第5章系统的稳定性

( xk ) (0)
2.渐近稳定性
渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性，
它要求由初态引起的响应最终衰减到零，一般所讲
的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然，
也是Л я п у н о в 意义下的稳定性；但对非线系 统而言，这两种稳定性是不同的。 比较渐近稳定性与Л я п у н о в 意义下的稳定性 可知，前者比后者对系统的稳定性的要求高，系统
3.阐述Nyquist稳定判据，即如何通过系统的开环频 率特性的Nyquist图来判断相应的闭环系统的稳定 性。
4.介绍Bode判据，进而讨论系统相对稳定性的问题。
5.1
5.1.1
系统稳定性的初步概念
系统不稳定现象的发生 如图5.1.1所示的液压位置随动系统，从油源 来的压力为Ps的压力油，经伺服阀和两条软管以 流量。 q1 , q2 xi 进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入 x0 位移 后，活塞输出位移 ，此输出再经活塞与 阀体的刚性联系，即经反馈联系B反馈到阀体上， 从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组 成一个闭环系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而 运动。
(an p n a n1 p n 1 a1 p a0 ) x (t )
d p 式中， dt ,
(bm p m b1 p b0 ) xi (t ), n m,
（5.1.1）
若记
D( p) an p n an 1 p n 1 a1 p a0 ;
M ( p) bm p bm1 p
m
m 1
b1 p b0 ,
并对式（5.1.1）作Laplace变换，得
M ( s) N (s) X ( s) X i (s) , D( s ) D( s )

n
(s s1 )( s s2 )(s sn ) sn ( si )sn1 ( si s j )sn2 (1)n si
i 1
i j
i 1
i1, j2
11
比较系数，得出根与系数的关系：
an1
an
n
i 1
si ,
an3
an
n
si s j sk ,
i jk
i 1, j 2,k 3
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t )
A1i e si t
A2i e si t B(t )
i 1
i 1
初态引起的 输入引起的自由响
自由响应
应
si:系统的特征根
5
1) 当系统所有的特征根si（i=1,2,…,n)均具有负实部 （位于[s]复平面的左半平面）
ltim
n i 1
A1i e si t
a2>0, a1>0, a0>0 三阶系统（n=3）稳定的充要条件： a3>0, a2>0, a1>0，a0>0, a1a2－a0a3>0
17
【例2】已知=0.2，n=86.6，K取何值时，系统能稳定?
系统开环传递函数：
GK (s)
Xo( s ) E(s)
2 n
(
s
K
)
s2 (s 2 n )
系统闭环传递函数：
对其求导得零行系数。 继续计算Routh表的其余各元。
劳斯表出现零行系统一定不稳定
24
【例5】系统特征方程 D(s)=s5+2s4+24S3+48s2-25s-50=0 试用Routh表判别系统的稳定性。

s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
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（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
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四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。

Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。

重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。

本章难点Nyquist 判据及其应用。

§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。

（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。

与输入量种类、性质无关。

②系统不稳定必伴有反馈作用。

（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。

将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。

即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。

2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。