球的体积和表面积推导过程.ppt

，设球的半径为R，
1.（2012·广东高考）某几何体的三视图如图所示，
它的体积为（ C ）
A.72π B.48π
C.30π
D.24π
【解析】选C. 由三视图可知几何体是由一个半球和 一个倒立的圆锥组成的组合体.
1 1 4 V= π × 32× 4+ × π × 33 = 30π. 3 2 3
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它
4 3 π (3R) 2 S V 3 4π(3R) 表 = = 27. = = 9， 所以 4 3 V S表 4πR2 πR 3
答案：9
27
4.已知过球面上三点 A, B, C 的截面和球心的距离为球 半径的一半，且 AB = BC = CA = 2 ，求球的表面积.
【解析】设截面圆心为 O ,连接 OA ,
所以, S球 = S 圆柱侧.
4p R 2 ，
【变式练习】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( B ) A.π C. a2
11 π a2 3
7 B. π a2 3
D.5π a2
【解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需
画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径
熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 V = R 3 S = 4R 2
不能忍受批评，就无法尝试新事物。
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。

: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。

栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.

【解析】 ①当截面在球心的同侧时， 如图所示为球的轴截面，由球的截面性质 知，AO1∥BO2，且 O1、O2 分别为两截面圆的圆 心，则 OO1⊥AO1， OO2⊥BO2，设球的半径为 R. ∵π· O2B2＝49π，∴O2B＝7. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20. 设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9.
6 12 a.
【答案】
6 12 a
探究 4 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球 的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”． V 多＝S 表·R 内切·13.
(3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题 4 半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两
【答案】 27π
(2)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积．
【解析】 设 SO1 是正四面体 S－ABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1 上，设外接球半径为 R，AO1＝r，
则在△ABC 中，用解直角三角形知识得 r＝ 33，
从而 SO1＝ SA2－AO12＝
1－13＝
2 3.
在 Rt△AOO1 中，由勾股定理，得
【答案】 C
题型四 几何体的内切球 例 4 正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为________．
【解析】 如图正四面体 A－BCD 的中心为 O，即内切球球
心，内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面的距离．
∵AB＝a,
∴正四面体的高
h＝
6 3 a.
又 VA－BCD＝4VO－BCD，
∴R＝14h＝
在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得 x＝15，∴R2＝x2＋202＝252. ∴R＝25，∴V 球＝43πR3＝62 3500π(cm3)． ② 当 截 面 在 球 心 异 侧 时 ， OO1 ＋ OO2 ＝ 9 ＝ R2－72 ＋ R2－202，无解．