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北京市海淀区2017届高三下学期期中考试(一模)数学理试题 Word版含答案

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1 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理科） 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合|(1)0Axxx，集合|0Bxx，则AB（ ） A．|1xx B．|1xx C．|0xx D．|0xx 2.已知复数()ziabi（a，bR），则“z为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A．220ab B．0ab C．0a，0b D．0a，0b 3.执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ）

A．0 B．3 C．6 D．8 4.设a，bR，若ab，则（ ） A．11ab B．22ab C．lglgab D．sinsinab 5.已知10axdx，120bxdx，10cxdx，则a，b，c的大小关系是（ ） A．abc B．acb C．bac D．cab 2

6.已知曲线C：2222xtyat（t为参数），(1,0)A，(1,0)B，若曲线C上存在点P满足0APBP，则实数a的取值范围为（ ） A．22,22 B．1,1 C．2,2 D．2,2 7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A．12 B．40 C．60 D．80 8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：

项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中（如图2），检查''''OMONOMON； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OKOLOKOL； 项目④：打开后（如图3），检查123490； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''ABABCDCD． 在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.若等比数列na满足245aaa，48a，则公比q ，前n项和

nS ．

10.已知1(2,0)F，2(2,0)F，满足12||||||2PFPF的动点P的轨迹方程为 ． 3

11.在ABC中，coscaB．①A ；②若1sin3C，则cos()B ．

12.若非零向量a，b满足()0aab，2||||ab，则向量a，b夹角的大小为 ． 13.已知函数21,0,()cos,0.xxfxxx若关于x的方程()0fxa在(0,)内有唯一实根，则实数a的最小值是 ． 14.已知实数u，v，x，y满足221uv，10,220,2,xyxyx则zuxvy的最大值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知3是函数2()2cossin21fxxax的一个零点． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）求()fx的单调递增区间. 16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元． 有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 天津 24 22 26 23 24 26 27 25 28 24 25 26

上海 32 27 33 31 30 31 32 33 30 32 30 30 4

（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点； （Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率； （Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望（不需要计算过程）． 17.如图，由直三棱柱111ABCABC和四棱锥11DBBCC构成的几何体中，90BAC，1AB，12BCBB，15CDCD，平面1CCD平面11ACCA．

（Ⅰ）求证：1ACDC； （Ⅱ）若M为1DC的中点，求证：//AM平面1DBB； （Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面1BBD所成的角为3？若存在，求BPBC的值，若不存在，说明理由． 5

18.已知函数2()24(1)ln(1)fxxaxax，其中实数3a． （Ⅰ）判断1x是否为函数()fx的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0fx在区间0,1上恒成立，求a的取值范围．

19.已知椭圆G：2212xy，与x轴不重合的直线l经过左焦点1F，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．

（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率； （Ⅱ）是否存在直线l，使得2||||||AMCMDM成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 20.已知含有n个元素的正整数集12,,,nAaaa…（12naaa…，3n）具有性质P：对任意不大于()SA（其中12()nSAaaa…）的正整数k，存在数集A的一个

子集，使得该子集所有元素的和等于k． （Ⅰ）写出1a，2a的值；

（Ⅱ）证明：“1a，2a，„，na成等差数列”的充要条件是“(1)()2nnSA”； （Ⅲ）若()2017SA，求当n取最小值时na的最大值． 6

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案 一、选择题 1-5:ADBBC 6-8:CDB 二、填空题

9.2，21n 10.2213yx 11.90，13 12.120 13.12 14.22 三、解答题 15.解：（Ⅰ）由题意可知()03f，即22()2cossin10333fa，

即213()2()10322fa，解得3a． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos3sin21fxxxcos23sin22xx

52sin(2)26x，

函数sinyx的递增区间为2,222kk，kZ． 由5222262kxk，kZ， 得236kxk，kZ，

所以，()fx的单调递增区间为2,36kk，kZ． 16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源， 因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大． （Ⅱ）设事件A：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨． 根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56， 其中超过55百万吨的月份有8个， 所以，82()123PA． （Ⅲ）X的数学期望8EX． 17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC， 7

故1ACCC， 由平面1CCD平面11ACCA，且平面1CCD平面111ACCACC， 所以AC平面1CCD， 又1CD平面1CCD， 所以1ACDC． （Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC， 所以1AAAB，1AAAC， 又90BAC， 所以，如图建立空间直角坐标系Axyz，

依据已知条件可得(0,0,0)A，(0,3,0)C，1(2,3,0)C，(0,0,1)B，1(2,0,1)B，(1,3,2)D，

所以1(2,0,0)BB，(1,3,1)BD， 设平面1DBB的法向量为(,,)nxyz，

由10,0,nBBnBD即20,30,xxyz 令1y，则3z，0x，于是(0,1,3)n， 因为M为1DC中点，所以3(,3,1)2M，所以3(,3,1)2AM， 由3(,3,1)(0,1,3)02AMn，可得AMn， 所以AM与平面1DBB所成角为0， 即//AM平面1DBB． 8

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BBD的法向量为(0,1,3)n． 设BPBC，0,1， 则(0,3,1)P，(1,33,1)DP． 若直线DP与平面1DBB成角为3，则

2|||23|3|cos,|2||||2445nDPnDPnDP





，

解得50,14， 故不存在这样的点． 18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)fxxaxax可得函数()fx定义域为(1,)． 4(1)'()221afxxax

22(1)(2)1xaxax



，

令2()(1)(2)gxxaxa，经验证(1)0g， 因为3a，所以()0gx的判别式222(1)4(2)69(3)0aaaaa， 由二次函数性质可得，1是函数()gx的异号零点， 所以1是'()fx的异号零点， 所以1x是函数()fx的极值点． （Ⅱ）已知(0)0f，

因为2(1)(2)'()1xxafxx，

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2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷

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2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个 C．至少有2个 D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A． B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x1234f（x）2341f′（x）3421g（x）3142g′（x）2413则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，an），=（b1，b2，…，bn），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{an }满足a1=1，an+1+an=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明．n17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x（﹣∞﹣1）﹣1（﹣1，3）3（3，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，an=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即ak=﹣则由ak+1+ak=﹣，得ak+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{an }的通项公式为an=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）第11页共11页。

海淀区2017-2018学年第一学期期中高三数学(文)试题及答案(官方版)

海淀区2017-2018学年第一学期期中高三数学(文)试题及答案(官方版)

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科） 2017.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}02<-=x x A ，集合{}12>=x x B , 则=B A（A ）R （B ）()2,∞- （C ）()2,0 （D ） ()+∞,2 （2）命题“1sin ,0≤≥∀x x ”的否定是（A ） 1sin ,0><∀x x （B ）1sin ,0>≥∀x x （C ） 1sin ,0><∃x x （D ）1sin ,0>≥∃x x （3）下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（A ）2)(x x f -= （B ）xx f -=3)( （C ）x x f ln )(= （D ）x x x f sin )(+=（4）已知数列{}n a 满足12322(1,2,3,)n a a a a a n ++++==，则（A ）01<a （B ）01>a （C ）21a a ≠ （D ）02=a （5） 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的纵坐标为2，点C 在x 轴的正半轴上. 在△AOC 中，若35cos -=∠AOC ，则点A 的横坐标为 （A ）5- （B ） 5 （C ）3- （D ）3 （6）已知向量b a ,是两个单位向量，则“b a =”是“2=+b a ”的（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件（7）已知函数)sin(1)(ϕ+ω=x x f （0,2ωφπ><）的部分图象如图所示，则ϕω,的值分别为 （A ）2,3π （B ）2, 3π- （C ） 1, 6π（D ） 1, 6π- （8） 若函数()0,0,22>≤⎩⎨⎧-=x x x ax xe x f x 的值域为1[,)e-+∞，则实数a 的取值范围是 （A ）(0, e) （B ） (e, )+∞ （C ）(0, e] （D ）[e, )+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017海淀区高三第一学期期中数学文科答案正式版

2017海淀区高三第一学期期中数学文科答案正式版

海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 2017.11数 学（文科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分) 9. 2 10. 0 11. 2- 12.2； 4 13. 2 14. {}3或{}4,2,1 （答对一个给3分）三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15.（本题13分）解：（I ）14cos 24cos 4sin 2)4(2-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ππππf …………1分1222222222-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯= ……3分 （sin 4π、cos 4π值各1分） 1= …………4分（II ）x x x f 2cos 2sin )(+= …………8分 （一个公式2分）24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………10分令 222242k x k πππ-+π≤+≤+π …………12分 得 3, 88k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z 所以函数)(x f 的单调递增区间为3,, 88k k k πππ⎡⎤-++π∈⎢⎥⎣⎦Z . …………13分说明：①如果没有代入4π的过程或没有sin 4π和cos 4π的函数值，但最后结果正确扣1分；如果第（I ）问先化简的，按照第（II ）问相应的评分标准给分。

② （II)4x π-，参照上面步骤给分。

③求单调区间时，3, 88k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z 正确，但没有写成区间形式、无k ∈Z ，只要居其一扣一分，不累扣。

16．（本题13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q . 因为8321=a a a ，且2132a a a =所以832=a ，得22=a ， …………2分又因为35216a a q ==，所以38q = ，得2=q ，11=a . …………4分所以12-=n n a （∈n N +）， …………5分所以1(1)1n n a q S q-=- …………6分1212n-=-21n =- …………7分 （Ⅱ）因为nn a 21=+，所以n a b n n ==+12log ， …………9分 所以111)1(111+-=+=+n n n n b b n n . …………11分所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和 =n T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n …………12分 111+-=n 1+=n n. …………13分17．（本题13分）解：（Ⅰ）因为△ABD 为正三角形，//AC DB ，所以在△ABC 中，3BAC π∠=，所以()3ACB ABC π∠=π-+∠.所以sin sin()3ACB ABC π∠=+∠ …………1分 = sincos cos sin )33ABC ABC ππ∠+∠ …………3分 （一个公式2分） 因为在△ABC中，cos ABC ∠=，(0,)ABC ∠∈π …………4分所以sin ABC ∠=…………5分 所以sin ACB ∠=12=. …………6分 （Ⅱ）方法1：在△ABC 中，4AC =，由正弦定理得：sin sin AB ACACB ABC=∠∠， ……8分所以4sin 5sin AC ACBAB ABC∠===∠ …………9分 又在正△ABD 中，AB AD =， 3DAB π∠=， 所以在△ADC 中，3DAC 2π∠=， …………10分 由余弦定理得：DAC AD AC AD AC CD ∠⋅-+=cos 2222 …………12分1625245cos6132π=+-⨯⨯= 所以CD 的长为61. …………13分方法2：在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin AB AC BCACB ABC BAC==∠∠∠， …………8分所以4sin 5sin AC ACBAB ABC∠===∠ , …………9分4sin sin 7AC BAC BC ABC ∠===∠ …………10分 所以12727=⨯-14=-. …………11分 在△DBC 中，由余弦定理得2222cos CD DB BC DB BC DBC =+-⨯⨯∠ …………12分252125()14=+-⨯-61=.所以CD 的长为61. …………13分18. （本题13分）解：（Ⅰ）由3()f x x x =-，得13)(2-='x x f , …………1分所以(1)2f '=，又(1)0f = …………3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()120-=-x y ，即：022=--y x . …………4分cos cos()DBC DBA ABC ∠=∠+∠cos cos sin sin DBA ABC DBA ABC =∠∠-∠∠（Ⅱ）令()0='x f ，得33±=x . …………5分 ()f x 与()f x '在区间[0,2]的情况如下：…………7分因为()00,f =()26,f = …………8分 所以函数)(x f 在区间[]2，0上的最大值为6. …………9分 （Ⅲ）证明：设()()()x g x f x h -==333+-x x ，则()()1132+-=-='x x x x h 33)(， …………10分 令()0h x '=，得1x =±.()h x 与()h x ' 随x 的变化情况如下：则()x h 的增区间为()1,-∞-，()+∞,1，减区间为()1,1-. …………11分又()110h =>，()()011>>h h -，所以函数)(x h 在()+∞,1-没有零点， ……12分 又()03<=-15-h ，所以函数)(x h 在()1,-∞-上有唯一零点0x . …………13分 综上，在()+∞∞-,上存在唯一的0x ，使得)()(00x g x f =.19.（本题14分）解：（Ⅰ） 341,3a a =-=5,365=-=a a ； …………2分（Ⅱ）设n n a b 2=，*N n ∈则2)1(222221=-=-=-++nn n n n a a b b ， …………4分所以{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列， …………5分 所以1(1)221n b n n =+-=- . …………6分（Ⅲ）解法1：2)1(2121212-=-=---+n n n a a ，*n ∈N ，所以{}12-n a 是以1为首项，2-为公差d 的等差数列， …………7分 所以数列{}n a 的前n 个奇数项之和为2122)1(n n d n n na -=-+ …………8分 由（Ⅱ）可知，122-=n a n ， 所以数列{}n a 的前n 个偶数项之和为()2222n na an =+ …………10分所以n S n 22=， …………11分 所以182182-=-n S n .因为22218(18)2n n S S ----=，且21816S -=-所以数列{}182-n S 是以16-为首项，2为公差的等差数列. …………12分 由0182182≤-=-n S n 可得9≤n ， …………13分 所以当8=n 或9=n 时，数列{}182-n S 的前n 项和n T 的最小值为72291698-=⨯-==T T . …………14分 解法二：由*22(1)()nn n a a n +=+-∈N 得22*2222(1)(,2)n n n a a n n --=+-∈≥N ①， …………7分 23*21232(1)(,2)n n n a a n n ---=+-∈≥N ②， …………8分把①②两个等式相加可得，2232212---+=+n n n n a a a a *(,2)n n ∈≥N，所以2212232212=+==+=+---a a a a a a n n n n . …………10分 所以数列{}n a 的前n 2项和n S n 22=， …………11分 （或：由*22(1)()nn n a a n +=+-∈N 得211(1)3(3)5......(23)(21)n S n n =++-++-+++-++- …………7分(11)[(1)3][(3)5]......[(23n n =++-++-+++-++- …………10分2n = …………11分） 所以182182-=-n S n .因为22218(18)2n n S S ----=，且21816S -=-所以数列{}182-n S 是以16-为首项，2为公差的等差数列. …………12分 由0182182≤-=-n S n 可得9≤n ， …………13分 所以当8=n 或9=n 时，数列{}182-n S 的前n 项和n T 的最小值为72291698-=⨯-==T T . …………14分20．（本题14分）（Ⅰ）证明：证法1：x x x x f ln )()(2-=的定义域为(0,)+∞ ……………1分 由x x x x f ln )()(2-= 得21'()(21)ln ()(21)ln 1f x x x x x x x x x=-+-=-+-， ……………2分 '(1)0f ∴=. ………………3分当1x >时，(21)ln 0,10x x x ->->，'()0f x ∴>，故()f x 在(1,)+∞上单调递增； ………………4分 当112x <<时，(21)ln 0,10x x x -<-<，'()0f x ∴<，故()f x 在1(,1)2上单调递减； ……………5分(此处为推理说明，若用列表说明则扣1分)所以1是函数()f x 的极值点. ………………6分证法2：（根据极值的定义直接证明）x x x x f ln )()(2-=的定义域为(0,)+∞ ……………1分()(1)ln f x x x x =- ， (1)0f ∴= ……………3分当1x >时，(1)0,ln 0,()0x x x f x ->>∴>，即()(1)f x f >； ………………4分 当01x <<时，(1)0,ln 0,()0x x x f x -<<∴>，即()(1)f x f >； ……………5分 根据极值的定义， 1是()f x 的极值点. ………………6分 （Ⅱ）由题意可知，1ln )12()(-+-=x x x x g 证法1：1'()2ln 3,(0,)g x x x x=-+∈+∞， 令1()2ln 3,(0,)h x x x x=-+∈+∞， 222121'()0x h x x x x+∴=+=>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………7分 又1(1)20,()1ln 4ln 024eh h =>=-=<，又()h x 在(0,)+∞上连续，01(,1)2x ∴∃∈使得0()0h x =，即0'()0g x =， ………………8分∴0012ln 30x x -+=.（*） ………………9分 '(),()g x g x 随x 的变化情况如下：………………10分∴min 0000()()(21)ln 1g x g x x x x ==-+-. ………………11分由（*）式得0013ln 22x x =-，代入上式得 min 0000001313()()(21)()122222g x g x x x x x x ==--+-=--+. ………………12分 令131()2,(,1)222t x x x x =--+∈， 221(12)(12)'()2022x x t x x x +-=-=<，故()t x 在1(,1)2上单调递减. ………………13分()(1)t x t ∴>，又(1)1t =-，()1t x ∴>-.即0()1g x >- ()1g x ∴>-. ………………14分 证法2：()(21)ln 12ln ln 1,(0,)g x x x x x x x x x =-+-=-+-∈+∞，令()2ln ,()ln 1,(0,)h x x x t x x x x ==-+-∈+∞， ………………7分'()2(ln 1)h x x =+，令'()0h x =得1x e=. ………………8分'(),()h x h x 随x 的变化情况如下：min 12()()h x h e e ∴==-，即22ln x x e ≥-，当且仅当1x e =时取到等号.………………10分1'()x t x x-=，令'()0t x =得1x =. ………………11分 '(),()t x t x 随x 的变化情况如下：………………12分min ()(1)0t x t ∴==，即1ln 0x x --≥，当且仅当1x =时取到等号. ………………13分 22ln (ln 1)1x x x x e∴+-+->->-. 即()1g x >-. ………………14分。

2017年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----复数、参数方程、极坐标

2017年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----复数、参数方程、极坐标

2017年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----复数、参数方程、极坐标复数部分：（2017朝阳期末）2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 （ D ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 （2017东城期末）（9）若复数(2i)(2i)a -+是纯虚数，则实数a =______1-______． (2017丰台期末)9. i 是虚数单位，复数2i1i-= 1i -+ ． （2017海淀期末）9.已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =_____1i +____. (2017石景山期末)2．若34iz i+=，则||z =（ D ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5(2017通州期末)9．复数z 满足()11i z i +⋅=-，则z =___i -____. (2017西城期末)9．复数1i1i+=-__i __．(2017年房山期末)9．复数z=（i 是虚数单位）的实部是 1 ．（2017年朝阳一模）（9）复数1ii+在复平面内对应的点的坐标是_(1,1)-___.(2017年东城一模)（9）已知复数z 满足(1i)2z +=，则||z =．(2017年海淀一模)2. 已知复数i(i)(,)z a b a b =+∈R ，则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ D ） A. 220a b +≠B. 0ab =C. 0,0a b =≠ D . 0,0a b ≠= (2017年西城一模) 2．在复平面内，复数i1i+的对应点位于（ A ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限(2017年丰台一模)2. 已知,a b ∈R ，则“0b ≠”是“复数a bi +i 是纯虚数”的 （ B ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(2017年石景山一模)9．若复数i1ia +-是纯虚数，则实数a = 1 ．(2017年平谷一模)9.设i 是虚数单位，则复数231i i +-等于_________1522i -+_______. （2017年朝阳二模）1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于（ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2017年东城二模)（9）复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为 (1,2) ．(2017年海淀二模)10.已知复数1iiz -=，则||z =(2017年西城二模)1．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =（ A ） （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i +（D ）2i -(2017年丰台二模)9. 在复平面内，复数34ii+对应的点的坐标为 (43)-，． (2017年顺义二模)9.已知(2)(1)z a a i =-++在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ____(1,2)-____ . 极坐标与参数方程部分：(2017年海淀期末)2. 在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为（ B ）(2017年西城期末)4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（ A ） （A ）sin 1=ρθ（B）sin =ρθC ）cos 1=ρθ（D）cos =ρθ （2017年朝阳一模） (12) 在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为sin()4ρθπ+=为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，则直线C 1的直角坐标方程为__20x y +-=___；曲线C 2的方程为cos ,1sin x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则C 2被 C 1截得的弦长为(2017年东城一模)（3）已知圆的参数方程为1,x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（ B ） （A ）1 （B）（C ）2 （D）(2017年海淀一模)6.已知曲线:2x C y a ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数），()1,0A -，()1,0B . 若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为（ C ）A.[B. [1,1]-C. [ D . [2,2]-(2017年西城一模)12．曲线cos ,1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）与直线10x y +-=相交于,A B 两点，则||AB =__2__．(2017年丰台一模)13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线14C x y +=：，曲线21cos ,sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩：（θ为参数），过原点O 的直线l 分别交1C ，2C 于A ，B 两点，则OAOB 的最大值为． (2017年石景山一模)3．直线1cos 2ρθ=被圆1ρ=所截得的弦长为（ B ）A ．1BC ．2D ．4(2017年平谷一模)10．在极坐标系中，设曲线sin 2ρθ=-和直线sin 1ρθ=-交于A 、B 两点，则=||AB 2 .（2017年朝阳二模）12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=(2017年东城二模)（10）在极坐标系中，直线cos sin 10r q q +=与圆2cos (0)a a =>r q 相切，则a =___1____．(2017年海淀二模)9. 在极坐标系中，极点到直线cos 1ρθ=的距离为 1 .(2017年西城二模)3. 在极坐标系中，点)4,π到直线cos sin 10ρθρθ--=错误！未找到引用源。