2011年广州市高三年级调研测试 文综

2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．3 12．2 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭或cos sin 20θρθ--=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．） 解：（1）由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102()405a P A +==， …………………………………………………………………………………4分 解得6a =． ………………………………………………………………………………………………5分因为3240a b ++=，所以2b =．答：a的值为6，b 的值为2．……………………………………………………………………………7分（2）由表格数据可知，听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生有()11b +人，由（1）知，2b =，即听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有13人．………………………9分记“听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上”为事件B ， 则()11134040b P B +==． 答：听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为1340．…………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．） 解：（1）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．………………………2分在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．解得28BC =．………………………………………………………6分所以渔船甲的速度为142BC=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BCα=．……………………………………………………………………9分即12sin1202sin 28AB BCα===． 答：s α的值为12分 方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28BC =，BCA α∠=， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB AC BCα+-=⨯．…………………………………………………………9分60ABC东南西北 α即22220281213cos 2202814α+-==⨯⨯． 因为α为锐角，所以sin α===14．答：s α的值为12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查方程思想以及运算求解能力．） 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d，则()112n n n S na d -=+．………………………………………1分 由已知，得111091055,2201920210.2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩………………………………………………………………………3分 即112911,21921.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1.a d =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………5分 所以1(n a a =+（n *∈N ）．………………………………………………………………6分 （2）假设存在m 、k ()2,,k m m k >≥∈N ，使得1b 、m b 、k b 成等比数列，则21m k b bb =．……………………………………………………………………………………………7分因为11n n n a nb a n +==+，…………………………………………………………………………………8分所以11,,211m k m k b b b m k ===++． 所以2112m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………9分整理，得22221m k m m =-++．…………………………………………………………………………10分以下给出求m ，k 的三种方法： 方法1：因为k >，所以2210m m -++>．………………………………………………………11分解得12m <……………………………………………………………………………12分因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =． 故存在2m =、8k =，使得1b 、mb 、kb 成等比数列．……………………………………………14分 方法2：因为k m>，所以22221m k m m m =>-++．…………………………………………………11分 即221021m m m +<--，即221021m m m -<--． 解得112m -<<或11m <<12分因为2,m m ≥∈*N ，所以2m =，此时8k =． 故存在2m =、8k =，使得1b 、mb 、kb 成等比数列．……………………………………………14分方法3：因为2k m >≥，所以222221m k m m =>-++．……………………………………………11分 即221021m m m +<--，即22221021m m m m --<--． 解得1m <<或1m <<12分 因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =． 故存在2m =、8k =，使得1b 、mb 、kb 成等比数列．……………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A =，所以AC ⊥平面EBD ．因为B D ⊂平面，所以A C ⊥．………………………………………………………………4分（2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==．………………………………………………………………………8分AD 1A 1EBCOD以下给出求三棱锥E BCD -体积的两种方法： 方法1：由（1）知，AC ⊥平面EBD ， 所以13E BV V --==．………………………………………………………………10分因为EA ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面，所以EA AB ⊥，即ED AB ⊥．其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==， 所以11422EBD S ED AB ∆=⨯⨯=⨯⨯=． (13)分所以11233E BCD V -=⨯=．…………………………………………………………………14分方法2：因为EA ABC ⊥平面，所以13E BV V --=+．…………………10分其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==， 所以11422ABC S AC AB ∆=⨯⨯=⨯=． (13)分所以114433E BCD V -=⨯⨯=．…………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查分段函数、导数、函数的单调性和最值等基础知识，考查分类讨论思想，以及运算求解能力和推理论证能力等．） 解：（1）因为函数()2f x x =的定义域(),F =-∞+∞，函数()lng x a x =的定义域()0,G =+∞，所以()22ln ,0,,0.x a x x h x x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤……………………………………………………………………4分（2）当0x ≤时，函数()2h x x =单调递减，所以函数()h x 在(],0-∞上的最小值为()00h =．……………………………………………………5分当0x >时，()2ln h x x a x =+．若0a =，函数()2h x x =在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………6分若a >，因为()2220a x ah x x x x+'=+=>，………………………………………………………7分所以函数()2ln h x x a x =+在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………8分若a <，因为()222x x x a h x x x⎛+ +⎝⎭⎝⎭'==，……………………………………9分所以函数()2ln h x x a x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．此时，函数()h x 的最小值为h ．…………………………………………………………………………………10分 因为l n2ah a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，………………………11分 所以当2e 0a -<≤时，0h ≥，当2ea <-时，0h <．…………………………13分 综上可知，当0a >时，函数()h x 没有最小值；当2e 0a -≤≤时，函数()h x 的最小值为()00h =；当2ea <-时，函数()h x 的最小值为1ln 22a a h ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．……………………………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及分类讨论思想与创新意识等．） 解：（1）因为a b >>，所以1ba<，所以c e a a ===<1分由90APB ∠=及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以OP ． 因为O b a=≥，所以b a ≥，所以c e a a ===≥．……………3分故双曲线离心率e的取值范围为2⎣．…………………………………………………………4分 （2）方法1：因为22222200PA OP OA x y b =-=+-，所以以点P为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．………5分因为圆O 与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB ，……………………………………………6分所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩………………………………………………7分 消去2x ，2y ，即得直线AB的方程为200x x y y b +=．………………………………………………8分方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A⊥，所以1PA OA k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．…………………………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+． 因为211x y b+=，所以20101x x y y b +=．……………………………………………………………6分 因为OA OB =，PA PB =，根据平面几何知识可知，AB OP ⊥． 因为OP y k x =，所以AB x k y =-．………………………………………………………………………7分 所以直线AB 方程为()0110x y y x x y -=--． 即000101x x y y x x y y +=+． 所以直线AB的方程为200x x y y b +=．………………………………………………………………8分方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A⊥，所以1PA OA k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．…………………………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．……6分这说明点A 在直线200x x y y b +=上． …………7分同理点B 也在直线200x x y y b +=上．所以200x x y y b +=就是直线AB 的方程． ……8分 （3）由（2）知，直线AB 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线AB的距离为2d =．因为AB ===， 所以三角形OAB的面积0012S AB d =⨯⨯=10分以下给出求三角形OAB 的面积S 的三种方法：方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b-=上，所以2200221x y a b-=，即22222002b x a b y a -=()220x a ≥．设t ==≥所以322b t S t b=+．………………………………………………………………………………………11分因为()()()3222b t b t b S tb-+-'=+，所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．所以322b tS t b=+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．……………………………………12分当b，即b b<≤时，322212b b S b b b ⨯==+最大值，…………………………………13分b >，即a >时，2S b==+最大值综上可知，当b a b<≤时，212S b=最大值；当a>时，2S=最大值．………14分方法2：设t=，则33222b t bSbt btt==++．…………………………………………11分因为点()00,P x y在双曲线22221x ya b-=上，即2200221x ya b-=，即22222002b x a bya-=()22x a≥．所以t==令()2bg t tt=+，则()()()2221t b t bbg tt t+-'=-=．所以当0t b<<时，()0g t'<，当t b>时，()0g t'>．所以()2bg t tt=+在()0,b上单调递减，在(),b+∞上单调递增．…………………………………12分当b，即b b<≤时，32212bS bbbb==+最大值，……………………………………13分b>，即a>时，32bS==最大值．综上可知，当b a b<≤时，212S b=最大值；当a>时，2S=最大值．………14分方法3：设2200t x y=+，则S b ==．…………………………………11分令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………12分因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，当22112b a≤，即b a b <≤时，()22max1124g u g b b⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值． ………………………………13分当22112b a >，即a >时，()2224max1a bg u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时2S =最大值．综上可知，当b a b<≤时，212S b =最大值；当a >时，2S =最大值．………14分2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）参考答案。

数学（文科）试题A 第 1 页 共 13 页试卷类型：A2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2011.４本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z a b =+(),a b ∈R 的实部记作()Re z a =，则1R e 2i ⎛⎫=⎪+⎝⎭A ．23B ．25C ．15-D ．13-2．函数y =A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则A B =A ．11,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．已知向量()1,2a =，(),4x b =，若2=b a ，则x 的值为A ．2B ．4C ．2±D ．4±4．已知数列{}n a 的通项公式是()()11nn a n =-+，则12310a a a a ++++=A ．55-B ．5-C ．5D ．55 5．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为A ．1718B ．79C ．29D ．118数学（文科）试题A 第 2 页 共 13 页6．设a ，b 为正实数，则“a b <”是“11a b ab-<-”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2011f x =A ．sin cos x x +B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x -- 8．一条光线沿直线220x y -+=入射到直线50x y +-=后反射，则反射光线所在的直线方程为A ．260x y +-=B ．290x y +-=C ．30x y -+=D ．270x y -+=9．点P 是棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -内一点，且满足1312423A P AB A D A A =++，则点P 到棱A B 的距离为 A ．56B ．34C4D1210．如果函数()f x x =+()0a >没有零点，则a 的取值范围为A ．()0,1B ．()0,1)+∞C ．()0,1()2,+∞ D．(0,()2,+∞ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为 ． 12．若关于x 的不等式()21m x x x ->-的解集为{}12x x <<，则实数m 的值为 ．13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()*,p q p q p q ⨯≤∈N 且是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q=，例如()3124f =.关于函数()f n 有下列叙述：①()177f =，②()3248f =，③()4287f =，④()914416f =.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）在梯形A B C D 中，AD BC ，2AD =，5B C =，点E 、F 分别在A B 、C D 上，且EF AD ，若34A E E B=，则E F 的长为 ．数学（文科）试题A 第 3 页 共 13 页15．（坐标系与参数方程选做题）设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，则直线l 的极坐标．．．方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25．（1）试确定a 、b 的值；（2）从40人中任意抽取1人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率．17．（本小题满分12分）如图1，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60 方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．18．（本小题满分14分）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为n S ，且1055S =，20210S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n n a b a +=，是否存在m 、k ()2,,k m k m >≥∈*N ，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．图160ABC东南西北 α数学（文科）试题A 第 4 页 共 13 页19．（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11AD D A 和三棱锥E A B C -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA ABC ⊥平面，AB AC ⊥，A B A C =，2A E =．（1）求证：A C B D ⊥；（2）求三棱锥E B C D -的体积．20．（本小题满分14分）对定义域分别是F 、G 的函数()y f x =、()y g x =，规定： 函数()()()()(),,,,,.f xg x x F x Gh x f x x F x G g x x F x G +∈∈⎧⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且 已知函数()2f x x =，()lng x a x =()a ∈R ． （1）求函数()h x 的解析式；（2）对于实数a ，函数()h x 是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知双曲线C ：()222210x y a b ab-=>>和圆O ：222x y b +=（其中原点O 为圆心），过双曲线上一点()00,P x y 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若双曲线C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求双曲线离心率e 的取值范围； （2）求直线A B 的方程；（3）求三角形O A B 面积的最大值．AODE正（主）视图 E A侧（左）视图A 1D 1 A D 1A 1E BC OD 图2数学（文科）试题A 第 5 页 共 13 页2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．3 12．2 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20θρθ--=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．）解：（1）由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有()10a +人． 记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102()405a P A +==， …………………………………………………………………………………4分解得6a =． ………………………………………………………………………………………………5分 因为3240a b ++=，所以2b =．答：a 的值为6，b 的值为2．……………………………………………………………………………7分 （2）由表格数据可知，听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生有()11b +人，由（1）知，2b =，即听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有13人．………………………9分 记“听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上”为事件B ， 则()11134040b P B +==．答：听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为1340．…………………12分数学（文科）试题A 第 6 页 共 13 页（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．）解：（1）依题意，120BAC ∠= ，12AB =，10220A C =⨯=，B C A α∠=．………………………2分在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯= ．解得28B C =．………………………………………………………6分 所以渔船甲的速度为142B C=海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠= ，28B C =，B C A α∠=，由正弦定理，得sin sin 120A B B C α=．……………………………………………………………………9分即12sin 1202sin 2814AB BCα⨯===． 答：sin α1412分方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28B C =，B C A α∠=， 由余弦定理，得222cos 2AC BC ABAC BCα+-=⨯．…………………………………………………………9分即22220281213cos 2202814α+-==⨯⨯．因为α为锐角，所以sin α===14 答：sin α1412分60ABC东南西北 α数学（文科）试题A 第 7 页 共 13 页（本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查方程思想以及运算求解能力．） 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+．………………………………………1分由已知，得111091055,2201920210.2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩………………………………………………………………………3分 即112911,21921.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1.a d =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………5分所以1(1)n a a n d n =+-=（n *∈N ）．………………………………………………………………6分 （2）假设存在m 、k ()2,,k m m k >≥∈N ，使得1b 、m b 、k b 成等比数列，则21m k b b b =．……………………………………………………………………………………………7分因为11n n n a n b a n +==+，…………………………………………………………………………………8分所以11,,211m k mk b b b m k ===++．所以21121m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………9分 整理，得22221mk m m =-++．…………………………………………………………………………10分以下给出求m ，k 的三种方法：方法1：因为0k >，所以2210m m -++>．………………………………………………………11分解得11m -<<+12分因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =．故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．……………………………………………14分方法2：因为k m >，所以22221mk m m m =>-++．…………………………………………………11分数学（文科）试题A 第 8 页 共 13 页即221021m m m +<--，即221021m m m -<--．解得11m -<<-11m <<+………………………………………………………………12分 因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =．故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．……………………………………………14分方法3：因为2k m >≥，所以222221mk m m =>-++．……………………………………………11分即221021mm m +<--，即22221021m m m m --<--．解得112m --<<或112m +<<+12分因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =．故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以E A A C ⊥，即E D A C ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以A C ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以A C B D ⊥．………………………………………………………………4分 （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4B C =，AB AC ==………………………………………………………………………8分AD 1A 1EBCOD数学（文科）试题A 第 9 页 共 13 页以下给出求三棱锥E B C D -体积的两种方法： 方法1：由（1）知，A C ⊥平面EBD ， 所以13E B C D C E B D E B D V V S C A --∆==⨯．………………………………………………………………10分因为EA ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面， 所以E A A B ⊥，即ED AB ⊥．其中224ED EA D A =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==所以11422E B D S E D A B ∆=⨯⨯=⨯⨯=．…………………………………………………13分所以11633E B C D V -=⨯=．…………………………………………………………………14分方法2：因为EA ABC ⊥平面，所以111333E B C D E A B C D A B C A B C A B C A B C V V V S E A S D A S E D ---∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯．…………………10分其中224ED EA D A =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==所以11422A B C S A C A B ∆=⨯⨯=⨯=．…………………………………………………13分所以1164433E B C D V -=⨯⨯=．…………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查分段函数、导数、函数的单调性和最值等基础知识，考查分类讨论思想，以及运算求解能力和推理论证能力等．）解：（1）因为函数()2f x x =的定义域(),F =-∞+∞，函数()lng x a x =的定义域()0,G =+∞，所以()22ln ,0,,0.x a x x h x x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤……………………………………………………………………4分（2）当0x ≤时，函数()2h x x =单调递减，所以函数()h x 在(],0-∞上的最小值为()00h =．……………………………………………………5分 当0x >时，()2ln h x x a x =+．若0a =，函数()2h x x =在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………6分若0a >，因为()2220a x a h x x xx+'=+=>，………………………………………………………7分所以函数()2ln h x x a x =+在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………8分数学（文科）试题A 第 10 页 共 13 页若0a <，因为()222x x x a h x xx⎛⎛+- +⎝⎭⎝⎭'==，……………………………………9分所以函数()2ln h x x a x =+在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．此时，函数()h x的最小值为h ⎛⎝．…………………………………………………………………………………10分因为ln ln 1ln 222222aa aa a a h a ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝，………………………11分 所以当2e 0a -<≤时，0h ⎛⎝≥，当2e a <-时，0h ⎛<⎝．…………………………13分 综上可知，当0a >时，函数()h x 没有最小值；当2e 0a -≤≤时，函数()h x 的最小值为()00h =；当2e a <-时，函数()h x的最小值为1ln 22a a h ⎛⎡⎤⎛⎫=---⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝．……………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及分类讨论思想与创新意识等．） 解：（1）因为0a b >>，所以1b a<，所以c e aa===<．…………………1分 由90APB ∠=及圆的性质，可知四边形P A O B是正方形，所以OP =．因为OP a =≥，所以2b a≥，所以c e aa===2≥．……………3分故双曲线离心率e的取值范围为2⎣⎭．…………………………………………………………4分 （2）方法1：因为22222200PA O P O A x y b =-=+-，所以以点P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．………5分因为圆O 与圆P 两圆的公共弦所在的直线即为直线A B ，……………………………………………6分所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩………………………………………………7分数学（文科）试题A 第 11 页 共 13 页消去2x ，2y ，即得直线A B 的方程为200x x y y b +=．………………………………………………8分 方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ， 则P A k =0101y y x x --，11O A y k x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A O A ⊥，所以1PA O A k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．…………………………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．……………………………………………………………6分 因为O A O B =，PA PB =，根据平面几何知识可知，A B O P ⊥． 因为00O P y k x =，所以00AB x k y =-．………………………………………………………………………7分所以直线A B 方程为()0110x y y x x y -=--．即000101x x y y x x y y +=+．所以直线A B 的方程为200x x y y b +=．………………………………………………………………8分方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则P A k =0101y y x x --，11O A y k x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A O A ⊥，所以1PA O A k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．…………………………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．……6分这说明点A 在直线200x x y y b +=上． …………7同理点B 也在直线200x x y y b +=上．所以200x x y y b +=就是直线A B 的方程． ……8分（3）由（2）知，直线A B 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线A B 的距离为2d =因为A B===所以三角形O A B的面积0012S AB dx y=⨯⨯=+……………………………………10分以下给出求三角形O A B的面积S的三种方法：方法1：因为点()00,P x y在双曲线22221x ya b-=上，所以2200221x ya b-=，即22222002b x a bya-=()22x a≥．设t==≥所以322b tSt b=+．………………………………………………………………………………………11分因为()()()3222b t b t bSt b-+-'=+，所以当0t b<<时，0S'>，当t b>时，0S'<．所以322b tSt b=+在()0,b上单调递增，在(),b+∞上单调递减．……………………………………12分当b≤，即b a<≤时，322212b bS bb b⨯==+最大值，…………………………………13分当b>，即a>时，3222b bSab⨯==+最大值．综上可知，当b a<≤时，212S b=最大值；当a>时，2bSa=最大值．………14分方法2：设t=33222b t bSbt btt==++．…………………………………………11分因为点()00,P x y在双曲线22221x ya b-=上，即2200221x ya b-=，即22222002b x a bya-=()22x a≥．所以t==≥数学（文科）试题A 第 12 页共 13 页数学（文科）试题A 第 13 页 共 13 页令()2b g t t t=+，则()()()2221t b t b b g t tt+-'=-=．所以当0t b <<时，()0g t '<，当t b >时，()0g t '>． 所以()2b g t t t=+在()0,b 上单调递减，在(),b +∞上单调递增．…………………………………12分当b ≤，即b a <≤时，32212b S b bb b ==+最大值，……………………………………13分当b >，即a >时，322bbS a==最大值．综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，2bS a=最大值．………14分方法3：设2200t x y =+，则bS bt==．…………………………………11分因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，即2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．所以22222200021b t x y x b a a ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭．令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………12分 因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 当22112ba≤，即b a <≤时，()22max1124g u g b b⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值． ………………………………13分 当22112ba>，即a >时，()2224m ax1a bg u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时2b S a=最大值．综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S a=最大值．………14分。

2011届高三级第一次阶段综合测试五校联考文科综合科试卷一、选择题：本大题共35小题．每小题4分，共140分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

地球上，晨线和昏线相接时有两个分界点，位于北半球的分界点设为M ，位于南半球的分界点设为N 。

图1中的折线表示M 一年内的纬度变化。

读图判断1～2题。

1．一年内M 最大纬度与最小纬度的差值约为 A ．47° B ．23.5° C ．94° D ．66.5°2．M 为正午、N 为子夜的时间段是A ．①②B ．②③C ．③④D ．④①右图中各箭头及其代表符号①、②、③、④、⑤表示太阳、地面、 大气、宇宙空间之间的热力作用，其中包括太阳辐射、地面辐射、 大气辐射、大气逆辐射、大气对太阳辐射的削弱作用（吸收、反射和散射）。

读图回答下面3～4题。

3．我国青藏高原的纬度比云贵高原高，但年太阳辐射总量比云贵高原大，其原因主要与图中的哪个因素数值大小有关A ．①B ．②C ．③D ．④4．四川盆地的纬度与青藏高原的纬度相差不大，但年平均气温却比青藏高原高得多，其原因主要与图中的哪个因素数值大小有关A ．①B ．②C ．④D ．⑤下图是亚洲东部某区域两个时刻的等压线图（单位：百帕），读图回答5～6题。

5．由14时到20时，广州的风向变化是A ．东风变为西风B ．北风变为东风C ．东北风变为东南风D ．西北风变为西南风6．若据此预报海浪，6个小时后，浪高明显降低的是图1A．长江口海域 B．珠江口海域 C．渤海海域 D．台湾海峡北京时间2010年2月27日14时34分，智利中部康塞普西翁市附近海域(南纬35.8，西经72 7。

)发生8．8级强地震．此后连续发生多次6.0级以上的余震并引发海啸．给当地人民生命财产造成了巨大的损失。

据此回答7---8题。

7. 下列选项中，与智利大地震成因相关的是A．海底火山喷发活动B．地壳之间长期挤压C．地壳之间张裂位移D．地壳发生断层陷落8．下列关于在震中附近海域的船上海员对地震的感受的描述，正确的是A．只感受到左右摇晃B．只感受到上下颠簸C．先感受到左右摇晃，后感受到上下颠簸D．先感受到上下颠簸，后感受到左右摇晃读云山及其附近地区地层剖面图，回答第9题。

试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。

考试用时120 分钟。

2011.01 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

参考公式：锥体的体积公式13V S h =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．1. 函数()g x =A ．{3x x ≥-}B ．{3x x >-}C ．{3x x ≤-}D ．{3x x <-} 2．已知i 为虚数单位, 则复数z =i (1+i )在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设向量(2,0)=a ,(1,1)=b ,则下列结论中正确的是A ．||||=a b B ． 12=a b C ．//a b D ．()-⊥a b b4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l图2侧视图俯视图正视图的 方程为A．y = B．y =C．3y x =-D．3y x =5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ． 乙 C ． 丙 D ．丁6.如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于A ．720B ．360C ．240D ．1207.“2>x ”是“0232>+-x x ”成立的 图1 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8.定义3x y x y ⊗=-, 则()h h h ⊗⊗等于 A ．h - B ．0 C ．h D ．3h9. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为123π+，则正视图中x 的值为A ．5B ．4C ．3D ．2 10.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数s in =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为图3NA ．s in 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B ．s in 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C ．1s in 124⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π D ．1s in 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知等比数列{}n a 的公比是2，33a =，则5a 的值是 .12．△A B C 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知2,3a b ==，则s in s in ()A A C =+ .13.设函数()()[)22,,1,,1,.xx f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形A B C D 内接于⊙O ， B C 是直径，M N 与⊙O 相切, 切点为A ，M A B ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为in ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (c o s ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin (), 052πθωω-=<<，求c o s ω的值．17.（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数A B CPD 分布)如下表：（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x 、y 的值.18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P A B C D -中，平面P A D ⊥平面A B C D，A B D C ∥，P A D △是等边三角形，已知24B D A D ==，2A B D C ==（1）求证：B D ⊥平面P A D ；（2）求三棱锥A P C D -的体积．19.（本小题满分14分） 图4 已知椭圆(222:13x yE a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段M N 为直径作圆C ,圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求A B C ∆的面积的最大值. 20．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中，对于一切n ∈N *,有11nk n ==∑且1231,2,3b b b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.21.（本小题满分14分） 已知函数()(a f x x a x=+∈R ), ()ln g x x =.（1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；（2）若关于x 的方程()()22gx fx e x=-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.2011年广州市高三调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．12 12．2313.()(),22,-∞-+∞ 14．125︒15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (c o s ,1)θ=, 且a //b ， ∴s in c o s 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得s in c o s 55θθ==,∴55cos ,552sin ==θθ. …… 6分 （2）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3s in (), 5θω-=∴ 4c o s ()5θω-==. …… 8分∴co s co s[()]co s co s()sin sin ()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分5=. …… 12分17．（本小题满分12分） (本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为m ， ∴30505m =, 解得3m =. …… 2分∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S 1、S 2 ；B 1、B 2、B 3 .从中任取2人的所有基本事件共10个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1),(S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2), (B 1, B 2), (B 2, B 3), (B 1, B 3).OPDC BA其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1), (S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2). …… 4分 ∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. …… 6分(2)解: 依题意得：10539N =，解得78N =. …… 8分∴ 35～50岁中被抽取的人数为78481020--=. ∴482010805020xy==++. …… 10分解得40, 5x y ==.∴40, 5x y ==. …… 12分 18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明：在A B D △中，由于2A D =，4B D =，A B =∴222A DB D A B +=. …… 2分 ∴ A D B D ⊥．又平面P A D ⊥平面A B C D ，平面P A D 平面A B C D A D =，B D ⊂平面A B C D ， ∴B D ⊥平面P A D . …… 4分 （2）解：过P 作P O A D ⊥交AD 于O .又平面P A D ⊥平面A B C D ， ∴P O ⊥平面A B C D ． …… 6分∵P A D △是边长为2的等边三角形，∴P O =.由（1）知，A D B D ⊥，在R t A B D △中， 斜边A B边上的高为5A D B Dh A B ⨯==. …… 8分∵A B D C ∥，∴112225A C D S C D h =⨯=⨯=△. …… 10分∴112333A P C D P A C D A C D V V S P O --==⨯=⨯⨯=△. …… 14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵椭圆(222:13x yE a a+=>的离心率12e =,∴12a=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143xy+=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．∴弦长||A B == ……8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)=)221272t +-≤7=…… 12分=7t =.∴ A B C ∆7． …… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4tx t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4tx t y --+=中，令0x =，得2y =±，∴弦长||A B =…… 8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)=)2212712t +-≤7=……12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． (14)分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵1n n S a =-，当1n =时,1111a S a ==-, 解得112a =. (1)分当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()111n n a a -=---, 得12n n a a -=, 即112n n a a -=. ……3分∴数列}{n a 是首项为12, 公比为12的等比数列.∴1111222n n na -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. ……4分∵ 对于一切n ∈N *,有11nk n ==∑， ①当2n ≥时, 有1111n k n -=-=∑， ②① - ②=-化简得: 11(1)0n n n b n b b +--+=, ③用1n +替换③式中的n ，得：211(1)0n n n b n b b ++-++=, ④ ……6分③－④ 整理得：211n n n n b b b b +++-=-， ∴当2n ≥时, 数列{}n b 为等差数列. ∵32211b b b b -=-=,∴ 数列{}n b 为等差数列. …… 8分∵ 121,2b b == ∴数列{}n b 的公差1d =.∴()11n b n n =+-=. ……10分(2)证明:∵数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,∴231232222n nn T =++++, ⑤ ∴2211122222n n n T +=+++ , ⑥⑤－⑥得：21111122222n nn n T +=+++- (12)分1111221212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--1212n n ++=-.∴2222n nn T +=-<. ……14分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln a F x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞.∴()'211a F x xx=-+22x x ax+-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥.∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=,解得12110,22x x ---+=<=.(ⅰ) 若104a -<≤,则2102x -+=≤.∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则0,2x ⎛∈ ⎝⎭时, ()'0F x <;12x ⎛⎫-+∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0Fx >,∴函数()F x 在区间10,2⎛-+ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间1,2⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为10,2⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭, 单调递增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分 (2) 解: 由()()22gx fx e x=-, 得2ln 2x a x e xx=+-, 化为2ln 2x xe x a x=-+.令()ln x h x x=, 则()'21ln x h x x-=.令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. (10)分而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. ……12分∴ 当21a e e-=, 即21a e e=+时, 方程()()22gx fx e x=-只有一个根. ……14分。