或求解某些最值问题等。这时可以结合不 等式的相关知识，利用二项式定理进行求解。
排列组合和二项式定理易错点
05
剖析
重复计数和漏计数情况分析
重复计数
在排列组合问题中，若未对元素进行正确分类或未注意到元素的特殊性，可能导致重复计数。例如，在求解某些 具有特殊条件（如元素相邻或不相邻）的排列问题时，若未采用合理的方法（如插空法、捆绑法等），则可能出 现重复计数的情况。
系数和性质
二项式定理展开式中所有项的系数之和等于$2^n$，即 $(a+b)^n$展开后所有项的系数之和为$2^n$。
二项式定理性质总结
线性性质
若将二项式中的$a$和$b$分别替换为另外两个二项式的 和，则新的二项式仍然可以按照二项式定理进行展开。

第2讲 排列与组合A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1*(·全国)将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )*A *12种B * 18种C * 24种D *36种解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A 33种不同的排法*再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A 12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法*因此共有A 33·A 12·1＝12(种)不同的排列方法*答案 A2*A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)，那么不同的排法共有( )*A *24种B * 60种C *90种 D *120种解析 可先排C 、D 、E 三人，共A 35种排法，剩余A 、B 两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A 35＝60(种)*答案 B3*如果n 是正偶数，则C 0n ＋C 2n ＋…＋C n －2n ＋C n n ＝( )*A *2nB *2n －1C * 2n －2D *(n －1)2n －1解析 (特例法)当n ＝2时，代入得C 02＋C 22＝2，排除答案A 、C ； 当n ＝4时，代入得C 04＋C 24＋C 44＝8，排除答案D *故选B *答案 B4*某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目*如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ( )*A *42B * 30C * 20D *12解析 可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法*由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A27＝42)*答案二、填空题(每小题5分，共10分)5*(·汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况*解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况*答案636*(·郑州模拟)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数*解析a，b，c中不含0时，有A37个；a，b，c中含有0时，有2A27个*故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数*答案294三、解答题(共25分)7*(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种*(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任*解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C310＝120种选法*(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C510＝252种选法*(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种选法*(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接C512－C15·C47－C57＝596种选法*法进行*所以有(5)分三步进行；第1步，选1男1女分别担任两个职务有C17·C15种选法*第2步，选2男1女补足5人有C26·C14种选法*共有C17C15·C26C14·A33第3步，为这3人安排工作有A33方法*由分步乘法计数原理，＝12 600种选法*8*(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C1种方法；第2步，涂B区域有C14种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，C15·C14·(4＋C13·C13)＝260则D区域有C13种涂法*故共有种不同的涂色方法*法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C25A22种涂法；第2类，用五色中三种色，共有C35C13C12A22种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A44种涂法*由分类加法计数原理，共有C25A22＋C35C13C12A22＋C45A44＝260种不同的涂色方法*B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1*在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有()* A*576种B*720种C*864种D*1 152种解析由题意，先排1,3,5,7，有A44种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A24种排法，所以共有A44×3×A24＝864种排法*答案 C2*(·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张*从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()* A*232 B*252 C*472 D*484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，乘余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法*故选C*答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3*(·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种*解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A55种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A25种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A45种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C23A35种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C23A45种方法*因此，共有不同的出牌方法A55＋A25＋A45＋C23A35＋A35＋C23A45＝860(种)*答案8604*小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种*解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法*答案20三、解答题(共25分)分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，5现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656(种)*方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14 656(种)*6*(13分)在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…p m中，若1≤i＜j≤m时p i＞p j(即前面某数大于后面某数)，则称p i与p j构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为a n*如排列21的逆称为该排列的逆序数*记排列序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6*(1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，证明：2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3，n ＝1,2，…*(1)解 由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15， 则a n ＝C 2n ＋1＝n (n ＋1)2*(2)证明 b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n n ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ∴2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3*。

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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
高考数学二轮复习 102 排列与组合课 件 理 新人教版
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠