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“球的体积和表面积”教学设计一、教学内容解析本节课的内容是人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》（以下统称“教材”）“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，学习另一种几何体——球体的体积与表面积.研究球的体积方向很多，教材介绍了“分割、求近似值、再由近似求和转化为球体的体积”的极限思想方法，这也是球的体积的教学重点.从知识结构上讲，球是进一步研究空间组合体结构特征的基础，具有承上启下的作用；从思想方法上讲，在球的体积公式的教学中充分运用极限思想，为以后学习导数做好铺垫.这节课在章节、模块甚至数学课程的角度全面整合教材，突出学科知识的系统性和教学的方向性，形成有生命、有灵魂的整体的知识.本节课教学重点：研究球的体积和表面积.二、教学目标设置结合课标要求，本节课制定如下教学目标：1.通过类比研究圆的周长和面积的方法，能得出研究球的体积和面积的方法，发展数学抽象、直观想象等核心素养；2.通过应用祖暅原理，能推导出球的体积公式，提高数学建模、逻辑推理等核心素养；3.通过探究球的体积的过程，发展研究数学问题的思维体系.三、学生学情分析(一)已具备的认知基础1.在学习本节课内容之前，通过柱体、锥体、台体的体积和表面积的探究和学习，学生已具备了一定的空间想像能力、综合分析、归纳总结的能力；2.通过小学研究了圆的周长和面积，已经初步具备了极限、等价转化、分割的思想或方法.（二）可能存在的认知困难对球体的研究已经超越了学生能把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的内容之一.极限法怎样分割？应用祖暅原理怎样进行等价转化？因此，本节课难点：极限法的分割方式;应用祖暅原理怎样构造组合体. 四、教学策略分析本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，采用主动探究、合作交流、“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考.利用小组实验、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性.本节课倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，完成了对球体积和表面积的研究，以及公式的推导.安排学生在课前查阅资料，类比探究出球的不同切割方法.充分发挥多媒体的优势，生动形象地演示了各种研究球体积的方法，突破了传统教学不好解决的教学重、难点，实现了教学目标.五、教具准备各种球模型（实心球、空心球）、橙子、圆葱、马铃薯、自制圆形切割模板、圆规、多媒体课件、geogebra软件.六、教学过程设计（一）复习引入、提出问题1.复习引入前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积. 我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”. 那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？2.提出问题问题1：通过前期的学习和查阅资料，发现了有哪些方法可以研究圆的周长？预设回答1：测量法求周长.预设回答2：极限法求周长.【设计意图】1.通过查阅资料，让学生回顾以直代曲，转化的思想，为测量法研究球的体积做铺垫；2.引入极限思想，为极限法研究球的体积做好铺垫.问题2：你们又发现了哪些研究圆面积的方法呢？预设回答：极限法求面积.a) 如图1所示.图1b) 如图2所示.图2c) 如图3所示.图3【设计意图】自主探究圆的不同切割方法，通过对圆的面积无限分割，体现极限思想，为研究球的体积做好铺垫.（二）自主探究、合作交流问题3：刚刚同学们展示了圆的周长和面积的研究方法，那么我们能不能类比研究圆的方法来研究球的体积和表面积呢？下面请同学们分小组讨论.预设回答1：测量法求球的体积.预设回答2：极限法求球体积.a) 如图4所示.图4b) 如图5所示.图5c) 如图6所示.图6【设计意图】1.让学生动手实验，如切割实物马铃薯和橙子及多媒体动画展示，化抽象为具体. 帮助学生提升直观想象的核心素养；2.通过小组合作，培养学生合作交流的能力，增强团队意识.（三）数学建模、公式推导以上有两名同学通过分割的方法，将球的体积等价转化为可求体积的几何体，这种等价转化的方法，我国古代数学家祖暅已经给我们提供了理论依据.祖暅原理告诉我们这样一个事实：幂势既同，则积不容异.如图7所示.图7祖暅给出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲，直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才给出上述结论. 卡瓦列里提出线是由点构成的、面是由线构成的、体是由面构成的无限细分积零为整的概念，并把面积称为体积的不可分量.卡瓦列里原理不难用现代的微积分理论给出严格证明，但是作为一名中学生，还没有学习微积分时，如果作为直观上的显然结果，而承认这个原理，就能解决许多求体积的问题.只用初等数学方法，而不需用微积分方法.师：怎样通过祖暅原理求球的体积？师：根据祖暅原理构造几何体的要点是？师：半球更容易稳定的放置在桌面上，球是关于轴截面对称的几何体，如图8所示，我们研究半球的体积V与半径R的关系，就可以得到球的体积V与半径R的关系.图8问题4：能否用已经学过的几何体组合成一个新的几何体来代替半球的体积？这个新的组合体应该怎样组合？如图9所示.图9师：为什么挖去的倒置圆锥截面圆半径为h？如图10所示.图10师：用动画演示，来更好的理解等高下截面积相等. 如图11所示.图11师：请同学们一起推导球体积与半径的关系，由学生代表到黑板前演示推导过程.生：12V球=V柱−V锥=23πR3，所以V球=43πR3.师：我们运用祖暅原理得到了球体积与半径之间的关系V球=43πR3，通过之前推导出的球体积和表面积的关系，可以得到球表面积S球=4πR2.师：还有哪些构造与球等体积的几何体的方式？可以课下再进行研究. 如图12所示.图12师：我们今天能够推导出球的体积公式，都要归功于祖暅.让我们怀着敬意，一起来回顾祖暅的生平.【设计意图】利用祖暅原理，推导出球的体积公式，进而得到球的表面积公式.介绍祖暅原理蕴含的数学思想方法. 通过介绍中国古代优秀的数学家，增强民族文化自信，激发学生勤奋好学的斗志.（四）知识总结、心得体会1.师生共同进行知识总结2.学生谈体会和收获（五）作业布置、拓广探索1.复习巩固：教材119页练习2,3,4题；2.拓广探索：教材120页9题；3.合作探究：查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式.结束语：学习是无止境的，科学探索的道路是充满艰辛、充满乐趣的，希望同学们能勤于钻研、勇于创新，创造出属于我们更加卓越的未来.。
球的表面积和体积（1）将一个底面半径R 高为R 的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V ＝2/3πR^3 .因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的.圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，根据积分公式可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3（2）球的表面积公式，依照纬线把球分成许多个圆台，所有圆台侧面积之和即球的表面积：4πr2.例1.（04 年辽宁卷.10）设A .B .C .D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A B C D解析：由已知可得，A .B .C .D 在球的一个小圆上.∵ AB =BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质 R 2 = r 2 + h 2 ，体积和表面积公式.例2.推导球的表面积公式. 解析：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“ 小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高.因此，第i 个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“ 小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：π68π664π224π272323=r A.68)6(34346,)2()223(23222222所以选球的体积解得得由πππ===∴=+=+=R V R R R h r R ,,,,21i S S S ∆∆∆.21 +∆++∆+∆=i S S S S i S ∆i h i i i h V S 31∆⋅=（例2题图）点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”， 这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.例3. A.B.C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．（例3题图）解析：AB 2+BC 2=AC 2，ABC 为直角三角形， ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ， 因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2=（）2+152， R 2=300，S 球=4R 2=1200（cm 2）.∆∴∆∴2R ∴∴ππ。
1。
3。
2球的体积和表面积一、 教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=。
2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．能力目标：通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标:通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育。
二、 教学重点、难点重点：球的体积和表面积的计算公式的应用。
难点：解决与球相关的“内接”与“外切"的几何体问题三、教学过程2球的表面积：（以后讲）11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+又∵i h R≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆∴可得13V R S ≈⋅,又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S R π=即为球的表面积公式小结：球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为自变量的函数。
教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透微积分思想.应 用 举 练习1:如果球的体积是36πcm 3，那么它的半径是 .3练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C )（A ）8：27 (B ）2：3 （C ）4：9 （D ）2:9例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证： (1）球的体积等于圆柱体积的23（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。
教师引导学生共同完成让学生巩固例证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的 底面半径为R ，高为2R 。
则有V球=334R ， V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32。
（2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR ·2R=4πR 2,所以S 球=S 圆柱侧.变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少?变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少?变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a ，此时球的半径又为多少？加深所学内容并灵活运用。
§1.3.2 球的体积和表面积教案
一. 教学目标
熟念和掌握球的体积公式和面积公式
二. 教学重点、难点
重点：球的体积公式和面积公式
难点：球的体积公式和面积公式
三. 教学过程
（一） 创设情景，提出问题
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和表面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二） 自主学习，合作探究
1．球的体积：
实验：利用曹冲称象的典故
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R 的函数,
半径为R 的球的表面积为
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。
（三） 典例分析
例1若圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；
(2)球的表面积与圆柱的侧面积.
证明过程略.
例2 已知球O 的半径为R,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,它的各个顶点都在球O 的球面上，求证：
证明过程略.
四、巩固练习
1. 正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
2
R
2. 若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_____倍.
3. 若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
4. 若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.
五、课堂小结
1.球的体积公式
2.球的表面积公式
六、作业
课本P28练习。
