第二章 2.2 2.2.1椭圆及其标准方程 (共62张PPT)

． ．
P M x
O D
x 2 y 2 4上 ， 所 以
x y 4.
2 0 2 0
①
把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得
x 2 4 y 2 4，
即
从例2你能发 现椭圆与圆之 间的关系吗？
x y 2 1. 4
2
所以点M的轨迹是一个椭圆.
例2(P41例3)如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，
2.2 椭圆
2.2.1椭圆及其标准方程（2）
1.进一步掌握求轨迹方程的方法。重点） 2．熟练掌握椭圆的定义，熟练掌握求椭圆 的标准方程的几种方法.（重点、难点）
椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形 MNF2的周长为（ A.10 C.30 B.20 D.40
N
B ）
F1
y
M
o
F2
x
2.椭圆的长轴(2a)是短轴(2b)的3倍，且过点A（3，0） ，则椭圆的标准方程是_________.
2 2 x2 x y 2 y 1 或 =1 答案： 9 9 81
y2 x2 2 1 2 a b
a b 0
F(±c，0)
2 2 2
F(0，±c)
b a c ( a , b, c中 a最大 )
每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习
惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨.
2 2 x y 1.已知F1，F2是椭圆 1 25 9
的两个焦点，
b a c ( a , b, c中 a最大 )

1 (a＞b＞0).
依题意有
2
2
a2
2
3 b2 1,
2
1
a2
2 3 b2
1,
解得
a2 5,
b
2
15.
因为a＞b＞0，所以无解.
综上，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1.
15 5
方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有
3m 4n 1, 12m n 1,
【微思考】
在椭圆的定义中，动点M到两定点F1，F2的距离之和等于常数 (2a)且2a>|F1F2|，若2a=|F1F2|，则M的轨迹是什么？若 2a<|F1F2|，则M的轨迹是什么？ 提示:当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在.
【即时练】
1.椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，
两焦点距离之和等于6，求椭圆的方程.
(2)椭圆的焦点为F1(0，-5)，F2(0，5)，点P(3，4)是椭圆上
的一个点，求椭圆的方程.
【解析】(1)由椭圆的焦点坐标为(-2，0)，(2，0)，
所以可设椭圆的方程为:
x2 a2
y2 b2
1 (a＞b＞0).
因为2a=6，2c=4，所以a=3，c=2，
94
所以a=3，b=2，c= 5
答案：3 2 5
【要点探究】 知识点 1 椭圆的定义 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，

二、新课讲授，探究概念
思考2:如何求椭圆的方程？
探讨建立平面直
角坐标系的方案
y
y
y
M
y
F2
M
O
F1
O
O F2
x
O
方案一
x
x x
F1
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
二、新课讲授，探究概念
y
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段
M
F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角
(, 0)
2
2
x
y
2 1
2
a
b
y
M
(a b 0)
它表示：
F1
0
F2
① 椭圆的焦点在轴
② 焦点坐标为1 (−, 0)，2 (, 0)
③ 2 − 2 = 2
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程
是怎样的呢？
x
二、新课讲授，探究概念
y
焦点在轴上的椭圆的标准方程：
2
2
y
x
2 1
椭圆及其标准方程
年
级：高二年级
学
科：数学（人教A版）
一、新课引入，图片感知
压扁
一、新课引入，图片感知
二、新课讲授，探究概念
M
F1
F2
椭圆的产生
二、新课讲授，探究概念
思考1:
1.在椭圆形成的过程中，绳子的两端是固定的还是运动的？
M
F1F2 2c
F1
F2
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
2
a
b
(a b 0)

2 2
和
x2 y 2 + 2 =1 2 b a
（a>b>0）的焦点坐标分别是什么？
x y 思考2:方程 1 m 0, n 0 表示的 m n 曲线是什么？ x y 1 思考3:一般地，椭圆 m n (m＞0,n＞0,m≠n)的焦点坐标是什么？
2 2
2
2
m＞n时,焦点为 ( m n , 0) m＜n时,焦点为 (0, n m )
x y = 1(m > 0, m 例2 已知椭圆 + m 4
2 2
2
2
4)
的焦距为2，求m的值. m ＝5 或3
拓展延伸
例3 判断下列方程是否为椭圆方程， 若是，求其焦点坐标.
x 2 (1) y 4 4
2
(2) 2x y a 0 (a为参数).
2 2 2
自我检测
P42练习3.
作业： P49习题2.1A组：1.
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
a 2 b 2 c 2 ( a c 0, a b 0)
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
新课探究：椭圆概念的拓展
思考1:椭圆的定义特征是|MF1|＋|MF2| ＝2a（2a＞|F1F2|）,若2a＝|F1F2|，则 动点M的轨迹是什么？若2a＜|F1F2|,则 动点M的轨迹是什么？
2.2
2.2.1
椭
圆
椭圆及其标准方程(2)
自主学习
1.椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
M F1 F2