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专题15 计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】C ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以22553390r r C C ⋅⋅==，故选C.2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C =611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C -,第7项的系数为611C ,所以数最大的项是第7项.二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（ ） A ．260xB ．260x -C ．412xD ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】误认为第二项是2r =而错误【正解】展开式的通项为()6162Crrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.故选D.三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】该题为均匀分组，忽略除以22A 而错误.【正解】先将4名学生均分成两组方法数为2422C A ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为224622C A A ．故选B ．5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】该题为部分均匀分组，应除以22A ，而不是33A .【正解】C ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.四、计数时混淆有序与定序6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。
排列组合高考知识点排列组合是高中数学中比较重要的知识点之一，也是高考必考的内容。
掌握好排列组合的基本概念和解题方法，对于应对高考数学考试是非常关键的。
本文将从排列和组合两个方面对这一知识点进行详细的介绍和讲解。
一、排列排列是指从一组对象中选择若干个进行有序的排列。
在排列中，对象的顺序是非常重要的，即不同的顺序产生的结果是不同的。
1.1 基本概念在排列中，从n个不同对象中取出m (1≤m≤n)个进行排列，叫做从n个不同对象中取出m个的m排列(n次排列)，用符号A（n，m）表示。
公式为：A（n，m）= n(n-1)(n-2) ... (n-m+1) = n!/(n-m)!其中，! 表示阶乘运算，即 n! = n(n-1)(n-2) ... 3*2*1。
1.2 解题思路解决排列问题的关键是要明确题目所求的是多少个对象的排列，以及是否要考虑顺序。
通常，在问题中会明确给出这些信息。
根据题目中的条件，使用相应的公式计算即可得出结果。
二、组合组合是指从一组对象中选择若干个进行无序的组合。
在组合中，对象的顺序不重要，即不同的顺序产生的结果是相同的。
2.1 基本概念在组合中，从n个不同对象中取出m (1≤m≤n) 个对象进行组合，叫做从n个不同对象中取出m个的m组合(n取m)，用符号C（n，m）表示。
公式为：C（n，m）= n!/[(n-m)! * m!]2.2 解题思路解决组合问题的关键是要明确题目所求的是多少个对象的组合，以及是否要考虑顺序。
如果题目明确要求考虑顺序，则需要使用排列的方法；如果题目没有明确要求考虑顺序，则使用组合的方法。
根据题目中的条件，使用相应的公式计算即可得出结果。
三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用。
下面以几个实例来说明排列组合在解决问题中的作用。
3.1 奖项抽选假设某次抽奖活动中，有10个人参与，其中有5个奖项要分发。
问共有多少种分发奖项的方案？解：这是一个从10个人中选出5个的组合问题。
高三数学排列组合知识点在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点。
它涉及到数学中的排列和组合两个概念，既有一定的理论知识，也有实际应用的问题。
下面将从排列和组合两个方面进行详细介绍。
一、排列排列是指从给定的对象中选取一部分或全部，按照一定的顺序进行排列的方法。
排列的符号通常用P表示，排列数的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n表示待排列的对象的总数，r表示选取的对象的个数。
排列有几个基本概念需要注意：1.全排列：当选取的对象的个数等于待排列的对象的总数时，称为全排列。
全排列的计算公式为P(n, n) = n!。
2.循环排列：当选取的对象中存在相同的元素时，称为循环排列。
循环排列的计算公式为P(n, r) / r。
3.重复排列：当选取的对象中允许出现重复的元素时，称为重复排列。
重复排列的计算公式为n^r。
二、组合组合是指从给定的对象中选取一部分或全部，不考虑顺序进行组合的方法。
组合的符号通常用C表示，组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / [r! * (n - r)!]其中，n表示待组合的对象的总数，r表示选取的对象的个数。
组合也有几个基本概念需要注意：1.常见组合数（二项式系数）：当选取的对象的个数等于待组合的对象的总数时，称为常见组合数。
常见组合数的计算公式为C(n, n) = 1。
2.Pascal三角形：使用组合数构成的一个三角形，其中每个数等于它上方两个数之和。
Pascal三角形的特点是，每一行的数之和都是2^n。
三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用，尤其是与概率和统计相关的问题。
1.概率问题：排列组合在计算事件发生的概率时起到重要作用。
例如，从一副扑克牌中随机抽取5张牌，求得到一副顺子的概率等。
2.统计问题：排列组合可以用于统计样本空间的大小，从而计算事件发生的可能性。
例如，从10个人中选取3个人组成一支队伍的可能性等。
3.密码学：排列组合可以用于密码学中的排列和替换，保护信息的安全性。
排列组合知识点归纳总结高考题编号一：排列组合基础知识在高考数学中，排列组合是一个重要的考点。
掌握排列组合知识对于解决相关题目至关重要。
本文将对排列组合的基础知识进行归纳总结，并配以高考题进行实例分析。
1. 排列排列是从若干个元素中取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列，形成不同的序列。
排列有两种情况：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
1.1 有重复元素的排列当从 n 个元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则排列的总数为 P(n;r) = n! / (n1! × n2! × ... × nr!)，其中 ni 表示第 i 个元素的个数。
【例题1】：某班上有 10 名学生，其中 5 名男生和 5 名女生，现要从这 10 人中选出 3 人组成一支足球队。
求不同的组队方案数。
解：由于男生和女生分别占一定数量，该问题属于有重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(5;3) = 5! / (2! × 3!) = 10 种。
1.2 无重复元素的排列当从 n 个不同元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），排列的总数为P(n;r) = n! / (n-r)!。
【例题2】：有 9 个不同的球队参加一场篮球比赛。
其中第一名和第二名分别获得冠军和亚军。
请问这 9 支球队的比赛有多少种可能的结果？解：由于每个球队的位置是不同的，问题属于无重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(9;2) = 9! / 7! = 72 种。
2. 组合组合是从若干个元素中取出一部分元素，不考虑顺序，形成不同的组合。
同样地，组合也有两种情况：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
2.1 有重复元素的组合当从 n 个元素中取出 r 个进行组合时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则组合的总数为 C(n;r) = (n+r-1)! / (r! × (n-1)!)。
高考数学专题：排列与组合在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。
但别担心，让我们一起来深入了解它，掌握解题的关键。
首先，我们要明白什么是排列，什么是组合。
排列，简单来说，就是从给定的元素中取出一些，然后按照一定的顺序排成一列。
比如说，从 5 个不同的数字中选出 3 个排成三位数，这就是排列问题。
而组合呢，只关注选取的元素，不考虑它们的顺序。
比如，从 5 个不同的水果中选出 3 个，这就是组合问题。
那为什么要区分这两者呢？因为在计算方法上，它们是不同的。
排列的计算方法是用排列数公式：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
组合的计算方法是用组合数公式：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
我们通过一些具体的例子来理解。
比如，有 5 个不同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5 。
从中取出 3 个排成一排，有多少种排法？这就是一个排列问题。
第一步，从 5 个球中选 3 个，有 C(5, 3) 种选法；第二步，选出的 3 个球进行排列，有 A(3, 3) 种排法。
所以总的排法就是 C(5, 3) × A(3, 3) ＝ 60 种。
再比如，从 5 个不同的球中选出 3 个组成一组，有多少种选法？这就是组合问题，直接用组合数公式 C(5, 3) ＝ 10 种。
在解决排列组合问题时，有几个重要的原则和方法需要掌握。
一个是分类加法原则。
如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
举个例子，从甲地到乙地，有 3 条陆路可走，2 条水路可走。
那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种走法。
排列组合知识点排列组合是高中数学中的一个重要内容，它是指在一组元素中选取部分元素进行排列或组合的方式。
通过对元素的不同排列和组合，可以得到不同的结果，用于解决一些与选择、分配、摆放等问题有关的情景。
本文将以3000字详细介绍排列组合的基本概念、性质以及应用领域。
一、排列的基本概念和性质1. 排列的定义排列是指从一组元素中取出若干元素进行重新排列得到不同的序列。
这个序列的顺序是明确的，不同的排列方式得到的结果是不同的。
2. 排列的计算方法（1）全排列：从n个不同元素中取出m个元素进行排列，计算全排列的个数可以使用阶乘运算：P(n,m) = n!/(n-m)!（2）部分排列：从n个不同元素中取出m个元素进行排列，计算部分排列的个数可以使用阶乘运算：A(n,m)=n!/(n-m)!3. 排列的性质（1）排列具有顺序性：即不同的元素排列顺序不同时，得到的排列结果是不同的。
（2）排列的个数与元素个数有关：排列的个数与所选取的元素个数有关，当选取的元素个数与原集合中的元素个数相同时，排列的个数达到最大值。
（3）排列的个数与元素的重复性有关：当元素中存在重复元素时，排列的个数会减少。
二、组合的基本概念和性质1. 组合的定义组合是指从一组元素中取出若干元素进行组合，组合的结果不考虑元素的顺序。
2. 组合的计算方法从n个不同元素中取出m个元素进行组合，计算组合的个数可以使用组合数公式：C(n,m) = n!/[m!(n-m)!]3. 组合的性质（1）组合不考虑元素的顺序：组合的结果不受元素排列顺序的影响。
（2）组合的个数与元素的重复性有关：当元素中存在重复元素时，组合的个数会减少。
（3）组合的个数与元素个数有关：组合的个数受选取的元素个数和原集合的元素个数的影响。
三、排列组合的应用领域1. 概率统计排列组合在概率统计中具有重要的应用，用于计算事件的可能性。
例如，计算从一组数字中选取若干数字，得到某个特定数字的概率。
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
排列组合知识点归纳总结高考一、简介排列组合是数学中的一个重要分支，也是高考数学考试中常见的题型。
掌握排列组合的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还有助于提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将对排列组合的基本概念、计算公式以及应用进行总结和归纳。
二、基本概念1. 排列排列是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，不考虑其顺序，进行组合。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!)三、排列组合的计算公式1. 排列当元素可以重复使用时，排列的计算公式为：A'(n,m) = n^m2. 组合当元素可以重复使用时，组合的计算公式为：C'（n，m）= C（n+m-1，m）四、应用1. 随机抽奖在某次抽奖活动中，参与者共10人，要从中抽取3名幸运儿，问有多少种可能的结果？解题思路：这是一个组合问题，从10人中抽取3人，不考虑顺序。
根据组合的计算公式C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!), 可以得出C(10,3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120 种可能的结果。
2. 配对组合在某次活动中，有5对情侣参加，要求每对情侣都不跟自己的伴侣配对，问有多少种可能的配对方式？解题思路：这是一个排列问题，每对情侣都有两种可能的配对方式。
根据排列的计算公式A(n,m) = n! / (n - m)!, 可以得出A(10,5) = 10! / (10 - 5)! = 30,240 种可能的配对方式。
3. 买彩票中奖某彩票号码由6个数字组成，开奖时从0-9之间随机选择6个数字作为中奖号码，以每注彩票中奖概率为4‰，购买一张彩票的中奖概率是多少？解题思路：这是一个组合问题，从10个数字中选择6个数字作为中奖号码，不考虑顺序。
复习专题10---排列组合不务正业收集、整理、点评排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20解：将命中的四枪中的三枪捆绑在一起，组成复合元，这样就将命中的4枪分成了两组，未射中的4枪，形成5个空，在这5个空中，任取两个空，将这两个复合元放进去即可，共有A 52=5*4=20；也可用插空法，未射中的4枪，形成5个空，第一次插入时有5种插法，形成6个空，但第二次插入时，不能与第一次插入的相邻，所以，第二次只有4种插法，所共有5*4=20，结果是一样的。
三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 也可以这样理解，这6个数字共可排尾数是奇数的5位数有：从最后一位开始排C(3,1)*C(5,1)*C(4,1)*C(3,1)C(2,1)=360，但最一位是0的数要减掉。
也就是要减掉由12345这几个数字组成的4位奇数，从最后一位数开始排：C （3,1）*C(4,1)*C(3,1)*C(2,1)=72，最后结果为：360-72＝288那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A 实际上是平均分组的问题(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
当四人坐好后，甲乙丙的位置也就确定了。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 不能。
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C 分析：任意取5人，剩下5人，都可以从高到矮进行排列，则有510C 种取法五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题线排策略定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种原来5个节目共形成6个空，将新增加的2个节目插入这6个空中，则有A 26=30；或者可以用隔板法，但要注意，第二次插入的节目与第一次插入的节目不能相邻。
原来5个节目，共形成6个空，则第一次放“隔板”时，共有6种插法，形成7个空；第二次放“隔板”时，由于不能与第一次放的“隔板”相邻，所以共有5种放法。
则，共有6*5=30种，结果是一样的。
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A,并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！H FD C AAB C D E AB E GH G F注释:坐在圆上，就是指通过旋转而能重合的排列都作为一种排列看待如ABCDEFGH 与BCDEFGHA 与CDEFGHA 。
与HABCDEFG 这8个都都是算作一个排列的，所以要除以8练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前4个位置特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种前 排后 排练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.注意与例10比较。
一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有mn A n 1 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研将2排合并成一排，共有23个座位，前排3个位置不能坐，则共有A 220=380种，这当中包含两人相邻的情况，共有19种相邻的座位，对应着38种坐法，因为两人的位置可以互换。
但这时，已多减了一部分，因为前排中间3个位置（即5、6、7三个位置）两边的4号位与8号位，不可能相邻，符合题意；第11号位与12位也不可能相邻，符合题意，所以就将这两个多减的组合再找回来，实际应该减去19-2＝17种相邻的座位，对应着34种坐法。
最后结果为380-34＝346种。
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种 C 12* C 34*A 44 =192九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.分析：上面的解法好像有问题，可以这样考虑：因为恰有两个偶数夹1，本题只有两个偶数2、4，所以两偶数夹1的排列有A （2.2）；分别为214或412，又因为5在两个奇数之间，所以考虑将214或412组成一个整体与3进行排列，在A （2.2）*A （2.2），至此已形成：214 3；3 214 ；412 3；3 412；这四种排列，又5在两奇数之间，所以对于每种情况，5有两个位置可放，所以：2*A （2.2）*A （2.2）＝8练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略使用插板法有2个要求：①元素相同;②每组中至少分一个元素。
如果题目中的要求不符合其中一项，可将题目变形，使题意符合这2个要求，再使用插板法。
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
4幅油画看成一个整体，5幅国画看成一个整体，与水彩画共3个“元素”，由于水彩画不能挂两端，故只有一种挂法，油画与国画有A 22种挂法，但水彩画、国画本身内部有排序要求，分别为 A 44与A 55，故最后后共有：1* A 22* A 44*A 55一、直接使用插板型例1、把9个相同的苹果分给5个人，每人至少一个苹果，那么不同的分法一共有多少种?()(2010年河南政法干警考试A 卷第41题) A.30B.40C.50D.60答案：D 。
